Mathematik: Integrale vektorwertiger Funktionen
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Analysis

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ntegration vektorwertiger Funktionen I: Das Bochner-Integral


Die Integrationstheorie, die man im Grundstudium kennenlernt, beschränkt sich meist auf das Lebesgue-Integral.

Dieses hat sich in der Vergangenheit als äußerst zufriedenstellender Integralbegriff für reellwertige Funktionen herausgestellt, der etwa gegenüber dem Riemann-Integral klar im Vorteil ist, z.B. durch die Vollständigkeit der \calL^p -Räume und die Einbeziehung von Funktionen mit einem beliebigen Maßraum als Definitionsbereich.

Jedoch ist es in einigen Anwendungen z.B. aus der Physik, der Stochastik oder der Funktionalanalysis wünschenswert, noch allgemeinere Begriffe zur Verfügung zu haben, um auch Funktionen integrieren zu können, die ein umfangreicheres Spektrum von Wertebereichen abdecken.

Ich möchte in diesem Artikel das so genannte Bochner-Integral vorstellen, welches den Begriff des Lebesgue-Integrals auf gewisse Banachraum-wertige Funktionen verallgemeinert.


Inhalt


Ich möchte unbedingt voran stellen, dass man eine gewisse Übersicht über das Lebesgue-Integral, seine Konstruktion und seine Eigenschaften haben sollte, um die Beweise und Ideen des Bochner-Integrals zu verstehen.

Warum Banachräume?

Wir haben uns also als Ziel gesetzt, das Lebesgue-Integral für Funktionen mit weiter gefasstem Wertebereich zu verallgemeinern. Es stellt sich die Frage, wie weit gefasst denn diese Wertebereiche überhaupt sein dürfen, damit wir einen "vernünftigen" Integralbegriff bekommen können. Ein sinnvoller Integralbegriff muss auf jeden Fall Linearitätseigenschaften haben, d.h. mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sein. Wir brauchen also einen Vektorraum, das ist unserer erste Einschränkung. Um vernünftig Analysis betreiben zu können, brauchen wir aber mehr als das. Wir brauchen einen Stetigkeitsbegriff, also eine Topologie, die natürlich mit der Vektorraumstruktur verträglich sein sollte. Es gibt nun verschiedene Ansätze, die von hier aus weiter gehen. Unser Ansatz wird die bekannte Vorgehensweise zum Lebesgue-Integral imitieren und das Integral einer Funktion als Limes von Integralen einfacherer Funktionen zu beschreiben. Daher brauchen wir einen Raum, indem wir vernünftig mit Folgen umgehen können. Es sollte also ein topologischer Vektorraum sein, der mindestens erst-abzählbar und Hausdorff ist, damit wir topologische Eigenschaften durch Folgen beschreiben können und deren Grenzwerte auch eindeutig bestimmt sind. Das alleine reicht schon aus, damit der betrachtet Vektorraum metrisierbar ist (Für einen Beweis verweise ich wieder einmal auf mein Notizbuch). Man kann die Metrik sogar so wählen, dass sie unter Addition invariant ist, d.h. es gilt: \forall\ u,v,w\el\ V: d(v,w)=d(v+u,w+u) Ein Vektorraum, auf dem eine solche Metrik definiert ist und bezüglich derer die Skalarmultiplikation stetig ist, wird auch metrischer Vektorraum genannt. (Die Addition ist automatisch stetig in solchen Räumen) Damit sind wir schon gar nicht mehr weit entfernt von einem normierten Raum. Und genau solche Räume wollen wir betrachten. Richtig Spaß macht das natürlich erst bei vollständigen, also Banachräumen.
Zusammenfassend fordern wir also von den Vektorräumen, die wir hier betrachten, dass sie Banachräume sind.

