Mathematik: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
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Mathematik

\(\begingroup\) Im dritten und letzten Teil meiner Reihe zur Fraktalen Geometrie möchte ich euch nun einige Beispiele präsentieren. Dabei werde ich beim ersten Beispiel immer wieder auf die entsprechenden Passagen der ersten beiden Artikel verweisen. Für die anderen Beispiele müsst ihr dann bei Bedarf eben selbst nachschlagen.

Inhalt

1. Die Cantor-Menge 2. Die Koch-Kurve 3. Das Sierpinski-Dreieck 4. Der Sierpinksi-Tetraeder 5. Sierpinski-Fraktale Abschluss

1. Die Cantor-Menge

Bild
Hier sehen hier die ersten paar Iterationsschritte der Cantormenge C. Es gibt zwei äquivalente Konstruktionswege für die Cantormenge, die für uns beide nützlich sein werden. \stress\Konstruktion 1.1\normal (1. Methode) Nehme das Einheitsintervall intervall(0,1). Entferne das mittlere Drittel, um die beiden Intervalle intervall(0,1/3) und intervall(2/3,1) zu erhalten. Fahre mit den verbleibenden Intervallen rekursiv fort. \stress\Konstruktion 1.2\normal (2. Methode) Wähle ein kompaktes Intervall, das das Einheitsintervall intervall(0,1) enthält. Wende das IFS( vgl. Definition 2.2 zweiter Artikel) f_1(x)=1/3*x und f_2(x)=1/3*x+2/3 an. Anhand der ersten Methode erkennen wir, dass man die Cantor-Menge folgendermaßen schreiben kann. \stress\Lemma 1.3\normal | | | | C=menge(summe(a_n*1/3^n,n=1,\inf)|a_n\el\menge(0,2)) \stress\Beweis:\normal Dies folgt aus der Tatsache, dass jede Zahl in intervall(0,1), die die Ziffer 1 wenigstens an einer Stelle in jeder triadischen Darstellung hat, bei der Konstruktion entfernt wird. Sei n die kleinste natürliche Zahl derart, dass a_n=1 für alle Darstellungen von ist. Dann wird x im n-ten Schritt entfernt. Sei andersrum x=summe(a_n*1/3^n,n=1,\inf) mit a_n\el\menge(0,2). Dann liegt x im linken Teil des Intervalls, in dem es im n-1-ten Schritt lag, falls a_n=0 und rechten Teil dieses Intervalls, falls a_n=2 ist. Also ist x im übrig bleibenden Intervall für alle n\el\IN. Also x\el\ C.\checked Wie wir in Proposition 2.6 (erster Artikel) gezeigt haben ist die kleine induktive Dimension und die Überdeckungsdimension von C dim_C C=ind C=0. \( dim_C C ist dabei die Überdeckungsdimension von C) Ich werde nun zeigen, dass das IFS S:=menge(\IR, f_1(x)=1/3*x,f_2(x)=1/3*x+2/3, n=1,2) (Definition 2.2, 2. Artikel) der Bedingung für offene Mengen (2.3) genügt. Sei V=intervalloo(0,1), dann ist f_1(V)=intervalloo(0,1/3) und f_2(V)=intervalloo(2/3,1), also f_1(V) bigop(\cup,f_2(V),,.)\subseteq V. Deshalb sagt Theorem 2.7 (2. Artikel), dass es eine eindeutig bestimmte Menge C gibt, die bezüglich des IFS S invariant ist. Außerdem gilt dim_H C=dim_B C=log(2)/log(3)\approx 0,63. Diese Eigenschaften bestätigen, dass C ein Fraktal im Sinne der "Definition" 3.1 (2. Artikel) wie auch im Sinne von Mandelbrot und Taylor ist (vgl. Kapitel 3, 2. Artikel). Zusätzlich können wir noch das folgende beweisen: \stress\Lemma 1.4\normal C ist a) dicht an jedem Punkt von C. b) total unzusammenhängend. \stress\Beweis:\normal a) Wir erinnern uns, dass eine Menge S dicht für jedes x\el\ S und jedes \epsilon>0 ein y\el\ S existiert, derart dass abs(x-y)<\epsilon und x!=y. Sei x=summe(a_k*1/3^k,k=1,\inf), a_k\el\menge(0,2) und \epsilon=1/3^n. Dann ist y=summe(a_k*1/3^k,k=1,\inf) | | | | b_k=fdef(a_k,wenn k<=n oder k>n+1;0,wenn a_(n+1)=2;2,wenn a_(n+1)=0) Dann ist abs(x-y)=2/3^(n+1)<1/3^n=\epsilon. C ist also dicht. b) Beachte, dass eine Menge S in \IR total unzusammenhängend ist, wenn für beliebige x,y\el\ S mit x1/3^n. Sei x=summe(a_k*1/3^k,k=1,\inf) und es gäbe ein N\el\IN derart, dass a_k=2 für alle k>=N. Dann ist y-x>=1/3^(N+1). z existiert also ganz offensichtlich. Falls x=summe(a_k*1/3^k,k=1,\inf) und für alle N\el\IN existiere ein k\el\IN, k>N mit a_k=0. Wähle \epsilon=1/3^m wobei abs(x-y)>\epsilon und bezeichne das kleinste k>N so dass a_k=0 ist mit j. Dann setzen wir z=summe(b_k*1/3^k,k=1,\inf) derart, dass | | | | b_k=fdef(a_k,wenn k!=j oder j+1;1,wenn k=j oder k=j+1) Es gilt also x

