Stern Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
Released by matroid on Mi. 06. Februar 2008 09:24:50 [Statistics]
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\) Der "Rubiks Cube", in Deutschland auch "Zauberwürfel" genannt, ist wohl das bekannteste Spielzeug aus den 80er Jahren! Jeder hatte damals einen. Es handelt sich um einen kleinen Würfel mit Aufklebern in sechs verschiedenen Farben auf allen Seiten, an dem sich jede Seite drehen lässt. Ziel ist es, den Würfel in die Ausgangssituation zurückzudrehen, d.h. so, dass jede Seite einheitlich gefärbt ist. In diesem Artikel möchte ich eine Einführung zu diesem Spielzeug geben und kurz (!) anschneiden, wie man ihn mathematisch beschreiben kann. Es stellt sich nämlich heraus, dass der Rubiks Cube ein schönes Beispiel für eine Permutationsgruppe ist, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf 48 bzw. 54 Elementen. Meiner Ansicht nach das perfekte Hobby (nicht unbedingt nur für Mathe-Fans).

Um diesem Artikel folgen zu können sollte der Leser am besten selbst einen Rubiks Cube zur Hand haben! Wer keinen Würfel hat und durch diesen Artikel Lust darauf bekommt: Bei Amazon.de oder bei cubikon.de gibt es welche zu kaufen. Wie man einen Cube nun genau löst werde ich hier nicht erklären, dazu gibt es genug Seiten im Internet, z.B. diese:

Speedcubing

Unter Speedcubing versteht man, wie der Name bereits suggeriert, das Lösen von Rubiks Cubes und anderen ähnlichen Puzzlen auf Zeit. Es gibt dafür eine relativ große Community (mehrere Tausend Leute weltweit) und es ist tatsächlich nicht so schwer zu lernen. Nach weniger als ein paar Wochen Übung kann jeder auf Zeiten von unter einer Minute kommen, nach ein paar Monaten durchaus auch deutlich darunter. Der aktuelle Rekord liegt bei unter 10 Sekunden. Neben dem 3x3x3 Cube gibt es noch viele weitere Varianten, z.B. 2x2x2, 4x4x4, 5x5x5, Megaminx, Pyraminx oder andere Disziplinen, z.B. das Lösen mit möglichst wenig Zügen, das Blindlösen, Lösen mit einer Hand, etc.

Wer daran interessiert ist oder mal sehen möchte wie sowas aussieht: Einfach mal auf speedcubing.com vorbei schauen oder bei youtube nach ein paar Videos suchen. Auch wenn man sich nicht für die Mathematik dahinter interessiert (die auch überhaupt nicht notwendig ist um das zu lernen) macht es sehr viel Spaß! Aber Vorsicht, jeder sei hiermit gewarnt, dieses Spielzeug hat enormes Suchtpotential! Ich habe schon mehrere Leute nach sehr kurzer Zeit in die Abhängigkeit getrieben!

Ein paar Begriffe

  • Ecken, Kanten und Centers sind die drei Typen von Steinen, aus denen der Rubiks Cube besteht. Ein Center hat genau einen Aufkleber (6 Stück), eine Kante hat genau zwei Aufkleber (12 Stück) und eine Ecke hat genau drei Aufkleber (8 Stück). Der Typ der Steine kann offensichtlich durch die Drehungen nicht geändert werden, d.h. es ist z.B. nicht möglich einen Kantenstein mit einem Eckenstein zu tauschen, etc.. Ausserdem sind die Centers fest, d.h. wenn Weiß gegenüber von Gelb ist wird das immer so sein, usw.
  • U,D,B,F,R,L: Die sechs Basisdrehungen des Würfels (Up, Down, Back, Front, Right, Left), jeweils um 90° im Uhrzeigersinn (bei Draufsicht auf die jeweilige Seite) (siehe auch hier)
  • U',D',B',F',R',L': Die jeweils entgegengesetzten Drehungen
  • Ein Algorithmus ist eine Zugfolge, also eine Komposition der Basisdrehungen, z.B. R U R' F' B F
  • Orientierung und Permutation: Jeder Stein eines Rubiks Cubes in jeder möglichen Konfiguration hat genau zwei Parameter. Seine Permutation, d.h. seine Position auf dem Würfel, und seine Orientierung. Ecken haben drei mögliche Orientierungen (z.B. gelber Aufkleber oben/vorne/rechts), Kanten haben zwei mögliche Orientierungen

