 \(\begingroup\)
Gruppenzwang XI Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe.
Nachdem wir im letzten Artikel schon allerlei Interessantes über Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte erfahren haben, möchte ich dieses Mal über noch Interessanteres über Gruppenerweiterungen und so genannte Kranzprodukte schreiben.
Im letzten Artikel haben wir den Satz von Schur-Zassenhaus als Highlight gehabt, dieses Mal möchte ich mit Hilfe von Kranzprodukten die Sylowgruppen aller endlichen, symmetrischen und aller endlichen, allgemeinen linearen Gruppen klassifizieren.
Inhalt
1.) Äquivalenz von Gruppenerweiterungen
2.) Kranzprodukte
3.) Satz von Kaloujnine-Krasner
4.) Die Sylowgruppen von Sn
5.) Die Sylowgruppen von GL(n,q)
Äquivalenz von Gruppenerweiterungen
Im letzten Artikel haben wir schon kennengelernt, was Gruppenerweiterungen sind und einen kleinen Einblick gewonnen, warum sie so eine große Rolle spielen. Unter anderem wurde das Problem der Klassifizierung aller Gruppenerweiterungen angesprochen.
Genau wie bei so vielen anderen Strukturen ist man natürlich nur an den wesentlichen Eigenschaften einer Gruppenerweiterung interessiert und definiert daher den Begriff der Äquivalenz:
\geo
ebene(450,150)
x(0,4.5)
y(0.5,2)
noaxis()
replace() nolabel() punktform(.)
konst(k,0.1) konst(kk,0.25)
makro(pfeil,\
konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\
konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\
konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\
konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\
konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\
konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\
p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\
f(p2,p3,p4,black))
print(1,0,2) print(N,0.8,2) print(G,2,2) print(Q,3.2,2) print(1,4,2)
print(1,0,1) print(N,0.8,1) print(G^-,2,1) print(Q,3.2,1) print(1,4,1)
# Pfeile in den Zeilen
pfeil(0.1,0.93,0.7,0.93) pfeil(0.9,0.93,1.9,0.93) pfeil(2.1,0.93,3.1,0.93) pfeil(3.3,0.93,3.9,0.93)
pfeil(0.1,1.93,0.7,1.93) pfeil(0.9,1.93,1.9,1.93) pfeil(2.1,1.93,3.1,1.93) pfeil(3.3,1.93,3.9,1.93)
# Pfeile in den Spalten id,alpha und id
pfeil(0.8,1.8,0.8,1.05) pfeil(2,1.8,2,1.05) pfeil(3.2,1.8,3.2,1.05)
print(\e,1.45,1.9) print(\x,2.4,1.9)
print(\e^-,1.45,0.9) print(\x^-,2.4,0.9)
print(id,0.85,1.55) print(\a,1.9,1.55) print(id,3.3,1.55)
\geooff
Zwei Gruppenerweiterungen array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) und array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-\normal) G^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-\normal) Q->1) von Q mit N heißen \darkblue\ äquivalent__\black||, wenn es einen Homomorphimus \a:G->G^- gibt, sodass \a\circ\e=\e^- und \xi=\xi^-\circ\alpha gilt, d.h. dass das folgende Diagramm kommutiert:
\geoprint()
Was "Äquivalenz" heißt, sollte auch eine sein. Prüfen wir das also nach. Zunächst ein kleiner Schlenker:
\darkred\ll(1.1)Sind zwei Erweiterungen durch \a äquivalent, so ist \a ein Isomorphismus
\blue\ Beweis:
\a ist injektiv, denn wegen \xi=\xi^-\circ\a muss ker(\a)\subseteq\e(N) sein und wegen \a\circ\e=\e^- folgt daraus, dass ker(\a)={1} ist.
Wegen \xi=\xi^-\circ\a liegt in im(\a) ein vollständiges Repräsentantensystem der Nebenklassen von \e^-(N). Außerdem liegt \e^-(N) selbst in im(\a). Beides zusammen erzeugt bereits ganz G^-, also ist \a auch surjektiv.
\blue\ q.e.d.
Umgekehrt gilt dies übrigens nicht. Auch wenn G und G^- isomorph sind, müssen die Erweiterungen nicht äquivalent sein.
