Geraden und Ebenen
Hinein in das tiefe Gebiet der Vektoren
Liebe Freunde der Analytischen Geometrie, mit unseren beiden letzten Artikeln haben wir eine gute Grundlage gelegt, um jetzt tiefer in das Gebiet der Analytischen Geometrie einsteigen zu können.
Wir werden uns in diesem Artikel anschauen, wie man Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreibt.
Abschließend erfolgen sämtliche Lageuntersuchungen, die aber zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal aufgegriffen werden, wenn noch mehr handwerkliche Grundlagen gelegt wurden.
"Na dann genug der Vorrede, lass uns mal beginnen!"
1. Darstellung von Geraden
1.1 Parameterdarstellung von Geraden
1.2 Durchstoßpunkte
1.3 Normalform einer Gerade
2. Darstellung von Ebenen
2.1 Aus Punkten und Geraden wird eine Ebene - Parameterdarstellung
2.2 Die Koordinatengleichung einer Ebene
2.3 Zeichnen von Ebenen und spezielle Ebenen
3. Lagebeziehungen
3.1 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade
3.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
3.3 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene
Das weite Gebiet der Vektoren besteht vor allem aus Geraden (und Ebenen). Genügend Kenntnisse über diese geometrischen Gebilde sind notwendig, um später ausführliche Aufgaben der Analytischen Geometrie lösen zu können.
1.1 Parameterdarstellung von Geraden
Ziel soll es nun sein eine "vektorielle Gleichung" für eine Gerade aufzustellen.
Wir betrachten zunächst zwei Punkte in einem Koordinatensystem P_1(-1\|1) und P_2(2\|4).
Bild 1.1.1: Gegeben seien zuerst zwei Punkte in einem Koordinatensystem
Zugleich zeichnen wir die Ortsvektoren zu den einzelnen Punkten. Ortsvektoren wurden schon im zweiten Teil definiert.
Hier sei der Begriff noch einmal kurz wiederholt:
\black\frame\black\big\ Ortsvektor:
Unter dem Ortsvektor zum Punkt P versteht man einen Vektor p^>, dessen Koordinaten mit den Koordinaten von P übereinstimmen.
Der am Nullpunkt angetragene Pfeil 0P^> ist ein Repräsentant des Ortsvektors p^>.
"Ja, ich erinnere mich"
Wir ändern das Bild 1.1.1 also schnell ab:
Bild 1.1.2: Nun haben wir die Ortsvektoren zu den Punkten eingezeichnet
Wir sind fast am Ziel, die Vorarbeit ist überwiegend geleistet, um eine Geradengleichung aufstellen zu können:
Zeichnen wir in das gegebene Koordinatensystem einen weiteren Punkt P_3(3\|5) ein.
Nun stellt sich die Frage, wie wir den Vektor (p_3)^> (Ortsvektor zum Punkt P_3) ohne weiteres Wissen über den Punkt P_3 darstellen können.
Bild 1.1.3: Wie können wir die Gerade von P1 zu P2 nun beschreiben?
Diese Frage können wir leicht beantworten, wenn wir uns an die Addition und Subtraktion von Vektoren und an die S-Multiplikation aus dem letzten Artikel erinnern.
Wir müssen also den Differenzvektor (p_2)^>-(p_1)^> mit einem bestimmten Skalar t multiplizieren.
Nun haben wir aber nicht die "Verschiebung" mit bedacht, also müssten wir noch den Vektor (p_1)^> addieren. Dies kann man sich an Bild 1.3 sehr gut verdeutlichen. Denn (p_1)^>+t((p_2)^>-(p_1)^>) ergibt den Summenvektor (p_3)^> .
Wir können also für die Darstellung des Vektors (p_3)^> folgende Gleichung festhalten:
(p_3)^>=(p_1)^>+t((p_2)^>-(p_1)^>). t ist ein Parameter und somit nennt man diese Darstellung auch \big\ Parameterdarstellung.
Da in unserem Anfangsbeispiel ein Vektor (p_3)^> gegeben war, könnten wir nun den "Streckfaktor" oder den Parameter t berechnen:
Wir setzen unsere Ortsvektoren einfach in die oben angeführte allgemeine Form der Parameterdarstellung ein:
(3;5)=(-1;1)+t[(2;4)-(-1;1)]
(3;5)=(-1;1)+t(3;3)
Solch eine Form können wir schon umschreiben und zwar, indem wir für jede Zeile eine Gleichung aufstellen.
Denn eine andere Darstellung von (3;5)=(-1;1)+t(3;3) ist:
I. -1+3t=3 <=>t=4/3
II. 1+3t=5 <=>t=4/3
In beiden Gleichungen erhalten wir ein gleiches t. So muss es sein. Sonst hätten wir auch einen Fehler gemacht.
"Kannst du nochmals zusammenfassen, wie wir aus zwei gegebenen Punkten eine Parameterdarstellung einer Geraden konstruieren können?"
Also gut:
Es gilt:
Gegeben seien zwei Punkte P_1 und P_2 mit (p_1)^> , (p_2)^> , so gilt für die Parameterdarstellung der Geraden
g: x^>=(p_1)^>+t*((p_2)^>-(p_1)^>)
Wir benötigen also einen Vektor als sogenannten "Aufhänger" \(das ist der Vektor (p_1)^>) und berechnen dann den Differenzvektor (p_2)^> - (p_1)^>. Beachten müssen wir, dass wir diesen natürlich beliebig strecken können. Denn eine Gerade ist ja "unendlich lang". Also müssen wir diesen mit dem Parameter t skalar multiplizieren.
\black\frame\black\big\ Bestimmen von Geradengleichungen:
Ist eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte P_1 und P_2 mit den Ortsvektoren (p_1)^> und (p_2)^> festgelegt, so gilt für die Ortsvektoren x^> der Punkte von g:
x^>=(p_1)^> +t*a^> ,wenn wir ((p_2)^>-(p_1)^>) zu einem Vektor a^> zusammenfassen.
