Mathematik: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
Released by matroid on Mo. 08. Oktober 2007 14:35:37 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Dies soll der Beginn einer Artikelserie über fraktale Geometrie sein. Es wird sich dabei um eine topologische Einführung in das Thema handeln und soll die fraktale Geometrie vorstellen, wie ich sie auch schon in meinem Artikel über das Sierpinski-Dreieck angewandt habe. Zunächst sind drei Teile geplant, die sich an einer Hausarbeit orientieren, die ich im letzten Semester geschrieben habe. In diesem ersten Teil werde ich Dimensionsbegriffe einführen und motivieren. Der zweite Teil wird iterierte Funktionensysteme behandeln, welche bei der Konstruktion von Fraktalen häufig verwendet werden. Im dritten und vermutlich letzten Teil werden dann einige Fraktale beispielhaft vorgestellt.

Bei der Betrachtung von Fraktalen stellt sich heraus, dass der Begriff der Vektorraumdimension nach Euklid nicht besonders hilfreich ist und erweitert werden muss. Daraufhin haben sich mehrere verschiedene Dimensionsbegriffe eingebürgert. Diese sind in manchen Situationen äquivalent, unter Umständen allerdings auch verschieden. Diese Dimensionsbegriffe möchte ich in diesem Artikel vorstellen. Ich werde versuchen die Begriffe so allgemein wie möglich zu definieren, man kann aber zur Besserung Vorstellung Teilmengen reeller oder komplexer Vektorräume als Beispiele verwenden.

Inhalt

1. Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid 2. Topologische Dimension 3. Die Hausdorff Dimension 4. Die Box Dimension Abschluss

1. Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid

Das Konzept der Dimension tritt erstmals bei der Diskussion der Eigenschaften von Vektorräumen auf, wie dies in der linearen Algebra oder euklidischen Geometrie geschieht. Ich nehme an, dass diese Konzepte - wie lineare Unabhängigkeit - bekannt sind und werde nur dort darauf eingehen, wo dies für den Artikel wichtig ist. \stress\Definition 1.1\normal Sei K ein Körper (nicht unbedingt kommutativ). Ein \stress\K-links Vektorraum\normal V ist eine abelsche Gruppe (V,+) mit einer binären Operation K\times V->V, die Skalarmultiplikation genannt wird. Diese Operation genügt den folgenden Eigenschaften:
  • Assoziativität
  • a*(b*v)=(a*b)*v, \forall a,b\el\K, v\el\V
  • Distributivität
  • a*(u+v)=a*u+a*v, \forall a,b\el\K, u,v\el\V (a+b)*v=a*v+b*v
  • Neutralität von 1_K\el\K
  • 1_k*v=v, \forall v\el\V
\stress\Definition 1.2\normal Eine \stress\Basis\normal \dsB eines Vektorraumes V ist eine maximal linear unabhängige (LU) Teilmenge von V. Wir definieren die Dimension von V mit dim(V):=abs(\dsB). \stress\Bemerkung
  • Ein Element v\el\V heißt Vektor.
  • Analog kann man auch einen K -rechts Vektorraum definieren.
  • Jeder endlich-dimensionale Vektorraum über einem Körper K ist isomorph zu K^n für ein n\el\IN .
\stress\Theorem 1.3\normal Der Begriff Dimension ist wohldefiniert. \stress\Beweis\normal Austauschsatz von Steinitz. [7, Seite 174]\checked

