Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte
Released by matroid on Fr. 09. März 2007 21:10:26 [Statistics]
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Mathematik

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makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) Hallo MP, für R\-Moduln M_1, ..., M_n kann man deren Tensorprodukt M_1\otimes ...\otimes M_n bilden; es ist gerade so definiert, dass die Homomorphismen M_1 \otimes ... \otimes M_n \to N natürlich den multilinearen Abbildungen M_1 \times ... \times M_n \to N entsprechen. Doch was ist, wenn man unendlich viele Moduln hat? Kann man dann auch von einem Tensorprodukt sprechen? Dieser Frage werde ich hier nachgehen.

1. Einleitung makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) Im folgenden sei stets R ein kommutativer Ring mit 1. Wenn M_1 ,..., M_n R\-Moduln sind, ist das Tensorprodukt bigop(\otimes,M_i,i=1,n) bekanntlich über die universelle Eigenschaft Hom(bigop(\otimes,M_i,i=1,n),N) ~= Mult(bigop(\Pi,M_i,i=1,n),N), natürlich in N \in R\-Mod, charakterisiert, wobei Mult für die Menge der multilinearen Abbildungen steht. Was ist nun, wenn man eine beliebige Familie von R\-Moduln M_i , i \in I hat, was soll dann das Tensorprodukt otimes(M_i,i \in I) sein? Wie könnte man es sinnvoll definieren? Man könnte in Erwägung ziehen, im Allgemeinen otimes(M_i,i \in I) := bigop(\oplus,otimes(M_i,i \in E),E \subseteq I endlich) zu definieren, sodass wie im endlichen Fall jedes Element des Tensorproduktes als Summe von reinen Tensoren endlicher Länge dargestellt werden kann. Allerdings gibt es keine Kohärenzbedingung für diese reinen Tensoren, wenn sich die endlichen Mengen überschneiden. Man könnte eine sinnvolle Bedingung einführen, wenn die M_i sogar R\-Algebren sind: Dann identifiziert man a_1 \otimes ... \otimes a_n mit 1 \otimes ... \otimes 1 \otimes a_1 \otimes ... \otimes a_n \otimes 1 \otimes ... \otimes 1. Details werden im 2. Abschnitt behandelt. Er ist vom 3. Abschnitt unabhängig, kann also ggf. überlesen werden. Der Inhalt kommt hauptsächlich aus "Mac Lane, Categories for the Working Mathematician" bzw. ist Folklore. Eine andere Möglichkeit wäre, die universelle Eigenschaft \(Klassifikation multilinearer Abbildungen\) im allgemeinen Fall zu übernehmen, d.h. Hom(otimes(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_i,i \in I),N) zu fordern bzw. das Tensorprodukt dementsprechend zu konstruieren. Das werden wir im 3. Abschnitt untersuchen. Ich weiß nach einer langen Recherche nicht, ob dies jemand vor mir getan hat. Für Hinweise diesbez. in den Kommentaren wäre ich sehr dankbar.
2. Das Tensorprodukt von Algebren makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) Seien A,B zwei R\-Algebren \(hier kommutativ und mit 1\). Den R\-Modul A \otimes B kann man zu einer R\-Algebra machen, indem wir die Multiplikationen A \otimes A \to A, B \otimes B \to B auf A bzw. B zu einer Multiplikation auf A \otimes B ausdehnen via (A \otimes B) \otimes (A \otimes B) ~= (A \otimes A) \otimes (B \otimes B) \to A \otimes B. Explizit ist also einfach (a \otimes b) (a' \otimes b') = (aa' \otimes bb'). Die natürlichen Abbildungen i : A \to A \otimes B und j : B \to A \otimes B, definiert durch i(a)=a \otimes 1 und j(b)=1 \otimes b, sind dann R\-Algebrenhomomorphismen, die A \otimes B einfach zu einem Koprodukt von A,B in der Kategorie R\-Alg machen: Jeder Hom. A \otimes B \to C ist eindeutig durch die Kompositionen A \to C, B \to C mit i bzw. j festgelegt. Dieselbe Konstruktion kann man für endlich viele R\-Algebren durchführen; halten wir also fest: \blue\A_1 \otimes ... \otimes A_n ist das Koprodukt der A_1 , ... , A_n in R\-Alg Übrigens untersuchen wir nebenbei auch Ringe, da dies \IZ\-Algebren