Diese Form nennt man die Punkt-Richtungs-Gleichung. Eine andere Möglichkeit ist diese:
x^>=(p_1)^> +t*((p_2)^>-(p_1)^>) , t \el\ \IR (Man nennt sie Zweipunktegleichung)
Die einzelnen Vektoren (p_1)^> und a^> haben jetzt ganz bestimmte Namen:
Den Vektor (p_1)^> nennt man \big\ Stützvektor.
Der Vektor a^> , also der Differenzvektor ((p_2)^> - (p_1)^>) wird als \big\ Richtungsvektor
bezeichnet, da dieser Vektor in Richtung der Geraden liegt. Jeder Ortsvektor eines Punktes der Geraden kann als Stützvektor dienen.
Bild 1.1.4: Ors- und Richtungsvektor einer Gerade
Die Parametergleichung der Geraden bringt zum Ausdruck, dass jeder Punkt P zu einem Ortsvektor, der diese Gleichung erfüllt, auf der Geraden g liegt, die durch die Punkt P_1 und P_2 (zu den jeweiligen Ortsvektoren) festgelegt ist.
Sind zwei Ortsvektoren gegeben, ist über sie und die Gleichung in Parameterdarstellung eindeutig eine bestimmte Gerade g festgelegt.
Umgekehrt gehört aber zu einer Geraden g keineswegs nur eine einzige vektorielle Parameterdarstellung, denn schon die zwei gegebenen Punkte können zwei beliebige Punkte der Geraden sein.
Genau, außerdem ist auch der Richtungsvektor nicht eindeutig bestimmt. Diesen Sachverhalt sollte man immer im Hinterkopf behalten.
1.2 Durchstoßpunkte
Jetzt gibt es einige Anwendungen und Begriffe, die wir im Zusammenhang von Geraden klären möchten bzw. müssen, um weiter arbeiten zu können.
Wenn man die Lage einer Geraden im dreidimensionalen Raum beschreiben will oder sogar eine Zeichnung anfertigen möchte, ist es zweckmäßig, die Schnittpunkte der Geraden mit den drei Koordinaten zu bestimmen. Man spricht von den Durchstoßpunkten der Geraden durch die drei Ebenen. Denn sonst kann man die Gerade sehr schwer darstellen. Dies ist dann natürlich nur ein Ausschnitt der eigentlichen Geraden.
Nehmen wir ein Beispiel:
Folgende Parameterdarstellung sei vorgegeben g: x^>=(1;-1;3)+t*(1;3;0)
Wir müssen nun die Durchstoßpunkte dreier Ebenen berechnen. Denn wie wir im zweiten Teil gesehen haben, verwenden wir die x-y-Ebene, die y-z-Ebene und die x-z-Ebene:
\grey\ 1. x-y-Ebene (Bedingung dabei ist z=0)
Alle Punkte der x-y-Ebene müssen der Bedingung z=0 genügen. Damit setzen wir die dritte Koordinatenspalte gleich 0.
3+t*0=0
Aber 3!=0
Wir erhalten also eine falsche Aussage. Die Gerade g hat damit keinen gemeinsamen Punkt mit der x-y-Ebene. Sie verläuft parallel dazu.
\grey\ 2. y-z-Ebene (Bedingung x=0):
Alle Punkte der y-z-Ebene müssen der Bedingung x=0 genügen. Damit setzen wir hier die erste Koordinatenspalte gleich 0.
0=1+t <=>t=-1
Berechnung des Durchstoßpunktes der Geraden g mit der y-z-Ebene durch Einsetzen des t-Wertes in die Parameterdarstellung der Geraden ergibt:
P: x^>=(1;-1;3)+(-1)*(1;3;0)=(1;-1;3)-(1;3;0)=(1-1;-1-3;3-0)=(0;-4;3)
Der Durchstoßpunkt mit der y-z-Ebene ist also P_1(0\|-4\|3).
\grey\ 3. x-z-Ebene (Bedingung y=0):
Alle Punkte der x-z-Ebene müssen der Bedingung y=0 genügen. Damit setzen wir die zweite Koordinatenspalte gleich 0.
0=-1+3*t <=>t=1/3
Berechnung des Durchstoßpunktes der Geraden g mit der y-z-Ebene durch Einsetzen des t-Wertes in die Parameterdarstellung der Geraden.
P: x^>=(1;-1;3)+(1/3)*(1;3;0)=(1;-1;3)+(1/3;1;0)=(1+1/3;-1+1;3+0)=(4/3;0;3)
Der Durchstoßpunkt der x-z-Ebene ist folglich P_2((4/3)\|0\|3)
"OK, das verstehe ich leicht. Ich fasse die Vorgehensweise, um Durchstoßpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen zu berechnen, noch einmal zusammen:
1. Zuerst muss man sich entscheiden, für welche Ebene man den Durchstoßpunkt berechnen möchte.
2. Dementsprechend setzt man die Bedingung x=0, y=0 oder z=0 voraus.
3. Durch Aufstellen der entsprechenden Gleichung lässt sich der Parameter berechnen.
4. Den Durchstoßpunkt berechnet man, indem man den berechneten Parameter-Wert in die Parameterdarstellung der Geraden einsetzt. Erhält man eine falsche Aussage, so läuft die Gerade parallel zur jeweiligen Ebene."
Bild 1.2.1: So schaut die Gerade dann aus, wenn man die Durchstoßpunkte einfach verbindet...
1.3 Normalform einer Gerade
Eine Gerade können wir nicht nur in Parameterform darstellen, sondern auch in der Form a*x+b*y=d . Dies ist bei einer Geraden nur im zweidimensionalen möglich. Warum das so ist, erklären wir, wenn wir das Skalarprodukt behandelt haben.
Diese Form nennt man Normalform der Geraden. Es stellt sich nun die Frage, wie man eine Parametergleichung einer Geraden in die Normalform und umgekehrt verwandeln kann.
Beispiel:
Betrachten wir Bild 1.2.1, dann stellen wir fest, dass die Gerade doch auch in der Form y=mx+b beschrieben werden kann. Diese Form kennen wir schon aus der Mittelstufe.