Messbare und separable Abbildungen

In diesem Abschnitt wollen wir ein paar grundlegende Sachen über Messbarkeit von Funktionen und ihre topologischen Eigenschaften herausfinden. Dazu brauchen wir vorerst nicht, dass X normiert ist. Wir werden meist mit der Topologie alleine oder dem metrischen Raum auskommen. Es sei ab jetzt (\Omega,\frakA,\mue) immer ein Maßraum. Es gibt auf X wie auf jedem topologischen Raum eine natürliche \sigma-Algebra nämlich die der Borelmengen \frakB(X). Wir werden eine Abbildung \Omega->X, die \frakA-\frakB(X)-messbar ist, einfach \stress\ messbar\normal nennen. Eine Funktion werden wir \stress\ Elementarfunktion\normal nennen, wenn sie messbar ist und f(\Omega) endlich ist. Wesentlich für uns wird auch die Eigenschaft der Separabilität sein. Im Allgemeinen sind Banachräume nicht separabel, aber wir werden vor allem "lokale" Separabilität brauchen. Dazu definieren wir: Ist X ein topologischer Raum, \Omega eine beliebige, nichtleere Menge und f eine Funktion \Omega->X, dann heißt f \stress\ separabel\normal||, wenn es eine abzählbare Menge Y\subseteq\ X mit f(\Omega)\subseteq\ Y^- gibt. Wir werden uns nun ein wenig genauer mit der Verbindung von Messbarkeit und Separabilität widmen. Wie schon gesagt, werden wir uns vor allem über Folgen den Problemen der Integration nähern. Daher beweisen wir jetzt:
\ll(Lemma 1) Seien f,f_n: \Omega->X Abbildungen in einen metrischen Raum X mit f_n->f. (a) Sind alle f_n separabel, so auch f. (b) Sind alle f_n messbar, so auch f.
\blue\ Beweis: Seien für den Beweis von \ref(a) Y_n abzählbare Mengen mit f_n(\Omega)\subseteq\ (Y_n)^-. Wir setzen Y:=union(Y_n,n\in\IN), was offenbar abzählbar ist. Wir werden zeigen, dass f(\Omega)\subseteq\ Y^- ist. Sei nun U eine beliebige offene Menge mit f(\omega)\in\ U. Da die Folge konvergiert, gibt es ein n\in\IN mit f_n(\omega)\in\ U. Da f_n(\omega)\in\ (Y_n)^-, ist also U\cut\ Y_n!=\0 => U\cut\ Y!=\0, also ist f(\Omega)\subseteq\ Y^-. \blue\checked Nun zur Messbarkeit: In einem metrischen Raum ist jedes abgeschlossene A Urbild einer stetigen Funktion g:X->\IR, z.B. indem man g(x):=d(x,A):=inf(a\in\ A,d(x,a)) setzt. Dann ist nämlich A=g^(-1)({0}). Haben wir nun wieder die Situation f_n->f, so betrachten wir die Urbilder f^(-1)(A) von abgeschlossenen Mengen A\subseteq\ X. Diese haben wie eben gesehen die Form g^(-1)(A') wobei A'\subseteq\IR abgeschlossen und g:X->\IR stetig ist. Da aber wegen der Stetigkeit g\circ\ f_n->g\circ\ f ist und die Aussage für \IR bereits bekannt ist, ist g\circ\ f \frakA-\frakB(\IR)-messbar. Damit ist f^(-1)(A)=f^(-1)(g^(-1)(A'))=(g\circ\ f)^(-1)(A')\el\frakA. Da die abgeschlossenen Mengen die Borelmengen von X erzeugen, folgt auch so die Messbarkeit von f. \blue\ q.e.d. Das sind eigentlich nur topologische Grundlagen bisher... kümmern wir uns nun ein bisschen um die Vektorraumstruktur und ihr Zusammenspiel mit Messbarkeit und Separabilität:
\ll(Lemma 2) Sei X ein topologischer Vektorraum und f,g:\Omega->X separable Abbildungen. Dann ist auch f+g separabel.
\blue\ Beweis: Seien Y,Z\subseteq\ X abzählbare Mengen mit f(\Omega)\subseteq\ Y^-=, g(\Omega)\subseteq\ Z^-. =>(f+g)(\Omega)\subseteq\ f(\Omega)+g(\Omega)\subseteq\ Y^-+Z^-. Ist a die Additionsabbildung: X\times\ X->X, so gilt Y^-\times\ Z^-=(Y\times\ Z)^-\subseteq\ a^(-1)((Y+Z)^-) => Y^-+Z^-\subseteq\ (Y+Z)^- => (f+g)(\Omega)\subseteq\ (Y+Z)^- => f+g ist separabel, da Y+Z abzählbar ist. \blue\ q.e.d. Im Zusammenspiel mit dem Lemma davor wissen wir also auch, dass Reihen von separablen Funktionen separabel sind. Aber warum beschäftigen wir uns überhaupt mit separablen Funktionen? Die Messbarkeit ist ja noch einsichtig, aber wieso ist die anscheinend willkürlich ausgewählte Eigenschaft der Separabilität so wichtig? Dies werden wir nun sehen:
\ll(Lemma 3) Ist X ein metrischer Vektorraum, so ist für f:\Omega->X ist äquivalent: (a) Es gibt Elementarfunktionen f_N: \Omega->X mit f_N->f. (b) f ist messbar und separabel. Es gibt eine Folge f_N wie in (a), sodass d(f_N(\omega),0)<=2*d(f(\omega),0) gilt.
