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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » ggT und kgV in Ringen
Thema eröffnet 2005-03-13 20:45 von Niels
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Seite 2   [1|2]   2 Seiten
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Universität/Hochschule ggT und kgV in Ringen
Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2005-03-18 21:54


Hi alle,
wenn man hier (Dank an deda für den Link) hineinschaut, sieht man z. B. dies:
>>> D. A. Clark, A quadratic field which is Euclidean
>>> but not norm-Euclidean, Manuscripta math. 83 (1994), 327--330.

>>> E. Bedocchi, L'anneau $\Z(\sqrt{14}\,)$ et l'algorithme Euclidien,
>>> Manuscripta math. 53 (1985), 199--216


und schließlich unter Nummer 139 die Dissertation von M. Harper, die deda genannt hat.
Gruß Buri



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Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 19.03.2005 11:08:46 ]



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-18 22:48


Hi,

nochmal ein kleines Fazit zu ggT und KgV in Ringen:

fed-Code einblenden

Gruß N.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2005-03-18 23:22


Hi Niels,
nach den Artikeln, die ich angab, ist es tatsächlich so (wie ich vorher nur vermutet hatte), daß algebraische Zahlkörper (endliche Erweiterungen des Körpers Q der rationalen Zahlen) euklidisch sein können, auch wenn die Gradfunktion, die in der Definition des euklidischen Ringes vorkommt, nicht die Absolutnorm des Ringelements ist (sie ist in algebraischen Zahlkörpern immer definiert und ist eine positive ganze Zahl), und der Ring nicht zu einem euklidischen Ring gemacht werden kann, wenn man die Absolutnorm als Gradfunktion nimmt.
Ich bin noch weit entfernt davon, das wirklich zu verstehen, aber das kann ja noch werden.
Es hängt mit der Geometrie von Gittern zusammen, darüber weiß ich ein klein bißchen Bescheid, hier habe ich darüber geschrieben.
Sehr interessant ist das Ganze jedenfalls.
Gruß Buri


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deda
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2005-03-19 00:19


Hallo Niels,

in meinem Skrip steht:

fed-Code einblenden

Ein norm-eukldischer Ring ist demnach ein Ring in dem DIE Norm auch gleichzeitig die Gradabbildung ist, wobei eben die Gradabbildung nichts mit dem Grad von Polynomen zu tun haben muss, aber kann.

Ich hoffe, das hilft dir erst mal weiter.

Gruß
deda



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-19 10:20


hmm,

Es geht also um algebraische Körpererweiterungen von IQ:

also sowas wie

fed-Code einblenden

und all solche Zahlkörper sind euklidisch, aber nicht unbedingt mit der Absolutnorm die man herkömlich normalerweise nennt.

das hat aber nichts mehr mit den Ringerweiterungen wie IZ[sqrt(-14)
zu tun- oder habe ich jetzt etwas falsch verstanden??

Gruß N.




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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2005-03-19 11:23


Hi Niels,
du schreibst:
>>> all solche Zahlkörper sind euklidisch ...
Ich würde das im Hinblick auf diese Aufgabe (lange habe ich danach gesucht, aber schließlich doch gefunden) bezweifeln.
Außerdem ist die Euklidizität eine Eigenschaft, die Ringe besitzen können, für Ringe, die auch Körper sind, geht das, soweit ich sehe, nicht, weil die Gradfunktion dann konstant sein müßte und alles trivial wird.
Ich schreibe mal die Definition "R ist ein euklidischer Ring" auf, es könnte evtl. nützen:
Es gibt eine Funktion g von R \ {0} in die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen mit
g(a) >= g(b), wenn b Teiler von a ist, und
g(a - q b) < g(b) für mindestens ein q aus R, wenn b kein Teiler von a ist.

>>> das hat aber nichts mehr mit den Ringerweiterungen wie
>>> Z[sqrt(-14)] zu tun- oder habe ich jetzt etwas falsch verstanden??
Hmm, es hat schon etwas damit zu tun, und du hast möglicherweise wirklich etwas falsch verstanden.
außerdem meinst du:
>>> ggT und kgV existieren immer gemeinsam,
>>> einen Ring nur mit ggT oder nur mit kgV gibt es nicht.
Dem steht aber die Feststellung von SirJective hier entgegen, die ich aber weder widerlegen noch bestätigen kann, ich bin also vorerst geneigt, das zu glauben.
Gruß Buri



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[ Nachricht wurde editiert von Buri am 19.03.2005 12:00:21 ]



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-20 10:06


Hallo nochmal,

also zur "Feststellung" von Sirjective:

Wenn es so ein komischen Ring R gibt,
indem es nur ggTs oder nur KgV gibt,

dann darf

-R kein Hauptidalring sein
-R kein ZPE Ring sein

In Hauptidealringen und ZPE (UFD) Ringen
existieren immer beide- wie ich jetzt herausgefunden habe.