Es sei folgende Parameterdarstellung der Geraden g gegeben: g: x^>=(0;6)+t*(2;-3)
Den Vektor x^> kann man auch durch die Koordinatenschreibweise (x;y) darstellen. Damit ergibt sich:
(x;y)=(0;6)+t*(2;-3)
Solch eine Form ist uns schon bekannt. Dies ist eine andere Schreibweise für ein Gleichungssystem. Wir stellen nun also Gleichungen auf. Ziel muss es sein, das t zu eliminieren und eine Normalform in Form von y=mx+b zu erhalten.
I. x=0+2*t
II. y=6-3*t
Auf den ersten Blick erkennt man die Lösung: Man multipliziert die 1. Gleichung mit 1,5 und wendet das Additionsverfahren an.
I. x=0+2*t |*1,5
II. y=6-3*t
------------------
1,5*I 1,5x=0+3t
II. y=6-3*t
------------------
1,5*x+y=6 <=>y=-3/2 *x+6
Wir erhalten also die uns oben bekannte Normalform.
Kommen wir nun zu:
\stress\ Von der Normalform in die Parameterdarstellung:
Jetzt muss man natürlich auch von der Normalform in die Parameterdarstellung kommen.
Hier gibt es zwei Möglichkeiten, die wir hier anführen werden.
Gegeben sei unsere Normalform y=-3/2 *x+6 .
\blue\ 1. Möglichkeit:
Wir wählen einfach zwei mögliche Punkte P_1 und P_2 auf der Geraden.
P_1(0\|6) und P_2(2\|3)
Mit diesen Punkten können wir nun die Parameterdarstellung berechnen. Dies haben wir oben schon durchgeführt.
Jetzt könnte der ein oder andere Leser behaupten, dass wir uns ja die Punkte von oben herausgegriffen haben. Aber mit jeden anderen Punkte erhalten wir eine Parameterdarstellung dieser Geraden. Zwar nicht die selbe, aber auch diese muss eine Parameterdarstellung der Geraden sein.
Es ergibt sich als Parameterdarstellung:
g: x^>=(0;6)+t[(2;3)-(0;6)]
g: x^>=(0;6)+t(2;-3)
\blue\ 2. Möglichkeit:
Wir nehmen wieder unsere Normalform y=-3/2 *x+6 <=> 1,5*x+y=6
Wir setzen x=t und erhalten y=-3/2 *t +6. Durch Zusammenfassung der beiden Gleichungen erhält man die Vektorgleichung:
x= t
y=6 - 3/2*t
Diese schreiben wir wieder in Vektorform auf:
g: x^>=(0;6)+t*(1;-3/2) .
Bei diesen beiden Möglichkeiten erhalten wir die beiden Geradengleichungen:
g: x^>=(0;6)+t(2;-3) und g: x^>=(0;6)+t*(1;-3/2).
Leser, die Zweifel haben, dass diese beiden Geradengleichungen die gleiche Gerade beschreiben, sollten die Geraden zeichnen oder den Richtungsvektor
mit 2 multiplizieren.
Bild 1.3.1: Eine Gerade kann sowohl in Parameterdarstellung als auch Normalform dargestellt werden...
2.1 Aus Punkten und Geraden wird eine Ebene - Parameterdarstellung
Eine Ebene können wir uns als ganz dünnes unendlich ausgedehntes, gewichtsloses Blatt Papier im Raum vorstellen.
Die Frage ist nun, was benötigen wir alles, um diese Fläche beschreiben zu können?
"Das allereinfachste wäre, alle Punkte aufzuzählen, die auf dieser Ebene liegen."
Na dann viel Spaß. Wir sehen uns dann in der Ewigkeit wieder.
Im Ernst, das wäre eine Möglichkeit, die aber nicht sehr praktikabel ist.
Schauen wir uns mal Beispiele für Ausschnitte aus Ebenen im Alltag an, etwa ein Drachen: Dort wird die Drachenhaut aufgespannt von einem Stab (bei uns heißt dieser dann Gerade) und einem weiteren Stab, der irgendwie schräg zum ersten liegt.
Bild 2.1.1
Man erhält dann alle Punkte auf der Drachenhaut (und auch noch mehr), wenn man von einem Punkt auf dem Stab eine bestimmte Strecke weit entlang des Stabes geht und sich von dort aus dann parallel zum zweiten Stab weiter bewegt.
Leicht erkennt man, das man damit alle Punkte auf der Ebene erreichen kann.
Das liefert uns die Parameterdarstellung einer Ebene
Mathematisch sieht das dann so aus:
x^> = p^> + t*u^> + s*v^>
wobei x^> der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene ist und p^> der Ortsvektor des besagten Startpunktes auf dem ersten Stab. u^> liefert die Richtung, in die der erste Stab zeigt und v^> die Richtung des zweiten Stabes.
Beispiel__ 1:
Die Gerade g: x^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) und die zweite Richtung: v^>=(-2;0;1) liefern die Ebenengleichung in Parameterform:
E: x^> =(-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1) , wobei s und t reelle Zahlen sind.
Bild 2.1.2
"OK, das versteht man leicht.
Das ist ja das selbe, wie wenn man die Ebene aus zwei sich in genau einem Punkt schneidende Geraden aufspannt: man benötigt einen Aufpunkt und die Richtungsvektoren der beiden Geraden.
Nun kann man eine Ebene doch auf mit einem Punkt und einer Geraden aufstellen, ich denke da etwa an eine Abdeckung eines Flügels, die mittels Scharnieren (=Gerade) am Flügel befestigt ist und mittels einer (naja idealisierten) punktförmigen Stütze oben gehalten wird"
Genau, das ist ein gutes Beispiel. Das müssen wir etwas präzisieren: Der Stützpunkt darf natürlich nicht auf der Scharniergeraden liegen. Nehmen wir die "Scharniergerade" g: x^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) und den Stützpunkt P(-4\|3|2)
Der Aufpunkt A(-2\|3\|1) der Geraden und P liefern uns die zweite Richtung, von der bereits oben gesprochen wurde:
v^> = p^> - a^> = (-4;3;2) - (-2;3;1) = (-2;0;1) und wir erhalten die selbe Ebene E wie im Beispiel 1.
Im Übrigen kommt es nicht darauf an, welcher Punkt auf der Geraden zur Berechnung von v^> benutzt wird.
