Stern Mathematik: Die Jordan-Normalform
Released by matroid on So. 29. Oktober 2006 18:13:40 [Statistics]
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Lineare Algebra

\(\begingroup\) BildDas Theorem über die Jordan-Normalform ist wohl eines der schwierigsten der elementaren Linearen Algebra. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Existenz und Eindeutigkeit dieser eleganten Normalform zu beweisen. Da wäre zum Beispiel jene Methode, die den Zerlegungssatz endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen benutzt. In diesem Artikel will ich aber einen anderen Weg gehen, nämlich einen des geringsten Widerstandes. Dieser Weg ist elementarer als der über die Modultheorie und ist überdies konstruktiv. Es werden nur elementare Resultate aus der Linearen Algebra vorausgesetzt. Viel Spass beim Lesen... EDIT (Juni 2012): Da nun doch so manch einer hierher findet, habe ich eine pdf angehängt, wo der Inhalt kurz und knapp, aber überarbeitet, dargestellt ist. Neben wesentlich besserem Layout gibt es dort genauere Referenzen, einen eleganteren Beweis zu Satz 1 und einen strukturierteren zu Satz 3 (näher an der Referenz).

Schritt 1: Hauptraumzerlegung

Im folgenden sei K stets ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Satz 1: Es seien f,h,g\el K[T] mit ggt(h,g)=1 und f=gh. Weiter sei \alpha:V->V ein Endomorphismus. Es gilt: ker f(\alpha)=ker g(\alpha)\oplus ker h(\alpha). Beweis: \stress(1)\normal Zuerst zeigen wir U:=ker g(\alpha)\cap ker h(\alpha)={0}. Ist u\el U, so folgt g(\alpha)(u)=0 und weiter 0=\alpha(g(\alpha)(u))=g(\alpha)(\alpha(u)), also \alpha(u)\el ker g(\alpha). Analog zeigt man \alpha(u)\el ker h(\alpha), womit \alpha(U)\subset U gezeigt ist. Sei \beta:U->U die Einschränkung von \alpha auf U, dann gilt g(\beta)=0=h(\beta) und das Minimalpolynom von \beta teilt g und h, muss also schon konstant sein wegen ggt(h,g)=1. Es folgt notwendig U={0}. \stress(2)\normal Es gilt ker g(\alpha)\subset W:=ker f(\alpha). Ist nämlich v\el V mit g(\alpha)(v)=0 so folgt f(\alpha)(v)=g(\alpha)(h(\alpha)(v))=h(\alpha)(g(\alpha)(v))=0. Analog folgt ker h(\alpha)\subset W. \stress(3)\normal Wie in (1) zeigt man \alpha(W)\subset W. Ist \gamma:W->W die Einschränkung von \alpha auf W, so gilt ker g(\gamma)=ker g(\alpha)\cap W=ker g(\alpha), wobei (2) benutzt wurde. Analog folgt ker h(\gamma)=ker h(\alpha). \stress(4)\normal Es gilt f(\gamma)=0 und damit im g(\gamma)\subset ker h(\gamma). Ist nämlich w\el W so folgt h(\gamma)(g(\gamma)(w))=f(\gamma)(w)=0. \stress(5)\normal Nach einer Dimensionsformel gilt dim ker g(\gamma)+dim im g(\gamma)=dim W. \stress(6)\normal Nach (3) und (2) gilt ker g(\gamma)+ker h(\gamma)\subset W und zusätzlich nach (1) auch ker g(\gamma)\cap ker h(\gamma)={0}. Insbesondere gilt nach letzter Gleichung dim(ker g(\gamma)+ker h(\gamma))=dim ker g(\gamma)+dim ker h(\gamma)>=dim ker g(\gamma)+dim im g(\gamma)=dim W, wobei (4) und (5) verwendet wurde. Es folgt also ker g(\gamma)\oplus ker h(\gamma)=W und wieder mit (3) die Behauptung des Satzes. \bigbox Sei nun \alpha:V->V ein Endomorphismus, dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, etwa (T-\lambda_1)^(c_1)...(T-\lambda_r)^(c_r) mit paarweise verschiedenen \lambda_1,...,\lambda_r\el K. Mit dem Satz von Cayley-Hamilton und Satz 1 kann man nun induktiv zeigen: V=ker(\alpha-\lambda_1 id_V)^(c_1)\oplus...\oplus ker(\alpha-\lambda_r id_V)^(c_r) Dies ist die Hauptraumzerlegung. Die auftretenden Summanden nennen wir die Haupträume von \alpha und bezeichnen sie mit H(\alpha,\lambda_i), i=1,...,r. In dieser Situation gilt die Bemerkung 2: Für alle i=1,...,r gilt \alpha(H(\alpha,\lambda_i))\subset H(\alpha,\lambda_i) und die Einschränkung \beta:H(\alpha,\lambda_i)->H(\alpha,\lambda_i) von \alpha-\lambda_i id_V auf H(\alpha,\lambda_i) ist nilpotent. Beweis: \Für ein v\el H(\alpha,\lambda_i) gilt (\alpha-\lambda_i id_V)^(c_i)(\alpha(v))=\alpha((\alpha-\lambda_i id_V)^(c_i)(v))=0. Weiter gilt nach Definition \beta^(c_i)=0. \bigbox