\geo
ebene(450,150)
x(0,4.5)
y(0.5,2)
noaxis()
replace() nolabel() punktform(.)
konst(k,0.1) konst(kk,0.25)
makro(pfeil,\
konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\
konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\
konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\
konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\
konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\
konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\
p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\
f(p2,p3,p4,black))
print(1,0,2) print(N,0.8,2) print(G,2,2) print(Q,3.2,2) print(1,4,2)
print(1,0,1) print(N,0.8,1) print(G^-,2,1) print(Q,3.2,1) print(1,4,1)
# Pfeile in den Zeilen
pfeil(0.1,0.93,0.7,0.93) pfeil(0.9,0.93,1.9,0.93) pfeil(2.1,0.93,3.1,0.93) pfeil(3.3,0.93,3.9,0.93)
pfeil(0.1,1.93,0.7,1.93) pfeil(0.9,1.93,1.9,1.93) pfeil(2.1,1.93,3.1,1.93) pfeil(3.3,1.93,3.9,1.93)
# Pfeile in den Spalten id,alpha und id
pfeil(0.8,1.05,0.8,1.8) pfeil(2,1.05,2,1.8) pfeil(3.2,1.05,3.2,1.8)
print(\e,1.45,1.9) print(\x,2.4,1.9)
print(\e^-,1.45,0.9) print(\x^-,2.4,0.9)
print(id,0.85,1.55) print(\a^(-1),1.7,1.55) print(id,3.3,1.55)
\geooff
Jetzt können wir beweisen, dass wir wirklich von einer Äquivalenzrelation reden:
\darkred\ll(1.2)"Äquivalenz von Gruppenerweiterungen" ist eine Äquivalenzrelation.
\blue\ Beweis:
Für die Symmetrie kann man offenbar \a=id wählen.
geoprint()
Sind array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) und array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-\normal) G^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-\normal) Q->1) durch \a äquivalent, so sind offenbar array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-\normal) G^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-\normal) Q->1) und array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) durch \a^(-1) äquivalent.
\geo
ebene(450,250)
x(0,4.5)
y(-0.5,2)
noaxis()
replace() nolabel() punktform(.)
konst(k,0.1) konst(kk,0.25)
makro(pfeil,\
konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\
konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\
konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\
konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\
konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\
konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\
p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\
f(p2,p3,p4,black))
print(1,0,2) print(N,0.8,2) print(G,2,2) print(Q,3.2,2) print(1,4,2)
print(1,0,1) print(N,0.8,1) print(G^-,2,1) print(Q,3.2,1) print(1,4,1)
print(1,0,0) print(N,0.8,1) print(G^-^-,2,0) print(Q,3.2,0) print(1,4,0)
# Pfeile in den Zeilen
pfeil(0.1,-.07,0.7,-.07) pfeil(0.9,-.07,1.9,-.07) pfeil(2.1,-.07,3.1,-.07) pfeil(3.3,-.07,3.9,-.07)
pfeil(0.1,0.93,0.7,0.93) pfeil(0.9,0.93,1.9,0.93) pfeil(2.1,0.93,3.1,0.93) pfeil(3.3,0.93,3.9,0.93)
pfeil(0.1,1.93,0.7,1.93) pfeil(0.9,1.93,1.9,1.93) pfeil(2.1,1.93,3.1,1.93) pfeil(3.3,1.93,3.9,1.93)
# Pfeile in den Spalten id,alpha und id
pfeil(0.8,1.8,0.8,1.05) pfeil(2,1.8,2,1.05) pfeil(3.2,1.8,3.2,1.05)
pfeil(0.8,0.8,0.8,0.05) pfeil(2,0.8,2,0.05) pfeil(3.2,0.8,3.2,0.05)
print(\e,1.45,1.9) print(\x,2.4,1.9)
print(\e^-,1.45,0.9) print(\x^-,2.4,0.9)
print(\e^-^-,1.45,-.1) print(\x^-^-,2.4,-.1)
print(id,0.85,1.55) print(\a,1.9,1.55) print(id,3.3,1.55)
print(id,0.85,0.55) print(\b,1.9,0.55) print(id,3.3,0.55)
\geooff
\geoprint()
Ist array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) durch \a äquivalent zu array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-\normal) G^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-\normal) Q->1) und dieses durch \b äquivalent zu array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-^-\normal) G^-^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-^-\normal) Q->1), so sind array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) und array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-^-\normal) G^-^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-^-\normal) Q->1) äquivalent durch \b\circ\a.
\blue\ q.e.d.
Kranzprodukte
Wir werden in diesem Artikel eine spezielle Unterart von semidirekten Produkten verwenden, die sich als besonders nützlich herausgestellt hat: Die so genannten Kranzprodukte.
makro(up,array(\small\ %1;$\normal))
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
Sind zwei Gruppen G und H gegeben, wobei H auf \Omega operiert, so ist dadurch eine Operation von H auf G^\Omega, der Menge der Abbildung \Omega->G, wie folgt induziert:
\forall\omega\el\Omega, f\el\ G^\Omega: (up(h)f)(\omega):=f(up(h^(-1))\omega)
G^\Omega ist eine auf natürliche Weise eine Gruppe, wenn man die Gruppenverknüpfung punktweise definiert. Das Produkt der Abbildungen f*f' ist also gegeben durch (f*f')(\omega):=f(\omega)*f'(\omega).