\blue\ Beweis: \ref(a)=>\ref(b) folgt aus Lemma 1, da alle Elementarfunktionen nach Definition messbar und separabel sind \(weil sie ein endliches Bild haben\). \ref(b)=>\ref(a) Für die Umkehrung sei Y=menge(y_n | n\in\IN) mit f(\Omega)\subseteq\ Y^-. OBdA sei außerdem 0\notin\ Y. Für n\in\IN,\delta>0 setzen wir A_n^\delta:=f^(-1)(X\\B_\delta\.(0)\cut\ B_\delta\.((y_n))). Es ist also \omega\el\ A_n^\delta <=> d(f(\omega),0)>=\delta\and\ d(f(\omega),y_n)<\delta. Wir definieren weiter B_n^\delta:=A_n^\delta \\ union(A_k^\delta,k=\delta), da f(\Omega)\subseteq\ Y^- ist. Wir definieren nun für alle M,N mit M<=N: g_NM := sum(\chi_(B||array(\small\ 1\/M;n\normal))*y_n,n<=N) Man beachte, dass g_NM(\omega)!=0 <=> \omega\in\ union(B||array(\small\ 1\/M;n\normal),n<=N) gilt, da die y_n alle ungleich 0 sind. Falls g_NM(\omega)=0 für alle M<=N ist, so setzen wir auch f_N(\omega):=0. Gibt es hingegen ein M<=N mit g_NM(\omega)!=0, so setzen wir f_N(\omega):=g_NM_0(\omega) wobei M_0:=max|menge(M<=N | g_NM(\omega)!=0)=max|menge(M<=N | \omega\in\ union(B||array(\small\ 1\/M;n\normal),n<=N) sei. \(Das hängt zwar von \omega und N ab, aber um die Notation nicht noch weiter zu verkomplizieren, schreiben wir dies nicht mit\) Da B_n^\delta\in\frakA ist, sind alle g_NM Elementarfunktionen und daher auch f_N. Wir werden zeigen, dass lim(N\to\inf,f_N)=f gilt. Zunächst halten wir fest, dass nach Konstruktion \ll(*)\forall\omega\in\ union(union(B||array(\small\ 1\/M;n\normal),n<=N),M<=N): d(f(\omega),f_N(\omega))<1/M_0 gilt, denn f_N(\omega) ist nach Definition gleich g_NM_0(\omega) und das ist gleich y_n, wobei n der \(wegen Disjunktheit eindeutige\) Index mit \omega\in\ B||array(\small\ 1\/M_0;n\normal)\subseteq\ A||array(\small\ 1\/M_0;n\normal) ist. Nach Definition von A_n^\delta folgt daraus d(f(\omega),y_n)<1/M_0 und das zeigt \ref(*). Kommen wir nun zum Beweis, dass punktweise f_N\to\ f gilt. Wir unterscheiden zwei Fälle: Ist f(\omega)=0, so ist nach Definition \omega\notin\ B_n^\delta für alle n\in\IN und \delta>0, d.h. es gilt g_NM(\omega)=0 für alle N,M und daher auch f_N(\omega)=0 für alle N\in\IN. Ist hingegen f(\omega)!=0 und N_0>>0 beliebig mit 1/N_0=max|menge(N_0, n_0)): \omega\in\ B||array(\small\ 1\/N_0;n_0\normal) => \omega\in\ union(B||array(\small\ 1\/N_0;n\normal),n<=N) => M_0>=N_0 => d(f(\omega),f_N(\omega))<1/M_0<=1/N_0 wegen \ref(*) Da N_0>>0 beliebig war, gilt also lim(N\to\inf,f_N(\omega))=f(\omega) wie behauptet. \blue\checked Für alle N und \omega\in\ B||array(\small\ 1\/M;n\normal) mit n,M<=N gilt nun g_NM(\omega)=y_n => d(g_NM(\omega),0)=d(y_n,0)<=1/M+d(f(\omega),0)<=2*d(f(\omega),0) nach Definition von A_n^\delta. Da dies für alle n,M wahr ist, gilt auch für die f_N: \forall\omega\in\ union(union(B||array(\small\ 1\/M;n\normal),n<=N),M<=N): d(f_N(\omega),0)<=2*d(f(\omega),0) Für alle anderen \omega ist nach Konstruktion aber f_N(\omega)=0, sodass auch dann die Ungleichung gilt. \blue\ q.e.d. In normierten Räumen schreibt sich jene letzte Ungleichung natürlich einfach als norm(f_N)<=2*norm(f), was natürlich eine sehr nützliche Abschätzung darstellt. Wir hatten uns ja vorgenommen, das Integral einer Funktion durch einen Grenzwert einer Folge von Integralen einfacherer Funktionen zu definieren. Diese "einfachen" Funktionen sind natürlich die Elementarfunktionen. Das Lemma hier sagt uns nun, welche Funktionen überhaupt in Frage kommen können für diesen Ansatz, nämlich genau die messbaren, separablen Funktionen.
\ll(Lemma 4) Sei X ein metrischer Vektorraum und \calL^0:=menge(f:\Omega->X | f messbar und separabel) (a) \calL^0 ist ein Untervektorraum von X^\Omega. (b) Ist s:\Omega->\IR messbar und f\in\calL^0, so ist auch s*f\in\calL^0.
\blue\ Beweis: \ref(a) ergibt sich aus \ref(Lemma 3), denn wenn f=lim(n->\inf,f_n) und g=lim(n->\inf,g_n) mit Elementarfunktionen f_n, g_n sind, dann ist f+g=lim(n->\inf,f_n+g_n) auch Limes von Elementarfunktionen, also in \calL^0. Die Multiplikation mit einem Skalar !=0 ist ein Homöomorphismus X->X erhält also Messbarkeit und Separabilität. Die Nullfunktion ist als konstante Funktion natürlich sowohl messbar als auch separabel. \blue\checked Sind s und f Elementarfunktionen, etwa s=sum(\chi_A_k*\a_k,k=1,n) und f=sum(\chi_B_i*\x_i,i=1,m) mit A_k, B_i\in\frakA, \a_k\in\IR und \x_i\in\ X, so gilt s*f=sum(sum(\chi_(A_k\cut\ B_i)*\a_k*\x_i,i=1,n),k=1,m), was wiederum eine Elementarfunktion ist. Da f im allgemeinen Fall als separabel vorausgesetzt ist und s dies sowieso ist \(\IR=\IQ^- !\), gibt es Elementarfunktionen s_n, f_n mit s=lim(n->\inf,s_n) und f=lim(n->\inf,f_n). Es ist dann s*f=lim(n->\inf,s_n*f_n) ein punktweiser Limes von Elementarfunktionen also selbst in \calL^0. \blue\ q.e.d.