sind. Wenn nun A_i , i \in I eine beliebige Familie von R\-Algebren ist, so wollen wir, wie eingangs erwähnt, otimes(A_i,i \in I) auf den Fall I endlich zurückführen, und nach dem eben gezeigtem hoffen, dass dies auch das Koprodukt der A_i ist. Die Idee dahinter kann man weitreichend verallgemeinern: \blue\Besitzt eine Kategorie endliche Koprodukte und filtrierende Kolimites \(=Kolimites mit filtrierter Indexkategorie\), so besitzt sie alle Koprodukte. Zum Beweis: Sei C die betrachtete Kategorie, F : J \to C ein Funktor und J diskret. Wir wollen ein Kolimes zu F konstruieren. Sei dafür J die Menge aller endlicher Teilmengen von I; sie ist eine Präordnung und damit eine Kategorie, die offensichtlich filtriert ist. Für E \in J existiert nach Voraussetzung das Koprodukt F^~(E) = coprod(F(j),j \in E). Das liefert einen Funktor F^~ : J \to C, denn für E \subseteq E' induzieren die Inklusionen F(j) \to F^~(E'), j \in E einen Morphismus F^~(E) \to F^~(E'). Auf den einpunktigen Teilmengen von I stimmen F und F^~ im wesentlichen überein. Nach Voraussetzung existiert der Kolimes von F, also ein universeller Kegel \tau : F^~ \to c für ein c \in C. Die \tau_menge(i) liefern dann einen universellen Kegel F \to c. \checked Um beliebige Koprodukte in R\-Alg zu konstruieren, müssen wir also nur noch filtrierende Kolimites konstruieren. Die Idee dabei ist, zunächst den Mengenkolimes zu bilden \(der existiert, da Set offensichtlich Kolimites und Koprodukte, und damit Kolimites besitzt\), und darauf eine Algebrenstruktur zu definieren. Mit anderen Worten: \blue\Der Vergißfunktor R\-Alg \to Set erzeugt filtrierende Kolimites. Wir beweisen das entsprechende Resultat für Gruppen. Der Beweis für R-Algebren geht analog, in dem man dieselben Argumente mit der Addition, Multiplikation und R-Multiplikation durchführt. Wir geben uns also eine filtrierte Kategorie J und einen Funktor G : J \to Grp vor. Die Komposition J \to Grp \to Set mit dem Vergißfunktor hat einen Kolimes, sei etwa \m_i : G_i \to S der universelle Kegel in Set. Wir benötigen auch die explizite Darstellung: Es gilt S = bigop(\union,G_i,i \in J,.) \/ ~, wobei G_i \contains x ~ y \in G_j, wenn es ein k und Pfeile i,j -> k gibt mit G_(i \to k)(x) = G_(j \to k)(y). Die Komposition der Inklusion G_i \to bigop(\union,G_i,i \in J,.) mit der Abbildung array( )^- : bigop(\union,G_i,i \in J,.) \to S, die jedem Element der disjunkten Vereinigung seine Äquivalenzklasse im Kolimes zuordnet, ist dann \m_i : G_i \to S. Jedes Element von S liegt also im Bild eines \m_i. Wir wollen auf S eine Gruppenstruktur definieren. Sind zwei Elemente in S gegeben, so liegen sie im Bild eines gemeinsamen \m_i: Ist nämlich etwa s = \m_i(x) und t = \m_j(y), so findet man ein k mit Pfeilen i,j -> k \(da J gerichtet\), sodass s = \m_k(G_(i \to k)(x)), t = \m_k(G_(j \to k)(y)). Für s,t \in S findet man also i \in J und x,y \in G_i mit s = \m_i(x) , t = \m_i(y). Wir setzen s*t := \m_i(xy), wobei zunächst die Wohldefiniertheit zu zeigen ist: Sei also \m_i(x) = \m_j(x^~) und \m_i(y) = \m_j(y^~). Zu zeigen ist \m_i(xy) = \m_j(xy). Wegen \m_i(x)=\m_j(x^~) gibt es i,j -> k mit G_(i -> k)(x) = G_(j -> k)(x^~). Analog gibt es i,j -> k' mit G_(i -> k')(y) = G_(j -> k')(y^~). Es gibt ein k^~ mit kommutativen Diagrammen i -> k -> k^~ = i -> k' -> k^~ und j -> k -> k^~ = j -> k' -> k^~, da ja J gerichtet ist. Es folgt G_(i -> k -> k^~)(xy)=G_(i -> k -> k^~)(x) G_(i -> k' -> k^~)(y) =G_(k -> k^~)(G_(i -> k)(x)) G_(k' -> k^~)(G_(i -> k')(y)) =G_(k -> k^~)(G_(j -> k)(x^~)) G_(k' -> k^~)(G_(j -> k')(y^~))=G_(j \to k \to k^~)(x^~ y^~) Somit sind xy , x^~ y^~ äquivalent, d.h. \m_i(xy) = \m_j(x^~ y^~) wie gewünscht. Damit haben wir auf S eine Verknüpfung erklärt, die alle \m_i zu