Aber ich denke das war vorher auch klar.

Es müsste also dann schon ein Ring sein der nur "ggT Ring"
ist, aber kein ZPE etc ist...

Davon haben wir hier ja nicht viele gefunden- es gibt sicher
natürlich ein paar mehr :-)

aber bisher haben wir nur als reinen ggT Ring hier
aufgeführt

- Den Ring der holomorphen(=analytischen) Funktionen
- Der "Mengenring"

Soweit ich das verstanden habe, ist der ggT zweier Mengen A undd B
deren Vereinigung:


fed-Code einblenden

   
[ Nachricht wurde editiert von Niels am 20.03.2005 11:41:42 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2005-03-20 10:40


Hi Niels,
in dem Mengenring, der aus allen Teilmengen einer nichtleeren Menge X besteht, sind alle Elemente, außer X selbst, Nullteiler.
X ist in diesem Ring das Einselement.
a ist Teiler von b bedeutet, daß b Teilmenge von a ist.
Also gibt es einen ggT von a und b, nämlich die Vereinigung, das ist richtig. Außerdem ist das kgV von a und b der Durchschnitt.
Gruß Buri



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-20 11:39


Hi Buri,

gut, dann hat auch dieser ggT Ring ein KgV.

bliebe in Sachen Mengenring nur noch zu klären, warum
Charakteristik 2.

Ich kenne Charakteristika nur von Körpern, die Definition dürfte aber
ohne Probleme auf Ringe zu übertragen sein.

Der Rest stimmt aber so- d.h. es wird wohl äußerst schwirig ein Ring nur mit KgV aber ohne ggT zu finden...

Danke...

Gruß N.



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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2005-03-20 21:19


Hallo Niels.

Die Begriffe ggT und kgV haben zwar sehr ähnliche Definitionen (die kgV-Definition geht aus der ggT-Definition hervor, indem man alle Relationen "a | b" umdreht zu "b | a"). Aber sie unterscheiden sich in einigen wesentlichen Punkten.

Am 2005-03-14 10:48 hab ich hier den Beweis gegeben, dass aus der Existenz von kgV(a,b) stets die Existenz von ggT(a,b) folgt.

"es wird wohl äußerst schwirig ein Ring nur mit KgV aber ohne ggT zu finden" -- Einen Integritätsring, in dem zwar irgendwelche Elemente einen kgV aber keinen ggT haben, kann es nicht geben.


Bisher nur behauptet habe ich, dass in einem ggT-Ring (wo also alle Elemente paarweise einen ggT haben) auch alle Elemente paarweise einen kgV haben. Mit anderen Worten: Ein ggT-Ring ist auch automatisch ein "kgV-Ring". Das müsste man sich überlegen können, ich bin bisher aber nicht dazu gekommen.

Ebenfalls bisher nur behauptet habe ich, das in einem Ring, der nicht einmal ggT-Ring ist, Elemente existieren können, die einen ggT aber kein kgV haben. Leider kann ich bis dato noch Beispiel dafür angeben.


So, nun zu dem Mengenring.

Die Addition in diesem Ring ist die symmetrische Differenz:
fed-Code einblenden

Es ist also
fed-Code einblenden
die leere Menge, welche das Nullelement ist:
fed-Code einblenden

Die Charakteristik eines Ringes ist definiert als die Anzahl der "Einsen", die man aufaddieren muss, um "Null" zu bekommen. Die Eins ist hier X, und es ist X+X=0. Also ist die Charakteristik 2.


Und um ggT und kgV definieren zu können, reicht ein Integritätsring völlig aus (die Definition lässt sich im Prinzip für jeden Ring geben). Aber allein daraus, dass man etwas definiert, folgt noch nicht, dass das Definierte existiert. In einem ggT-Ring ist nun gesichert, dass ggT und kgV tatsächlich auch existieren (und bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig sind).