Die Integraldefinition

Ab jetzt arbeiten wir wieder nur mit Banachräumen. Ein grundlegendes Problem bei der nun anstehenden Definition des Integrals erkennt man sofort: Im Fall X=\IR konnte man sehr gut mit der erweitertern Zahlengerade \IR^-:=\IR\union\ menge(+-\inf) rechnen und vieles sehr elegant klären, indem man den Wert \inf für Integrale einfach zuließ. Wenn wir nun mit vektorwertigen Funktionen arbeiten, kann dieser Ansatz natürlich nicht mehr funktionieren. Wir müssen also alles gleich im Endlichen machen und können nicht wie im Reellen "erst mal drauflos integrieren" und dann gucken, ob etwas Endliches dabei heraus kommt. Mit dieser Erkenntnis im Hinterkopf gehen wir aber erstmal in Analogie zum Lebesgue-Integral vor: Eine Elementarfunktion s(\omega)=sum(\chi_A_i(\omega)*\a_i,i=1,n) heißt integrierbar, wenn \mue(A_i)<\inf für alle i=1...n ist. Der Wert int(s,\mue):=sum(\mue(A_i)*\a_i,i=1,n) heißt verallgemeinertes Lebesgue\-Integral oder auch Bochner\-Integral von s. Man überzeugt sich leicht davon, dass dies wohldefiniert ist, der Wert des Integrals also von der Summenzerlegung von s unabhängig ist. Direkt aus dieser Definition mit sehr geringem Aufwand lässt sich auch norm(int(s,\mue))<=int(norm(s),\mue)<\inf leicht ableiten. Wir wollen nun für möglichst vielen messbaren Funktionen \Omega->X ein Integral als Grenzwert von Integralen von Stufenfunktionen definieren. Wie wir eben gesehen haben, kommen dafür nur Funktionen in Frage, deren Bilder separabel sind. Schon aus dem Eindimensionalen wissen wir, dass Grenzübergänge und Integration nicht immer vertauschen. Wir müssen also auch die Elementarfunktionen einschränken, die wir betrachten. In Anlehnung an das Kriterium, dass f:\Omega->\IR genau dann Lebesgue-integierbar ist, wenn int(abs(f),\mue)<\inf ist, untersuchen wir den Zusammenhang zwischen konvergenten Elementarfunktionen und dem Integral int(norm(f),\mue):
\ll(Satz 5) (a) Für eine messbare, separable Funktion f:\Omega->X sind äquivalent: $ $(i) $ int(norm(f),\mue)<\inf $ $(ii) $Es gibt eine Folge von integrierbaren Elementarfunktionen $ $ $ $ $ s_n mit int(norm(s_n-f),\mue)->0 (b) Für jede Folge wie in (ii) existiert der Grenzwert lim(n->\inf,int(s_n,\mue)) (c) Für je zwei Folgen wie in (ii) stimmen die Grenzwerte aus (b) überein.
\blue\ Beweis: Am einfachsten ist \ref(ii)=>\ref(i): int(norm(f),\mue)<=int(norm(f-s_n),\mue)+int(norm(s_n),\mue) Wenn man also ein genügend großes n wählt, ist der Ausdruck <\inf. Sei umgekehrt f messbar und separabel mit int(norm(f),\mue)<\inf. Wir haben schon gesehen, dass es eine Folge s_n gegeben muss mit s_n->f und dass diese s_n so gewählt werden können, dass norm(s_n-f)<=norm(s_n)+norm(f)<=3*norm(f) ist. norm(s_n-f) konvergiert punktweise gegen 0 und ist durch die Lebesgue-integrierbare Funktion 3*norm(f) nach oben beschränkt. Aus dem Satz von Lebesgue ergibt sich also das Gewünschte int(norm(s_n-f),\mue)->int(0,\mue)=0 \blue\checked Sei s_n eine Folge mit int(norm(s_n-f),\mue)->0. Dann gilt: norm(int(s_n,\mue)-int(s_m,\mue))=norm(int(s_n-s_m,\mue)) <=int(norm(s_n-s_m),\mue) <=int(norm(s_n-f),\mue)+int(norm(f-s_m),\mue) Also ist int(s_n,\mue) eine Cauchy-Folge in X. Mit der Vollständigkeit ergibt sich also, dass es einen Grenzwert von int(s_n,\mue) geben muss. \blue\checked Haben wir s_n und t_n mit int(norm(s_n-f),\mue)->0 und int(norm(t_n-f),\mue)->0, so gibt, wie eben gesehen, die Grenzwerte S=lim(n->\inf,int(s_n,\mue)) und T:=lim(n->\inf,int(t_n,\mue)). => norm(S-T)=lim(n->\inf,norm(int(s_n-t_n,\mue))) <=lim(n->\inf,int(norm(s_n-t_n),\mue)) <=lim(n->\inf,(int(norm(s_n-f),\mue)+int(norm(f-t_n),\mue))) =0 => S=T \blue\ q.e.d.
\ll(Definition) Wir definieren also, dass wir eine Funktion f:\Omega->X array(Bochner\-integrierbar)____ nennen, wenn f messbar und separabel ist und int(norm(f),\mue)<\inf erfüllt. Ihr Integral ist dann natürlich definiert als der gemeinsame Grenzwert von Folgen wie in (b).
Noch kurz ein Wort zur Vollständigkeit. Dieser Satz hier ist die einzige Stelle, an der wir die Vollständigkeit wirklich brauchen. Ein etwas anderer Ansatz besteht daher darin, das Integral als Vektor in der Vervollständigung von X zu definieren. Speziell für Banachräume kann die Vervollständigung als Abschluss von X in X^\*\* konstruiert werden, sodass das Integral dann ein Element von X^\*\* wäre.