2. Topologische Dimension

Ein allgemeineres Konzept von Dimensionen als das Konzept der Vektorraumdimension, ist das Konzept topologischer Dimensionen. Diese werden für jeden topologischen Raum T definiert. Falls T ein Vektorraum und \dsO_T die Standardtopologie auf T ist, so sind beide Konzepte äquivalent. \stress\Definition 2.1\normal Eine Familie \dsA von Teilmengen von T habe \stress\Ordnung\normal m, falls es einen Punkt in T gibt, der in m+1 Elementen von \dsA liegt und kein Punkt in mehr als m+1 Elementen von \dsA liegt. \stress\Definition 2.2\normal Ein Raum T ist \stress\endlich-dimensional\normal, wenn es eine natürliche Zahl m gibt, so dass es für jede offene Überdeckung \dsA von eine Verfeinerung \dsB von \dsA gibt, die höchstens die Ordnung m+1 hat. Die \stress\topologische Dimension\normal von T ist definiert als das kleinste m, für das diese Aussage gilt. Dieses nennt man auch \stress\Überdeckungsdimension\normal von T. [6, S. 302] \stress\Definition 2.3\normal Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt \stress\clopen\normal, wenn sie sowohl offen als auch abgeschlossen bezüglich der zu Grunde liegenden Topologie ist. \stress\Definition 2.4\normal Wir definieren die \stress\kleine induktive Dimension\normal der leeren Menge mit ind\0=-1. Ein metrischer Raum S ist genau dann 0-dimensional, wenn er eine Basis aus Mengen, die clopen sind, hat. Sei k eine natürliche Zahl. Wir sagen, dass ind S<=k gilt, genau dann wenn es eine Basis für die offenen Mengen von S gibt, die aus Mengen U besteht, derart dass ind\partial U<=k-1. ind S=k gilt genau dann, wenn ind S<=k aber nicht ind S\neq k-1 ist. Falls schließlich ind S<=k für alle natürlichen Zahlen k falsch ist, sagen wir ind S=\inf. [3, S.80\/81] \stress\Bemerkung
  • Unter offenen Teilmengen U von S verstehen wir Mengen, die in S bezüglich der Teilraumtopologie des zu Grunde liegenden topologischen Raumes offen sind.
  • Beispiel: Sei S eine endliche Menge. Die diskrete Topologie auf S besteht dann aus den einzelnen Punkten. Sei U=menge(x_i) eines dieser Elemente. Dann U^-=menge(x_i) und (S\\U)^-=S-menge(x_i) beide offen U^-\cut(S\\U)^-=\0. Also ist ind S=0.
An diesem Punkt erscheint es mir sinnvoll, erst mal ein konkretes Beispiel zu rechnen. Ich möchte zeigen, dass die Cantormenge C die Dimension 0 hat. Um dies zu zeigen, werden wir zuerst eine Topologie auf C definieren. Danach werde ich die Topologie so modifizieren, dass sie für uns besser geeignet ist. Außerdem werde ich nun schon einige Ergebnisse verwenden, die ich im dritten Artikel im Kapitel zur Cantormenge beweisen werde. Obwohl die Cantormenge total unzusammenhängend ist, ist ihre Teilraumtopologie bezüglich der reellen Zahlen nicht die diskrete Topologie. Sei menge(U_i)_(i\el\ I)=menge(intervalloo(a_i,b_i)|a_i,b_i\el\IR, a_i0 so dass intervalloo(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq U_i. Da C an jedem seiner Punkte dicht ist, enthält intervalloo(x-\epsilon,x+\epsilon) unendlich viele Elemente von C. Da U_i\cut C\supseteq intervalloo(x-\epsilon,x+\epsilon)\cut C, enthält es auch unendlich viele Punkte.\checked Die Basis der Topologie auf C, die aus den U'_i besteht, hilft uns beim Beweis, dass C 0-dimensional ist, nicht weiter, da sie auch Elemente enthält, die nicht clopen sind, z.B. intervalloo(0,1//3)\cut C. Also konstruieren wir uns eine andere Basis. Wir erinnern uns an die Konstruktion der Cantormenge C=cut(C_k,k\el\IN) wobei C_k aus den 2^k Intervallen der Länge 3^(-k) bestehen, die im k-ten Schritt beim Wegwischen übrig bleiben.^1 Diese Intervalle bezeichnen wir als I_kj, sodass | | | | C_k=union(I_kj,j=1,2^k) \stress\Proposition 2.6\normal Die Mengen M_kj=C\cut I_kj (k\el\IN,j\el\menge(1...2^k)) bilden eine Basis der offenen Teilmengen von C. Sie sind clopen und C ist damit 0-dimensional. [3, S. 81] \stress\Beweis\normal Das Intervall I_kj hat die Länge 3^(-k) und es ist mindestens 3^(-k) von jedem anderen I_kj' entfernt. Sei I_kj=intervall(a,b), dann ist M_kj in C abgeschlossen, da intervall(a,b) in \IR abgeschlossen ist. Aber es gilt auch M_kj=intervalloo(a-3^(-k),b+3^(-k))\cut C und damit ist M_kj auch offen in C, da intervalloo(a-3^(-k),b+3^(-k)) in \IR offen ist. Es bleibt zu zeigen, dass die M_kj tatsächlich eine Basis der Topologie auf C darstellen. Sei x\el\ C und \epsilon>0, wir wählen k und j, so dass 3^(-k)<\epsilon und x\el\ I_kj ist. Dann C\cut B_\epsilon (x)\supseteq M_kj. Die M_kj bilden also eine Basis der offenen Mengen. [3, S. 80\/81]\checked \stress\Bemerkung\normal Wir können auf diese Weise auch offene Teilmengen von C konstruieren, die nicht clopen sind, z.B. | | | | C\union intervalloo(0,1//3)=C\cut union(union(M_kj,j=2,2^k-1),k=1,\inf). Andere "wirklich" offene Mengen werden auf ähnliche Weise konstruiert. Ich habe in diesem Kapitel zwei Begriffe einer topologischen Dimension definiert. Auch wenn sie im Allgemeinen nicht äquivalent sind, so sind sie es in separablen metrischen Räumen doch. Ein Beweis dafür wäre für den Artikel zu umfangreich und ich werde deshalb nur auf einen Beweis von Edgar [3, S. 97f.] verweisen, der einige Sätze verwendet, die früher in diesem Buch kommen.