Schritt 2: Zerlegung nilpotenter Endomorphismen

Satz 3: Sei \alpha:V->V ein nilpotenter Endomorphismus und d=min{l:\alpha^l=0}. Dann gibt es Zahlen s_1,...,s_d\el\IN_0 mit ds_d+(d-1)s_(d-1)+...+s_1=dim V und eine Basis von V bezüglich derer die Darstellungsmatrix von \alpha die Form (J_d,,,,,,,,,;,\ddots,,,,,,,,;,,J_d,,,,,,,;,,,J_(d-1),,,,,,;,,,,\ddots,,,,,;,,,,,J_(d-1),,,,;,,,,,,\ddots,,,;,,,,,,,J_1,,;,,,,,,,,\ddots,;,,,,,,,,,J_1) hat, wobei J_i jeweils s_i-mal vorkommt und eine Matrix der Form (0,1,,;,\ddots,\ddots,;,,\ddots,1;,,,0)\el K^(i\cross i) ist. Beweis: Definiere U_l=ker \alpha^l und betrachte die Kette {0}=U_0\subset U_1\subset...\subset U_d=V \stress(1)\normal Für 1<=l<=d ist \alpha(U_l)\subset U_(l-1). Ist nämlich v\el U_l, so gilt \alpha^(l-1)(\alpha(v))=\alpha^l(v)=0. \stress(2)\normal Ist W ein Untervektorraum mit W\cap U_l={0} für ein l>0, so ist \alpha\|W:W->V injektiv. Es gilt nämlich ker \alpha\|W=W\cap ker \alpha=U_1\cap W\subset U_l\cap W={0}. \stress(3)\normal Betrachte nun eine Basis von U_(d-1) und ergänze diese mithilfe der Vektoren w_1^d,...,w_(s_d)^d zu einer Basis von V. Man hat dann die Zerlegung V=U_d=U_(d-1)\oplus W_d mit W_d= . Aus (1) folgt nun \alpha(W_d)\subset U_(d-1). Weiter gilt \alpha(W_d)\cap U_(d-2)={0}. Ist nämlich v\el \alpha(W_d)\cap U_(d-2), so gilt \alpha^(d-2)(v)=0 und v=\alpha(w) mit w\el W_d. Es folgt dann 0=\alpha^(d-2)(\alpha(w))=\alpha^(d-1)(w), also w\el U_(d-1) und damit w=0 sowie v=0. Nach (2) ist (\alpha(w_1^d),...,\alpha(w_(s_d)^d)) eine Basis von \alpha(W_d)\subset U_(d-1). Hat man eine Basis (u_1,...,u_r) von U_(d-2)\subset U_(d-1) gegeben, so ist (u_1,...,u_r, \alpha(w_1^d),...,\alpha(w_(s_d)^d)) weiterhin linear unabhängig. Diese ergänze man mithilfe der Vektoren w_1^(d-1),...,w_(s_(d-1))^(d-1) zu einer Basis von U_(d-1). Man hat dann die Zerlegung U_(d-1)=U_(d-2)\oplus W_(d-1) mit W_(d-1)= <\alpha(w_1^d),...,\alpha(w_(s_d)^d), w_1^(d-1),...,w_(s_(d-1))^(d-1)>. So fortfahrend erhält man nach endlich vielen Schritten eine Zerlegung V=W_1\oplus...\oplus W_d und eine Basis von -> W_d: w_1^d,...,w_(s_d)^d -> W_(d-1): \alpha(w_1^d),...,\alpha(w_(s_d)^d), w_1^(d-1),...,w_(s_(d-1))^(d-1) -> ... -> W_1: \alpha^(d-1)(w_1^d),...,\alpha^(d-1)(w_(s_d)^d), \alpha^(d-2)(w_1^(d-1)),...,\alpha^(d-2)(w_(s_(d-1))^(d-1)),..., w_1^1,...,w_(s_1)^1 Hieraus bilde man die gewünschte Basis von V folgendermaßen: 1. Basisvektor von W_1, 1. Basisvektor von W_2,..., 1. Basisvektor von W_d, 2.Basisvektor von W_1,..., 2. Basisvektor von W_1,... Man beachte hierbei \alpha(W_1)\subset U_0={0}. \bigbox Sicherlich gibt es noch kürzere Beweise, dieser hat aber den entscheidenden Vorteil, dass er sogar für die gesuchte Basis konstruktiv ist. Dies ist wichtig für Anwendungen, etwa dem Lösen linearer Differentialgleichungen.