2. Die Koch-Kurve

Bild
Das zweite Beispiel, das ich besprechen möchte, ist die sogenannte Koch-Kurve K. Sie wird oben dargestellt. Wie bei der Cantormenge möchte ich zwei Konstruktionsmöglichkeiten vorstellen. Die erste Methode ist dabei nützlicher um die Kurve von Hand zu zeichnen, während die zweite für Computerprogramme besser geeignet ist. \stress\Konstruktion 2.1\normal (1. Methode) Man nehme das Einheitsintervall intervall(0,1). Teile es in drei gleiche Intervalle. Wir entfernen das mittlere Intervall und ersetzen es durch die beiden übrigen Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Grundseite das entfernte Teilintervall ist. Mit den neuen Seiten verfahren wir in der gleichen Weise. \stress\Bemerkung:\normal Wenn man die Kurve zeichnet, ist es nützlich, einen Bleistift zu verwenden um die Seiten ausradieren zu können, die nicht mehr zur Kurve gehören. \stress\Konstruktion 2.2\normal (2. Methode) Wir nehmen eine kompakte Menge, die das gleichseitige Dreieck enthält, das auf dem Einheitsintervall intervall(0,1) aufgebaut ist. Wir wenden nun das IFS an, das durch die folgenden vier Ähnlichkeitsabbildungen definiert ist: \ll()f_1(x;y)=(1/3,0;0,1/3)(x;y) \ll()f_2(x;y)=(1/6,-sqrt(3)/6;sqrt(3)/6,1/6)(x;y)+(1/3;0) \ll()f_3(x;y)=(1/6,sqrt(3)/6;-sqrt(3)/6,1/6)(x;y)+(1/2;sqrt(3)/6) \ll()f_4(x;y)=(1/3,0;0,1/3)(x;y)+(2/3;0) \stress\Bemerkung:\normal Mit einer einfachen Rechnung können wir zeigen, dass die Skalierungsfaktoren all dieser Ähnlichkeitsabbildung 1/3 betragen. Verwenden wir die Teilraumtopologie, die K von der Standardtopologie auf dem \IR^2 erbt, können wir sehen, dass die Ränder der offenen Mengen U von K diskrete Mengen sind. Also gilt ind\partial U=0 für alle offenen Mengen U in K und deshalb ist ind K=1. Da wir eine Konstruktionsmöglichkeit mittles eines IFS haben, stellt sich die Frage, ob dieses IFS die Bedingung für offene Mengen erfüllt. Dies wird zeigen, dass K die eindeutig bestimmte invariante Menge bezüglich des IFS ist. Außerdem zeigt dies, dass K ein Fraktal ist. Natürlich können wir dann auch auf einfache Weise die Hausdorff-Dimension von K bestimmen. Sei V eine offene Menge, die wie folgt definiert ist: \lr(2.1)V:=menge((x,y)\el\I^2|0s=log(4)/log(3)\approx 1,26 Es gilt also dim_H K=dim_B K\approx 1,26. K kann also im Sinne der Definition des vorigen Artikels als Fraktal betrachtet werden. Durch Drehen und Verschieben von drei Kopien der Kochkurve erhalten die bekannte Kochsche Schneeflocke, die ihren Namen aufgrund ihrer Form erhält.
Bild