3. Die Hausdorff Dimension

Bisher wurden nur Dimensionsbegriffe besprochen, die ganzzahige Werte annehmen. Dies wird sich nun ändern. Der im folgenden Kapitel diskutierte Dimensionsbegriffe, kann jeden positiven reellen Wert annehmen. Objekten der klassischen Geometrie wird in der Regel die natürliche Zahl als Dimension zugeordnet, die man erwartet, aber Fraktalen (ich werde im zweiten Artikel versuchen diesen Begriff zu definieren) können andere Werte zugeordnet werden, wenn man ihre Dimension berechnet. Laut Falconer handelt es sich bei der Hausdorff Dimension um den historisch wichtigsten Begriff einer fraktalen Dimension. [4, vgl. S. 25]

3.1 Das Hausdorff Maß

Um die Hausdorff Dimension definieren zu können benötigen wir zunächst den Begriff des Hausdorff Maßes. Sei X ein metrischer Raum. Die Metrik wollen wir mit abs(*) bezeichnen. Für die Definition erinnere ich daran, dass der Durchmesser einer Menge U wie folgt definiert ist: abs(U):=sup menge(abs(x-y):x,y\el\U). Eine \delta-Überdeckung einer Menge A ist eine abzählbare Menge offener Mengen U_i, derart dass A\subseteq union(U_i,i\el\I) und 0<=abs(U_i)<=\delta. \stress\Definition 3.1\normal Wir definieren das s-dimensionale (\delta-Hausdorff Maß)__ einer Menge F als | | | |\lr(3.1)\big\calH|array(s;\delta)\normal (F):=inf menge(summe(abs(U_i)^s,i=1,\inf): menge(U_i) ist eine \delta-Überdeckung von F) Wird \delta kleiner, so wird das Infimum größer und der Limes für \delta->0 existiert. Diese Aussage ist deshalb haltbar, da mit kleiner werdendem \delta die Menge der zur Verfügung stehenden Überdeckungen ebenfalls kleiner wird. Wir schreiben: | | | |\lr(3.2)\big\calH^s\normal(F):=lim(\delta->0,\big\calH|array(s;\delta)\normal (F)). \big\calH^s\normal(F) heißt das s-dimensionale Hausdorff Maß von F. [4, S. 25] Man kann einfach nachrechnen, dass \big\calH^s\normal(\_) tatsächlich ein Maß definiert.