Eigenschaften des Integrals

Mit dieser Definition verhält sich das Bochner-Integral sehr ähnlich wie das Lebesgue-Integral:
\ll(Satz 6) (a) Die Bochner-integrierbaren Funktionen \Omega->X bilden einen \IR\-Vektorraum $ $\calL||array(\small\ 1;X\normal)(\mue), der durch norm(f)_array(\calL^1):=int(norm(f),\mue) halbnormiert ist. (b) Für alle f\in\calL||array(\small\ 1;X\normal)(\mue) gilt norm(int(f,\mue))<=int(norm(f),\mue) (c) Das Integral ist eine stetige lineare Abbildung \calL||array(\small\ 1;X\normal)(\mue)->X.
\blue\ Beweis: Eigentlich ist klar, wie es geht: Wir haben als Folgerung aus \ref(Lemma 3) gesehen, dass \a\.f+\b\.g messbar und separabel sind. Es gilt natürlich auch int(norm(\a\.f+\b\.g),\mue)<=abs(\a)*int(norm(f),\mue)+abs(\b)*int(norm(g),\mue)<\inf Also sind die integrierbaren Funktionen ein Unterraum von \calL^0. Die Halbnormeigenschaft ist offensichtlich. \blue\checked Wählen wir integierbare Elementarfunktionen f_n wie in \ref(Satz 5), gilt: norm(int(f,\mue))=norm(lim(n->\inf,int(f_n,\mue)))=lim(n->\inf,norm(int(f_n,\mue)))<=lim(n->\inf,int(norm(f_n),\mue)) <=lim(n->\inf,int(norm(f_n-f)+norm(f),\mue)=int(norm(f),\mue) \blue\checked Sind f_n, g_n wieder wie in \ref(Satz 5) gewählt, dann sind natürlich auch die \a\.f_n integrierbare Elementarfunktionen mit \a\.f_n->\a\.f und analog für \b\.g_n. Es gilt int(\a\.f_n+\b\.g_n,\mue)=\a*int(f_n,\mue)+\b*int(g_n,\mue), wie man sich sofort überzeugt. Durch Grenzübergang folgt die Linearität des Integrals. Aus dem vorangegangen Satz sieht man, dass das Integral stetig mit Norm <=1 ist. \blue\ q.e.d. Schon bedeutender ist die nächste Eigenschaft, die zunächst erstmal unspektakulär daher kommt:
\ll(Satz 7) Seien X,Y Banachräume und \phi: X->Y sei eine lineare, stetige Abbildung. Für f:\Omega->X gilt dann: (a) Ist f Bochner-integrierbar, so ist das auch \phi\circ\ f (b) Ist f integierbar, folgt: \phi(int(f,\mue))=int(\phi\circ\ f,\mue)
\blue\ Beweis: f ist nach \ref(Lemma 3) genau dann messbar und separabel, wenn es messbare Treppenfunktionen f_n mit f_n->f gibt. \phi\circ\ f_n sind nun Treppenfunktionen, die wegen der Stetigkeit von \phi gegen \phi\circ\ f konvergieren. Ebenfalls aus der Stetigkeit folgt, dass \phi\circ\ f_n messbar ist. Da \phi stetig, also beschränkt, ist und norm((\phi\circ\ f)(\omega))<=norm(\phi)*norm(f(\omega)) gilt, ist int(norm(\phi\circ\ f),\mue)<=norm(\phi)*int(norm(f),\mue)<\inf Also ist \phi\circ\ f Bochner-integrierbar. Haben wir nun integrierbare Elementarfunktionen f_n wie in \ref(Satz 5), so gilt wie man leicht nachrechnet \phi(int(f_n,\mue))=int(\phi\circ\ f_n,\mue). Wegen der Stetigkeit erhalten wir im Grenzübergang die Behauptung für f. \blue\ q.e.d. Was bedeutet das nun? Ich denke, dass der Wert der Aussage an Beispielen am deutlichsten wird: \ll(*)Für X=\IR^n, sieht man durch Einsetzen der Projektionen für \phi, dass eine Funktion \Omega->\IR^n genau dann Bochner\-integrierbar ist, wenn alle ihre Komponente Lebesgue\-integrierbar sind und das Bochner\-Integral gleich dem komponentenweise Lebesgue\-Integral ist. \ll(*)Ist X nicht nur ein \IR\-, sondern sogar ein oder \IC\- oder \IH\-Vektorraum, so ist die Skalarmultiplikation \IR\-linear. Analoges gilt, wenn man statt dessen allgemein eine \(topologische\) \IR\-Algebra A betrachtet und X ein \(topologischer\) A-Modul ist. Dann kann man Produkte mit Konstanten aus dem Integral ziehen, wie man es gewohnt ist. \ll(*)Ist X ein Funktionenraum, also ein Unterraum eines V^A für einen Vektorraum V und eine Menge A, so ist die Auswertung in einem festen Punkt a linear. Ist sie auch stetig wie etwa für X=C([0,1]), so gilt: (int(f(\omega),\mue(\omega)))(a)=int(f(\omega)(a),\mue(\omega)) \ll(*)Fasst man Elemente aus \IR \(bzw. \IC, \IH oder einen anderen Grundring wie oben\) als Funktionen X->X, nämlich als Skalarmultiplikation, auf, so sind dies stetige, lineare Abbildungen. Aus dem vorherigen Beispiel folgt, dass die Auswertung in einem festen a mit dem Integral vertauscht. Für Funktionen f:\Omega->\IR \(bzw. ->\IC etc.\) gilt also: int(f*a,\mue)=int(f,\mue)*a Neben vielen anderen Dingen, die man jetzt in völliger Analogie zum eindimensionalen Lebesgue-Integral zeigen könnte, möchte ich einige wenige der wichtigsten Hilfsmittel auf das Bochner-Integral übertragen. Als erstes den Konvergenzsatz von Lebesgue:
\ll(Satz 8 - Satz von Lebesgue) Seien f,f_n: \Omega->X messbare und separable Funktionen mit f_n->f \mue-f.ü. Sei weiter g:\Omega->intervall(0,\inf) eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit norm(f_n)<=g \mue-f.ü. Dann sind f und alle f_n Bochner-integrierbar und lim(x->\inf,int(f_n,\mue))=int(f,\mue)
\blue\ Beweis: Es gibt \mue\-Nullmengen M, N_n\in\frakA, sodass f_n(\omega) für alle \omega\notin\ M konvergiert und norm(f_n(\omega))<=g(\omega) für alle n\in\IN und \omega\notin\ N_n ist. Wegen int(norm(f_n),\mue)=int(norm(f_n),\mue,\Omega\\N_n)+int(norm(f_n),\mue,N_n)=int(norm(f_n),\mue,\Omega\\N_n)<=int(g,\mue)<\inf sind die f_n integrierbar. Wir setzen N:=M\union\ union(N_n,n\in\IN) und f^~(\omega):=cases(lim(n->\inf,f_n(\omega)),\omega\notin\ N;0,\omega\in\ N) Dann ist f_n->f^~ \mue-f.ü., f^~ messbar, f^~ separabel und norm(f^~(\omega))<=g(\omega) überall. Also ist f^~ Bochner-integrierbar. Wegen norm(f_n-f^~)<=2*g \mue-f.ü. ist int(norm(f_n-f^~),\mue)->0 nach dem eindimensionalen Satz von Lebesgue \(g ist integrierbar!\). Es gilt weiter: norm(int(f_n,\mue)-int(f^~,\mue))<=int(norm(f_n-f^~),\mue) =>int(f_n,\mue)->int(f^~,\mue). f^~ und f sind außerhalb der Nullmenge N gleich, also auch norm(f) und norm(f^~). => int(norm(f),\mue)=int(norm(f^~),\mue)<\inf => f ist integrierbar. norm(int(f,\mue)-int(f^~,\mue))<=int(norm(f-f^~),\mue)=0 =>int(f^~,\mue)=int(f,\mue) und somit int(f_n,\mue)->int(f,\mue) wie behauptet. \blue\ q.e.d. Nun beweisen wir noch den Satz von Fubini für Bochner-Integrale:
\ll(Satz 9) Seien (\Omega,\frakA,\mu) und (\Phi,\frakB,\nu) \sigma-endliche Maßräume und f: \Omega\times\Phi->X in \calL||array(\small\ 1;X\normal)(\mu\otimes\nu). (a) Für alle \omega\in\Omega ist f(\omega, opimg(*)) \nu-f.ü. Bochner\-integrierbar und $ $analog andersrum (b) Es gilt $ $ int(f,\mue\otimes\nue,\Omega\times\Phi) = int(int(f(\omega,\phi2),\mue(\omega),\Omega),\nue(\phi2),\Phi) | | = int(int(f(\omega,\phi2),\nue(\phi2),\Phi),\mue(\omega),\Omega)
define(dot,array(opimg(*))) \blue\ Beweis: Aussage \ref(a) folgt aus dem Satz von Fubini für die reellwertige Funktion norm(f). Für integrierbare Elementarfunktionen rechnen wir \ref(b) direkt nach: Ist s=\chi_A*a mit A\in(\frakA\otimes\frakB), (\mue\otimes\nue)(A)<\inf und a\in\ X, so gilt: \align\ int(s,\mue\otimes\nue)><=int(\chi_A,\mue\otimes\nue)*a nach der vierten Bemerkung oben ><=int(int(\chi_A,\nue),\mue)*a nach dem Fubini für Lebesgue-Integrale ><=int(int(s,\nue),\mue) \breakalign\stopalign Analog umgekehrt. Da die zu zeigende Formel linear ist, folgt die Aussage für integrierbare Elementarfunktionen. Sei nun ein Bochner-integrierbares f und eine Folge integrierbarer Elementarfunktionen s_n->f, wie sie in \ref(Satz 5) vorkommen. Es gilt dann: int(f,\mue\otimes\nue)=lim(n->\inf,int(s_n,\mue\otimes\nue))=lim(n->\inf,int(int(s_n,\nue),\mue)) Wir zeigen, dass man den Limes mit beiden Integralen vertauschen kann: Es ist s_n(\omega,\dot)->f(\omega,\dot) für alle \omega\in\Omega und oBdA können wir s_n wieder so wählen, dass norm(s_n)<=2*norm(f) ist. => norm(s_n(\omega,\dot))<=2*norm(f(\omega, opimg(*))) Außerdem ist f(\omega,\dot) für alle \omega außerhalb einer Nullmenge N integrierbar. Damit ist der Satz von Lebesgue auf s_n(\omega,\dot) für \omega\notin\ N anwendbar. => int(s_n(\omega,\dot),\nue)->int(f(\omega,\dot),\nue) für \omega\notin\ N Jetzt gilt aber auch norm(int(s_n(\omega,\dot),\nue))<=int(norm(s_n(\omega,\dot)),\nue)<=2*int(norm(f(\omega,\dot)),\nue) Und nach dem eindimensionalen Fubini: int(int(norm(f(\omega,\phi2)),\nue(\phi2)),\mue(\omega))=int(f,\mue\otimes\nue)<\inf Also ist int(f(\omega,\dot),\nue) integrierbar und wir können auch auf int(s_n(\omega,\dot),\nue) den Satz von Lebesgue anwenden und erhalten: lim(n->\inf,int(int(s_n(\omega,\phi2),\nue(\phi2)),\mue(\omega))) = int(lim(n->\inf,int(s_n(\omega,\phi2),\nue(\phi2))),\mue(\omega)) = int(int(lim(n->\inf,s_n(\omega,\phi2)),\nue(\phi2)),\mue(\omega)) = int(int(f(\omega,\phi2),\nue(\phi2)),\mue(\omega)) Analog geht das natürlich alles auch mit vertauschten Rollen. \blue\ q.e.d.