Schritt 3: Jordan-Normalform

Satz 4: Sei \alpha:V->V ein Endomorphismus, dessen char. Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt. Dann gibt es eine Basis von V bezüglich derer die Darstellungsmatrix von \alpha die Form (A_1,,;,\ddots,;,,A_l) hat. Dabei sind die A_i Matrizen von der Form (\lambda,1,,;,\ddots,\ddots,;,,\ddots,1;,,,\lambda) wobei \lambda ein Eigenwert von \alpha ist. Beweis: Nach Satz 1 hat man V=H(\alpha,\lambda_1)\oplus...\oplus H(\alpha,\lambda_r). Wir betrachten ein i\el{1,...,r}. Nach Bemerkung 2 ist \beta:=(\alpha-\lambda_i id_V)\|H(\alpha,\lambda_i):H(\alpha,\lambda_i)->H(\alpha,\lambda_i) nilpotent. Nach Satz 3 lässt sich in H(\alpha,\lambda_i) eine Basis finden bezüglich derer die Darstellungsmatrix N von \beta die dort beschriebene Form hat. Die Darstellungsmatrix von \alpha\|H(\alpha,\lambda_i):H(\alpha,\lambda_i)->H(\alpha,\lambda_i) bezüglich dieser Basis ist dann von der Form \lambda_i E+N, wobei E eine Einheitsmatrix von passender Größe ist. Man setze dann die gefundenen Basen der Haupträume zu einer Basis von V zusammen, woraus die Behauptung folgt. \bigbox Nochmal sei erwähnt, das dieser Beweis konstruktiv ist. Man muss von einer Matrix A\el K^(n\cross n) (d.h. von einem Endomorphismus \alpha:K^n->K^n mit x\mapsto Ax) mit zerfallendem char. Polynom nur die Haupträume berechnen und an den Einschränkungen auf die Haupträume das Verfahren von Satz 3 anwenden. Vollständigkeitshalber geben wir noch folgende Formeln an (ohne Beweis, Notation aus Satz 4): -> Anzahl der A_i mit Eigenwert \lambda auf der Diagonalen = dim ker(\alpha-\lambda id_V) -> Anzahl der A_i mit Eigenwert \lambda auf der Diagonalen und m Spalten bzw. Zeilen = 2dim ker(\alpha-\lambda id_V)^m-dim ker(\alpha-\lambda id_V)^(m+1)-dim ker(\alpha-\lambda id_V)^(m-1) Hieraus folgt dann auch die Eindeutigkeit der Jordan-Normalform bis auf Reihenfolge der A_i

