Mathematik: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
Released by matroid on Mo. 15. Oktober 2007 07:56:56 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Nachdem wir im ersten Artikel die topologischen Grundlagen gelegt haben, werden wir uns nun mit den iterierten Funktionensystemen beschäftigen. Wir werden diese Systeme definieren und einen Konvergenzbegriff für iterierte Funktionensysteme erarbeiten. Wir werden festellen, dass unter gewissen Umständen ein Grenzwert für solche Systeme existiert und dieser eindeutig bestimmt ist.

Inhalt

1. Definitionen 2. Fixpunktsätze und Attraktoren 3. Definition eines Fraktals? Abschluss

1. Definitionen

Um richtig beginnen zu können benötigen wir zunächst eine Reihe von Definitionen, mit denen ich beginnen möchte. \stress\Definition 1.1\normal Sei A\subseteq S eine beliebige Teilmenge des metrischen Raums S. Dann ist | | | | A_\delta:=menge(x\el S|abs(x-a)<=\delta für ein a\el\A) der (\delta-Parallelkörper)__ oder (\delta-parallele Überdeckung)__ von A. Wir wollen uns nun verschiedene Teilmengen von S ansehen und einen Abstand zwischen diesen Mengen bestimmen. Wir können dafür allerdings nicht beliebige Teilmengen verwenden, sondern müssen uns auf bestimmte Mengen beschränken. Sei \calS die Klasse, der nichtleeren kompakten Teilmengen von S. Diesen Raum möchte ich mit einer Metrik ausstatten. \stress\Definition 1.2\normal Seien A,B\el\calS. Wir definieren die Hausdorffmetrik auf \calS wie folgt: | | | | d(A,B):=inf menge(\delta|A\subset B_\delta und B\subset A_\delta). Der Wert d(A,B) wird auch Hausdorffabstand__ zwischen A und B genannt. In anderen Worten d(A,B) ist das kleinste \delta, so dass der \delta-Parallelkörper von A B enthält und umgekehrt. \stress\Propostion 1.3\normal Die Hausdorffmetrik ist eine Metrik. \stress\Beweis:\normal
  • d(A,B)>=0, d(A,B)=0<=>A=B
  • Aufgrund der Definition ist klar, dass d(A,B)>=0 gilt. Sei also A!=B. O.B.d.A. sei a\el\A und a\notel\B. Da S regulär ist, gibt es disjunkte offene Teilmengen A_1 und A_2 von S, so dass a\el\A_1 und B\subseteq\A_2. Es folgt also, dass abs(a-b)>\epsilon für alle b\el\B, wobei \epsilon der Radius eines offenen Balles mit Mittelpunkt in a ist, der ganz in A_1 enthalten ist. Daher ist für alle \delta<\epsilon a nicht in B_\delta enthalten und daher d(A,B)>=\epsilon>0. Es ist wiederum klar, dass d(A,B)=0, falls A=B.
  • d(A,B)=d(B,A), klar nach Definition
  • d(A,B)<=d(A,C)+d(C,B)
  • Sei d(A,B):=\delta_1, d(A,C):=\delta_2, d(C,B):=\delta_3. Das Ergebnis ist eine direkte Folge der Dreiecksungleichung in S. Sei b\el\B, dann gibt es ein c\el\C, so dass abs(b-c)<=\delta_3, und ein a\el\A, so dass abs(a-c)<=\delta_2 ist. Wegen der Dreiecksungleichung ist dann abs(a-b)<=\delta_2+\delta_3. Für jedes b\el\B gibt es ein a\el\A, so dass diese Aussage stimmt und damit gilt B\subseteq A_(\delta_2+\delta_3).
Die Metrik ist also wohldefiniert. \checked \stress\Bemerkung:\normal Falls a,b\el\ S gilt offensichtlich abs(a-b)=d(a,b). Daher verursacht die Notation d(a,b) für den Abstand zwischen a und b keine Probleme. \stress\Definition 1.4\normal Sei \l>0. Seien X,Y metrische Räume. Eine Funktion f:X->Y heißt Ähnlichkeitsabbildung__ mit Streckungsfaktor__ \l, falls | | | | d(f(x),f(y))=\l*d(x,y), \forall x,y\el X Eine Ähnlichkeitsabbildungs mit Streckungsfaktor 1 heißt Isomtrie. \stress\Lemma 1.5\normal Eine Ähnlichkeitsabbildung ist stetig. \stress\Beweis\normal Sei f:X->Y eine Ähnlichkeitsabbildung mit Streckungsfaktor \l. Wir erinnern uns an Cauchys \e-\d-Definition der Stetigkeit. [1, S. 112] Sei \d=\l^(-1) \e. Für d(x,y)<\d gilt dann | | | | d(f(x),f(y))=\l d(x,y)<\l*\d=\l\l^(-1) \e=\e. Also ist f stetig.\checked Von nun an beschränken wir uns auf den den Fall S=\IR^n, den wir mit der üblichen Topologie, Norm und Skalarprodukt ausstatten. \stress\Definition 1.6\normal Eine Funktion f:\IR^n->\IR^n heißt (affine Transformation)__, falls sie die folgende Darstellung in Matrixnotation besitzt: | | | | f(x)=Px+b wobei P eine invertierbare n\cross\ n-Matrix und b ein n-Vektor ist. Wir unterscheiden die folgenden Fälle:
  • Ist b=0, so ist f(0)=0. f nennt sich lineare Transformation.
  • Ist det (P)>0, so ist f orientierungserhaltend.
  • Ist det (P)<0, so ist f orientierungsumkehrend.
  • Ist P=I, so ist f(x)=x+b eine Verschiebung.
  • Ist P=\l*I, b=0, so ist f(x)=\l*x eine Streckung.
\stress\Lemma 1.7\normal Sei P eine orthogonale Matrix, \l>0 und b\el\IR^n. Dann ist die affine Transformation f(x)=\l*Px+b eine Ähnlichkeitsabbildung. \stress\Beweis:\normal Seien x,y\el\IR^n. Wir berechnen den Abstand ihrer Bildpunkte. \align d(f(x),f(y))=abs((\l*Px)-(\l*Py)) =abs(\l*P(x-y)) =abs(\l)*abs(P(x-y)) =abs(\l)*abs(x-y) =\l*d(x,y) Also ist f eine Ähnlichkeitsabbildung.\checked \stress\Definition 1.8\normal Eine Ähnlichkeitsabbildung mit Streckungsfaktor 0<\l<1 heißt Kontraktion__.