Homomorphismen G_i \to S macht. Es gilt \m_i(1)=\m_j(1) für alle i,j, denn wählt man i,j -> k, so gilt \m_i(1) = \m_k(G_(k \to i)(1))=\m_k(1), analog = \m_j(1). Also können wir, von i unabhängig, 1 := \m_i(1) definieren und 1 ist ein neutrales Element für S. Ein zu \m_i(x) inverses Element ist \m_i(x^(-1)). Wenn r,s,t \in S beliebig sind, finden wir, weil J gerichtet ist, einen gemeinsamen Index i, sodass r,s,t im Bild von \m_i liegt, etwa r = \m_i(x) , s = \m_i(y) , t = \m_i(z). Aus x(yz)=(xy)z folgt daher r(st)=(rs)t. Also ist S eine Gruppe, und \m_i : G_i \to S ist ein Kegel in Grp. Zur universellen Eigenschaft sei \s_i : G_i \to T ein weiterer Kegel. Nach Wahl von \m_i , S existiert genau eine Abbildung f : S \to T mit f \m_i = \s_i. Diese ist aber schon ein Homomorphismus, weil \s_i einer ist und je zwei Elemente von S im Bild eines \m_i array(liegen. \checked) Für einen abstrakteren Zugang dieses Nachweises sei auf auf diesen Thread verwiesen. Dort erklärt owk, wie man die Aussage darauf zurückführen kann, dass filtrierende Kolimites mit endlichen Produkten (oder allgemeiner endliche Limites) zurückführen kann. Letzteres wird z.B. bewiesen in Mac Lane, Kapitel IX, Abschnitt 2, Theorem 1. Noch eine Randbemerkung: Da wir nun wissen, dass die Kategorie der R-Algebren filtrierende Kolimites, endliche Koprodukte und damit alle Koprodukte besitzt, und natürlich auch Koegalisatoren, besitzt diese Kategorie sogar alle Kolimites, d.h. sie ist kovollständig. Das ganze Vorgehen funktioniert auch für beliebige Kategorien von algebraischen Strukturen, definiert durch Operatoren und Identitäten. makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) makro(sum,bigop(\Sigma,%1,%2)) Nun sind wir dazu bereit, das Tensorprodukt einer beliebigen Familie von R\-Algebren einfach über deren Koprodukt zu definieren, d.h. den Beweisen entsprechend define(Colim,Colim) otimes(A_i, i \in I) = coprod(A_i,i \in I) = bigop(\Colim,,E \subseteq I endlich) otimes(A_i,i \in E) Und dies ist widerum nichts anderes als die direkte Summe der endlichen Tensorprodukte otimes(A_i, i \in E) mit den Identifikationen otimes(A_i,i \in E) \subseteq otimes(A_i,i \in E') für E \subseteq E' via a_1 \otimes ... \otimes a_n == 1 \otimes ... \otimes 1 \otimes a_1 \otimes ... \otimes a_n \otimes 1 \otimes ... \otimes 1. Für endliche I stimmt es mit dem üblichen Tensorprodukt überein. Neben den natürlichen Isomorphismen wie z.B. otimes(A_i,i \in I) \otimes otimes(A_j,j \in J) ~= otimes(A_k,k \in I opimg(\union)^* J), die für alle Koprodukte gelten, hat das Tensorprodukt auch noch folgende Eigenschaften, die im endlichen Fall bekanntlich auch noch als R\-Moduln gelten: \blue\Für jede Menge X von Unbestimmten gilt R[X] ~= otimes(R[{x}],x \in X) als R\-Algebren. Denn nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra R[X] gilt Hom_(R\-Alg)(R[X],S) ~= Abb(X,S) ~= prod(S,x \in X) ~= prod(Hom_(R\-Alg)(R[{x}],S),x \in X) \blue\Für eine Familie von Idealen I_i von R ist otimes(R\/I_i,i \in I) ~= R\/ sum(I_i,i \in I) als R\-Algebren. Denn als Algebrenhomomorphismus R\/I \to S kommt nur \* : r+I \to r*1 in Frage, und dieser existiert genau für I \in ker(R \to S), sodass prod(Hom_(R\-Alg)(R\/I_i,S),i \in I) ~= prod(fdef(\*,falls I_i \subseteq ker(R \to S);\0,sonst),i \in I) = fdef(\*,falls sum(I_i,i \in I) \subseteq ker(R \to S);\0,sonst) = Hom_(R\-Alg)(R\/ sum(I_i,i \in I),S) Viele Eigenschaften dieses Tensorprodukt übertragen sich aus dem endlichen Fall; zum Beispiel der Satz, dass das Tensorprodukt von Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper genau dann nullteilerfrei ist, wenn alle beteiligten Algebren nullteilerfrei sind (für zwei Algebren findet man den Beweis in Bosch, Algebra, Kapitel 7, Lemma 12).