Anmerkung zum Satz von Cayley Hamilton

Das einzige nicht ganz elementare Hilfsmittel dieses Verfahrens ist der Satz von Cayley-Hamilton. Aber auch für diesen Satz gibt es ganz elementare und elegante Beweise. Alternativ könnte man aber auch so Verfahren: Man beweise Satz 1 und zeige diesmal mithilfe des Minimalpolynoms - statt des charakteristischen - eine ähnliche Zerlegung von V wie oben. Die Summanden sind in diesem Fall formal andere, in Wirklichkeit sind sie aber dieselben \alpha-invarianten Unterräume, nämlich die oben definierten Haupträume oder in der Sprache der Moduln die Untermoduln der p-Torsion. In Bemerkung 2 muss man nun etwas mehr Beweisaufwand stecken. Der Beweis ist aber immer noch sehr elementar. Satz 3 wird übernommen und Satz 4 analog bewiesen. Mit letztem lässt sich nun ganz einfach der Satz von Cayley-Hamilton beweisen, womit sich der Kreis wieder schließt. Wegen der Äquivalenz zwischen lin. Abbildungen und Matrizen reicht es nämlich diesen für Matrizen zu beweisen. Weiter reicht es nach Satz 4 jenen für Matrizen in Jordanform zu beweisen; man braucht dazu die algebraische Abgeschlossenheit von K, dies ist aber o.E. wegen der Existenz eines algebraischen Abschlusses eines jeden Körpers. In diesem Fall lässt sich \chi_A(A) aber direkt (\!) zu 0 berechnen (\chi_A das charakteristische Polynom von A).
Quellen: Satz 1 findet man auch in http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/home/UebungSS06/LinAlgII.pdf Satz 3 findet man auch in Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg
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: Lineare Algebra :: Matrizen :: Grundstudium Mathematik :
Die Jordan-Normalform [von calabi-yau]  
Elementar gehaltener Artikel über selbige inklusive eines konstruktiven Beweis' ihrer Existenz.
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"Stern Mathematik: Die Jordan-Normalform" | 3 Comments
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Re: Die Jordan-Normalform
von: calabi-yau am: Mo. 30. Oktober 2006 19:40:21
\(\begingroup\)Eine kleine Anmerkung: Falls jemand den obigen Satz 1 schon mal in irgend einem Buch gesehen hat, bitte mir mitteilen. Entweder per pm hier auf dem matheplaneten, oder an -gelöscht- Danke... Edit: Einen wesentlich eleganteren Beweis von Satz 1 findet man in Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie\(\endgroup\)
 

Re: Die Jordan-Normalform
von: isotomion am: Di. 05. Dezember 2006 21:16:40
\(\begingroup\)Ein Franzose hat mal Satz 1 als "Kernel lemma" erwähnt... Mehr weiß ich nicht. Grüße, Darij\(\endgroup\)
 

Re: Die Jordan-Normalform
von: dude1662 am: Do. 02. Mai 2019 00:34:48
\(\begingroup\)Hi, in der PDF im Anhang auf Seite 3 wurde gezeigt, dass Wi n Ui-1= 0 aber ein paar Zeilen weiter unten verwendet Wi n Ui = 0 Entweder es war ein Tippfehler und es sollte eigentlich Wi n Ui-1 = 0 da stehen oder ich habe etwas drastisch falsch verstanden.\(\endgroup\)
 

 
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