\stress\Gelfand\-Dualität mit 1\normal. Betrachte die Kategorie \calK^\+ der kompakten Räume zusammen mit stetigen Abbildungen sowie die Kategorie \calC^\+ der kommutativen unitalen array(C^\*)\-Algebren zusammen mit unitalen \*\-Homomorphismen, so ist C ein Funktor \calK^\+^op \to \calC^\+, denn eine stetige Abbildung f : X \to Y induziert natürlich einen \*\-Homomorphismus C(f) : C(Y) \to C(X), g \mapsto g \circ f. Ebenso ist Spec ein Funktor \calC^\+ \to \calK^\+^op, denn ein \*\-Homomorphismus f : A \to B induziert eine stetige Abbildung Spec(f) : Spec(B) \to Spec(A), \phi \mapsto \phi \circ f.
Man rechnet nun leicht nach, dass die Isomorphismen A ~= C(Spec A) und X ~= Spec(C(X)) natürlich sind, sodass also C \circ Spec sowie Spec \circ C zur Identität isomorph sind. \blue\Die Kategorien \calC^\+ und \calK^\+ sind somit zueinander dual.\black Dies ist die Gelfand\-Dualität: Die Untersuchung von kompakten Räumen lässt sich auf die von kommutativen unitalen array(C^\*)\-Algebren zurückführen, und umgekehrt.

\stress\Unitalisierung\normal. Das Studium der array(C^\*)\-Algebren ohne 1 lässt sich ganz oft auf die mit 1 zurückführen, indem man einfach eine 1 ''adjungiert'':
Sei A eine array(C^\*)\-Algebra. Die Unitalisierung von A ist definiert als direkte Summe\blue A^\+ = \A \oplus \IC \black\mit der Multiplikation (a+\l) (b+\m) = (ab+\l b + \m a) + (\l \m) und der Involution (a+\l)^\* = a^\* + \l^\*. Sie hat (0,1) als 1, und A lässt sich als Ideal von A^\+ aufassen. Sie erfüllt die \blue\universelle Eigenschaft:\black A^\+ ist eine unitale array(C^\*)\-Algebra zusammen mit einem \*\-Homomorphismus A \to A^\+, sodass für jede unitale array(C^\*)\-Algebra B und jedem \*\-Homomorphismus A \to B genau ein unitaler \*\-Homomorphismus A^\+ \to B existiert, sodass

A \to array( )B
\textdownarrow array(  ) \parallel
A^\+ \to B
 
kommutiert \(dabei ist nur nichttrivial, dass A^\+ eine array(C^\*)\-Norm besitzt\). Wenn A bereits unital ist, so ist A^\+ ~= A \times \IC.
 
Definiert man für kommutative A wieder das Spektrum Spec(A) als die Menge der nichttrivialen Algebrenhomomorphismen, so liefert die universelle Eigenschaft einen Homöomorphismus Spec(A) ~= Spec(A^\+)\\ menge(0), wobei 0 der Charakter von A^\+ ist, der auf A trivial ist, d.h. die Projektion von A^\+ = A \oplus \IC auf \IC. Insbesondere ist\blue Spec(A) lokalkompakt\black.

\stress\Einpunktkompaktifizierung\normal. Die eben angesprochene Unitalisierung findet auch auf der Seite der Räume statt: Ist X ein lokalkompakter Raum \(insb. hausdorffsch), so setzen wir\blue X^\+ := X \union menge(\inf),\black wobei \inf irgendein Symbol außerhalb von X ist. Man sieht leicht, dass X^\+ mit der folgenden Topologie ein kompakter Raum ist: Die offenen Mengen \subseteq X seien die von X, und die offenen Umgebungen von \inf seien die X\\K \union menge(\inf), wobei K \subseteq X kompakt ist. Offenbar ist X zu einem offenen Teilraum von X^\+ homöomorph, und dieser ist genau dann dicht, wenn X nicht kompakt ist. Die \blue\universelle Eigenschaft \black\lautet in diesem Fall: Ist Y ein kompakter Raum und f : X \to Y eine stetige Abbildung, die ein Homöorphismus auf das Bild f(X) ist, welches offen und dicht in Y ist, so gibt es genau eine stetige Abbildung g : Y \to X^\+, sodass das Diagramm
 
X bigop(\textrightarrow,,,f) Y
\textdownarrow $ $ \textdownarrow g
X^\+ =   X^\+
  
kommutiert. Es gibt auch eine ''interne'' Beschreibung der Einpunkt\-
kompaktifizierung: Sei Y ein kompakter Raum, a \in Y und X := Y \\ menge(a). Dann ist X lokalkompakt und die offensichtliche Bijektion X^\+ \to Y, also Identität auf X und \inf \mapsto a, ist ein Homöomorphismus. Um das zu sehen, muss nur die Stetigkeit gezeigt werden, die Stetigkeit der Umkehrabbildung folgt dann aus Kompaktheit. Sei also U offen in Y. Wenn a \notin U, d.h. U \subseteq X, ist das Urbild einfach U und damit offen in X^\+. Nun sei a \in U. Dann ist das Urbild U \\ menge(a) \union menge(\inf). Es ist also zu zeigen, dass X \\ (U \\ menge(a))
= X \\ U kompakt in X ist. Das ist aber klar, da U offen in X ist und damit X\\U abgeschlossen in X.