3. Das "multilineare" Tensorprodukt 3.1. Konstruktion und universelle Eigenschaft makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) Wie eingangs erwähnt wollen wir hier das Tensorprodukt über multilineare Abbildungen definieren, sodass die entsprechende universelle Eigenschaft im allgemeinen Fall erhalten bleibt. Dies funktioniert auch für beliebige Moduln. Die Konstruktion funktioniert exakt wie im endlichen Fall. Sei also M_i , i \in I, eine Familie von R\-Moduln, und N ein R\-Modul. Eine Abbildung prod(M_i,i \in I) \to N heiße multilinear, wenn sie in jeder Komponente linear ist, d.h. falls für jedes i_0 \in I und jedes a \in prod(M_i,i \in I \\ menge(i_0)) die kanonische Abbildung M_i_0 bigop(\textrightarrow,,,a) prod(M_i,i \in I) \to N eine R\-lineare Abbildung ist. Das Tensorprodukt soll nun multilineare Abbildungen als Homomorphismen darstellen; dafür kann man diese mit freien Moduln zunächst als Abbildungen darstellen und dann die multilinearen Relationen herausteilen. Im Einzelnen betrachten wir also den freien R\-Modul F := R^((prod(M_i,i \in I))) mit der Inklusionsabbildung array( )^- : prod(M_i,i \in I) \to F, sodass deren Bild eine Basis von F ist. Sei U der Untermodul von F, der von Elementen des folgenden Typs erzeugt wird: multihomogene Relationen: b^- - \l a^-, wobei b durch Skalierung der i. Komponente von a mit \l \in R entsteht. multiadditive Relationen : a^- - b^- - c^-, wobei die i. Komponente von a die Summe der i. Komponenten von b,c ist, und a,b,c überall sonst übereinstimmen. Wir setzen nun otimes(M_i,i \in I) := F\/U. Diese Definition stellt gerade sicher, dass die Homomorphismen otimes(M_i,i \in I) \to N zunächst den Homomorphismen F \to N, die auf den Erzeugern von U verschwinden d.h. multilinear auf der Basis sind, und dann Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N, die multilinear sind - alles auf natürliche Weise. Also gilt die universelle Eigenschaft \blue Hom(otimes(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_i,i \in I),N) Ist nun opimg(\otimes) : prod(M_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) das Bild der Identität dieses Isomorphismus für N=otimes(M_i,i \in I), so liest sich die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes wiefolgt: \blue\Es gibt eine multilineare Abbildung opimg(\otimes) : prod(M_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) mit der Eigenschaft: Für jede multilineare Abbildung f : prod(M_i,i \in I) \to N existiert genau ein \blue\Homomorphismus f^~ : otimes(M_i,i \in I) \to N, sodass f^~ \circ opimg(\otimes) = f. Damit sieht man insbesondere, dass das Tensorprodukt ein Funktor R\-Mod^I \to R\-Mod ist: Sind f_i : M_i \to N_i Homomorphismen, so induziert die multilineare Abbildung prod(M_i,i \in I) \to prod(N_i,i \in I) \to otimes(M_i,i \in I) einen Homomorphismus otimes(M_i,i \in I) \to otimes(N_i,i \in I). Die Bilder opimg(\otimes)((m_i))_(i \in I) der universellen multilinearen Abbildung bezeichnen wir als reine Tensoren. Aus der expliziten Konstruktion ist ersichtlich, dass das Tensorprodukte von den reinen Tensoren erzeugt wird \(natürlich als R\-Modul. Allerdings kann man Skalare mit der Multilinearität in die reinen Tensoren reinziehen, und damit sogar die Aussage als abelsche Gruppe treffen\); da ist \otimes nämlich einfach die Abbildung prod(M_i,i \in I) \to F=R^((prod(M_i,i \in I))) \to F\/U = otimes(M_i,i \in I) 3.2. Natürliche Isomorphismen makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(prod,bigop(\Pi,%1,%2)) makro(sum,bigop(\Sigma,%1,%2)) Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes zieht nun einige natürliche Isomorphien nach sich. Zum Beispiel kann man für jede Permutation \p von I die