3.2 Die Hausdorff Dimension

Für eine Menge F betrachten wir nun \big\calH|array(s; )\normal(F) als Funktion in der Variablen s. Wächst s so ist \big\calH|array(s;\delta)\normal(F) monoton nichtwachsend. Daher ist auch |array(\big\calH|array(s; )\normal(F)) nichtwachsend. \stress\Proposition 3.2\normal Gilt t>s und menge(U_i) ist eine \delta-Überdeckung von F, so | | | | \lr(3.3)summe(abs(U_i)^t,i)<=\delta^(t-s) summe(abs(U_i)^s,i) \stress\Beweis\normal Beachte, dass | | | | abs(U_i)<=\delta=>abs(U_i)^t=abs(U_i)^(t-s)*abs(U_i)^s<=\delta^(t-s) abs(U_i)^s Die Aussage folgt daher durch Summation.\checked Nehmen wir den Grenzwert für \delta->0 erhalten wir das folgende \stress\Korollar 3.3\normal Sei t>s und \big\calH^s\normal(F)<\inf, dann \big\calH^t\normal(F)=0. \stress\Beweis\normal Die Aussage ist offensichtlich.\checked Dies zeigt auch, dass es einen kritischen Wert s_0 für s gibt, derart dass \big\calH^s\normal(F)=\inf für alle ss_0. \stress\Definition 3.4\normal Der kritische Wert s_0 von \big\calH|array(s; )\normal(F) wird (Hausdorff Dimension)__ oder (Hausdorff-Besicovitch Dimension)__ genannt. Wir schreiben | s_0=sup menge(s:\big\calH^s\normal(F)=\inf)=inf menge(s:\big\calH^s\normal(F)=0)=dim_H (F). \stress\Bemerkung\normal \big\calH^(s_0)\normal(F) kann jeden nichtnegativen Wert annehmen, auch 0 und \inf. Mit Hilfe dieser Definition kann man die Hausdorff Dimenson bestimmen, allerdings ist es ohne Hilfe eines Computers fast unmöglich ein brauchbares Ergebnis zu erhalten. Für streng selbstähnliche Mengen F, die überabzählbar sind (abzählbare Mengen sind 0-dimensional) gibt es aber auch eine einfachere Methode, die Dimension zu berechnen. Falls F eine überabzählbare und beschränkte Menge ist, die in einen n-dimensionalen Raum eingebettet ist, können wir annehmen, dass 0<\big\calH^(s_0)(F)<\inf. \stress\Lemma 3.5\normal | | | | | \lr(3.4) s_0=log(c)/log(1/(sf)) wobei c die Anzahl der verschobenen Kopien von F' ist, so dass die disjunkten Vereinigungen der verschobenen Kopien von F' F ergeben, wobei F' eine um den Faktor sf skalierte Version von F ist. \stress\Beweis\normal Aufgrund der Zähl- und Skalierungseigenschaften des Hausdorff Maßes erhalten wir: \big\calH^(s_0)\normal(F)\align=summe(\big\calH^(s_0)\normal(F'),i=1,c)=c*\big\calH^(s_0)\normal(F')=c*\big\calH^(s_0)\normal(sf*F) =c*sf^(s_0)*\big\calH^(s_0)\normal(F) \stopalign Dividieren wir durch \big\calH^(s_0)\normal(F), erhalten wir \align 1=c*sf^(s_0) =>s_0=log(c)/log(1/sf). \checked

4. Die Box Dimension

Einen weiteren Begriff einer fraktalen Dimension finden wir mit der Box Dimension, die manchmal auch Box-Zähl Dimension genannt wird. Allgemein lässt sich die Box Dimension leichter berechnen als die Hausdorff Dimension, sie birgt allerdings auch einige Probleme, da sie nicht auf einem Maß basiert ist.

4.1 Definition der Box Dimension

\stress\Definition 4.1\normal Sei F eine nichtleere beschränkte Teilmenge des \IR^n und N_\delta (F) die kleinste Anzahl an Mengen mit Durchmesser höchstens \delta, die F überdecken können. Die untere und obere (Box Dimension)__ von F werden wie folgt definiert: | | | | \lr(4.1)array(dim_B)__(F)=liminf(\delta->0,log(N_\delta (F))/(-log(\delta)) und | | | | \lr(4.2)array(dim_B)^-(F)=limsup(\delta->0,log(N_\delta (F))/(-log(\delta)) Sind diese beiden Zahlen gleich, so bezeichnen wir den gemeinsamen Wert als Box Dimension von F. | | | | \lr(4.3)dim_B(F)=lim(\delta->0,log(N_\delta (F))/(-log(\delta)) [4, S. 38] Zur Berechnung der N_\delta (F) kann die Art der überdeckenden Mengen auf alle möglichen Arten eingeschränkt werden. Zum Beispiel kann man nur Würfel vom Durchmesser \delta verwenden. Dadurch entstand auch der Begriff Box Dimension. N_\delta (F) kann zum Beispiel die kleinste Anzahl an (i) | geschlossenen Bälle vom Radius \delta, (ii) $Würfeln mit Seitenlänge \delta, (iii) am Koordinatensystem ausgerichtete Würfel von Seitenlänge \delta, (iv) $Mengen von Durchmesser \delta die F überdecken, (v) | disjunkten Bällen von Radius \delta mit Mittelpunkten in F. [4, S. 41]