Gesetzmäßigkeiten

Offensichtlich ist nicht jede Permutation der Aufkleber möglich. Aber auch andere Konfigurationen, die auf den ersten Blick erreichbar erscheinen, sind auf einem korrekt zusammen gebauten Würfel nicht zu erzeugen. Wenn ein Rubiks Cube auseinandergenommen und zufällig wieder zusammengebaut wird, ist dieser nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:12 tatsächlich lösbar. Es gelten die folgenden Cube Gesetze:
  • Nur die Hälfte der Permutationen ist möglich: Die Anzahl der Vertauschungen von Steinen ist immer gerade
  • Nur die Hälfte der Kanten Orientierungen ist möglich: Die Anzahl der Kanten, die von einem Zug umorientiert ("gekippt") werden ist immer gerade, d.h. wenn eine Kante gekippt wird, dann immer noch eine weitere
  • Nur ein Drittel der Ecken Orientierungen ist möglich

Die Cube Gruppe

Der Rubiks Cube besteht aus 6 Seiten mit jeweils 9 Aufklebern, also insgesamt 54 Aufkleber. Die Aufkleber in den Mittelstücken sind fix (d.h. es gibt keine Drehungen des Würfels, so dass diese Aufkleber untereinander permutiert werden können), daher wollen wir diese ignorieren. Alle übrigen Aufkleber werden wir durchnummerieren, z.B. nach folgendem Schema:

123
4U5
678
91011171819252627333435
12L1320F2128R2936B37
141516222324303132383940
414243
44D45
464748

Wir erhalten auf diese Weise also eine Bijektion zwischen Aufkleber und den natürlichen Zahlen von 1 bis 48. Die sechs Drehungen des Würfels können jetzt (z.B. in disjunkter Zykelschreibweise) als Permutation der Aufkleber beschrieben werden:

\ F = (17,19,24,22)(18,21,23,20)(06,25,43,16)(07,28,42,13)(08,30,41,11) B = (33,35,40,38)(34,37,39,36)(03,09,46,32)(02,12,47,29)(01,14,48,27) L = (09,11,16,14)(10,13,15,12)(01,17,41,40)(04,20,44,37)(06,22,46,35) R = (25,27,32,30)(26,29,31,28)(03,38,43,19)(05,36,45,21)(08,33,48,24) U = (01,03,08,06)(02,05,07,04)(09,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19) D = (41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40)

Bemerkung: Offensichtlich hat jede der sechs Permutationen eine Ordnung von 4, d.h. jede der sechs Drehungen führt nach viermaligen ausführen wieder zur "Startposition".