3. Das Sierpinski-Dreieck

Bild
Als drittes Fraktal betrachten wir nun das Sierpinski-Dreieck S. Es gehört zu einer größeren Gruppe von Fraktalen, die vom polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski entdeckt wurden. Eine generelle Beschreibung der anderen "Sierpinski-Fraktale" werde ich am Ende des Artikels geben. Zunächst möchte ich allerdings zwei Konstruktionsmöglichkeiten für das Sierpinski-Dreieck vorstellen. \stress\Konstruktion 3.1\normal(1. Methode) Wir nehmen das ausgefüllte gleichseitige Dreieck, dessen Grundseite das Einheitsintervall der x-Achse ist. Wir markieren die Mittelpunkte der Seiten und entfernen das Dreieck, das von diesen drei Punkten eingeschlossen wird. Iterativ gehen wir mit den übrigen Dreiecken vor. Da das Sierpinski-Dreieck als Fraktal vorgestellt wurde, sollte es auch eine Konstruktionsmöglichkeit mittels eines IFS geben um die "Definition" 3.1 (zweiter Artikel) zu erfüllen. \stress\Konstruktion 3.2\normal(2. Methode) Wir nehmen eine kompakte Menge, die das gleichseitige Dreieck, enthält, das auf dem Einheitsintervall der x-Achse basiert ist. Wende das folgende IFS an: \ll()f_1(x;y)=(1/2,0;0,1/2)(x;y) \ll()f_2(x;y)=(1/2,0;0,1/2)(x;y)+(1/2;0) \ll()f_3(x;y)=(1/2,0;0,1/2)(x;y)+(1/4;sqrt(3)/4) Das Sierpinski-Dreieck ist die eindeutig bestimmte kompakte Menge, die bezüglich des IFS invariant ist. Zuerst stellen wir fest, dass ind S=1 gilt. [3, vgl. S. 82] Dies können wir aus der Tatsache schließen, dass die Ränder der offenen Mengen U von S \(bezüglich der Teilraumtopologie von \IR^2 ) abzählbare Vereinigungen diskreter Mengen und Cantormengen sind \(gegenenfalls mit anderen Skalierungsfaktoren als in Konstruktion 1.1). Es gilt also ind \partial U<=0 da die kleine induktive Dimension abzählbar stabil ist. Offensichtlich ist die Bedingung für offene Mengen erfüllt, z.B. können wir die Menge V aus \ref(2.1) nehmen. Dies sieht man leicht an der obigen Abbildung. Die Hausdorff-Dimension von S berechnen wir in üblichen Art und Weise: \align \ll()summe(1/2^s,i=1,3)=1 \ll()=>s$=log(3)/log(2)\approx 1.58. Theorem 2.7 (zweiter Artikel) besagt nun, dass dim_H(S)=dim_B(S)\approx 1.58. Das Sierpinski-Dreieck ist also ein Fraktal im Sinne aller drei Definitionen, die ich angegeben hatte.