"Puh, das war jetzt ja schon etwas aufwendiger...Machen wir mal ne Pause? Übrigens, über die Weihnachtstage war ich mal in einem Restaurant, da bediente so ein Schnösel...auf drei Fingern hat er sein Tablett balanciert und prompt ist es ihm von den Fingern geglitten...Geschah ihm ganz recht."
Nicht ablenken! Ohne es zu wollen, hast Du jetzt eine Steilvorlage für eine weitere Darstellungsform für Ebenen geliefert. Es reichen drei Punkte um die Ebene eindeutig festzulegen. Sagen wir mal A(-2\|3\|1), B(-4\|3\|2) und C(2\|0\|1). Bestimme mal eine Ebenengleichung!
"*Grummel* Na gut. Hmmmmmm...."
Was ist denn los?
"Zum Aufstellen der Ebenengleichung benötigt man ja einen Aufpunkt und zwei Richtungen. Bei drei Punkten hat man ja insgesamt 18 mehr oder weniger verrschiedene Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen."
Genau. Man wählt einfach eine aus: u^> = AC^> = c^> - a^> = (2;0;1) - (-2;3;1) = (4;-3;0) und v^> = AB^> = b^> - a^> = (-4;3;2) - (-2;3;1) = (-2;0;1)
E: x^>=(2;0;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1) liefert die selbe Ebene wie in den vorangegangenen Beispielen, da der Punkt C auch auf den Ebenen von oben liegt.
"So? Kannst Du mir zeigen, wie ich das herausbekomme?"
Klar, gerne:
C(2\|0\|1) soll auf E: x^>= (-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1) liegen.
Dann muss es t und s geben, so dass c^>=(2;0;1) die Gleichung c^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1) erfüllt.
Hier erkent man sehr einfach, dass dies dann der Fall ist, wenn t=1 und s=0 ist.
Erkennt man das nicht so leicht, muss man eben das entstehende LGS lösen.
Bild 2.1.3
Eine letzte Möglichkeit gibt es noch: Eine Ebene wird von zwei verschiedenen, aber parallelen Geraden aufgespannt, wie im letzten Bild dargestellt.
Zum Beispiel: g: x^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) und h: x^>= (-4;3;2) + s*(-8;6;0)
Da die Richtungsvektoren linear abhängig sind und B(-4\|3\|2) nicht auf g liegt, sind die beiden Geraden g und h parallel.
Nun muss nur noch eine weitere Richtung v konstruiert werden, um aus der Geraden g eine Ebene E zu machen.
Eine Möglichkeit ist, aus den Aufpunkten A(-2\|3\|1) und B(-4\|3\|2) wie oben v^> = AB^> = (-2;0;1) zu konstruieren.
Damit wird erneut: E: x^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1)
2.2 Die Koordinatengleichung einer Ebene
Jetzt wollen wir mal mit unserer Ebene E: x^> = (-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1) arbeiten.
Um z.B. die Ebene in ein Koordinatensystem einzutragen, ist die Parameterdarstellung äußerst ungeschickt.
Deshalb wandelt man sie in die\big Koordinatenform\normal um.
"Koordinatenform hat was mit den Koordinaten x1, x2 und x3 zu tun?"
Klar, denn x^> bedeutet ja nichts anderes als (x_1;x_2;x_3).
Ausführlich aufgeschrieben lautet unsere Ebene also:
x_1 = -2 + 4*t - 2*s
x_2 = 3 - 3*t + 0*s
x_3 = 1 + 0*t + 1*s
Aus zwei Gleichungen bestimmen wir s und t in Abhämngigkeit von x_1, x_2 und x_3 und setzen die erahltenen Terme in die dritte Gleichung ein, es ergibt sich dann die Koordinatengleichung der Ebene.
Also, auf geht's:
x_2 = 3 - 3*t + 0*s => t = -1/3 x_2 + 1
x_3 = 1 + 0*t + 1*s => s = x_3 - 1
Beides in die erste Gleichung eingesetzt:
x_1 = -2 + 4*(-1/3 x_2 + 1) - 2*(x_3 - 1)
=> x_1 = -2 - 4/3 x_2 + 4 - 2x_3 + 2
=> x_1 + 4/3 x_2 + 2x_3 = 4
=> 3x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12
Also: E: 3x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12
"Ok, das funktioniert ja immer, da die Richtungsvektoren der Ebene linear unabhängig sind. Möchte man nun überprüfen, ob unsere drei die Ebene bestimmenden Punkte A(-2|3|1), B(-4|3|2) und C(2|0|1) auch wirklich darauf liegen, muss man... "
...nur deren Koordinaten in die Koordinatenform einsetzen und schauen, ob eine wahre Aussage ensteht.
A \el E? 3*(-2) + 4*3 + 6*1 = 12
B \el E? 3*(-4) + 4*3 + 6*2 = 12
C \el E? 3*2 + 4*0 + 6*1 = 12
Ein weiterer Vorteil der Koordinatenform gegenüber der Parameterform besteht darin, dass sie bis auf Vielfache eindeutig ist, wohingegen man bei Parameterformen nicht so schnell sieht, ob zwei Ebenen identisch sind.
"Gibt's auch ein Zurück?"
Ja, das gibt es.
Nehmen wir E: 3x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12 wieder her.
Nun benötigen wir für die Parameterdarstellung ja die zwei Parameter s und t.
Eine Gleichung mit drei Unbekannten, da können wir zwei frei wählen, die dritte ist dann festgelegt.
Also wählen wir z.B. x_1 = t und x_2 = s
Dann ist: 3t + 4s + 6x_3 = 12
=> x_3 = 2 - 1/2 t - 2/3 s
Ordentlich aufgeschrieben lautet unser LGS dann:
x_1 = t
x_2 = s
x_3 = 2 - 1/2 t - 2/3 s
Zusammengefasst:
E: x^> = (0;0;2) + t*(1;0;-1/2) + s*(0;1;-2/3)
Man kann nun die Richtungsvektoren der Ebene noch "verschönern", das heißt, dur Vielfache davon ersetzen, damit die Brüche verschwinden:
"OK, darf ich?"