Damit lassen sich jetzt Unitalisierung und Kompaktifizierung verbinden: Für eine kommutative array(C^\*)\-Algebra A ist

\blue Spec(A)^\+~=Spec(A^\+)

ein Homöomorphismus. Ist X ein lokalkompakter Raum, dann ist
 
C_0(X)=menge(f \in C(X) : für jedes \e > 0 ist menge(x : abs(f(x))>=\e) kompakt)
 
eine kommutative array(C^\*)\-Algebra. Sie ist genau dann unital, wenn X kompakt ist.  Ferner ist
    
\blue C(X^\+) \to C_0(X)^\+ \black , f \mapsto (f\|_X - f(\inf),f(\inf))
 
ein \*\-Isomorphismus. Denn ein f \in C(X^\+) setzt sich zusammen aus der stetigen Einschränkung f\|_X und einem \l := f(\inf), sodass es für jedes \e > 0 eine kompakte Menge K in X gibt, sodass f^(-1)(B_\e (\l)) = X\\K \union menge(\inf), d.h. K=menge(x \in X : abs(f(x)-\l)>=\e).
 
Unter diesem Isomorphismus entspricht C_0(X) den den f \in C(X^\+) mit f(\inf)=0. Daher auch die Bezeichnung ''im unendlichen verschwindende Funktionen''. Aus der internen Beschreibung (siehe oben) folgt somit: Ist Y ein kompakter Raum und a \in Y, so ist C_0(Y \\ menge(a)) ~= menge(f \in C(Y) : f(a)=0).

\stress\Isomorphismen\normal. Wir sind nun bereit, die anfangs erwähnten Isomorphismen im nicht\-unitalen Fall herzustellen:
 
Sei X ein lokalkompakter Raum. Dann ist die Abbildung\blue X \to Spec(C_0(X)) \black\mit x \mapsto (g \mapsto g(x)) ein Homöomorphismus.

Beweis. Wohldefiniertheit ist klar. Wir verwenden C_0(X)^\+ ~= C(X^\+) und dass die Behauptung für X^\+ bereits bekannt ist: 
Spec(C_0(X)) ~= Spec(C_0(X)^\+) \\ menge(0) ~= Spec(C(X^\+)) \\ menge(p) ~= X^\+ \\ menge(q)
für gewisse p,q. Dabei ist p nach Konstruktion der Charakter von C(X^\+) mit p(f)=0((f\|_X)-f(\inf),f(\inf))=f(\inf), d.h. die Auswertung bei \inf und damit q = \inf. Weiter folgt Spec(C_0(X)) ~= X^\+ \\ menge(\inf) ~= X. Zurückverfolgen der Isomorphismen liefert, dass dies die oben genannte Abbildung ist. \checked
 
Sei A eine kommutative array(C^\*)\-Algebra. Dann ist die Abbildung\blue A \to C_0(Spec(A)) \black\mit a \mapsto (\phi \mapsto \phi(a)) ein \*\-Isomorphismus.
 
Beweis. Die Wohldefiniertheit der Abbildung wird sich aus dem Beweis ergeben. Wir nutzen aus, dass C_0(Y \\ menge(a)) ~= menge(f \in C(Y) : f(a)=0) für einen kompakten Raum Y und die Behauptung für A^\+ bekannt ist:
C_0(Spec(A)) ~= C_0(Spec(A^\+)\\{0}) ~= menge(f \in C(Spec(A^\+)) : f(0)=0)
 $ ~= menge(a \in A^\+ : 0(a)=0) ~= A. Zurückverfolgen der Isomorphismen
liefert, dass dies genau die oben genannte Abbildung ist. \checked

\stress\Gelfand\-Dualität ohne 1\normal. Wir wollen nun wieder die Isomorphismen zu einer Dualität ausarbeiten. Dabei geht es v.a. darum, die richtigen Morphismen auszuwählen.
 
Wir wollen Spec zu einem Funktor machen. Sei f : A \to B ein \*\-Homomorphismus. Damit Spec(B) \to Spec(A), \phi \mapsto \phi \circ f wohldefiniert ist, muss \phi \circ f != 0 für \phi != 0 sein. Hinreichend dafür ist, dass span f(A) B dicht in B ist, denn damit kann aus \phi \circ f = 0 offenbar \phi=0 geschlossen werden. Dazu eine Definition und ein Lemma.