2. Fixpunktsätze und Attraktoren

\stress\Satz 2.1\normal Sei f eine Kontraktion. Dann hat f genau einen Fixpunkt, d.h. es gibt x\el\IR^n so dass f(x)=x. \stress\Beweis: Eindeutigkeit:\normal Angenommen x,y\el\IR^n sind Fixpunkte von f, dann gilt | | | | d(x,y)=d(f(x),f(y))<=\l*d(x,y). Da 0<\l<1 folgt daraus, dass d(x,y)=0 und damit x=y gilt. \stress\Existenz:\normal Wir betrachten die Folge x_n=f^n(x_0) für ein beliebiges x_0\el\IR^n. Wir werden zeigen, dass diese Folge konvergiert. Um dies zu tun, werden wir zeigen, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist. Sei a=d(x_0,x_1). Dann ist d(x_1,x_2)=d(f(x_0),f(x_1))<=\l*d(x_0,x_1)=\l*a. Mit Induktion erhalten wir d(x_n,x_(n+1))<=\l^n*a. Sei n>=m. \align d(x_m,x_n)<=summe(d(x_i,x_(i+1)),i=m,n-1) (Dreiecksungleichung) <=summe(\l^i*a,i=m,n-1) =(a*(\l^m-\l^n))/(1-\l) =(a*\l^m(1-\l^(n-m)))/(1-\l) <=(a*\l^m)/(1-\l) (0<\l^(n-m)<1) \stopalign Sei \e>0. Wähle N so, dass (a*\l^m)/(1-\l)<\e für alle m>N. Es folgt, dass d(x_m,x_n)<\e für alle m,n>N. (x_n) ist also eine Cauchy-Folge und konvergiert, da \IR^n vollständig ist. Sei x=lim(x->\inf,x_n). Da f stetig ist, gilt lim(n->\inf,f(x_n))=x. Andererseits ist f(x_n)=x_(n+1). Nehmen wir den Grenzwert, erhalten wir f(x)=x. Der Beweis ist damit erfolgt. \checked Dieser Satz weist uns den Weg, den wir gehen wollen. Ich werde nun den Begriff eines "iterierten Funktionensystems" (IFS) definieren, wie dies in [2, S. 82] geschieht. Anschließend werde ich einen Konvergenzbegriff für diese IFS einführen, der uns zu den gesuchten Mengen, den Fraktalen, bringt. \stress\Definition 2.2\normal Ein (hyperbolisches) (iteriertes Funktionen System)__ besteht aus einem vollständigen metrischen Raum (X,d) zusammen mit einer endlichen Menge von Kontraktionen \omega_n :X->X mit zugehörigen Kontraktionsfaktoren s_n, für n=1,...,N. Die Abkürzung "IFS" steht für "iteriertes Funktionen System". Die Notation für ein solches IFS ist menge(X, \omega_n, n=1,...,N) und sein Kontraktionsfaktor ist s=Max menge(s_n|n=1,...,N). \stress\Bemerkung:\normal Diese Systeme nennt man iterierte Funktionen Systeme, da die interessanten Effekte üblicherweise auftreten, wenn man das Funktionensystem wiederholt auf das Ergebnis des vorangegangen Schritts anwendet. In [4, S. 114] findet sich das folgende \stress\Theorem 2.3\normal Seien S_1,...,S_m Kontraktionen auf D\subseteq\IR^n. Weiterhin gelte | | | | abs(S_i(x)-S_i(y))<=c_i abs(x-y) \forall x,y\el\ D dabei ist 0=1. Dann ist | | | | \lr(2.1)F=cut(S^k(E),k=1,\inf) für jedes E\el\ S, so dass S_i(E)\subseteq E für alle i. \stress\Beweis:\normal Da die S_i stetig sind wird jedes Element von \calS in ein Element von \calS verwandelt. Sei E\el\calS, so dass S(E)\subset E. Falls D selbst nicht kompakt ist, wählen wir z.B. D\cut (B_r(0))^- mit r groß genug als Menge E. Dann ist S^n(E)\subset S^(n-1)(E). Dies gilt wegen der folgenden Argumentation. Sei e\el\ S(E). Nach Annahme ist e\el\ E. Dies bedeutet, dass S_i(e)\el\ S(E) \forall i und alle e\el\ S(E). Also ist ist S^2(E)\subset S(E). Induktiv gilt S^n(E)\subset S^(n-1)(E). Da die S_i stetig sind und kompakte Mengen von stetigen Funktionen auf kompakte Mengen abgebildet werden, ist S^n(E) eine absteigende Folge kompakter, nichtleerer Mengen. Also ist F=cut(S^n(E),n=0,\inf) nichtleer. Also | | | | S(F)=S(cut(S^n(E),n=0,\inf))=cut(S^(n+1)(E),n=0,\inf)=cut(S^n(E),n=1,\inf)=F (S(E)\subset E) F ist die invariante Menge für das IFS. Um zu beweisen, dass F kompakt ist, wählen wir eine Folge (e_i)_(i\el\IN) in F so, dass e_i\el\ S^i(E). Da alle S^i(E) kompakt sind, gibt es eine konvergente Teilfolge (e_(n_i))\subseteq (e_i), die in jedem S^i(E) konvergiert. Da der Grenzpunkt in jedem S^i(E) liegt, ist es auch in der Schnittmenge F. Diese ist also kompakt. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass F eindeutig bestimmt ist. Nehmen wir an, dass A eine weitere invariante Menge bezüglich des IFS sei und A!=F. Dann gilt | | | | \lr(2.2)d(A,F)=d(S(A),S(F))<=max(1<=i<=m,menge(c_i))*d(A,F)\inf,d(S^n(E),F)=0. (vgl. erste Ungleichung in ref(2.2)) Daher wird F auch als Attraktor des IFS bezeichnet. [2, S. 82] Falls F ein Fraktal ist, nennt man die Mengen S^n(E) oft Präfraktale. [4, vgl. S. 115] \stress\Definition 2.4\normal Eine Menge F\el\calS, die bezüglich eines IFS invariant ist, heißt (strikt) selbstähnlich__. [4, S. 117] \stress\Definition 2.5\normal Ein IFS genüge einer (Bedingung für offene Mengen)__, falls es eine nichtleere offene Menge V gibt, so dass | | | | \lr(2.3)V\supersetequal coprod(S_i(V),1<=i<=m). \stress\Lemma 2.6\normal Wähle ein festes r\el\IR, r>0. "Sei menge(V_i) eine Kollektion disjunkter offener Teilmengen von \IR^n, so dass jedes V_i einen Ball vom Radius a_1 r enthält und in einem Ball vom Radius a_2 r enthalten ist. Dann schneidet jeder Ball B vom Radius r höchstens (1+2a_2)^n*a_1^(-n) der Abschlüsse (V_i)^-." [4, S. 118] \stress\Beweis\normal Sei (V_i)^-\cut B!=\0. Dann ist (V_i)^- in einem Kreis vom Radius (1+2a_2)r enthalten, der mit B konzentrisch ist. Angenommen q der (V_i)^- schneiden B. Wenn wir die Volumina der inneren Bälle vom Radius a_1 r aufsummieren, sehen wir, dass q(a_1 r)^n<=(1+2a_2)^n r^n. Dividieren wir durch (a_1 r)^n!=0, erhalten wir q<=(1+2a_2)^n*a_1^(-n) .