Ausblick

Für das Bochner-Integral gelten in der Tat die allermeisten Eigenschaften, die auch für das Lebesgue-Integral gelten und nicht von der speziellen Struktur der reellen Zahlen (etwa ihrer Anordnung) abhängen. Da der Satz von Lebesgue zur Verfügung steht, kann man sogar die meisten Beweise direkt oder mit leichten Änderungen übernehmen. So lassen sich noch viele schöne Eigenschaften des Bochner-Integrals zeigen, etwa die schon erwähnte Vollständigkeit der \calL^p -Räume. Trotzdem ist das Bochner-Integral nicht das Ende der Fahnenstange. Praktisch jeder andere Integralbegriff für reellwertige Funktionen hat eine eigene Verallgemeinerung ins Mehrdimensionale. So kann man die Definition des Riemann-Integrals über Riemann'sche Summen eigentlich direkt auf normierte Räume übertragen. Leider zeigen sich bereits hier schon Schwächen des Bochner-Integrals: Es gibt Riemann-integrierbare Funktionen auf [0,1], die nicht Bochner-integrierbar sind. Das liegt im Wesentlich daran, dass solche Funktionen keinen separablen Wertebereich haben. Ein Beispiel dazu: Betrachte X:=\dsl^p(intervall(0,1)) mit 2<=p<\inf. Bezeichne für t\in\ intervall(0,1) mit e_t den entsprechenden Vektor der "Standardbasis": e_t(s):=cases(1,s=t;0,sonst) Setze nun f: intervall(0,1)\to\ X, f(t):=e_t. Ist intervall(0,1)=union(I_i,i=1,n) eine Zerlegung von intervall(0,1) in abgeschlossene Intervalle I_i, sodass I_i und I_j höchstens einen Punkt gemeinsam haben für i!=j und außerdem t_i\in\ I_i beliebig, so ist die Riemann'sche Summe dieser Zerlegung: sum(\l(I_i)*f(t_i),i=1,n)=sum(\l(I_i)*e_t_i,i=1,n) => norm(sum(\l(I_i)*f(t_i),i=1,n))_X^p=sum(\l(I_i)^p,i=1,n) | | <=sum((max(j=1..n,\l(I_j)))*\l(I_i)^(p-1),i=1,n) | | <=max(j=1..n,\l(I_j))*sum(\l(I_i)^(p-1),i=1,n) | | <=max(j=1..n,\l(I_j))*sum(\l(I_i),i=1,n) | | \small\ array(da \l(I_i)<=1 und p\-1>=1\, also \l(I_i)^(p-1)<=\l(I_i) ist.) | | =max(j=1..n,\l(I_j))*1 Geht also die Feinheit der Zerlegung max(j=1..n,\l(I_j)) gegen 0, so geht die Summe sum(\l(I_i)*f(t_i),i=1,n) ebenfalls gegen 0, d.h. f ist Riemann\-integrierbar und hat das Integral 0. Allerdings ist f nicht Bochner\-integrierbar: Das Bild von f ist menge(e_t | t\in\ intervall(0,1)), was nicht separabel ist, denn diese Menge ist überabzählbar und als metrischer Raum diskret, da norm(e_s-e_t)_X=2^1\/p für s!=t gilt. In der Tat ist f nicht einmal messbar, denn sei A\subseteq\ intervall(0,1) eine nicht\-messbare Teilmenge. Dann ist U:=union(B_\eps\.((e_t)),t\in\ A) offen in X für jedes \eps>0. Wählen wir \eps<2^1\/p, so ist U\cut\ im(f)=menge(e_t | t\in\ A), d.h. f^(-1)(U)=A. Also ist f nicht messbar. Auch die Einschränkung auf Banachräume, wie wir sie hier vorgenommen haben, ist in einigen Anwendungen noch zu restriktiv. So betrachtet man etwa in der Funktionalanalysis die allgemeineren lokalkonvexen topologischen Vektorräume und definiert auf ihnen das so genannte Pettis-Integral:
\ll(Definition) Eine messbare Funktion f:\Omega->X heißt array(Pettis\-integrierbar)____, wenn es ein x\in\ X gibt, sodass für alle \phi aus dem stetigen Dualraum X' gilt: \ll(a)\phi\circ\ f ist Lebesgue\-integrierbar \ll(b)\phi(x)=int(\phi\circ\ f,\mu) Der Vektor x heißt Pettis\-Integral von f.
Wie sehen an dieser Definition bereits, dass dies eine direkte Verallgemeinerung des Bochner-Integrals ist, denn Satz 6 sagt uns, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auch Pettis-integrierbar mit gleichem Integral ist. Die Definition des Pettis-Integrals hat ihre Vorteile: Zum einen ist sie als axiomatische Definition oft einfacher in Beweisen zu verwenden. Außerdem ist jetzt auch jede Riemann-integrierbare Funktion auf kompakten Intervallen Pettis-integrierbar. Andererseits sind die Existenzbeweise für das Pettis-Integral oftmals etwas tricky. Ein weiterer Nachteil ist, dass die Pettis-integrierbaren Funktionen keinen vollständigen Raum mehr bilden. Er ist dafür "quasi-vollständig", d.h. jedes beschränkte Cauchy-Netz ist konvergent. Während die Quasi-Vollständigkeit noch ein recht guter Ersatz für die Vollständigkeit ist, so ist das Fehlen von starken Konvergenzsätzen wie etwa dem Lebesgue'schen ein großes Manko des Pettis-Integrals, das die Arbeit damit sehr erschwert. Ersetzt man im Punkt (a) der Definition des Pettis-Integrals "Lebesgue-integrierbar" durch einen anderen Integrierbarkeitsbegriff reellwertiger Funktionen, etwa den von Henstock, Kurzweil, Denjoy und Perron, so ergeben sich verschiedene Spielarten des Pettis-Integrals, die dann wieder diverse Verträglichkeitsschwierigkeiten untereinander haben.

Abschluss

Soviel zum Bochner-Integral. Es ist nur einer von vielen Ansätzen, die Integrationstheorie für reellwertige Funktionen auf vektorwertige Funktionen zu verallgemeinern. Das Interessante an diesem Ansatz ist aber seine ähnlich starke Aussagekraft wie sie das Lebesgue-Integral hat. int(mfg,\mue)=lim(G->o,int(ckel,\mue))