Ein \*\-Homomorphismus f : A \to B heißt \blue\nichtentartet,\black wenn er die folgenden drei äquivalenten Eigenschaften besitzt:
 
 $ \dsi. span f(A) B ist dicht in B.
 $ \dsi\dsi. Für jede appr. Eins u_\l in A ist f(u_\l) eine appr. Eins in B.
 $ \dsi\dsi\dsi. Für eine appr. Eins u_\l in A ist f(u_\l) eine appr. Eins in B.
 
Beweis der Äquivalenz: \dsi = \dsi\dsi: f(u_\l) ist eine links\-approximierende Eins für f(A), da f stetig, und damit auch für (span f(A) B)^- = B. \dsi\dsi => \dsi\dsi\dsi ist klar, da es immer appr. Einsen gibt. \dsi\dsi\dsi => \dsi folgt aus b = lim(f(u_\l) b).
 
Dies motiviert die Definition von \calC als die Kategorie der kommutativen array(C^\*)\-Algebren zusammen mit nicht\-entarteten Homomorphismen, also sozusagen ''approximativ\-unital''. Dann ist Spec ein Funktor von \calC in die Kategorie \calK^op der lokalkompakten Räume mit den Morphismen ... ja wie sehen diese aus?
 
Wir wollen C_0 zu einem Funktor \calK^op \to \calC machen. Wenn f : X \to Y ein Morphismus ist und g \in C_0(Y), so soll auch g \circ f \in C_0(X) sein. Das ist gewährleistet, wenn f stetig ist und für jedes \e > 0 die Menge menge(x : abs(g(f(x)))>=\e )
= f^(-1)(menge(y : abs(g(y)) >= \e)) kompakt ist.
Dies motiviert die Definition von \calK als die Kategorie der lokalkompakten Räume zusammen mit \blue\eigentlichen Abbildungen,\black d.h. stetigen Abbildungen, für die die Urbilder kompakter Mengen ebenfalls kompakt sind. Dann ist C_0(f) : C_0(Y) \to C_0(X), g \mapsto g \circ f wohldefiniert und ein \*\-Homomorphismus. Wir müssen noch zeigen, dass er nicht\-entartet ist, betrachten wir also I = (span C_0(f)(C_0(Y)) C_0(X))^-. Dies ist ein (abgeschlossenes) Ideal von C_0(X) und es enthält C_0(f)(C_0(Y)), da C_0(X) eine approximierende Eins hat. Wenn x \in X, so gibt es ein g \in C_0(Y) mit g(f(x))!=0, d.h. x ist keine Nullstelle von C_0(f)(g) \in I. Wir werden weiter unten sehen, dass ein solches Ideal ohne gemeinsame Nullstellen bereits ganz C_0(X) ist, d.h. C_0(f) ist nicht\-entartet. Daher ist C_0 ein Funktor \calK^op \to \calC.
  
Eine stetige Abbildung f : X \to Y setzt sich genau dann stetig zu X^\+ \to Y^\+ mit \inf \mapsto \inf fort, wenn X^\+ \\  f^(-1)(Y^\+ \\ K)  = f^(-1)(K) für jede kompakte Menge K in Y kompakt in X ist, d.h. wenn f eigentlich ist. Insbesondere ist + ein Funktor \calK \to \calK^\+. Ebenso ist + ein Funktor \calC \to \calC^\+.
 
Nun zeigen wir, dass Spec wirklich ein Funktor \calC \to \calK^op ist:
Sei f : A \to B ein nicht\-entarteter Homomorphismus zwischen kommutativen array(C^\*)\-Algebren. Um zu zeigen, dass Spec(f) : Spec(B) \to Spec(A) eigentlich ist, muss gezeigt werden, dass die Fortsetzung Spec(B)^\+ \to Spec(A)^\+ stetig ist. Nun, f^\+ : A^\+ \to B^\+ ein unitaler \*\-Homomorphismus und induziert damit eine stetige Abbildung Spec(B^\+) \to Spec(A^\+). Man sieht, dass das Diagramm
 
Spec(B^\+) \to Spec(A^\+)
$~=\textdownarrow  $ $ $ $ $ \textdownarrow ~= 
Spec(B)^\+ \to Spec(A)^\+
 
kommutativ ist. Daraus folgt die Stetigkeit.
 
Wir haben also die Funktoren C_0 : \calK^op \to \calC und Spec : \calC \to \calK^op. Man rechnet wieder leicht nach, dass die obigen Isomorphismen natürlich sind, d.h. C_0 \circ Spec und Spec \circ C_0 zur Identität isomorph sind. Also: \blue\Lokalkompakte Räume sind dual zu kommutativen array(C^\*)\-Algebren.\black Dies war Ausgangspunkt für die nichtkommutative Geometrie, in der auch ''nichtkommutative
lokalkompakte Räume'' mit Hilfe von array(C^\*)\-Algebren untersucht werden.
  