\checked Dieses Lemma führt uns direkt zum zentralen Theorem des Artikels. Dies wird die Annahmen, die wir bisher getroffen haben, rechtfertigen. Der Beweis wird im wesentlichen dem Vorgehen aus [4, S. 119] folgen. Mittels des Theorems finden wir eine Bedingung, wann dim_H(F)=dim_B(F) gilt und wir werden einen praktischen Weg zu ihrer Berechnung finden. \stress\Theorem 2.7\normal Angenommen die Bedingung für offene Mengen \ref(2.3) ist erfüllt für die Ähnlichkeitsabbildungen S_i auf \IR^n mit Skalierungsfaktoren c_i (1<=i<=m). Falls F die invariante Menge ist, die | | | | \lr(2.4) F=union(S_i(F),i=1,m) erfüllt, dann gilt dim_H(F)=dim_B(F)=s, wobei s durch | | | | \lr(2.5) summe((c_i)^s,i=1,m)=1. Außerdem gilt für den Wert s, 0<\calH^s(F)<\inf. \stress\Beweis:\normal Als erstes werden wir zeigen, dass dim_H(F)=s ist. Sei s wie in \ref(2.5) gegeben. Für jede Menge A schreiben wir A_(i_1,...,i_k)=S_(i_k)\kringel...\kringel S_(i_1)(A). Sei J_k die Menge aller endlichen Folgen mit k Gliedern der Form (i_1,...,i_k) mit 1<=i_j<=m. Durch wiederholte Anwendung von \ref(2.4) erhalten wir | | | | F=union(F_(i_1,...,i_k),J_k). Diese Überdeckungen bieten uns eine geeignete obere Grenze für die Abschätzung des Hausdorff-Maßes. S_(i_k)\kringel...\kringel S_(i_1) ist eine Ähnlichkeitsabbildung mit Streckungsfaktor c_(i_k)*...*c_(i_1), also \breakalign \align \ll() summe(abs(F_(i_1,...,i_k))^s,J_k)=summe((c_(i_k)*...*c_(i_1))^s*abs(F)^s,J_k) \ll() $=(summe((c_(i_k))^s,i_k=1,m))*...*((summe((c_(i_1))^s,i_1=1,m))) abs(F)^s \stopalign nach Annahme \ref(2.5). Für jedes \delta>0, können wir ein k wählen derart dass abs(F_(i_1,...,i_k))<=(max(i,c_i))^k<=\delta, also \calH|array(s;\delta)(F)<=abs(F)^s für jedes \delta und damit ist \calH^s(F)<=abs(F)^s. Die Suche nach einer unteren Schranke ist etwas schwieriger. Sei I die Menge aller unendlichen Folgen I=menge((i_1, i_2, ...)|1<=i_j<=m) und I_(i_1, ..., i_k)=menge((i_1,...,i_k, q_(k+1),...)|1<=q_j<=m) sei die Teilmenge von I, die aus den Folgen besteht, die mit (i_1,...,i_k) beginnen. Wir definieren eine Maßdistribution \m auf I durch \m(I_(i_1,...,i_k))=(c_(i_1)*...*c_(i_k))^s. Da (c_(i_1)*...*c_(i_k))^s=summe((c_(i_1)*...*c_(i_k)*c_i)^s,i=1,m), also \m(I_(i_1,...,i_k))=summe(\m(I_(i_1,...,i_k,i)),i=1,m) ist, folgt, dass \m als Maßdistribution auf Teilmengen von I wohldefiniert ist. Außerdem ist \m(I)=1. \m kann zu einer Maßdistribution \m^~ auf F übertragen werden, indem wir \m^~(A)=\m\.menge((i_1,...,i_k)|x_(i_1, i_2,...)