4. Der Sierpinski-Tetraeder

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Das vierte und letzte Fraktal, das ich detailliert vorstellen werde, ist der Sierpinski-Tetraeder T. In gewisser Weise ist er anders als die übrigen Fraktale und einige würden ihn nichtmal als Fraktal akzeptieren. Wir werden den Grund dafür am Ende des Abschnitts herausfinden. Wie die übrigen Objekte, kann man auch den Sierpnski-Tetraeder mit einem IFS konstruieren. \stress\Konstruktion 4.1:\normal Nehme einen regulären Tetraeder dessen Grundfläche auf dem Einheitsintervall der x-Achse im ersten Quadranten der x-y-Ebene liegt. Wende das folgende IFS an: \ll()f_1(x;y;z)=(1/2,0,0;0,1/2,0;0,0,1/2)(x;y;z) \ll()f_2(x;y;z)=(1/2,0,0;0,1/2,0;0,0,1/2)(x;y;z)+(1/2;0;0) \ll()f_3(x;y;z)=(1/2,0,0;0,1/2,0;0,0,1/2)(x;y;z)+(1/4;sqrt(3)/4;0) \ll()f_4(x;y;z)=(1/2,0,0;0,1/2,0;0,0,1/2)(x;y;z)+(1/4;sqrt(3)/12;sqrt(6)/6) Das IFS genügt der Bedingung für offene Mengen, wenn wir V als das innere des Tetraeders wählen, den wir für die Konstruktion verwendet haben. Wir können also mittels Theorem 2.7 (zweiter Artikel) die Dimension von T berechnen. Wir erhalten: \align \ll()summe(1/2^s,i=1,4)=1 \ll()=>s$=log(4)/log(2)=2. Es ist also dim_H(T)=dim_B(T)=2. Dies ist die erste erstaunliche Eigenschaft des Sierpinski-Tetraeders, da er eine ganzzahlige Dimension hat. Man mag sich auch wundern, weshalb ich zunächst die Hausdorff-Dimension berechnet habe, bevor ich die kleine induktive Dimension bestimme. Dies liegt daran, dass ich das obige Ergebnis für diese Berechnung verwenden möchte. Betrachte den Einheitswürfel I^3=intervall(0,1)\times intervall(0,1)\times intervall(0,1) in \IR^3 und die Teilraumtopologie, die T von \IR^3 erbt. Da das Innere von I^3, \int (I^3), in \IR^3 offen ist, gilt dies auch für \int (I^3)\cut T in T. Außerdem ist \partial(\int (I^3)\cut T)=S, das Sierpinski-Dreieck S. Dies zeigt, dass ind(T)>=2, da ind(S)=1. Aufgrund eines Theorems von Hurewitz [5, S. 107] gilt ind K<=dim_H K für alle Mengen K. Es gilt also ind T=dim_H T=2. Der Sierpinski-Tetraeder erfüllt also nicht die Definitionen für Fraktale von Mandelbrot und Taylor. Er erfüllt aber die "Definition", die wir weiter oben gegeben haben. Dies zeigt auch, dass man die Eigenschaften von Fraktalen nicht darauf reduzieren kann, dass sie nichtganzzahlige Dimension haben.