\stress\Ideale\normal. Als Anwendung der Gelfand\-Dualität wollen wir die Ideale von
kommutativen array(C^\*)\-Algebren bestimmen.
 
Sei A eine kommutative array(C^\*)\-Algebra. Wir dürfen also annehmen, dass A = C_0(X) für X=Spec(A) lokalkompakt. Sei I ein Ideal \(per Definition abgeschlossen\) von A. Dann ist A\/I ebenfalls eine kommutative array(C^\*)\-Algebra, array(also ~= C_0(Y) für)
Y=Spec(A\/I)~=menge(\phi \in Spec(A) : \phi == 0 auf I) ~= menge(x \in X : f(x) = 0 \forall f \in I). Letzteres ist eine abgeschlossene Teilmenge V(I) von X. Betrachte nun die Komposition

C_0(X) \to A\/I ~= C_0(Y) ~= C_0(V(I))
 
Ein f \in C_0(X) geht dabei zunächst auf f^- \in A\/I, dann auf (\phi \mapsto \phi(f^-)) \in C_0(Y) und schließlich auf (x \mapsto ev_x(f))  = f\|_(V(I)) \in C_0(V(I)). Die Komposition ist also einfach die Einschränkung auf V(I). Der Kern ist also einerseits I, und andererseits menge(f \in C_0(X) : f trivial auf V(I)). Wir erhalten damit \(offenbar wohldefinierte\) Zuordnungen
 
J : menge(abgeschlossene Teilmengen von X) \to menge(Ideale von C_0(X))
 $ $ F \mapsto menge(f \in C_0(X) : f(x)=0 für alle x \in F)
 
V : menge(Ideale von C_0(X)) \to menge(abgeschlossene Teilmengen von X)
 $ $ I \mapsto menge(x \in X : f(x)=0 für alle f \in I)
 
mit J(V(I))=I für alle I. Es gilt auch V(J(F))=F für alle F, denn F \subseteq V(J(F)) ist trivial und falls x \in X\\F, gibt es bekanntlich ein f \in C_0(X) mit f(x)=1 und f == 0 auf F, d.h. f \in J(F) und damit x \notin V(J(F)). Die Abbildungen J und V sind also invers zueinander und außerdem antiton. \blue\Die abgeschlossenen Teilmengen von X sind somit dual zu den Idealen von C_0(X).\black

\stress\Injektive und Surjektive Abbildungen\normal. Wenn f : X \to Y eine surjektive eigentliche Abbildung zwischen lokalkompakten Räumen ist, so ist offenbar C_0(f) : C_0(Y) \to C_0(X) injektiv. Es sei umgekehrt C_0(f) injektiv. Falls f nicht surjektiv ist, ist K := f(X) eine abgeschlossene Teilmenge von Y \(eigentliche Abbildungen sind immer abgeschlossen\) und es  gibt ein y \in Y\\K. Dann gibt es ein g \in C_0(Y) mit g == 0 auf K und g(y)=1. Das widerspricht der Injektivität von C_0(f).
Wenn f injektiv ist, kann X mit einem abgeschlossenen Teilraum von Y identifiziert werden. Nach dem Satz von Tietze ist C_0(f) dann surjektiv. Ist umgekehrt C_0(f) surjektiv, so ist offenbar Spec(C_0(f)) injektiv und nach der Gelfand\-Dualität ebenso f.
Damit haben wir gezeigt: f surjektiv\\injektiv <=> C_0(0) injektiv\/surjektiv. Aus der Gelfand\-Dualität kann man damit auch Äquivalenzen für einen
nicht\-entarteten \*\-Homomorphismus \phi : A \to B zwischen kommutativen
array(C^\*)\-Algebren herstellen: \phi surjektiv\/injektiv <=> Spec(\phi) injektiv\/surjektiv. Oder kurz: \blue\Injektiv ist dual zu surjektiv\black.

define(p,\void<->)
array(lokalkompakter Raum,\p,kommutative array(C^\*)\-Algebra;Punkt,\p,maximales Ideal;kompakt\-offene Teilmenge,\p,Projektion;total unzusammenhängend,\p,AF (approximately finite);Einpunktkompaktifizierung,\p,Unitalisierung;Stone\-Cech\-Kompaktifizierung,\p,Multiplier Algebra;abgeschlossene Teilmenge\;Inklusion,\p,Ideal\;Quotient;Surjektion,\p,Injektion;Injektion,\p,Surjektion;Homöomorphismus,\p,Automorphismus;Borelmaß,\p,positives Funktional;Wahrscheinlichkeitsmaß,\p,Zustand;disjunkte Vereinigung,\p,direkte Summe;kartesisches Produkt,\p,Tensorprodukt)