\el\ A) für Teilmengen A von F definieren. Dabei ist x_(i_1, i_2,...):=union(F_(i_1,...,i_k),k=1,\inf). Offensichtlich gilt \m^~(F)=1. Wir zeigen nun, dass \m^~ das Maßdistributionsprinzip erfüllt, das in [4, S. 55, Theorem 4.2] erörtert wird. (Dies ist ähnlich wie Formel \ref(4.4) des ersten Artikels) Sei V die offene Menge wie in \ref(2.3). Da V^-\supersetequal S(V^-)=union(S_i(V^-),i=1,m), konvergiert die absteigende der S^k(V^-) gegen F. (vgl. \ref(2.2)) Insbesondere gilt V^-\supersetequal F und V^-_(i_1,...,i_k)\supersetequal F_(i_1,...,i_k) für jede endliche Folge (i_1,...,i_k). Sei B nun ein Ball von Radius r<1. Wir schätzen \m^~(B) ab, indem wir Mengen V_(i_1,...,i_k) betrachten, deren Durchmesser mit dem von B vergleichbar ist und deren Abschluss F\cut B schneidet. Jede der unendlichen Folgen (i_1, i_2, ...)\el\I schneiden wir nach dem ersten i_k für das | | | | \lr(2.6) (min(i,c_i))r<=c_(i_1)*...*c_(i_k)<=r gilt und Q bezeichne die endliche Menge der endlichen Folgen, die wir auf diese Weise erhalten. Dann gibt es für jede unendliche Folge (i_1, i_2, ...) genau eine Zahl k sodass (i_1,...,i_k)\el\ Q ist. Da die V_1,...,V_m disjunkt sind, gilt dies auch für V_(i_1,...,i_k, 1),...,V_(i_1,...,i_k, m) für jedes (i_1,...,i_k). Verwenden wir dies verschachtelt, folgt daraus dass die Vereinigung der offenen Mengen menge(V_(i_1,...,i_k)|(i_1,...,i_k)\el\ Q) disjunkt ist. Ähnlich gilt F\subset\ union(F_(i_1,...,i_k),Q)\subset\ union(V_(i_1,...,i_k),Q). Wir wählen a_1 und a_2 so, dass V einen Ball vom Radius a_1 enthält und in einem Ball vom Radius a_2 enthalten ist. Dann gilt für (i_1,...,i_k)\el\ Q, dass die Menge V_(i_1,...,i_k) einen Ball vom Radius c_(i_1)*...*c_(i_k)*a_1 und somit einen Ball vom Radius (min(i,c_i))(a_1)*r enthält und in einem Ball vom Radius a_2*r enthalten ist. Sei Q_1 die Menge der Folgen (i_1,...,i_k)\el\ Q derart, dass B die Menge (V^-)_(i_1,...,i_k) schneidet. Unter Benutzung des vorigen Lemmas sehen wir, dass Q_1 höchstens q=(1+2a_2)^n*(a_1)^(-n)*(min(i,c_i))^(-n) Folgen enthält. Dann gilt \align \ll()\m^~(B)=\m^~(B\cut\ F)<=\m menge((i_1, i_2,...)|x_(i_1, i_2,...)\el\ F\cut\B) \ll()$<=\m menge(union(I_(i_1,...,i_k),Q_1) denn, falls x_(i_1, i_2,...)\el\ F\cut\B\subset\ union((V^-)_(i_1,...,i_k),Q_1) ist, gibt es eine natürliche Zahl k derart, dass (i_1,...,i_k)\el\ Q ist. Also \ll()\m^~(B)<=summe(\m(I_(i_1,...,i_k)),Q_1) \ll()$=summe((c_(i_1)*...*c_(i_k))^s,Q_1)<=summe(r^s,Q_1)<=r^s q wegen \ref(2.6). Da jede Menge U in einem Ball vom Radius abs(U) enthalten ist, haben wir \m^~(U)<=abs(U)^s q_1. Daher erhalten wir mit dem Maßdistributionsprinzip [4, S. 55, Theorem 4.2] \big\calH^s\normal(F)>=q^(-1)>0 und deshalb dim_H(F)=s. Dies folgt aus \ref(4.4) des ersten Artikels. Der vorherige Teil rechtfertigt auch unsere Annahme, dass 0