multilinearen Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N mit den multilinearen Abbildungen prod(M_\p_i,i \in I) \to N identifizieren. Daher gilt \blue otimes(M_i,i \in I) ~= otimes(M_\p_i,i \in I) \black array( ), explizit via array( ) opimg(\otimes) ((m_i))_(i \in I) -> opimg(\otimes) ((m_\p_i))_(i \in I) , insbesondere also M \otimes M' ~= M' \otimes M via m \otimes m' -> m' \otimes m. Weiter lassen sich multilineare Abbildungen prod(M_i,i \in I) \to N, falls I in zwei disjunkte Teilmengen J,K zerfällt, als multilineare Abbildungen von prod(M_j,j \in J) nach dem R\-Modul der multilinearen Abbildungen prod(M_k,k \in K) \to N auffassen, sodass Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_j,j \in J),Mult(prod(M_k,k \in K),N)). Man beachte den Spezialfall für einpunktige K, das heißt Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_i,i \in I \\ menge(j_0)),Hom(M_j_0,N)), j_0 \in I fix, also insbesondere \blue\Hom(M \otimes M',N) ~= Mult(M \times M',N) ~= Hom(M,Hom(M',N)) Daraus folgt nun Mult(prod(M_i,i \in I),N) ~= Mult(prod(M_j,j \in J),Hom(otimes(M_k,k \in K),N)) opimg(~=) Hom(otimes(M_j, j \in J),Hom(otimes(M_k,k \in K),N)) ~= Mult(otimes(M_j, j \in J) \times otimes(M_k,k \in K),N) opimg(~=) Hom( otimes(M_j, j \in J) \otimes otimes(M_k,k \in K),N) und damit \blue otimes(M_j,j \in J) \otimes otimes(M_k,k \in K) ~= otimes(M_i,i \in J opimg(\union)^* K) Explizit wird der Isomorphismus beschrieben durch (opimg(\otimes) ((m_j))_(j \in J)) \otimes ( opimg(\otimes) ((m_k))_(k \in K)) \to opimg(\otimes) ((m_i))_(i \in I) Insbesondere ergibt sich das Assoziativgesetz M_1 \otimes (M_2 \otimes M_2) ~= M_1 \otimes M_2 \otimes M_3 ~= (M_1 \otimes M_2) \otimes M_3 via m_1 \otimes (m_2 \otimes m_3) \to m_1 \otimes m_2 \otimes m_3 \to (m_1 \otimes m_2) \otimes m_3 . Das Tensorprodukt kommutiert im folgenden Sinne mit der direkten Summe: \blue ( bigop(\oplus,M_i,i \in I) ) \otimes N ~= bigop(\oplus,(M_i \otimes N),i \in I) Dies folgt aus der Isomorphie Hom(bigop(\oplus,(M_i \otimes N),i \in I),T) opimg(~=) prod(Hom(M_i \otimes N,T),i \in I) opimg(~=) prod(Hom(M_i,Hom(N,T)),i \in I) opimg(~=) Hom(bigop(\oplus,M_i,i \in I),Hom(N,T)) opimg(~=) Hom((bigop(\oplus,M_i,i \in I)) \otimes N,T) Explizit ist der Isomorphismus durch (sum(m_i,i \in I)) \otimes n -> sum((m_i \otimes n),i \in I) gegeben. Eine offensichtliche Verallgemeinerung ist \blue bigop(\oplus,M_i,i \in I) \otimes bigop(\oplus,N_j,j \in J) ~= bigop(\oplus,M_i \otimes N_j,(i,j) \in I \times J) Der R\-Modul R wirkt beim Tensorprodukt als Einselement, denn es gilt, wie oben gesehen, Mult(R \times M,N) ~= Hom(R,Hom(M,N)) ~= Hom(M,N) und damit R \otimes M ~= M. Falls M ein freier R\-Modul vom Rang d \(eine beliebige Kardinalzahl\) ist, d.h. M ~= R^(d) := bigop(\oplus,R,d), gilt nach bereits gezeitem M \otimes N ~= bigop(\oplus,R \otimes N,d) ~= bigop(\oplus,N,d) = N^(d). Falls auch N frei vom Rang e ist, folgt M \otimes N = (R^(e))^(d) ~= R^((e \times d)). Damit haben wir gezeigt: \blue\Sind M,N freie Moduln vom Rang d bzw. e, so ist M \otimes N frei vom Rang d*e. Ist B eine Basis von M und C eine Basis von N, so ist menge(b \otimes c : b \in B, c \in C) eine Basis von M \otimes N. Das lässt sich induktiv auf endlich viele R\-Moduln übertragen. Nun stellt sich die Frage: \blue\Gilt es auch für unendlich viele?! Im kleinsten Fall sind alle Moduln R, d.h. es geht um otimes(R,i \in I). Zwar folgt induktiv aus R \otimes M ~= M, dass dieses Tensorprodukt für endliche I zu R isomorph ist; allerdings ist völlig unklar, ob dies auch für beliebige I gilt! Die vorigen Eigenschaften waren im Gegensatz dazu allesamt direkte Verallgemeinerungen des bekannten endlichen Falls und galten auch für das Tensorprodukt