Gruss,
SirJective



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Grübelmeister der Drachengilde Diskreter Falter Rechenmeister im Vorgarten Bewahrer von Irrlichts Liebe <!--Lies diese Signatur nicht! Sie ist widersprüchlich.-->
[ Nachricht wurde editiert von SirJective am 20.03.2005 21:23:30 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2005-03-20 21:25


Hi,
 
gut, in einem Ring braucht man auch eine Multiplikation  
Die ist hier der Durchschnitt. Der Mengenring wird sogar zu einer Z2Algebra, wenn man 1A=A und 0A={ } setzt.
 
 Gruß
Martin



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-21 07:57


Hi Sir Jective und Martin,

@Sir jective:

ok, dann ist alles bis auf deine 2 Behauptungen geklärt.
vielen Dank bis hierhin. Und falls sich ein Beweis bzw. ein
Beispiel anfinden sollte dann her damit.

D.h. in einem ggT Ring existiert auch immer ein KgV.
Man braucht also einen Ring bzw. Integritätsbereich der
nichteinmal ein ggT Ring ist...

@Martin:

Danke für deine Ergänzungen zum Mengenring.

Das Thema bleibt bei mir unter Beobachtung, vielleicht
findet sich ja noch ein Beispiel an...

Gruß N.





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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2005-03-21 13:51


Hallo Niels,

Martins Gedankengang führt beim Mengenring fast zwangsläufig zu folgender Isomorphie von Z/2Z-Algebren:

fed-Code einblenden

D.h. die Potenzmenge von X, mit symmetrischer Differenz und Durchschnitt, ist isomorph zur Menge der Abbildungen von X nach Z/2Z, mit punktweiser Addition und Multiplikation. Die Isomorphie ist gegeben durch die Abbildung einer Teilmenge A von X auf ihre charakteristische Funktion:
fed-Code einblenden

Und da ist der Mengenring plötzlich gar nicht mehr so mysteriös. :)

So, zu meinen Behauptungen.

Gestern abend ist mir folgender Beweis gelungen:

Wenn R ein Integritätsring ist, in dem jede (auch unendliche) Teilmenge von R einen ggT hat, dann hat jede (auch unendliche) Teilmenge ein kgV.

Sei A eine Teilmenge von R, dann sei
fed-Code einblenden
die Menge aller gemeinsamen Vielfachen von A. Es kann für unendliche A passieren, dass diese Menge nur die 0 enthält, aber sie ist stets nichtleer.

Nach Voraussetzung hat U einen ggT, den wir k nennen. Ich behaupte, dass k ein kgV von A ist. Mit anderen Worten: Das kgV einer Menge A ist genau der ggT aller gemeinsamen Vielfachen von A.

Dass k ein Teiler jedes gemeinsamen Vielfachen ist, ist nach Definition von k klar.

Für jedes a in A gilt nun
fed-Code einblenden
Das heißt, dass jedes a in A ein gemeinsamer Teiler von U ist. Da k der größte gemeinsame Teiler von U ist, ist jedes Element von A ein Teiler von k. Also ist k ein gemeinsames Vielfaches von A.

q.e.d.


Ich weiß noch nicht, ob es einen Unterschied gibt zwischen Ringen, in denen jede Teilmenge einen ggT hat, und Ringen, in denen je zwei Elemente einen ggT haben. Beide Eigenschaften werden an verschiedenen Stellen zur Definition eines ggT-Ringes verwendet.


Zur zweiten Behauptung hab ich vermutlich ein Beispiel, bin da aber noch nicht sicher (habs aus einer Newsgroup, man suche nach "gcd domain" und "integer valued polynomials"):

Sei J der Ring der Polynome über Q, die an den ganzen Zahlen nur ganzzahlige Werte annehmen:
fed-Code einblenden

EDIT: Das folgende ist auf das Wesentliche zusammengeschrumpft.

In diesem Ring gilt
fed-Code einblenden

Gruss,
SirJective



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[ Nachricht wurde editiert von SirJective am 21.03.2005 17:34:54 ]



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-21 19:37


Hi Sirjetkive,

dein Ringbeispiel kann ich jetzt nachvollziehen.

Den Beweis für die andere Behauptung habe ich noch nicht ganz gepeilt.

Ich arbeite daran noch das zu verstehen.