E: x^> = (0;0;2) + t*(2;0;-1) + s*(0;3;-2)
"Der erste Richtungsvektor ist ja bis auf den Faktor -1 identisch zu dem in unserer "Ausgangsparameterdarstellung", aber der Zweite hat damit gar nichts zu tun" :-(
Das täuscht. Wenn du dir den Vektor (0;3;-2) und die beiden anderen Richtungsvektoren (-2;0;1) und (4;-3;0) anschaust, stellst du fest, dass die drei linear abhängig sind: -2*(-2;0;1) - (4;-3;0) = (0;3;-2) !
Der Punkt mit dem Ortsvektor (0;0;2) liegt auch auf der Ebene E:x ^> =(-2;3;1) + t*(4;-3;0) + s*(-2;0;1)
Man rechnet leicht nach, dass er für t=1 und s=1 die Gleichungen erfüllt.
2.3 Zeichnen von Ebenen und spezielle Ebenen
In diesem Abschnitt wollen wir uns überlegen, wie Ebenen in Koordinatensystemen dargestellt werden können.
"Einzeichnen aller Punkte, die auf der Ebene liegen, fällt natürlich wieder aus..."
Wenn wir drei geeignete Punkte \(d.h. sie liegen nicht auf einer Geraden\) einzeichnen, ist die Ebene auch festgelegt. Diese Punkte heißen Spurpunkte und sind die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen.
Die Verbindungsgeraden der Spurpunkte, die sogenannten Spurgeraden liegen in den entsprechenden Koordinatenebenen und legen die gezeichnete Ebene eindeutig fest.
Nehmen wir wieder unsere Ebene E her. Am geschicktesten ist es, wenn wir sie in Koordinatenform vorliegen haben:
E: 3x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12
\big\ Schnitt von E mit der x_1 -Achse:\normal
Alle Punkte auf dieser Achse haben Koordinaten x_2 = x_3 = 0.
Übrig bleibt dann 3x_1 = 12 => x_1 = 4 => S_1 (4\|0\|0)
"Ich verstehe!"
\big\ Schnitt von E mit der x_2 -Achse:\normal
Alle Punkte auf dieser Achse haben Koordinaten x_1 = x_3 = 0.
Übrig bleibt dann 4x_2 = 12 => x_2 = 3 => S_2 (0\|3\|0)
\big\ Schnitt von E mit der x_3 -Achse:\normal
Alle Punkte auf dieser Achse haben Koordinaten x_1 = x_2 = 0.
Übrig bleibt dann 6x_3 = 12 => x_3 = 2 => S_3 (0\|0\|2)
"Damit kann man die Punkte ins Koordinatensystem eintragen und erhält folgendes Bild"
Bild 2.3.1
OK, genau so siehts aus!
Jetzt kann der Fall auftreten, dass die Ebene eine oder mehrere Koordinatenachsen gar nicht schneidet.
Beispiel: F:2x_1 + 3x_2 = 6
Diese Ebene schneidet die x_3 -Achse nicht, denn es ergibt sich dafür eine Falschaussage 0=6 für x_1 = x_2 =0
"Dann ist F wohl parallel zur x3-Achse"
Das stimmt.
Man kann verallgemeinern: Kommt in der Koordinatengleichung einer Ebene eine oder mehrere der x_1 , x_2 oder x_3 nicht vor, so ist die Ebene parallel zu den Achsen, deren Komponenten fehlen.
Zum Beispiel ist H: 2x_1 = 5 sowohl parallel zur x_2-Achse als auch zur x_3 -Achse und geht durch den Punkt S_1 (5/2 \|0\|0).
H ist also die zur x_2 - x_3 - Ebene parallele Ebene durch S_1
Gerade und Gerade, Ebene und Ebene und Gerade und Ebene können verschiedene Lagebeziehungen zueinander annehmen. Ziel soll es nun sein, zu untersuchen, welche Lagebeziehung vorliegt, wenn nur die Parameterformen der Geraden bzw. der Ebenen gegeben sind.
3.1 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade
Geraden und Geraden können wie folgt zu einander liegen:
Sie können parallel, identisch, windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden .
Windschief ist erst im dreidimensionalen Raum möglich, wenn beispielsweise eine Gerade "unterhalb" einer anderen nichtparallel "vorbeiläuft".
Parallel bedeutet, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind und die Geraden sich nicht schneiden. Wie die Fälle zu unterscheiden sind, darauf gehen wir nun gezielt ein:
\darkblue\ 1. Fall: Parallelität von Geraden
Wir betrachten folgende Geradengleichungen in Parameterform:
g_1: x^>=(1;4;3)+t*(2;1;-1) und g_2: x^>=(3;4;7)+t*(-4;-2;2).
Bei der Untersuchung von zwei Geraden betrachten wir zunächst die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Ist der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen Richtungsvektors, dann sind die Geraden auf jeden Fall parallel. Dies kann man sich anschaulich erklären. Nehmen wir die beiden Geraden von oben:
Es gilt: -2*(2;1;-1)=(-4;-2;2). Das heißt der eine Richtungsvektor wurde nur gestreckt, also vervielfacht. Das heißt beide Richtungsvektoren sind parallel.
Die beiden Geraden g_1 und g_2 sind damit schon mal parallel. Nun müssen wir noch überprüfen, ob die beiden Geraden vielleicht sogar identisch sind. Denn die Identität ist ja nur ein Sonderfall der Parallelität. Dazu setzen wir den einen Stützvektor der Geraden g_1 für den Vektor x^> der Geraden g_2 ein und schauen, ob wir einen zugehörigen Parameter t eindeutig ermitteln können. Denn wenn dieser Punkt auf der Geraden g_2 liegt, dann sind die beiden Geraden identisch.
(1;4;3)=(3;4;7)+t*(-4;-2;2)
Aus der Vektorschreibweise folgt die Gleichungssystemsschreibweise:
I. 1=3-4*t <=> t=1/2
II. 4=4-2*t <=> t=0
III. 3=7+2*t <=> t=-2
Wir erhalten also immer ein anderes t, der Punkt (1\|4\|3) liegt also nicht auf der Geraden g_2. Folglich sind die Geraden nicht identisch, sondern \darkred\ parallel.