Man rechnet leicht nach, dass f\mapsto\ up(h)f ein Automorphismus von G^\Omega ist, d.h. dass up(h)(f_1*f_2)=up(h)\.f_1*up(h)\.f_2 für alle h\el\ H und alle f_1, f_2\el\ G^\Omega gilt \(bijektiv ist die Abbildung ja sowieso\).
Das \darkblue\ array(Kranzprodukt von G und H bezüglich \Omega)__\black ist nun definiert als das semidirekte Produkt G^\Omega\ltimes\ H bezüglich eben jener Operation.
Notieren werde ich dieses Kranzprodukt in diesem Artikel mit wr(G,H,\Omega). \calW stammt dabei vom englischen Ausdruck "wreath product".
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
Wichtige Spezialfälle für Kranzprodukt sind die Gruppen wr(G,H,H), wobei H auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, und wr(G,S_n,menge(1,..,n)) zusammen mit der kanonischen Operation von S_n auf menge(1,..,n).
Eine unangenehme Sache ist hierbei, dass jeder dieser Spezialfälle auch bei einigen Autoren direkt als Definition genommen wird. Was also so oft gilt, gilt auch hier: Vorsicht mit den Begriffen, man sollte sich immer vergewissern, was darunter jeweils verstanden wird.
Wir untersuchen als Nächstes ein paar Eigenschaften des Kranzprodukts:
makro(up,array(\small\ %1;$\normal))
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\darkred\ll(2.1)Seien G und H Gruppen, H operiere auf \Omega. Dann gilt:
\darkred\ll(a)abs(wr(G,H,\Omega))=abs(G)^abs(\Omega)*abs(H)
\darkred\ll(b)Ist U<=G und V<=H, so ist wr(U,V,\Omega)<=wr(G,H,\Omega)
\darkred\ll(c)Operiert G \(treu\/transitiv\) auf \Xi und operiert H \(treu\/transitiv\) auf \Omega, so operiert wr(G,H,\Omega) \(treu\/transitiv\) auf \Xi\cross\Omega durch up((f,h))(\xi,\omega):=(up(f\(^h\.\omega\))\xi, up(h)\omega).
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\blue\ Beweis: trivial bzw. einfach nachzurechnen
Einen Spezialfall von \ref(b) werden wir später extensiv benutzen: Wenn U ein p\-Sylowgruppe der endlichen Gruppe G und V eine p\-Sylowgruppe der endlichen Gruppe H ist, dann ist wr(U,V,\Omega) eine p\-Sylowgruppe von wr(G,H,\Omega), wie man leicht anhand der Ordnungen feststellt.
Kranzprodukte haben durch Teil (c) dieses Lemmas eine sehr enge Verbindung zu Gruppenoperationen und Permutationsgruppen. Wenn man z.B. daran interessiert ist, transitiven Permutationsgruppen eines bestimmten Grades zu finden(z.B. weil man Galoisgruppen berechnen möchte), kann man zunächst diejenigen finden, die primitiv operieren und dann die imprimitiven mit Hilfe eines Kranzproduktes zerlegen.
Der Satz von Kaloujnine-Krasner
Neben der engen Verbindung zu Permutationsgruppen besitzen Kranzprodukte auch eine enge Verbindung zu Gruppenerweiterungen. Sie sind als semidirektes Produkt nicht nur selbst eine spezielle Unterart von Gruppenerweiterungen, es ist umgekehrt nämlich sogar so, dass sich jede Gruppenerweiterung in ein Kranzprodukt einbetten lässt.
Dies ist eine wesentliche Aussage des Satzes von Kaloujnine-Krasner:
makro(up,array(\small\ %1;$\normal)||)
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\darkred\ll(3.1. Satz von Kaloujnine-Krasner)
\darkred\ Ist die Erweiterung array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) gegeben, dann existiert eine Einbettung G\hookrightarrow\ wr(N,Q,Q).
makro(up,array(\small\ %1;$\normal)||)
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\blue\ Beweis:
Sei q_z eine Funktion Q->G mit \x(q_z)=z für alle z\el\ Q. Dann sei \phi2:G->wr(N,Q,Q) definiert durch:
\phi2(g)=(\s_g, \x(g))
wobei \s_g(z):=\e^(-1)(q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z)) für alle z\el\ N definiert sei.