5. Sierpinski-Fraktale

Abschließend möchte ich noch ein paar weitere Fraktale einführen, die mit dem Namen Waclaw Sierpinski in Verbindung gebracht werden. Er entwickelte eine Methode, mit deren Hilfe man viele verschiedene Fraktale erzeugen kann. Für ein spezielles Fraktal dieser Gruppe ist es in der Regel nicht sehr schwer, ein geeignetes IFS anzugeben. Für die allgemeine Konstruktion ist es allerdings einfacher, selbige anders zu beschreiben. \stress\Konstruktion 5.1\normal Nehme irgendeine Menge, die eine reguläre Form hat \(z.B. Quadrat oder Würfel) und unterteile sie in eine beliebige Anzahl von Teilmengen, die dem Original ähnlich sind. Wähle nun einige dieser Teilmengen und entferne sie. Anschließend fahre mit verbliebenden Teilmengen iterativ genauso fort. Mit etwas Erfahrung ist es einfach interessante Fraktale zu konstruieren. Die drei Artikel bieten dann nützliche Instrumente um die Mengen zu beschreiben. Könnt ihr die Konstruktionsvorschriften für die folgenden Fraktale erkennen? BildBildBild Die ersten beiden Objekte sind Varianten des Sierpinski-Teppichs und das dritte Objekt eine Variante des Menger-Schwamms.

Abschluss

Ich hoffe, die drei Artikel haben euch einen guten Einblick in die Theorie der fraktalen Geometrie verschafft. Ob das ganze weiter gehen wird, weiß ich noch nicht. Vielleicht kommen dann aber auch noch praktische Anwendungen.

Bibliographie

[1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962. [2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988. [3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990. [4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990. [5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948. [6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975. [7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.
Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
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Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale [von huepfer]  
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"Mathematik: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale" | 4 Comments
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Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von: Spock am: So. 28. Oktober 2007 13:26:33
\(\begingroup\)Hallo Felix, Du hast die Theorie sehr schön dargestellt, und Dir viel Mühe gemacht. Und ja, praktische Anwendungen wären nicht schlecht, wobei eine wirklich gute Theorie diese nicht braucht, also fühle Dich nicht verpflichtet, Teil 4 zu schreiben, 😄 Eine mehr technische Frage: Könnte man aus Deinen drei fraktalen Teilen ein einziges Dokument z.B. im pdf Format machen, ich würde es als Ganzes auch nur für mich persönlich herunterladen wollen? Juergen \(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von: huepfer am: So. 28. Oktober 2007 14:34:12
\(\begingroup\)Hallo Jürgen, ich habe das Ganze in geringfügig anderer Ausführung auf englisch in einem Dokument. Wenn Du mir per PN Deine Email-Adresse gibst, kann ich Dir die schicken. Zum hochladen muss ich die allerdings noch etwas verändern. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von: Bernhard am: Di. 30. Oktober 2007 23:42:26
\(\begingroup\)Hallo Felix! Vielen Dank für Deine informative Artikelserie! Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, die Koch-Kurve zu beschreiben bzw. zu konstruieren. Diese ist insbesondere für die Randlinienfraktale gut geeignet: Man stelle sich eine Wanderung (hier im Uhrzeigersinn) vor und die fraktalen Linienteile als Vektoren. Dann würde die Anweisung für Koch etwa heißen: 1.)Nimm den Vektor V_1 mit 1/3 der Länge von Vektor V_0 aus der Vorrunde. 2.)Lege ihn einmal ausgehend von dessen Anfangspunkt direkt auf V_0. 3.)Lege ihn ein zweites Mal um 60° abgewinkelt an den Endpunkt.(Winkel alle im Gegenuhrzeigersinn angegeben) 4.)Lege ihn ein drittes Mal um 240° abgewinkelt an den Endpunkt. 5.)Lege ihn ein viertes Mal um 60° abgewinkelt an den Endpunkt. 60°+240°+60°=360°, d.h. wir sind wieder in der Ausgangsrichtung und beim Endpunkt des Vektors V_0. Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von: huepfer am: Mi. 31. Oktober 2007 18:46:54
\(\begingroup\)Hallo Bernhard, danke für das Lob. Die Darstellung mit den Vektoren finde ich etwas umständlich. Das Problem besteht darin, wie Du nach dem ersten Iterationsschritt weiter machen möchtest. Außerdem kann dadurch leicht der falsche Eindruck entstehen, man könnte auch die Grenzkurve vektoriell auffassen und entlang von Vektoren abschreiten. Das geht allerdings natürlich nicht, da sie alle Länge 0 hätten. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

 
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