Bild 3.1.1: Die Geraden verlaufen parallel
\darkblue\ 2. Fall: Identität von Geraden
Wir betrachten folgende Geradengleichungen in Parameterform:
g_1: x^>=(1;-1;2)+r*(2;-1;1) und g_2: x^>=(-1;0;1)+s*(-4;2;-2).
Die Geraden sind parallel, da der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist:
-2*(2;-1;1)=(-4;2;-2)
Wir müssen nur noch überprüfen, ob der Sonderfall der Identität vorliegt:
(1;-1;2)=(-1;0;1)+s*(-4;2;-2).
I. 1=-1-4*s <=>s=-1/2
II. -1=0+2*s <=>s=-1/2
III. 2=1-2*s <=>s=-1/2
Parameter s ist eindeutig bestimmt.
->Die Geraden sind nicht nur parallel, sondern sogar \darkred\ identisch!
Bild 3.1.2: Die Geraden sind identisch!
\darkblue\ 3. Fall: Windschiefe von Geraden
g_1: x^>=(3;-2;0)+r*(-1;2;1) und g_2: x^>=(-2;3;1)+s*(2;-4;-3)
Die Geraden sind nicht parallel, da der eine Richtungsvektor kein Vielfaches des anderen ist.
Überprüfung auf Windschiefe und Schnittpunkt durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
(3;-2;0)+r*(-1;2;1)=(-2;3;1)+s*(2;-4;-3)
r*(-1;2;1)+s*(-2;4;3)=(-5;5;1)
Überführe das LGS in eine entsprechende Matrix und vereinfache diese:
Das Berechnen der Matrix bzw. das Ergebnis zeigt, dass es keinen Schnittpunkt dieser beiden Geraden geben kann, da das LGS nicht lösbar ist. Wir erhalten eine falsche Aussage 0=-5 ,aber 0!=5.
Folglich sind die Geraden \darkred\ windschief.
Bild 3.1.3: Die Geraden sind windschief...
\darkblue\ 4. Fall: Schnittpunkt zweier Geraden
g_1: x^>=(-2;8;8)+r*(2;-6;-4) und g_2: x^>=(10;2;-12)+s*(8;6;-12)
Die Geraden sind nicht parallel, da der eine Richtungsvektor kein Vielfaches des anderen ist.
Überprüfung auf Windschiefe und Schnittpunkt durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
(-2;8;8)+r*(2;-6;-4)=(10;2;-12)+s*(8;6;-12)
r*(2;-6;-4)+s*(-8;-6;12)=(12;-6;-20)
Aufstellen des LGS in einer Matrix und Umformen mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren liefert, dass es einen Schnittpunkt dieser beiden Geraden gibt, da das LGS eindeutig lösbar ist. Folglich \darkred\ schneiden sich die Geraden in einem Punkt.
Die beiden letzten Zeilen lieferen (in der 2. Matrix): s=-1
Diesen Parameter setzt man in die Geradengleichung mit dem Parameter s ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen:
(x_S)^>=(10;2;-12)-(8;6;-12)=(2;-4;0)
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist damit S(2\|-4\|0) .
Bild 3.1.4: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt
Damit hätten wir alle Fälle, wie Gerade und Gerade liegen können, behandelt.
Du bist ja so still geworden?
"ja, ich muss mich konzentrieren, wir sitzen jetzt ja schon 'ne Weile hier und arbeiten das durch, das ist schon etwas anstrengend... Also auf geht's, frisch, fromm, fröhlich, frei weiter durch die Geometrie"
3.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Hier gibt es nur drei Fälle, wie Gerade und Ebene liegen können.
Zum einen können Geraden und Ebene parallel verlaufen, sich in einem Punkt schneiden oder die Gerade kann komplett in der Ebene liegen.
\darkblue\ 1. Fall: Parallelität von Gerade und Ebene
Wir betrachten folgende Geradengleichung und Ebenengleichung in Parameterform:
g: x^>=(5;-1;3)+t*(1;4;1) und \epsilon: x^>=(-3;1;1)+r*(2;1;3)+s*(-1;3;-2)
Hier könnten wir nun Richtungsvektor und Spannvektor auf lineare Abhängigkeiet untersuchen. Wir schlagen an dieser Stelle aber einen anderen Weg ein und setzen die Geradengleichung und die Ebenegleichung sofort gleich, lösen das LGS auf und entscheiden je nach Lösung, wie die Gerade und Ebene zu einander liegen.
(5;-1;3)+t*(1;4;1)=(-3;1;1)+r*(2;1;3)+s*(-1;3;-2)
(8;-2;2)=r*(2;1;3)+s*(-1;3;-2)+t*(-1;-4;-1)
Aufstellen einer Matrix:
Die Matrix liefert nach dem Umformen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in der letzten Zeile eine falsche Aussage.
Daraus folgt, dass es keine Schnittgerade geben und somit die \darkred\ Gerade und die Ebene parallel laufen müssen.
Bild 3.2.1: Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander
\darkblue\ 2. Fall: Gerade liegt in der Ebene
g: x^>=(-1;4;0)+t*(-1;-5;2) und \epsilon: x^>=(-2;-1;2)+r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)
(-1;4;0)+t*(-1;-5;2)=(-2;-1;2)+r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)
(1;5;-2)=r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)+t*(1;5;-2)
Überführe LGS in eine Matrix.
Die Matrix liefert nach dem Umformen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in der letzten Zeile 0=0.
Daraus folgt, dass es unendlich viele Lösungen und damit Schnittpunkte gibt. Folglich \darkred\ liegt die Gerade in der Ebene.
Bild 3.2.2: Gerade liegt komplett in der Ebene
\darkblue\ 3. Fall: Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt
g: x^>=(-1;4;0)+t*(-1;3;2) und \epsilon: x^>=(-2;-1;2)+r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)
(-1;4;0)+t*(-1;3;2)=(-2;-1;2)+r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)
(1;5;-2)=r*(2;-1;3)+s*(3;4;1)+t*(1;-3;-2)
Überführe LGS in eine Matrix.