Wir müssen zunächst zeigen, dass die \s_g wirklich Abbildungen Q->N sind. Das ist aber schnell einzusehen, denn es gilt:
\x(q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z))=\x(q_z^(-1))*\x(g)*\x(q_(\x(g)^(-1)\.z))=z^(-1)*\x(g)*\x(g)^(-1)*z=1
=> q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z)\el\e(N)
Wir behaupten, dass \phi2 auch ein Homomorphismus ist. Es ist \phi2(g)\phi2(h)=(\s_g, \x(g))(\s_h, \x(h))=(\s_g*up(\x(g))\s_h, \x(gh)) und \phi2(gh)=(\s_gh, \x(gh)).
Wir haben also die Abbildungen \s_g*up(\x(g))\.\s_h und \s_gh zu vergleichen.
Für alle z\el\ Q gilt:
(\s_g*up(\x(g))\.\s_h)(z)=\s_g(z)*\s_h(\x(g)^(-1)\.z)
=q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z)*g_(\x(g)^(-1)\.z)^(-1)*h*q_(\x(h)^(-1)(\x(g)^(-1)\.z))
=q_z^(-1)*g*h*q_(\x(gh)^(-1)\.z)
=\s_gh(z)
Für die Injektivität zeigen wir Ker(\phi2)={1}. Sei dazu g\el\ Ker(\phi2). Aus \phi2(g)=(\s_g, \x(g))=(1,1) folgt zunächst \x(g)=1.
Aus \s_g=1 folgt 1=\s_g(z)=q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z)=q_z^(-1)*g*q_z für alle \(und weil Q!=\0 somit auch für mindestens ein\) z\el\ Q. => g=1.
\blue\ q.e.d.
Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und sagen, dass die Konjugiertenklasse dieser Einbettung eine Invariante bezüglich Äquivalenz von Gruppenerweiterungen ist:
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\darkred\ll(3.2)Seien zwei Gruppenerweiterungen array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e\normal) G array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x\normal) Q->1) und array(1->N array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\e^-\normal) G^- array(\small$;\normal\textrightarrow;\small\x^-\normal) Q->1) gegeben. Seien weiterhin \phi2 bzw. \phi2^- die Kaloujnine\-Krasner\-Einbettungen in wr(N,Q,Q). Sind dann die beiden Erweiterungen durch \a:G->G^- äquivalent, so sind \phi2(G) und \phi^-(G^-) konjugiert.
\geo
ebene(450,210)
x(0,4.5)
y(0.5,2.6)
noaxis()
replace() nolabel() punktform(.)
konst(k,0.1) konst(kk,0.25)
makro(pfeil,\
konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\
konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\
konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\
konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\
konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\
konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\
p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\
f(p2,p3,p4,black))
print(1,0,2) print(N,0.8,2) print(G,2,2) print(Q,3.2,2) print(1,4,2)
print(1,0,1) print(N,0.8,1) print(G^-,2,1) print(Q,3.2,1) print(1,4,1)
print(\calW_Q(N,Q),2.35,2.6)
print(\calW_Q(N,Q),2.35,1.6)
# Pfeile in den Zeilen
pfeil(0.1,0.93,0.7,0.93) pfeil(0.9,0.93,1.9,0.93) pfeil(2.1,0.93,3.1,0.93) pfeil(3.3,0.93,3.9,0.93)
pfeil(0.1,1.93,0.7,1.93) pfeil(0.9,1.93,1.9,1.93) pfeil(2.1,1.93,3.1,1.93) pfeil(3.3,1.93,3.9,1.93)
# Pfeile in den Spalten id,alpha und id
pfeil(0.8,1.8,0.8,1.05) pfeil(2,1.8,2,1.05) pfeil(3.2,1.8,3.2,1.05)
# Pfeil für alpha^~
pfeil(2.6,2.4,2.6,1.65)
# schräge Pfeile für phi und phi^-
pfeil(2.1,2,2.5,2.4)
pfeil(2.1,1,2.5,1.4)
print(\e,1.45,1.9) print(\x,2.4,1.9)
print(\e^-,1.45,0.9) print(\x^-,2.4,0.9)
print(id,0.85,1.55) print(\a,1.9,1.55) print(id,3.3,1.55)
print(\phi2,2.2,2.3) print(\phi2^-,2.2,1.3)
print(\a^~,2.7,2.25)
\geooff
Man kann sogar noch etwas verschärfen und sagen, dass das folgende Diagramm kommutiert \(wobei \a^~ die Konjugationsabbildung mit dem entsprechenden Element sei\):
\geoprint()
makro(up,array(\small\ %1;$\normal)\.)
makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3)
\blue\ Beweis:
Seien q:Q->G und q^-:Q->G^- Auswahlfunktionen, die \phi2 bzw. \phi2^- induzieren. Seien außerdem \s_g und \s^-_(g^-) die Abbildungen Q->N, die die Kaloujnine\-Krasner\-Einbettung definiert.