3. Definition eines Fraktals?

Ich habe bisher verschiedene Dimensionsbegriffe eingeführt und Methoden diese zu berechnen. Ich habe auch beschrieben, wie man bestimmte Klassen von Mengen konstruieren kann. Aber ich habe bisher noch keine ordentliche Definition dafür gegeben, was man unter einem Fraktal versteht. Der Grund dafür ist recht einfach aber für viele vielleicht überraschend, die bisher nur mit "gesetzten" Bereichen der Mathematik zu tun hatten. Es gibt nämlich nichtmal eine strenge Definition, die allgemein akzeptiert ist. Mandelbrot definierte Fraktale als solche Mengen, für die dim_H(F)>ind(F) gilt. Aber selbst er war schon mit dieser Definition unzufrieden, da "Randlinienfraktale" in dieser Definition nicht mit inbegriffen sind, "reines Geometrisches Chaos" jedoch schon. [3, S. 179] Taylor schlägt vor Mengen F als Fraktale zu bezeichnen genau dann, wenn ind(F)

Abschluss

Wir haben nun in zwei Artikeln die Grundlagen gelegt, um uns nun ganz konkret mit Fraktalen zu beschäftigen. Dies möchte ich in einem dritten und letzten Artikel tun.

Bibliographie

[1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962. [2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988. [3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990. [4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990. [5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948. [6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975. [7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.
Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
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Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme [von huepfer]  
Nachdem wir im ersten Artikel die topologischen Grundlagen gelegt haben, werden wir uns nun mit den iterierten Funktionensystemen beschäftigen. Wir werden diese Systeme definieren und einen Konvergenzbegriff für iterierte Funktionensysteme erarbeiten. Wir werden festellen, dass unter gewissen Umstän
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"Mathematik: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme" | 1 Comment
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Re: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
von: huepfer am: So. 04. November 2007 21:10:24
\(\begingroup\)Zur gesamten Artikelserie gibt es ein englisch-sprachiges PDF. Dieses findet sich beim dritten Artikel. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

 
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