Die Matrix liefert nach dem Umformen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in der letzten Zeile t=0.
Daraus folgt, dass es ein Schnittpunkt gibt. Folglich \darkred\ schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze t=0 also in die Parametergleichung der Geraden ein. Damit folgt der Schnittpunkt S(-1\|4\|0) .
Bild 3.2.3: Gerade schneidet Ebene in einem Punkt
Nun hätten wir auch alle möglichen Fälle von Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene untersucht. Kommen wir nun zum letzten Teil.
"Bleibt jetzt ja nur noch die Beziehung Ebene-Ebene"
3.3 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene
Zwei Ebenen können wie folgt liegen: Sie können parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden.
\darkblue\ 1. Fall: Identität zweier Ebenen
\epsilon_1 : x^>=(3;-2;1)+r*(1;2;-1)+s*(0;-1;2) und \epsilon_2 : x^>=(4;-1;2)+t*(1;1;1)+v*(1;3;-3)
Gleichsetzen der beiden Ebenen:
(3;-2;1)+r*(1;2;-1)+s*(0;-1;2)=(4;-1;2)+t*(1;1;1)+v*(1;3;-3)
r*(1;2;-1)+s*(0;-1;2)+t*(-1;-1;-1)+v*(-1;-3;3)=(1;1;1)
Aufstellen einer Matrix (wird an dieser Stelle nicht aufgeschrieben). Matrix liefert:
In der letzten Zeile erhält man nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren 0=0.
Daraus kann man schließen, dass es unendlich viele Schnittpunkte zwischen den Ebenen gibt und folglich sind die Ebenen \darkred\ identisch
Bild 3.3.1: Die beiden Ebenen sind identisch
\darkblue\ 2. Fall: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
\epsilon: x^>=(3;-2;0)+r*(-3;4;0)+s*(0;2;-3) und \epsilon: x^>=(2;-2;7)+t*(-3;-2;8)+v*(-2;8;-6)
Gleichsetzen der Ebenen ergibt:
(3;-2;0)+r*(-3;4;0)+s*(0;2;-3)=(2;-2;7)+t*(-3;-2;8)+v*(-2;8;-6)
r*(-3;4;0)+s*(0;2;-3)+t*(3;2;-8)+v*(2;-8;6)=(-1;0;7)
Auch an dieser Stelle wird die Matrix nicht aufgeschrieben. Jedenfalls liefert die Matrix:
Letzte Zeile liefert:
2*t-4*v=-18 Dies formen wir nach t um und setzen dies in folgende Ebenengleichung ein:
x^>=(2;-2;7)+t*(-3;-2;8)+v*(-2;8;-6)
2*t-4*v=-18 <=>t=2*v-9
x^>=(2;-2;7)+(2*v-9)*(-3;-2;8)+v*(-2;8;-6)
x^>=(2;-2;7)+v*(-6;-4;16)+(27;18;-72)+v*(-2;8;-6)
x^>=(2+27;-2+18;7-72)+v*(-6-2;-4+8;16-6)
x^>=(29;16;-65)+v*(-8;4;10)
Die Ebenen schneiden sich also in der Schnittgeraden g: x^>=(29;16;-65)+v*(-8;4;10).
Bild 3.3.2: Die zwei Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
\darkblue\ 3. Fall: Ebenen verlaufen parallel
\epsilon_1: x^>=(0;0;4/3)+r*(1;0;-1/3)+s*(0;1;-2/3)
und \epsilon_2: x^>=(0;0;5/3)+v*(1;0;-1/3)+w*(0;1;-2/3)
Auch hier müssten wir beide Ebenen wieder gleich setzen, um Aussagen über die Lage der beiden Ebene zu treffen.
Bei näherem Hinschauen sieht man aber, dass die beiden Spannvektoren übereinstimmen. Folglich sind die Ebenen parallel.
Konstruieren wir mal einen Fall: Nach dem Gleichsetzen der beiden Ebenen müsste die Matrix (nach Überführen des LGS in eine Matrix und Lösen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren) in der letzten Zeile eine falsche Aussage liefern. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein oder sich schneiden, sie sind \darkred\ parallel.
Bild 3.3.3: Die beiden Ebenen verlaufen parallel
Jetzt sollte ich wohl in der Lage sein, Aussagen über Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade, Gerade und Ebene und Ebene und Ebene zu treffen und diese untersuchen zu können. Ist aber schon mühsam, immer irgendwelche LGS lösen zu müssen..."
Ich kann dich beruhigen: diese Lageuntersuchungen sind mit Kenntnissen über Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt viel schneller durchführbar. Deswegen haben wir Kapitel 9 noch einmal diesen Lageuntersuchen gewidmet. Also noch etwas Geduld!
"Also gut. Mit dieser Hoffnung gehen wir dann in die nächsten Teile"
Kapitel 3 der Serie "Oberstufenmathematik verständlich erklärt - Lineare Algebra und analytische Geometrie" .
In diesem Abschnitt werden Geraden und Ebenen erläutert und Lageuntersuchungen dieser Gebilde vorgenommen.
\(\begingroup\)
@hugoles&FlorianM: Den Artikel finde ich großartig!
Es geht einem nie mehr so gut, wie als frischer Abiturient!
Darum: macht mehr Abitur! Mit euren Artikeln werdet ihr Vielen dabei helfen!
Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo scorp,
dies soll ein Schüler-Lehrer-Gespräch simulieren. Der Lehrer erlärt sozusagen dem Schüler die Geraden und Ebenen und der Schüler fragt ab und zu nach, ob der Lehrer das nochmal genauer erklären oder ob er ein Beispiel geben könnte.
Dies hatten wir beim letzten Artikel ja auch schon verwendet.
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Zu dieser Artikelform inspiriert wurde ich durch Galileis "Discorsi", Florian hat dieser ungewöhnlichen Form dann zugestimmt 😉
Wir werden diese Form solange beibehalten, bis wir ihrer überdrüssig werden 😁\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mir gefällt sie aber, auch wenn ich manchmal ganz andere Fragen habe, wenn die inverse Selbstgespräch-Simulation dann nicht mehr funktioniert, melde ich mich bei einem von euch per PN (wenn ich darf). ;)
lg
NotInterested\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich glaube man könnte noch hinzufügen, dass auch zwei Geraden, die sich schneiden, ebenfalls eine Ebene bilden. Es wurde lediglich erwähnt, dass zwei verschiedene, zu einander parallele Geraden eine Ebene bilden.