Sei nun x:Q->N die Abbildung z\mapsto\e^(-1)(\a^(-1)(q^-_z^(-1))*q_z). Dann gilt für alle g\el\ G:
(x,1)(\s_g, \x(g))(x,1)^(-1)=(x*\s_g, \x(g))(x^(-1),1)
=(x*\s_g*up(\x(g))x^(-1), \x(g))
=(x*\s_g*up(\x(g))x^(-1), \x^-(\a(g)))
Außerdem gilt für alle g\el\ G und alle z\el\ Q:
(x*\s_g*up(\x(g))x^(-1))(z)=x(z)*\s_g(z)*x(\x(g)^(-1)*z)^(-1)
=\e^(-1)(\a^(-1)(q^-_z^(-1))*q_z)*\e^(-1)(q_z^(-1)*g*q_(\x(g)^(-1)\.z))*\e^(-1)(\a^(-1)(q^-_(\x(g)^(-1)\.z)^(-1))*q_(\x(g)^(-1)\.z))^(-1)
=\e^(-1)((\a^(-1)(q^-_z^(-1))\.q_z)*(q_z^(-1)\.g\.q_(\x(g)^(-1)\.z))*(\a^(-1)(q^-_(\x(g)^(-1)\.z)^(-1))\.q_(\x(g)^(-1)\.z))^(-1))
=\e^(-1)(\a^(-1)(q^-_z^(-1))*g*\a^(-1)(q^-_(\x(g)^(-1)\.z))
=(\e^(-1)\circ\a^(-1))(q^-_z^(-1)*\a(g)*q^-_(\x^-(\a(g))^(-1)\.z)
=\e^-^(-1)(q^-_z^(-1)*\a(g)*q^-_(\x^-(\a(g))^(-1)\.z)
=\s^-_(\a(g))(z)
Daher ist (x,1)*\phi2(g)*(x,1)^(-1)=\phi2^-(\alpha(g))
\blue\ q.e.d.
Insbesondere ergibt sich durch Wahl einer anderen Abbildung q für diesselbe Erweiterung nur eine konjugierte Untergruppe in wr(N,Q,Q).
Das Problem, die Gruppenerweiterungen von Q mit N zu klassifizieren ist mit dem Satz von Kaloujnine-Krasner also das Problem, bestimmte Untergruppen im Kranzprodukt von N und Q zu bestimmen.
Die Sylowgruppen von Sn
Neben der Anwendung in "abgehobenen" Bereichen der Gruppentheorie treten Kranzprodukte auch in sehr viel einfacheren Fragestellungen schon auf. Durch die oben angesprochene enge Verbindung von Kranzprodukten und Gruppenoperationen ist es uns z.B. möglich, die p-Sylowgruppen der Sn mit Hilfe von Kranzprodukten vollständig zu bestimmen.
Zunächst führen wir einige Bezeichnungen ein:
Es sei für diesen und den nächsten Abschnitt \pi_r die Abbildung, die einer natürlichen Zahl, die Potenz der Primzahl r zuordnet, die gerade noch Teiler von n ist, d.h. ist n=br^k mit r\teiltnicht\ b, dann ist \pi_r(n):=r^k.
p sei hier natürlich immer eine Primzahl. M sei die Menge {0,...,p-1}.
makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3))
Es sei nun W_(p,0):={1} und W_(p,n+1):=wr(W_(p,n),\IZ_p,M) wobei \IZ_p auf M in natürlicher Weise durch Addition mod p operiert.
\darkred\ll(4.1)
\darkred\ll(a)Operieren G und H \(treu\) auf X bzw. Y, so operiert G\cross\ H \(treu\) auf der disjunkten Vereinigung X opimg(\union)^* Y durch array(\small(g,h);$\normal)z=array(\small\ g;$\normal)z für z\el\ X und array(\small(g,h);$\normal)z=array(\small\ h;$\normal)z für z\el\ Y.
\darkred\ll(b)abs(W_(p,n))=p^((p^n-1)/(p-1))
\darkred\ll(c)W_(p,n) operiert treu auf M^n
\darkred\ll(d)W_(p,n)^c operiert treu auf c\cross\ M^n
\blue\ Beweis:
\ref(a) : triviales Nachrechnen.
\ref(b) : Es gilt abs(W_(p,0))=1 und abs(W_(p,n+1))=abs(W_(p,n))^p*p durch vollständige Induktion nach n folgt die Aussage.
\ref(c) : Indem man W_(p,n)=wr(W_(p,n-1),\IZ_p,M) und M^n=M^(n-1)\cross\ M beachtet, kann man die Operation mit \ref(3.1(c)) induktiv definieren.