4.2 Zusammenhänge zwischen Hausdorff Dimension und Box Dimension

Ich möchte nun einen Zusammenhang zwischen Hausdorff Dimension und der Box Dimension herstellen. Kann F von N_\delta (F) Mengen von Durchmesser \delta überdeckt werden, folgt aus der Definition des Hausdorff Maßes | | | | \big\calH|array(s;\delta)\normal(F)<=N_\delta (F)\delta^s. Gilt nun 1<\big\calH^s\normal(F)=lim(\delta->0,\big\calH|array(s;\delta)\normal(F)) dann ist log N_\delta (F)+s*log\delta>0, falls \delta klein genug ist. Also ist s<=liminf(\delta->0,(log N_\delta (F))/(-log\delta)) und | | | | \lr(4.4) dim_H(F)<=array(dim_B)__(F)<=array(dim_B)^-(F). Diese Ungleichungen können strenge Ungleichungen sein, müssen es aber nicht. Wir werden am Ende des Kapitels Beispiele für beide Fälle sehen.

4.3 Probleme und Beispiele

Es mag zwar sein, dass man die Box Dimension einfach berechnen kann. Ihre Nutzung birgt allerdings auch einige Nachteile. \stress\Proposition 4.1\normal Sei F^- der Abschluss von F. Dann gilt | | | | |array(dim_B)__|array(F^-)=(dim_B)__F und | | | | |array(dim_B)^-|array(F^-)=(dim_B)^-F. \stress\Beweis\normal Sei B_1,...,B_n eine endliche Menge abgeschlossener Bälle vom Radius \delta. Falls die Bälle F überdecken, so überdecken sie auch F^-. Daher kann man mit der kleinsten Anzahl an Bällen, mit denen man F überdecken kann auch F^- überdecken. Mit Hilfe der Definition der Boxdimension ist die Proposition bewiesen.\checked Als Konsequenz daraus gilt für dichte Teilmengen F einer offenen Teilmenge von \IR^n immer (dim_B)__(F)=(dim_B)^-(F)=dim_B(F)=n. Daher ist dim_B union(F_i,i=1,\inf)=sup(i,dim_B (F_i)) nicht generell wahr für disjunkte Mengen F_i deren Vereinigung F ist. (Beispiel: rationale Zahlen) \stress\Beispiel 4.2\normal
  1. Für die Cantor Menge gilt das folgende:
  2. | | | | |array(dim_B)__(F)=(dim_B)^-(F)=log(2)/log(3) \stress\Beweis\normal Wir erinnern uns daran, dass C=cut(C_k,k=1,\inf). Wir verwenden die Überdeckung von C_k durch die 2^k Intervalle I_(jk) der Länge 3^(-k). Dann ist N_\delta (F)<=2^k, falls 3^(-k)<\delta<=3^(-k+1). Also | | | | |array(dim_B)^-(F)=limsup(\delta->0,log(N_\delta (F))/(-log(\delta))<=limsup(k->\inf,log(2^k)/log(3^(k-1)))=log(2)/log(3) Andererseits schneidet jedes Intervall der Länge \delta mit 3^(-k-1)<=\delta<3^(-k) höchstens eines der Intervalle der Länge 3^(-k). Es gibt 2^k dieser Intervalle der Länge \delta und somit benötigen wir also mindestens 2^k Intervalle der Länge \delta um F zu überdecken. N_\delta (F) ist also mindestens 2^k. Damit ist (dim_B)__(F)>=log(2)/log(3). [4, S. 43\/44]\checked
  3. Es gilt folgendes:
  4. F=menge(0, 1, 1/2 , 1/3 ,...) ist eine kompakte Menge mit dim_B=1/2 \stress\Beweis\normal Sei abs(U)=\delta<1/2 und k die eindeutig bestimmte natürliche Zahl für die 1/(k(k-1))>\delta>=1/(k(k+1)) gilt. Dann kann U höchstens einen der Punkte aus menge(1, 1/2 , 1/3 , ... , 1/k) überdecken. Also benötigen wir mindestens k Mengen von Durchmesser \delta um F zu überdecken, also | | | | log(N_\delta (F))/(-log(\delta))>=(log(k))/(log(k(k+1)). Für \delta->0 erhalten wir array(dim_B)__>=1/2. Andererseits, falls 1/2>\delta>0 ist, wählen wir k wie oben. Dann überdecken k+1 Intervalle der Länge \delta das Intervall intervall(0,1/k). Es bleiben k-1 Punkte übrig, die mit k-1 Intervallen überdeckt werden können. Also | | | | log(N_\delta (F))/(-log(\delta))<=(log(2k))/(log(k(k-1)). Wenn wir den Grenzwert bilden, erhalten wir (dim_B)^-(F)<=1/2. \checked