Gruß,
moep
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Ihr Zwei,
großes Lob auch von meiner Seite.
Ich kann mich meinen Vorschreibern nur anschließen.
Mich würde noch interessieren, ob Ihr die Zeichnungen mit Vectory gemacht habt oder mit einem anderen Programm?
Zuvor genanntes Programm besitze ich nämlich, aber es gelingt mir einfach nicht, den Befehl zum Auswählen von Objekten zu finden.
Liebe und ermunternde, aber auch fordernde 😄 Grüße
mire2 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo mire2,
Also, ich mache meine Bilder immer von "Hand", also mit einem gewöhnlichen Grafikprogramm, wenns nicht zu aufwendig ist.
Danke für dein Lob, wir werden deinen Forderungen bald nachkommen.
Gruß!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi mire2,
ja, die Bilder, die du im Abschnitt 1 und 3 siehst, sind mit Vectory (Version 0.9.4) erstellt wurden.
Per PN können wir uns ja mal über das Programm austauschen. 😄
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei der Umwandlung von der Parameter- in die Normalform (eigentlich ist mit "Normalenform" lieber) solltet ihr erwähnen, dass das mit dem Skalarprodukt aus dem nächsten Kapitel schneller gehen wird - man multipliziert die Gleichung mit einem zum Richtungsvektor senkrechten Vektor und das t ist raus. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Wally,
dort haben wir es nicht explizit erwähnt, das stimmt. (Holen wir noch nach). Aber wir sagen ja auch später, dass alle Untersuchungen mit Hilfe der Vektorprodukte viel schneller gehen. Außerdem wird dies im nächsten Artikel über das Skalarprodukt noch einmal angeführt.
Aber es schadet ja nichts, es jetzt schon zu erwähnen. Da hast du Recht. Danke.
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo an die Florian-Hugoles MG (=Mathe-Gemeinschaft)!
Der Artikel frischt vieles auf, vielen Dank!
Ich habe noch eine Frage zum Thema:
Ich meine, wenn man von zwei windschiefen Geraden die Gleichungen kennt, lassen sich auch eindeutig zwei parallele Ebenen bestimmen, auf der die beiden liegen. Deren senkrecht gemessener Abstand ist dann auch die kürzeste Enfernung zwischen einem Punkt auf der einen und der anderen Geraden. Wie könnte man das dann ausrechnen?
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Bernhard,
das funktioniert am besten mit der Hesse-Normalenform.
Ist P ein Punkt auf der Geraden g und Q ein Punkt auf der dazu windschiefen Geraden h, so brauchst du einen Vektor n^>_0 , der orthogonal zu den Richtungsvektoren von g und h ist und die Länge 1 hat.
Dann ist d(g\;h) = abs((p^>-q^>)*n^>_0)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo morri,
also der vierte Teil (Das Skalarprodukt) ist schon in Arbeit. Da Sven aber jetzt Abiturklausuren vergleichen musst, könnte es noch etwas dauern. 😄
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Morri,
ja, es gibt eine gewisse Zeit zwischen den Artikeln, die mal länger und mal kürzer ist.
Dieses Mal ist sie wieder relativ lang, weil in der Tat dienstliche Belange den Vorrang haben. Im Moment ist Abizeit bei uns in BaWü und ich bin in der Tat mit Korrigieren beschäftigt. Davor war Fasnet und ...
Ich hoffe und wünsche es mir eigentlich, dass der Artikel in den Pfingstferien fertig wird.
Aber du weißt ja: die Hoffnung stirbt zuletzt.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich danke euch endlich mal Leute die mir das mit den Durchstoßpunkten gut erklären konnten,Ihr ward meine Rettung....DANKE DANKE DANKE\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ein kleiner Fehler ist mir ncoh aufgefallen:
UNd zwar bei 2.3 bei edm Schnittpunikt mit der x2-achse. Der Schnittpunkt hat im Text die falschen Koordinaten, aber in der Zeichnung stimmt es dann wieder.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei drei Punkten hat man ja insgesamt 18 mehr oder weniger verrschiedene Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen."
Kann mir das mal einer erklären?
Wieso 18 ? ich komme auf 36
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey, also ich komme bei dem Ebenenschnitt bei 3.3. 2.Fall auf eine Gerade mit dem Ortsvektor (-13,-12,47) statt (29,16,-65). Das ergibt eine parallele aber nicht identische Gerade zur hier genannten. Habe das Ergebnis mit Geogebra geprüft. Könnte man mal korrigieren, sonst rechnen sich Leute beim nachvollziehen noch zu tode... 😉
lg
Tom Bombadil 😉 \(\endgroup\)
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Liebe Freunde der Analytischen Geometrie, mit unseren beiden letzten Artikeln haben wir eine gute Grundlage gelegt, um jetzt tiefer in das Gebiet der Analytischen Geometrie einsteigen zu können.
Wir werden uns in diesem Artikel anschauen, wie man Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreibt.
Abschließend erfolgen sämtliche Lageuntersuchungen, die aber zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal aufgegriffen werden, wenn noch mehr handwerkliche Grundlagen gelegt wurden.
"Na dann genug der Vorrede, lass uns mal beginnen!"
Das Berechnen der Matrix bzw. das Ergebnis zeigt, dass es keinen Schnittpunkt dieser beiden Geraden geben kann, da das LGS nicht lösbar ist. Wir erhalten eine falsche Aussage 0=-5 ,aber 0!=5.
Folglich sind die Geraden \darkred\ windschief.
Die beiden letzten Zeilen lieferen (in der 2. Matrix): s=-1
Diesen Parameter setzt man in die Geradengleichung mit dem Parameter s ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen:
(x_S)^>=(10;2;-12)-(8;6;-12)=(2;-4;0)
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist damit S(2\|-4\|0) .
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