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Physik » Mathematische Physik » Weyl-Gleichung
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Universität/Hochschule J Weyl-Gleichung
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-26 22:19

\(\begingroup\)
Guten Abend zusammen,

folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade etwas:

Die Sache ist, dass ich die eigentlich Aufgabe lösen konnte mit Hilfe des Tipps, aber Schwierigkeiten damit habe die Aussage des Hinweises, also \(A^{\dagger}\sigma_{\mu}A=\varphi(A)_{\mu\nu}\sigma_{\nu}\), zu zeigen.

Bisher überlegt habe ich mir: Die Pauli-Matrizen bilden eine Basis des Raums der \(2\times 2\)-hermitischen Matrizen \(H(2)\). Weiterhin definiert \(\langle A,B\rangle =\frac{1}{2}\operatorname{tr}AB\) ein Skalarprodukt auf \(H(2)\).  Da nun \(\varphi(A)\in H(2)\) folgt
\(\begin{align}\varphi(A)_{\mu\nu}=\langle \sigma_{\mu},\varphi(A)\sigma_{\nu}\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\sigma_{\mu}\varphi(A)\sigma_{\nu})=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\sigma_{\mu}A\sigma_{\nu}A^{\dagger}).\end{align}\)
Somit wäre glaube ich die erste Aussage gezeigt, leider weiss ich aber nicht wie man eine Brücke zur Zweiten schlägt, hoffe jemand kann hier etwas nachhelfe.

Gruss Sito
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-27 00:43

\(\begingroup\)
Hallo Sito,

2018-04-26 22:19 - Sito im Themenstart schreibt:
Da nun \(\varphi(A)\in H(2)\) folgt
$\begin{align*}\cdots=\langle \sigma_{\mu},\varphi(A)\sigma_{\nu}\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\sigma_{\mu}\varphi(A)\sigma_{\nu})=\cdots\end{align*}$

Das ergibt keinen Sinn: Es ist $\varphi(A)\in\mathop{\rm SO}_+(1,3)$ eine reelle $4\times4$-Matrix. Also ist weder $\varphi(A)\in H(2)$ noch kann man ein Produkt von $\varphi(A)$ mit einer Pauli-Matrix bilden.

Du kannst aber von der Gleichung

    $\widehat{{\varphi(A)x}}=A\kern2mu \hat xA^\dagger\quad,$

die $\varphi(A)$ definiert, ausgehen und sie in Komponenten hinschreiben:

    $\displaystyle
\sum_\alpha\bigl[\varphi(A)x\bigr]_\alpha\sigma_\alpha=
\sum_{\alpha,\nu}\varphi(A)_{\alpha\nu}\,x_\nu\,\sigma_\alpha=
\sum_\nu A\kern2mu\sigma_\nu x_\nu A^\dagger\quad$

Da dies für alle $x\in{\Bbb R}^4$ gilt, folgt

    $\displaystyle
\sum_\alpha\varphi(A)_{\alpha\nu}\,\sigma_\alpha=
A\kern2mu\sigma_\nu A^\dagger\quad.$

Multiplikation mit $\sigma_\mu$ und Spurbildung liefert

    $\displaystyle
{1\over2}\mathop{\rm tr}\left[
  \sigma_\mu\sum_\alpha\varphi(A)_{\alpha\nu}\,\sigma_\alpha
   \right]=
\varphi(A)_{\mu\nu}=
{1\over2}\mathop{\rm tr}\left[
  \sigma_\mu A\kern2mu\sigma_\nu A^\dagger\right]\quad.$

Die Gleichung aus dem Hinweis erhältst Du nun, indem Du $A$ durch $A^\dagger$ ersetzt:


    $\displaystyle
\varphi(A^\dagger)_{\mu\nu}=
{1\over2}\mathop{\rm tr}\left[
  \sigma_\mu A^\dagger\kern2mu\sigma_\nu A\right]=
{1\over2}\mathop{\rm tr}\left[
  \sigma_\nu A\kern 2mu\sigma_\mu A^\dagger\right]=
\varphi(A)_{\nu\mu}$

    $\displaystyle
\sum_\nu\varphi(A^\dagger)_{\nu\mu}\,\sigma_\nu=
\sum_\nu\varphi(A)_{\mu\nu}\,\sigma_\nu=
A^\dagger\sigma_\mu A$


Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Sito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 210
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-27 17:59

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Antwort!

Ich kann soweit alles bis auf einen Schritt nachvollziehen, was genau passiert hier: \( \begin{align}\sum_{\alpha,\nu}\varphi(A)_{\alpha\nu}\,x_\nu\,\sigma_\alpha=
\sum_\nu A\kern2mu\sigma_\nu x_\nu A^\dagger.\quad \end{align}\) Leider kann ich hier nicht ganz folgen wie du von der Komponentenschreibweise zurück zu den Matrizen kommst.

Ich hätte da gerade noch eine andere Frage: Ich habe beim Beweis der eigentlich Aussage einfach die transformierte Funktion \(\tilde{\psi}\) in die Differentialgleichung eingesetzt und schlussendlich bin ich auf den folgenden Ausdruck gekommen:
\(\begin{align}\sigma_\mu \frac{\partial \tilde{\psi}}{\partial x_\mu} = \dots = (A^{-1})^\dagger \sigma_\lambda \frac{\partial \psi}{\partial y_\lambda}=0,\end{align}\)
da ich nun mit der Annahme gestartet bin, dass \(\psi\) die Differentialgleichung löst, ist die letzte Summe Null und \(\tilde{\psi}\) würde somit auch die Differentialgleichung erfüllen. Was mich nun etwas stört ist dieses \((A^{-1})^\dagger\), sollte das dort stehen, oder habe ich mich einfach verrechnet?
\(\endgroup\)


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dromedar
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-27 19:09

\(\begingroup\)
2018-04-27 17:59 - Sito in Beitrag No. 2 schreibt:
    \( \begin{align*}\sum_{\alpha,\nu}\varphi(A)_{\alpha\nu}\,x_\nu\,\sigma_\alpha=
\sum_\nu A\kern2mu\sigma_\nu x_\nu A^\dagger.\quad \end{align*}\)
Leider kann ich hier nicht ganz folgen wie du von der Komponentenschreibweise zurück zu den Matrizen kommst.

Hier kommt kein "Rückweg" von der Komponentenschreibweise zurück zu den Matrizen vor. Die linke und die rechte Seite dieser Gleichung entstehen einfach durch die Übersetzung der linken und der rechten Seite der Gleichung

    $\widehat{{\varphi(A)x}}=A\kern2mu \hat xA^\dagger$

in die Komponentenschreibweise.

2018-04-27 17:59 - Sito in Beitrag No. 2 schreibt:
Was mich nun etwas stört ist dieses \((A^{-1})^\dagger\), sollte das dort stehen, oder habe ich mich einfach verrechnet?

Das $(A^{-1})^\dagger$ ist richtig und stört nicht weiter, weil wegen der Invertierbarkeit dieses Faktors

    $(A^{-1})^\dagger\;\bigl(\,\ldots\,\bigr) = 0 \;\iff\;
\bigl(\,\ldots\,\bigr) = 0$

ist.
\(\endgroup\)


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