    Abschluss

    Gewappnet mit diesen Grundlagen der Dimensionstheorie fällt es uns jetzt nicht schwer richtig einzusteigen. Im zweiten Artikel werde ich dann eine Möglichkeit vorstellen, Fraktale konkret zu konstruieren. Allein an der Verwendung des Wortes "konstruieren" sehen wir, dass die Fraktale, die wir zuerst kennen lernen werden und auf die ich mich in dieser Serie beschränken werde, falls ich nicht über den dritten Artikel hinaus gehen werde, kaum konkreten Bezug zu Natur oder Anwendung aufweisen, sondern mathematische Objekte bleiben.
    Fußnoten: 1 Cantormenge bei Wikipedia

    Bibliographie

    [1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962. [2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988. [3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990. [4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990. [5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948. [6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975. [7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.
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Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe [von huepfer]  
Dies soll der Beginn einer Artikelserie über fraktale Geometrie sein. Es wird sich dabei um eine topologische Einführung in das Thema handeln und soll die fraktale Geometrie vorstellen, wie ich sie auch schon in meinem Artikel über das Sierpinski-Dreieck angewandt habe. Zunächst sind drei Teile gep
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"Mathematik: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe" | 6 Comments
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Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: xycolon am: Mo. 08. Oktober 2007 16:34:34
\(\begingroup\)hallo, danke für einen artikel zu diesem thema. habe ihn nur kurz überflogen, da ich gerade keine zeit habe tiefer einzusteigen. werde ich aber nachholen, habe mich schon beim thread über den eiffelturm gefragt, was es mit fraktalen dimensionen auf sich hat gruß, xycolon\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: diluvian am: Di. 09. Oktober 2007 01:15:27
\(\begingroup\)na da hoff ich mal, dass die weiteren artikel auch bald erscheinen :)\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: Yves am: Di. 09. Oktober 2007 03:10:35
\(\begingroup\)Hi Felix Ich habe eine Frage historischer Art: Was genau hat denn Euklid mit Vektorräumen zu tun? Sowohl der Begriff Vektorraum, als auch der Begriff Basis / Dimension von VRen wurden erst viel später eingeführt (ebenso Koordinatensysteme). Wie kommst du also auf "Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid"? Beste Grüße Yves\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: huepfer am: Di. 09. Oktober 2007 09:11:25
\(\begingroup\)Hallo Yves, es ist richtig, dass die Begriffe des Vektorraumes, Basis, Dimension, etc. erst viel später (19. Jhdt.?) auftauchen. Nach dem, was ich zu dem Thema gelesen habe, sollen sie aber mehr oder weniger zwangsläufig aus der euklidischen Geometrie entstehen. Dies hat mich dazu bewogen, den Titel so zu wählen. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: huepfer am: So. 04. November 2007 21:11:51
\(\begingroup\)Zur gesamten Artikelserie gibt es ein englisch-sprachiges PDF. Dieses ist unter dem dritten Artikel zu finden. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von: Triceratops am: Mi. 25. September 2019 20:21:50
\(\begingroup\)Begleitend hierzu kann man sich dieses Video von 3Blue1Brown anschauen (und auch an Leute weiterleiten, die keinen mathematischen Background haben): https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4\(\endgroup\)
 

 
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