von R\-Algebren. Für dieses gilt natürlich coprod(R,i \in I) = R als R\-Algebren und damit auch als R\-Moduln, aber das sagt uns nichts über das hier definierte Tensorprodukt, also um "globale" multilineare Abbildungen R^I \to R aus, sondern nur übere "lokale" R^n \to R. In der Tat werden wir in 3.3. Beispiele sehen, in denen otimes(R,i \in I) viel größer als R ist. Vorher noch eine konzeptionelle Bemerkung: Für eine Familie von R\-Algebren A_i , i \in I, wird der R\-Modul otimes(A_i,i \in I) natürlich zu einer R\-Algebra, indem man die Multiplikationen A_i \otimes A_i \to A_i fortsetzt zu otimes(A_i,i \in I) \otimes otimes(A_i,i \in I) \to otimes(A_i \otimes A_i,i \in I) -> otimes(A_i,i \in I), d.h. opimg(\otimes)(x_i) opimg(\otimes)(y_i) = opimg(\otimes)(x_i y_i). 3.3 Das Beispiel \big K \otimes K \otimes ... array( ) . makro(otimes,bigop(\otimes,%1,%2)) makro(sum,bigop(\Sigma,%1,%2)) Wir betrachten im Folgenden zur Vereinfachung Vektorräume, d.h. der Grundring ist ein Körper K. Wir haben bereits gesehen, dass dim(V_1 \otimes ... \otimes V_n) = dim(V_1)* ... * dim(V_n) gilt, und die Frage nach einer Verallgemeinerung bringt uns zum Vektorraum V := otimes(K,i \in \IN) = K \otimes K \otimes ... Wie sieht dieser Vektorraum nun aus? Weil V von den x_1 \otimes x_2 \otimes ... mit x \in (K^\*)^\IN erzeugt wird, gilt dim(V) <= abs((K^\*)^\IN). Zur Abkürzung setzen wir gleich einmal X := (K^\*)^\IN. Die Frage ist nun, wann solche reinen Tensoren linear abhängig sind, bzw. überhaupt != 0. Der Schlüssel ist eine bestimmte Klasse von multilinearen Abbildungen: Für x \in X definiere f_x : K^\IN \to K , a \to fdef(prod(a_i/x_i,i=1,\inf),x_i != a_i nur endlich oft;0,sonst) Im unendlichen Produkt kommen nur endlich viele Faktoren != 1 vor, sodass es auch gebildet werden kann. Ferner ist leicht zu sehen, dass f_x eine multilineare Abbildung ist; außerdem gilt f_x(x)=1. Es gibt also eine Linearform V \to K, die wir auch f_x nennen, die x_1 \otimes x_2 \otimes ... auf 1 abbildet. Insbesondere ist x_1 \otimes x_2 \otimes ... !=0. Außerdem gilt: Für jedes y \in X mit x_i != y_i unendlich oft, gilt f_x(y_1 \otimes y_2 \otimes ...)=0. Insbesondere sehen wir: Ist x_1 \otimes ... = y_1 \otimes ..., so gilt x_i != y_i nur endlich oft, d.h. ab einem Index N stimmen die Folgen überein. Es folgt dann x_1 ... x_(N-1) (1 \otimes ... \otimes 1 \otimes x_N \otimes ...) = y_1 ... y_(N-1) (1 \otimes ... \otimes 1 \otimes x_N \otimes ...) und damit x_1 ... x_(N-1) = y_1 ... y_(N-1). Halten wir also fest: \blue\Für x,y \in X gilt x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ... genau dann, wenn x,y ab einem Index N übereinstimmen und x_1 ... x_N = y_1 ... y_N. Das führt uns zu einer Äquivalenzrelation ~ auf X: Es sei x ~ y genau dann, wenn es einen Index gibt, ab dem x und y übereinstimmen. Als nächstes sehen wir, dass paarweise nicht\-äquivalente von X linear unabhängige Tensoren liefern. Zum Bewies nehmen wir uns also x^1 , .. , x^n \in X paarweise nicht\-äquivalent und \l_i \in K mit \l_1 (x_1^1 \otimes x_2^1 \otimes ...) + ...+ \l_n (x_1^n \otimes x_2^n \otimes ...) = 0 Wir wollen zeigen, dass die \l_i = 0 sind. Zum Beweis können wir die Summanden mit \l_i = 0 außer Betracht lassen, sei also \l_i != 0 für alle i. Dann können wir die Skalare in die reinen Tensoren reinziehen, (\l_1 x_1^1 \otimes x_2^1 \otimes ...) + ...