Falls ich fragen haben sollte- und die werde ich haben-
werde ich nochmal nachboren....

also erstmal Danke

Gruß N.



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2005-03-21 19:40


2005-03-21 13:51: SirJective schreibt:
Martins Gedankengang führt beim Mengenring fast zwangsläufig zu folgender Isomorphie von Z/2Z-Algebren:

fed-Code einblenden
 
 
Erst im Chat, jetzt auch noch im Forum Telepathie  :-D
 
Siehe nämlich hier mein Comment.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 21.03.2005 19:41:01 ]



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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2005-03-21 19:50


So, jetzt kommts...

Definieren wir einen ggT-Ring als einen Integritätsring, in dem jedes Paar von Elementen einen ggT besitzt.

Wir beweisen:
Jedes Paar von Elementen eines ggT-Ringes besitzt ein kgV.

Dazu brauchen wir einige Hilfssätze, die in Algebra-Vorlesungen üblicherweise für faktorielle Ringe bewiesen werden, deren Beweis aber nur die Existenz von ggTs voraussetzt.

fed-Code einblenden

Zum Beweis unserer Aussage.

fed-Code einblenden

Quelle: Die von Irrlicht entdeckte Lösung einer Abschlussklausur:
spot.colorado.edu/~szendrei/Alg_F04/fin-sol.pdf Aufgabe 6.
(Danke dafür, Irrlicht. Ich hab lange vergeblich gesucht.)

Jetzt interessiert mich noch der Zusammenhang zwischen ggT-Ringen (wo ggTs endlicher Teilmengen existieren) und "unendliche-ggT"-Ringen (wo ggTs beliebiger Teilmengen existieren).

Gruss,
SirJective



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-21 20:28


Hi Sir jective,

Wow- das muss ich auch erstmal alles durchlesen
und durcharbeiten...

Ist den der "alte Beweis" hinfällig? oder ist der genauso gültig??

Da habe ich wohl mächtig Sand aufgewirbelt....

Schön wenn ich interesse an etwas geweckt habe!!!

Ich bleibe weiter am Ball...

Gruß N.



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2005-03-21 20:33


Hi Christian,
 
ich kam mit diesen ganzen Strichen total durcheinander, also ich deinen Beweis gelesen habe. Ich habe ihn daher vereinacht:
  
fed-Code einblenden
 
Mit Brüchen darf man ja in Integritätsringen arbeiten, solange der Nenner den Zähler teilt.   
  
 Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 21.03.2005 20:44:42 ]



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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2005-03-21 20:58


Hallo Niels,

der "alte Beweis" ist genauso gültig, benötigt aber eine stärkere Voraussetzung: Dort wird verlangt, dass jede (auch unendliche) Teilmenge ein ggT besitzt.

In unserem ggT-Ring verlangen wir aber nur, dass für jede zweielementige Menge ein ggT existiert, woraus die Existenz für jede endliche Teilmenge folgt. Die Frage nach dem Zusammenhang zur Existenz des ggT für unendliche Teilmengen bleibt noch offen.

In einem ggT-Ring gilt aber, dass kgV(a,b) der ggT aller gemeinsamer Vielfachen von a und b ist - die Existenz dieses ggT ist hier aber nicht vorausgesetzt, sondern folgt aus der Existenz von kgV(a,b).

Wenn man umgekehrt beweisen möchte, dass zwei Elemente a,b kein kgV besitzen, dann kann man versuchen, zwei gemeinsame Vielfache x,y zu finden, so dass kein gemeinsamer Teiler von x,y ein gemeinsames Vielfaches von a,b ist (wie gesagt wäre das kgV von a,b stets ein gemeinsamer Teiler von x,y). In dem von mir gefundenen Beispiel konnte man aber leichter über die Formel gehen, die ggT und kgV verbindet.

Martin,
danke für die Vereinfachung des Beweises - ich hatte ihn fast 1:1 aus der Quelle übernommen.

Gruss,
SirJective



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2005-03-22 21:18


Hi alle,
ich greife mal diesen Beitrag auf:
2005-03-13 21:11: SirJective schreibt:
Meine Behauptung ist folgende:
Wenn kgV(a,b) existiert, dann existiert auch ggT(a,b) ...