\ref(d) : W_(p,n)^c=W_(p,n)\cross...\cross\ W_(p,n) operiert nach \ref(a) treu auf der disjunkten Vereinigung {0}\cross\ M^n\union{1}\cross\ M^n\union...\union{c-1}\cross\ M^n = c\cross\ M^n
\blue\ q.e.d.
\darkred\ll(4.2)Sei m=sum(c_i*p^i,i=0,k) die p\-adische Darstellung von m und sei \pi_p(m!)=p^n. Dann gilt n=sum(floor(m/p^j),j=1,\inf)=(m-sum(c_i,i=0,k))/(p-1)
\blue\ Beweis:
Die Anzahl der durch p^j teilbaren Zahlen kleinergleich m ist floor(m/p^j). Es gibt also floor(m/p) durch p teilbare Zahlen kleinergleich m, floor(m/p^2) davon sind noch ein zweites Mal durch p teilbar, floor(m/p^3) noch ein drittes Mal etc.
Es ergibt sich, dass m! genau sum(floor(m/p^j),j=1,\inf) mal durch p teilbar ist.
Es gilt nun:
sum(floor(m/p^j),j=1,\inf)=sum(floor(m/p^j),j=1,k)
=sum(floor(sum(c_i*p^(i-j),i=0,k)),j=1,k)
=sum(sum(c_i*p^(i-j),i=j,k),j=1,k)
=sum(sum(c_i*p^(i-j),j=1,i),i=0,k)
=sum(c_i*sum(p^l,l=0,i-1),i=0,k)
=sum(c_i*(p^i-1)/(p-1),i=0,k)
=sum((c_i*p^i-c_i)/(p-1),i=0,k)
=(m-sum(c_i,i=0,k))/(p-1)
\blue\ q.e.d.
\darkred\ll(4.3. Klassifikationsatz A)
\darkred\ Sei m=sum(c_i*p^i,i=0,k) die p\-adische Darstellung von m!. Dann sind die p\-Sylowgruppen von S_m isomorph zu produkt(W_(p,i)^c_i,i=0,k)
\blue\ Beweis:
Sei S:=produkt(W_(p,i)^c_i,i=0,k). S operiert dann nach \ref(4.1(a)) und \ref(4.2(d)) treu auf der disjunkten Vereinigung union(c_i\cross\ M^i,i=0..k,opimg(*)).
Da letzteres die Möchtigkeit sum(c_i*p^i,i=0,k)=m hat und S treu operiert, lässt sich S in S_m einbetten.
S ist nun eine Gruppe der Ordnung produkt(abs(W_(p,i))^c_i,i=0,k)=produkt(p^(c_i*(p^i-1)/(p-1)),i=0,k)=p^sum((c_i*p^i-c_i)/(p-1))=p^((m-\big\Sigma\normal c_i)/(p-1))
Dies ist gleich dem Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von m!
Also ist die Einbettung von S eine p\-Sylowgruppe von S_m
\blue\ q.e.d.
Die Sylowgruppen von GL(n,q)
Für diesen Abschnitt sei p wieder eine Primzahl, q eine Potenz von p und r eine Primzahl, die von p verschieden ist. Wir werden nur die r-Sylowgruppen von GL(n,q) bestimmen, da die p-Sylowgruppen von GL(n,q) zu finden, deutlich einfacher ist. Das ist eine oft auftretende Übungsaufgabe, man findet die Lösung dazu u.A. hier in meinem Notizbuch.
Es sei außerdem d die Ordnung von q in \IZ_r^x.
\darkred\ll(5.1)\pi_r(q^i-1)>1 <=> d\|i
\blue\ Beweis:
r\|q^i-1 <=> q^i-1==0 (mod r) <=> q^i==1 (mod r) <=> d\|i
\blue\ q.e.d.
\darkred\ll(5.2)Sei r\|q-1. Dann gilt \pi_r(q^i-1)=\cases(\pi_r(i)*\pi_r(q+1), r=2\, q==3 (mod 4) und i gerade;\pi_r(i)*\pi_r(q-1), sonst)
\blue\ Beweis:
Sei i=br^k mit r\teiltnicht\ b. Wir beweisen die Aussagen mit Induktion über k.