+ (\l_n x_1^n \otimes x_2^n \otimes ...) = 0, und erhalten eine Summe von reinen Tensoren, die ebenfalls von nicht\- äquivalenten Elementen von X kommen. Wendet man nun z.B. die zum ersten Tensor zugehörige Linearform an, so folgt der Widerspruch 1=0. Damit haben wir aber schon eine Basis des Vektorraumes V! Nämlich die Tensoren x_1 \otimes x_2 \otimes ..., wobei x ein Repräsentantensystem R von ~ auf X durchläuft. Dass die Indexmenge bisher \IN war, diente nur als Vereinfachung der Notation. Man erhält dasselbe Resultat, wenn man eine beliebige unendliche Menge I nimmt, und auf X=(K^\*)^I die Relation ~ einführt, wobei x ~ y <=> x_i != y_i nur endlich oft. \blue\Sei I unendlich. Die Tensoren opimg(\otimes)((x_i)), wobei x ein Repräsentantensystem von ~ auf X=(K^\*)^I durchläuft, bilden eine Basis des Vektorraumes V=otimes(K,i \in I). Die genannten Tensoren sind, wie wir wissen, auch paarweise verschieden, sodass dim(V)=abs(R). Schließlich wollen wir damit die Dimension von V bestimmen. Dabei werden einige Sätze aus der Mengenlehre verwendet. Es gibt einen pathologischen Fall, nämlich K = \IF_2 . Hier ist (1,1,...) der einzige Repräsentant der einzigen Äquivalenzklasse, und damit dim(V)=1, was auch =abs(X) ist. Nun sei also K != \IF_2. Die (a,a,...) mit a \in K^\* sind paarweise nicht\-äquivalent, sodass abs(R)>=abs(K^\*). Wenn K endlich, gilt für die Äquivalenzklassen r^- : abs(r^-) <= abs(union((K^\*)^E,E \subseteq I endlich)) <= sum(abs(\IN),E \subseteq I endlich) <= abs(E(I)) * abs(\IN) = abs(I) Und im Falle K unendlich gilt abs(r^-) <= abs(union((K^\*)^E,E \subseteq I endlich)) <= sum(abs(K^\*),E \subseteq I endlich)<=abs(E(I))* abs(K^\*) = abs(I) * abs(K^\*) Also gilt in jedem Falle abs(2^I) <= abs(X) = sum(abs(r^-),r \in R) <= abs(R) abs(I) abs(K^\*) = abs(R) abs(I). Hieraus folgt zunächst abs(R) > abs(I) und weiter abs(R) abs(I)=abs(R), also abs(X)<=abs(R)<=abs(X)! Damit ist gezeigt, dass in jedem Fall gilt: \blue dim(V) = abs((K^\*)^I) Das multilineare Tensorprodukt ist hier also für K != \IF_2 sehr viel größer als das Tensorprodukt von Algebren. Nun ist V natürlich auch eine K\-Algebra. Für ihr Verständnis haben wir schon alles zusammen: Unsere Basis von V kann man mit X\/~, und dies wiederum mit der Quotientengruppe \blue G = (K^\*)^I \/ (K^\*)^(I) \black\identifizieren. Die Multiplikation der reinen Tensoren geschieht wie in G komponentenweise. Jetzt ist es klar: V ist einfach die \blue\Gruppenalgebra K[G]\black\! (\red\Falsch! Dies gilt nur, wenn man ein multiplikativ abgeschlossenes R findet! \black) Genauer gibt es einen Vektorraumisomorphismus V ~= K^((X\/~)) = K^(G) = K[G], der auf der Basis explizit durch \otimes (x) \to x^- gegeben ist; da die Abbildung darauf multiplikativ ist, ist sie ein K\-Algebren\-Isomorphismus. Damit sieht man z.B. sofort - im Gegensatz zum Tensorprodukt von Algebren - dass V Nullteiler != 0 haben kann: Für char(K)!=2 oder K endlich bekommt man nichttriviale Torsionselemente in K^\*, damit in G, und damit nichttriviale Nullteiler \(wenn ord(g)=m in G, so ist (g-1)(g^(m-1)+...+g+1)=0 in K[G]\). Man könnte noch andere Fragen stellen, z.B. wie die Einheitengruppe von V aussieht, oder die Gruppe der K\-Algebren\-Automorphismen: Jede Permutation von I induziert einen Automorphismus, ferner gibt es noch den "Frobenius" x_1 \otimes x_2 \otimes ... \mapsto 1 \otimes x_1 \otimes x_2 \otimes ..., wird die Automorphismengruppe von diesen schon erzeugt? Was kann man aussagen, wenn man den Körper K durch einen Ring ersetzt - da ist nicht einmal klar, ob R \otimes R \otimes ... frei ist, etc. Aber ich belasse es hier einmal damit. #;-) Martin
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: Mathematik :: Algebra :: Lineare Algebra :: Multilineare Algebra :: Tensoren :: Reine Mathematik :
Unendliche Tensorprodukte [von Martin_Infinite]  
Untersuchung der Sinnhaftigkeit von Tensorprodukten unendlich vieler Moduln. u.A. wird neben der üblichen Definition über multilineare Abbildungen eine weitere Definition für Algebren vorgestellt und deren Auswirkungen besprochen.