Das läßt sich mit großer Mühe tatsächlich beweisen.
Ohne eine intuitive Spürnase ist da nichts zu machen.
Aber der Tip ist Gold wert!
Ohne Aufstellung dieser Behauptung hätte ich den Beweis nicht gesucht
und also auch nicht finden können, der so geht (der Ring sei nullteilerfrei):
fed-Code einblenden
SirJective hat als Gegenstück zu dem Satz
"Wenn kgV(a,b) existiert, dann existiert auch ggT(a,b)"
noch hier (im selben Thread, nur ganz am Anfang) noch dieses angegeben:
"Wenn ggT(a,b) immer existiert, dann existiert auch kgV(a,b) immer".
Dieser Rollentausch von ggT und kgV ist sehr bemerkenswert, ein hübsches logisches Spielchen.
fed-Code einblenden
Eine überzeugende Demonstration, daß man logische Ausdrücke, auch und besonders solche mit All- und Existenzoperatoren (Quantoren) richtig klammern muß, sonst könnte ein anderer als der beabsichtigte oder gar kein Sinn entstehen!

Aus dem ersten Satz folgt die Umkehrung des zweiten Satzes.
Aber der erste Satz kann nicht umgekehrt werden, das wollte wohl SirJective sagen, und man darf gespannt sein, ob jemand dafür ein Beispiel bringen kann, sorry, wenn ich ein schon vorhandenes übersehen habe.
Gruß Buri


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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2005-03-22 21:35


Hallo Buri,

ja, du hast einiges verpasst :)

Ich hatte bereits bewiesen, dass aus "einem kgV" das ggT folgt, und dass aus "alle ggTs" die kgVs folgen.
Auch hab ich ein Beispiel angegeben, wo ein ggT aber kein kgV zweier Elemente existiert.

Inzwischen hab ich sogar ein einfacheres Beispiel:

R = Z[sqrt(-3)]
a = 1 + sqrt(-3)
b = 1 - sqrt(-3)

Dann sind a, b, 2 irreduzibel, aber wegen a*b = 2*2 nicht prim.

Es ist ggT(a,2) = 1, aber kgV(a,2) existiert nicht, denn wenn er existierte, müsste er gleich 2*a sein (folgt aus der Formel kgV(x,y)*ggT(x,y)=x*y, falls das kgV existiert), aber das gemeinsame Vielfache 4 ist kein Vielfaches von 2*a.

Gruss,
SirJective



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2005-03-22 22:02


Hi Buri,
 
interessant  Mit
 
Das läßt sich mit großer Mühe tatsächlich beweisen.
Ohne eine intuitive Spürnase ist da nichts zu machen.

 
bin ich aber nicht einverstanden. Der Beweis lässt sich nämlich wieder vereinfachen:
 
fed-Code einblenden
 
 Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 22.03.2005 22:06:01 ]



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-22 22:31


Jungs, ihr seit Megaspitze!!!

Ich muss mir aber erstmal ein Überblick
über die letzten 3 Beiträge verschaffen....

dist gar nicht so einfach- aber das
Thema ist sehr interessant und die Ergebnisse
sind erstaunlich- verblüffend....

Aber alleine auf die Idee und diese Beweise zu
kommen- das hätte ich nie im Leben geschafft...

Also ich studiere eure Beiträge erstmal wieder um überhaupt
mitkommen zu können....

Danke nochmal allen!!!

Gruß Niels



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2005-03-22 22:45


Hi alle,
wenn man sich davon überzeugen will, daß Ringtheorie schwierig ist, schaut man sich diese anspruchsvollen Übungsaufgaben an.
Besonders Aufgabe 9 läßt mir kalte Schauer den Rücken hinunterlaufen:
Show that k[x1,x2,...] is a non-Noetherian UFD. Be careful here. The Noetherian issue is trivial, but the UFD part is not. For example what are the irreducibles? Does a polynomial which is irreducible in k[x1,...,xn] remain irreducible in k[x1,x2,...]?
Bedenkenlos würde ich auf die letzte Frage "ja" antworten, tappe ich hiermit in die ausgelegte Falle, oder ist die Antwort richtig?
Hmm, wie dem auch sei, schaut mal in diese Seite hinein!
Gruß Buri


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2005-03-22 23:33


Hallo Buri.

Das ist eine andere Aufgabe, und sollte in einem anderen Thread diskutiert werden ;)



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-23 08:39


Hallo alle,

gibt es sonst noch was zum ggT und KgV zu sagen??

mich würde interessieren, ob man irgendwie schon am Ring selbst
erkennen kann ob ggT und KgV existieren.