array(Induktionsanfang: k=0\, d.h. r\teiltnicht\ i)__
q^i-1=(q-1)(q^(i-1)+q^(i-2)+...q+1)
=>\pi_r(q^i-1)=\pi_r(q-1)*\pi_r(q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1)
q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1==1+1+...+1+1==i!==0 (mod r)
=> \pi_r(q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1)=1=\pi_r(i)
array(Induktionsschritt: k>=1)__
q^i-1=(q^(br^(k-1))-1)(q^array(br^(k-1)(r-1))+q^array(br^(k-1)(r-2))+...+q^br^(k-1)+1)
q^br^(k-1)==1 (mod r) => q^br^(k-1)=1+\a\.r^\b mit r\teiltnicht\a, \b>=1
=> sum((q^br^(k-1))^j,j=0,r-1)=sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^l\b,l=0,j),j=0,r-1)
=sum((1+sum((j;l)\.\a^l\.r^l\b,l=1,j)),j=0,r-1)
=r+r^\b*sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^(l-1)\b,l=1,j),j=1,r-1)
=r(1+r^(\b-1)*sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^(l-1)\b,l=1,j),j=1,r-1))
Für r>2 oder r=2,\b>1 \(d.h. q==1 (mod 4)\) ist der Klammerausdruck nicht durch r teilbar.
=> \pi_r(q^i-1)=\pi_r(q^(br^(k-1))-1)*\pi_r(q^array(br^(k-1)(r-1))+q^array(br^(k-1)(r-2))+...+q^br^(k-1)+1)
=\pi_r(q-1)*\pi_r(br^(k-1))*r
=\pi_r(q-1)*r^(k-1)*r
=\pi_r(q-1)*r^k
=\pi_r(q-1)*\pi_r(i)
Damit ist der erste Fall schon bewiesen. Bleibt noch der Spezialfall r=2, q==3 (mod 4) und i gerade zu behandeln:
Für q==3 (mod 4) ist q^2==1 (mod 4), also folgt
\pi_2(q^i-1)=\pi_2((q^2)^(i/2)-1)
=\pi_2(q^2-1)*\pi_2(i/2) nach Fall 1
=\pi_2(q-1)*\pi_2(q+1)*\pi_2(i/2)
=2*\pi_2(q+1)*\pi_2(i/2)
=\pi_2(i)*\pi_2(q+1)
\blue\ q.e.d.
makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3))
\darkred\ll(5.3. Klassifikationssatz B1)
\darkred\ Sei r>2 oder q==1 (mod 4). Sei weiterhin n=md+t mit 0<=t \pi_r(abs(GL(n,q)))=produkt(\pi_r(q^i-1),i=1,n)
=produkt(\pi_r(q^i-1),array(i=1...n;d\|i))
=produkt(\pi_r(q^dj-1),j=1,m)
=produkt(\pi_r(q^d-1)*\pi_r(j),j=1,m)
=\pi_r(q^d-1)^m*produkt(\pi_r(j),j=1,m)
=\pi_r(q^d-1)^m*\pi_r(m!)
Insbesondere ergibt sich: \pi_r(abs(GL(d,q)))=\pi_r(q^d-1)
=> \pi_r(abs(GL(n,q)))=\pi_r(abs(GL(d,q)))^m*\pi_r(abs(S_m))
Wir müssen nur noch eine Untergruppe finden, die genau diese Ordnung hat. Nun die letzte Formel zeigt schon, wonach wir suchen müssen: Nach m Kopien von GL(d,q) und einer von S_m.
Die finden wir so: Wie zerlegen den Vektorraum \IF_q^n folgendermaßen
\IF_q^n= W\oplus\ V_1\oplus\ V_2\oplus...\oplus\ V_m
wobei dim(W)=t und dim(V_1)=...||=dim(V_m)=d.
Mit dieser Zerlegung sehen wir sofort, dass sich GL(d,q)^m in GL(n,q) einbetten lässt. Blockweise Permutation der Koordinaten liefert auch eine Einbettung S_m\hookrightarrow\ GL(n,q). Beide Untergruppen zusammen ergeben offensichtlich das Kranzprodukt wr(GL(d,q),S_m,menge(1,..,m)).
Wenn wir jetzt eine r\-Sylowgruppe von GL(d,q) und eine von S_m finden, dann finden wir in diesem Kranzprodukt eine r\-Sylowgruppe von GL(n,q) wieder. Die r\-Sylowgruppen von S_m kennen wir schon. Um unsere Behauptung zu zeigen, reicht es, zu beweisen, dass die r\-Sylowgruppen von GL(d,q) zyklisch sind.
Dazu betrachten wir den Körper \IF_(q^d) als Vektorraum über \IF_q. Da die Multiplikation mit Skalaren \IF_q-linear ist, besitzt GL(d,q) eine zu \IF||array(\small\ x;q^d\normal) isomorphe und daher zyklische Untergruppe.
Die r\-Sylowgruppe dieser zyklischen Untergruppe besitzt dann genau s=\pi_r(q^d-1) Elemente und ist zu \IZ_s isomorph.
