Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte
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Section Kopf
Title Unendliche Tensorprodukte
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Section 2
Title 1. Einleitung
Created 2007-03-06 15:32:03 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 1967 Bytes

2437 charactes in tolal


Section 2
Title 2. Das Tensorprodukt von Algebren
Created 2007-03-06 15:32:37 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 8845 Bytes

11282 charactes in tolal


Section 3
Title 3. Das multilineare Tensorprodukt
Created 2007-03-06 15:32:57 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Algebra :: Lineare Algebra :: Multilineare Algebra :: Tensoren :: Reine Mathematik :
Unendliche Tensorprodukte [von Martin_Infinite]  
Untersuchung der Sinnhaftigkeit von Tensorprodukten unendlich vieler Moduln. u.A. wird neben der üblichen Definition über multilineare Abbildungen eine weitere Definition für Algebren vorgestellt und deren Auswirkungen besprochen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte" | 5 Comments
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Re: Unendliche Tensorprodukte
von: cow_gone_mad am: Sa. 10. März 2007 15:23:31
\(\begingroup\)Hallo Martin 😄 Mir ist am Anfang etwas nicht ganz klar. 😉 \ Warum schreibst du am Anfang vom zweiten Teil, für die Multiplikation: A \otimes A \to A und nicht A \times A \to A oder meinst du da nicht die einfache klassische Multiplikation? Also das man aus zwei 2 \times 2 Matrizen wieder eine 2 \times 2 Matrix macht. (Das Tensorprodukt wäre ja bekanntlich 4 \times 4). Der Rest ist noch nicht verdaut... 😉 Allerdings noch die typischen Fragen: Wie sieht es eigentlich dann mit dem nehmen des Dualraums aus? Man hat dann ja im endlich dimensionalen Fall viele netten Eigenschaften. Wie stehe es um symmetrische und alternierende Teilräume? Gitb es die? Liebe Grüsse und danke für den Artikel, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Ex_Mitglied_4018 am: Sa. 10. März 2007 15:24:18
\(\begingroup\)Was mir auffällt: dim(V)=|X| gilt immer, denn im Falle K=F_2 ist X einelementig. So sieht F_2 nicht mehr so pathologisch aus. @cow Bilineare Abbildungen AxA->A (wie Multiplikationen) sind Homomorphismen A tensor A -> A\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: Sa. 10. März 2007 16:23:55
\(\begingroup\)@helge: es gibt sicherlich noch viel zu ergründen, eventuell in einem zweiten teil (oder von euch?). mir ist heute nacht bei einer verallgemeinerung des beispieles noch einiges eingefallen - dabei kam ich aus *versehen* auf dualräume :-). deine frage hätte ich eventuell schon im artikel beantworten sollen, aber nach zaos' hinweis sollte es klar sein. @zaos: danke, das habe ich bisher übersehen *editier*.\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: Sa. 16. Juni 2007 15:10:47
\(\begingroup\)noch eine kleine anmerkung: das tensorprodukt von R-algebren kann man auch als untermodul des 'multilinearen tensorproduktes' auffassen; und zwar wird dieser von den reinen tensoren erzeugt, die bis auf endlich viele einträge nur aus der 1 bestehen. mehr über unendliche tensorprodukte, wo allerdings immer eine solche endlichkeitsbedingung gemacht wird, findet man z.B. hier: www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1966_3_83_1_1_0 ich frage mich ja immer noch, ob das tensorprodukt bisher ohne eine solche bedingung untersucht wurde und ob man etwas sinnvolles darüber aussagen kann. habe zwar einige vermutungen bekommen, aber es wollen keine beweise gelingen :).\(\endgroup\)
 

Re: Unendliche Tensorprodukte
von: Martin_Infinite am: So. 22. Juni 2008 15:09:53
\(\begingroup\) Die Existenz von Koprodukten in R\-Alg \(und genauso in Ab, Grp) lässt sich ganz einfach zeigen: Für freie R\-Algebren A_i, also A_i = R[X_i] mit Mengen X_i, ist R[X] das Koprodukt der A_i, wenn man X als das Koprodukt \(disjunkte Vereinigung\) der X_i wählt. Im allgemeinen Fall schreibe A_i = R[X_i] \/ K_i. Dann ist array(R[X] \/ \< K_i für alle i\>) ein Koprodukt der A_i. Das scheint in allgemeineren Kategorien zu funktionieren, in denen man Quotienten bilden, Unterobjekte vereinigen kann und einen linksadjungierten Funktor in eine Kategorie mit Koprodukten hat. \(\endgroup\)
 

 
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