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"Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte" | 5 Comments
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Re: Unendliche Tensorprodukte
von: cow_gone_mad am: Sa. 10. März 2007 15:23:31
\(\begingroup\)Hallo Martin 😄 Mir ist am Anfang etwas nicht ganz klar. 😉 \ Warum schreibst du am Anfang vom zweiten Teil, für die Multiplikation: A \otimes A \to A und nicht A \times A \to A oder meinst du da nicht die einfache klassische Multiplikation? Also das man aus zwei 2 \times 2 Matrizen wieder eine 2 \times 2 Matrix macht. (Das Tensorprodukt wäre ja bekanntlich 4 \times 4). Der Rest ist noch nicht verdaut... 😉 Allerdings noch die typischen Fragen: Wie sieht es eigentlich dann mit dem nehmen des Dualraums aus? Man hat dann ja im endlich dimensionalen Fall viele netten Eigenschaften. Wie stehe es um symmetrische und alternierende Teilräume? Gitb es die? Liebe Grüsse und danke für den Artikel, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Ex_Mitglied_4018 am: Sa. 10. März 2007 15:24:18
\(\begingroup\)Was mir auffällt: dim(V)=|X| gilt immer, denn im Falle K=F_2 ist X einelementig. So sieht F_2 nicht mehr so pathologisch aus. @cow Bilineare Abbildungen AxA->A (wie Multiplikationen) sind Homomorphismen A tensor A -> A\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: Sa. 10. März 2007 16:23:55
\(\begingroup\)@helge: es gibt sicherlich noch viel zu ergründen, eventuell in einem zweiten teil (oder von euch?). mir ist heute nacht bei einer verallgemeinerung des beispieles noch einiges eingefallen - dabei kam ich aus *versehen* auf dualräume :-). deine frage hätte ich eventuell schon im artikel beantworten sollen, aber nach zaos' hinweis sollte es klar sein. @zaos: danke, das habe ich bisher übersehen *editier*.\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: Sa. 16. Juni 2007 15:10:47
\(\begingroup\)noch eine kleine anmerkung: das tensorprodukt von R-algebren kann man auch als untermodul des 'multilinearen tensorproduktes' auffassen; und zwar wird dieser von den reinen tensoren erzeugt, die bis auf endlich viele einträge nur aus der 1 bestehen. mehr über unendliche tensorprodukte, wo allerdings immer eine solche endlichkeitsbedingung gemacht wird, findet man z.B. hier: www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1966_3_83_1_1_0 ich frage mich ja immer noch, ob das tensorprodukt bisher ohne eine solche bedingung untersucht wurde und ob man etwas sinnvolles darüber aussagen kann. habe zwar einige vermutungen bekommen, aber es wollen keine beweise gelingen :).\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: So. 22. Juni 2008 15:09:53
\(\begingroup\) Die Existenz von Koprodukten in R\-Alg \(und genauso in Ab, Grp) lässt sich ganz einfach zeigen: Für freie R\-Algebren A_i, also A_i = R[X_i] mit Mengen X_i, ist R[X] das Koprodukt der A_i, wenn man X als das Koprodukt \(disjunkte Vereinigung\) der X_i wählt. Im allgemeinen Fall schreibe A_i = R[X_i] \/ K_i. Dann ist array(R[X] \/ \< K_i für alle i\>) ein Koprodukt der A_i. Das scheint in allgemeineren Kategorien zu funktionieren, in denen man Quotienten bilden, Unterobjekte vereinigen kann und einen linksadjungierten Funktor in eine Kategorie mit Koprodukten hat. \(\endgroup\)
 

 
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