Zur Fortsetzung Integration vektorwertiger Funktionen II: Das Pettis-Integral
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Integration vektorwertiger Funktionen I: Das Bochner-Integral [von Gockel]  
Vorstellung des Bochner-Integrals, einer Verallgemeinerung des Lebesgue'schen Integralbegriffs auf bestimmte vektorwertige Funktionen. Beweis einiger grundlegender Sätze dazu.
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"Mathematik: Integrale vektorwertiger Funktionen" | 11 Comments
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Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: freeclimb am: Mo. 23. Juli 2007 21:34:59
\(\begingroup\)Schön. Sehr schön. Der lockere, flüssige Stil, lässt in keiner Zeile Langeweile aufkommen. Gratuliere! lg, freeclimb \(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Cerebus am: Mo. 23. Juli 2007 21:48:56
\(\begingroup\)Wow! Ich hätte nie erwartet, dass ich hier einen Artikel über Integration vektorwertiger Funktionen finden würde. Ich bin umso mehr erfreut. Ich war schon lange nicht mehr von einem Artikel derart begeistert. Hier noch drei Anmerkungen: 1. Pettis-Integrale spielen auch in Banachräumen eine Rolle. Wegen der Rolle der Separabilität gibt die Menge der Bochner-integrierbaren Funktionen kein so genaues Bild wie die Menge der Pettis-integrierbaren Funktionen. Hier ist ein Beispiel aus der mathematischen Ökonomie, in dem der Unterschied eine Rolle spielt. 2. Die Banachraum-Version des verallgemeinerten Riemann-Integrals, das McShane-Integral, liegt, was Integrierbarkeit betrifft, strikt zwischen dem Bochner-Integral und dem Pettis-Integral, in reflexiven Banachräumen ist es sogar zu letzterem äquivalent. Es ist also durchaus möglich mit einem Riemann-artigen Integral zu arbeiten. 3. Die Originalarbeit von Salomon Bochner gibt es hier als PDF (auf Deutsch!). lg. Michi\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Di. 24. Juli 2007 14:07:05
\(\begingroup\)Ein sehr leserlicher Artikel. Eine kleine Anmerkung/Frage: "Es gibt Riemann-integrierbare Funktionen auf [0,1], die nicht Bochner-integrierbar sind. Das liegt im Wesentlich daran, dass solche Funktionen keinen separablen Wertebereich haben." Es dürfte nicht schwierig sein das Bochner-Integral dahingehend anzupassen. Die Separabilität wird ja nur gebraucht um die beiden Begriffe stark messbar (=Limes von messbaren simplen Funktionen) und topologisch messbar (Urbilder offener Mengen sind messbar) zu identifizieren. Im Originalartikel von Bochner wird, soweit ich das gesehen habe beim kurzen Überflug, nur mit der starken Messbarkeit gearbeitet. Wenn man ausserdem noch fordert, dass der zugrundeliegende Massraum vollständig ist, dann kann man die starke Messbarkeit noch abschwächen zu "fast überall Limes von messbaren simplen Funktionen". Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Gockel am: Di. 24. Juli 2007 21:43:55
\(\begingroup\)Hallo ihr drei. Danke für das Lob, es freut mich zu hören, dass euch der Artikel gefällt. @Monkfish: Ja, die Separabilität ist in der Tat dazu da, um das Folgenargument benutzen zu können. Wie würdest du denn den Ansatz anpassen wollen? Ich hatte selbst schon überlegt, was man da machen könnte, sehe aber nicht so recht, was man da ändern könnte, um zu einem Erfolg zu gelangen. Ich habe schon ein wenig drüber nachgedacht, ob man mit Netzen etwas erreichen kann, aber ich denke das bringt nichts, da es z.B. Netze messbarer Funktionen gibt, die gegen nicht-messbare Funktionen konvergieren. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Di. 24. Juli 2007 23:00:58
\(\begingroup\)Ich würde gar nichts ändern 😄 . \ Ich war wieder mal etwas vorschnell im Lesen. Die Separabilität ist leider wirklich ein essentieller Bestandteil des Bochnerintegrals, weil in einem \sigma-endlichen, vollständigen Massraum \(\Omega, \calF, \mu \) eine Funktion f: \Omega -> X genau dann stark messbar ist, wenn sie topologisch messbar ist und es eine Nullmenge gibt, so dass f(\Omega \\ N) separabel ist. Ich hatte irgendwie die (falsche) Implikation messbar => stark messbar im Kopf, na ja. Das pathologische Beispiel ("R-integrable Funktion auf [0,1] mit nicht separablem Bild") bleibt also pathologisch 😉 . Grüsse\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: cow_gone_mad am: Sa. 28. Juli 2007 13:41:55
\(\begingroup\)Man könnte auch einfach schwach werden. 😉 😁 Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Sa. 28. Juli 2007 16:08:40
\(\begingroup\)@cow_: Landet man dann nicht automatisch beim Pettisintegral? Dort benutzt man ja schwache Messbarkeit (was im separablen Fall übrigens das Gleiche sein dürfte wie messbar wegen Banach-Alaoglu)... Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: cow_gone_mad am: So. 29. Juli 2007 19:30:44
\(\begingroup\)Hallo Monkfish, ich wollte nur dadrauf hinweisen, dass man per Standardtrick auch ein Integral hinbekommt. 😉 😉 Allerdings ist das vermutlich eher etwas für faule Säcke wie mich.:-D [Als kleine Erklärung für x in X, ist l(x) für x in X^\ast skalar, und man kann Lebesgue Integrationstheorie anwenden.] Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Gockel am: Fr. 12. März 2010 19:34:44
\(\begingroup\)Herzlichen Dank geht an tack, der mich auf einen subtilen, aber gravierenden Fehler in Lemma 3 aufmerksam gemacht hat. Nach zwei Tagen Grübeln und ein paar eMails ist jetzt eine funktionierende Version vorhanden und wird gleich auch sichtbar sein, sobald matroid meine Änderungsanfrage freigegeben hat. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 16. Januar 2014 14:42:24
\(\begingroup\)Eine Einführung in die Bochner-Integration ohne Verwendung der Lebesque-Integration findet man unter Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Dort wird auch das Birkhoff-Integral eingeführt und mit dem Bochner-Integral und dem Riemann-Integral verglichen. Des Weiteren wird nur ein Mengenring mit Prämaß im Definitionsbereich vorausgesetzt.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: AllenscheRegel am: Sa. 02. August 2014 20:40:01
\(\begingroup\)Ein sehr schöner Artikel, vielen Dank dafür!\(\endgroup\)
 

 
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