Die beiden "Sätze" sind ja nur Existenzaussagen- aber gibt es
eine art Charakterisierung (außer den bekannten, PFZ, Ideale...)
so das ich sofort erkennen kann ob ich die Existenz haben.

So muss ich ich ja erstmal zeigen das es ein ggt oder ein KgV gibt....

Gruß N.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2005-03-23 10:01


Hi Niels,
eine ziemlich umfassende Darstellung der verschiedenen Ring-Arten findest du hier. Dort steht (alle Ringe sind nullteilerfrei mit 1, also Integritätsbereiche):
Euklidischer Ring ----> Hauptidealring ----> Bézout-Ring
                             |                    |
                             V                    V
                           ZPE-Ring    ----> ggT-Ring
                                                  |
                                                  V
                                             Schreier-Ring

Ein Bézout-Ring ist dasselbe wie ein Ring, in dem (nach dem Buch von Lugowski / Weinert, Grundzüge der Algebra, Teil II) der "Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler gilt", das ist ein Ring, in dem ggT(a,b) existiert und in der Form p * a + q * b dargestellt werden kann.
Ein Schreier-Ring ist ein Ring, der ganzabgeschlossen über seinem Quotientenkörper ist, das bedeutet, aus
fed-Code einblenden
und in dem jeder Teiler c von a * b als c = p * q mit p | a und q | b dargestellt werden kann.
In jedem Schreier-Ring sind alle irreduziblen Elemente p (p ungleich 0 und keine Einheit, und aus p = a * b folgt p | a oder p | b) Primelemente (p ungleich 0 und keine Einheit, und aus p | a * b folgt p | a oder p | b). Diese Aussage macht von der Ganzabgeschlossenheit des Schreier-Rings keinen Gebrauch, gilt also auch ohne diese (Prä-Schreier-Ringe).
Gruß Buri


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Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-23 16:50


Hi Buri,

das "Diagramm" finde ich Klasse.
So versteht man die Zusammenhänge

Allerdings von Schreiner Ringen etc. habe
ich vorher noch nie was gehört...

naja ich werde wohl mir ordenlich Literatur besorgen müssen.

Lugowski wurde aber wohl schon ausgemustert- jedenfalls ist das schwer
zu bekommen- das Buch ist ja von 1957...

Das finde ich wohl nur im Antiquariat...ich schau da mal nach...
biem ZVAB...

Aber vielen Dank für die Zusammenfassung.

Gruß Niels




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SirJective
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2005-03-25 11:48


Hallo zusammen,

während meiner Untersuchungen dieses Themenkomplexes bin ich auf folgende, oben schon erwähnte, Frage gestoßen:

In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente einen ggT, und damit auch jede endliche Teilmenge.

Besitzt in einem ggT-Ring auch jede unendliche Teilmenge einen ggT?
Oder gibt es einen ggT-Ring, der eine unendliche Teilmenge ohne ggT hat?


Ich denke schon seit ein paar Tagen ergebnislos darüber nach.

Gruss,
SirJective



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-25 11:58


Hi Sir Jective,

das ist eine sehr interessante und gute Frage.

Leider kann ich dazu nicht viel sagen, so "tief" wie wir hier den
Dingen bisher auf den Grund gegangen sind, geht kaum ein herkömliches (lineare) Algebra Buch....

Aber ich beobachte das Thema weiter und werde noch nichts abhacken...

vielleicht hat ja jemand dazu eine Idee.

Gruß Niels



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Niels
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-29 12:47


Hallo Buri,

ich habe mir jetzt mal den Lugowski Weinert
aus der UB besorgt.

Von Schreier Ringen habe ich dadrin aber nichts
gelesen- der Bégriff stammt wohl aus einem anderen Buch oder??

Gruß N.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.71, eingetragen 2005-03-29 16:49


Hi Niels,
ja. Dem Buch habe ich ausschließlich den Begriff "Ring, in dem der Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler gilt" entnommen. Daß diese Ringe auch Bézout-Ringe heißen und daß sie Schreier-Ringe sind (einschließlich der Definition dieses Begriffes, der auch mir neu war), habe ich der Enzyklopädie von PlanetMath.org entnommen, siehe den angegebenen Link.
Gruß Buri


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[ Nachricht wurde editiert von Buri am 23.11.2006 20:32:43 ]



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