Also haben wir eine r\-Sylowgruppe \IZ_s<=GL(d,q) und eine r\-Sylowgruppe R<=S_m. Wegen
wr(\IZ_s,R,menge(1,..,m))<=wr(GL(d,q),S_m,menge(1,..,m))<=GL(n,q)
haben wir also eine r\-Sylowgruppe von GL(n,q) gefunden.
\blue\ q.e.d.
makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3))
\darkred\ll(5.4. Klassifikationssatz B2)
\darkred\ Ist q==3 (mod 4) und n=2m+t mit t\el{0,1}, dann sind die 2\-Sylowgruppen von GL(n,q) zu \IZ||array(\small\ t;2\normal)\cross\ wr(\IZ_s\ltimes\IZ_2,R,menge(1,..,m)) isomorph. Dabei sei s:=\pi_r(q^2-1) und R eine 2\-Sylowgruppe von S_m.
makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3))
\blue\ Beweis:
\pi_2(abs(GL(n,q)))=produkt(\pi_2(q^i-1),i=1,n)
=produkt(\pi_2(q^i-1),array(i=1..n;2\|i))*produkt(\pi_2(q^i-1),array(i=1..n;2\teiltnicht\ i))
=(produkt(\pi_2(q+1)*\pi_2(i),array(i=1..n;2\|i)))*((produkt(\pi_2(q-1)*\pi_2(i),array(i=1..n;2\teiltnicht\ i))))
=\pi_2(q+1)^m*produkt(\pi(2j),j=1,m)*\pi(q-1)^(m+t)*produkt(1,array(i=1..n;2\teiltnicht\ i))
=\pi_2(q^2-1)^m*\pi_2(q-1)^t*2^m*produkt(\pi(j),j=1,m)
=\pi_2(q^2-1)^m*2^t*2^m*\pi_2(m!)
=2^t*(2\pi_2(q^2-1))^m*\pi_2(m!)
=\pi_2(abs(GL(1,q)^t)*abs(GL(2,q)^m)*abs(S_m))
Wir zerlegen wieder den Vektorraum in eine direkte Summe:
\IF_q^n=W\oplus\ V_1\oplus\ V_2\oplus...\oplus\ V_m
mit dim(V_1)=...||=dim(V_m)=2 und dim(W)=t.
Analog zu oben lässt sich GL(1,q)^t\cross\ wr(GL(2,q),S_m,menge(1,..,m)) in GL(n,q) einbetten, wobei der erste Teil auf W operiert, während der letzte Faktor auf den m Kopien von \IF_q^2 operiert.
Die 2\-Sylowgruppe von GL(1,q)^t~=\IZ||array(\small\ t;q-1\normal) ist offenbar isomorph zu \IZ||array(\small\ t;2\normal). Die 2\-Sylowgruppen von S_m sind uns bekannt. Wir suchen hier also die 2\-Sylowgruppen von GL(2,q).
Der Trick ist ähnlich wie im vorangegangenen Satz: Wir betrachten den Körper \IF_(q^2) als 2\-dimensionalen Vektorraum über \IF_q. Die Multiplikation mit Skalaren liefert uns wieder eine zyklische Untergruppe der Ordnung q^2-1 in GL(2,q). Zusätzlich dazu betrachten wir nun noch den Körperhomomorphismus x\mapsto\ x^q. Er liefert eine Untergruppe der Ordnung 2, die nicht in der zyklischen Gruppe enthalten ist. Beide Untergruppen bilden ein semidirektes Produkt \IZ_(q^2-1)\ltimes\IZ_2, wie man sich leicht überzeugt.
Die 2\-Sylowgruppen von \IZ_(q^2-1)\ltimes\IZ_2 sind offenbar zu \IZ_s\ltimes\IZ_2 isomorph. Damit erhalten wir wieder eine Untergruppenkette
array(\IZ_2^t\cross\ wr(\IZ_s\ltimes\IZ_2,R,menge(1,..,m)) $ <= $ GL(1,q)^t\cross\ wr(GL(d,q),R,menge(1,..,m)) $ <= $ GL(n,q))
und haben unsere 2\-Sylowgruppe gefunden.
\blue\ q.e.d.
Abschluss
Ich hoffe, ich konnte euch in diesem und dem letzten Artikel von der Nützlichkeit der Gruppenerweiterungen, semidirekten und Kranzprodukte überzeugen und dass ihr Spaß hattet beim Lesen.
Ich bedanke mich nochmal ganz herzlich bei meinen Testleser(innen) für die gute Zusammenarbeit. Wenn ich mal wieder ein interessantes Thema finde, wird es sicherlich einen neuen Gruppenzwang-Artikel geben.
\bigop(\calW,(Goc,kel),mfg)
Die Gruppenzwang-Reihe
Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
\(\endgroup\)
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