Wir haben nun bereits eine "einfache" Möglichkeit um die Ordnung eines beliebigen Rubiks Cube Zuges zu bestimmen, da die Ordnung einer Permutation in disjunkter Zykelschreibweise genau das kgV der Zykellängen ist. Ein paar Beispiele: Folgende Beispiele kann man z.B. gut mit einem Computeralgebrasystem wie GAP berechnen: \ Order(U) = 4 Order(UD) = Order(DU) = 4 Order(RU) = Order( (1,3,38,43,11,35,27,32,30,17,9,33,48,24,6) (2,5,36,45,21,7,4) (8,25,19) (10,34,26,29,31,28,18)) \ = kgV(15,7,3,7) \ = 105 Order(R2 U' R' U' R U R U R U' R) = Order((2,4,5)(10,26,34)) = 3 D.h. man muss z.B. den Zug "R U" 105 mal wiederholen um wieder zum gelösten Würfel zurück zu kehren. Bei dem letztgenannten Zug handelt es sich um einen sogenannten "Edge 3 Cycle", ein Algorithmus, der drei der vier Kanten der oberen Ebene zyklisch vertauscht, ohne die Orientierung zu ändern. (Für weitere interessante Dinge, die man mit GAP machen kann, siehe Analyzing Rubik's Cube with GAP von Martin Schoenert, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen)
\ \big\Definition:\normal Sei M := { 1, 2, ..., 48 } die Menge der Aufkleber des Rubik's Cubes und R,L,U,D,F,B \el\ S_M seien die sechs Basisdrehungen. Dann heisst die Permutationsgruppe, die von den sechs Basisdrehungen erzeugt wird, G := die \stress\ Rubik's Cube Group \normal\ und es gilt G \subset\ S_M = S_(48). Wie die meisten Permutationsgruppen ist G nicht abelsch (G hat sogar fast triviales Zentrum, siehe unten). \ \big\Bemerkung:\normal Die Zuordnung zwischen Stellungen des Würfels und Algorithmen ist nicht eindeutig! D.h. es gibt für jede Stellung mehrere Züge, die diese Stellung auf einem gelösten Würfel erzeugen! \ \big\Satz:\normal Die Ordnung der Cube Group entspricht der Anzahl der möglichen Stellungen: \|G\| = (8! * 3^8 * 12! * 2^12) / (2 * 2 * 3) = 2^27 * 3^14 * 5^3 * 7^2 * 11^1 = 43.252.003.274.489.856.000 Diese Zahl ist übrigens um 1 größer als eine Primzahl, d.h. die Anzahl der ungelösten Stellungen (G ohne Identität) ist prim. (8! Permutationen der Ecken, 3^8 mögliche Eckenorientierungen, 12! mögliche Permutationen der Kanten, 2^12 mögliche Kantenorientierungen, der Nenner ergibt sich aus den oben genannten Cube Gesetzen) \ \big\Folgerung:\normal Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung jedes Elementes die Gruppenordnung. Daher existiert z.B. kein Zug mit Ordnung 13. Nach Cauchy gilt sogar, dass für jede Primzahl p mit p teilt \|G\| ein Zug existiert, der Ordnung p hat. D.h. es existiert z.B. ein Zug mit der Ordnung 11. Da die Gruppe endlich ist hat auch jedes Element endliche Ordnung. Tatsächlich ist die maximale Ordnung eines Elementes aber deutlich kleiner als die Gruppenordnung. \ \big\Satz:\normal Der Zug R * U^2 * D^(-1) * B * D^(-1) hat Ordnung 1260. Es existiert kein Zug mit größerer Ordnung. \ \big\Definition:\normal Das Zentrum Z(G) einer Gruppe G ist die Untergruppe von G, die genau die Elemente von G enthält, die mit allen anderen kommutieren, d.h.: Z(G) = \{ z \el\ G \| zg = gz \forall\ g \el\ G \} \ \big\Satz:\normal Sei G die Cube Group, dann gilt: Z(G) = {id, superflip} mit superflip = R^(-1) * U^2 * B * L^(-1) * F * U^(-1) * B * D * F * U * \ D^(-1) * L * D^2 * F^(-1) * R * B^(-1) * D * F^(-1) * U^(-1) * \ B^(-1) * U * D^(-1) Dieser Zug kippt alle Kanten (ohne sie zu permutieren) und behält alle Eckenkonfigurationen bei. Dieser Zug ist also, neben der Identität, der einzige, der mit allen anderen Zügen kommutiert.

Isomorphieklassen von Untergruppen

Viele kleine (!) Untergruppen der Cube Group lassen sich relativ einfach durch allgemein bekannte Gruppen ausdrücken. z.B. ist jede Untergruppe, die von einer 180° Drehung einer beliebigen Seite, z.B. R2, erzeugt wird, isomorph zu C_2 und die von R2F2R2F2 und R2 erzeugte Untergruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe auf 3 Elementen. Eine ausführliche Liste (mit interessanteren Untergruppen) findet sich auf Jaaps Puzzle Page

Konjugation und Kommutatoren

Die zwei wichtigsten Gruppentheoretischen Konzepte, die dazu dienen neue Zugfolgen zu finden oder bereits bekannte Zugfolgen sinnvoll anwenden zu können sind die Konjugation und die Bildung von Kommutatoren. \ \big\Definition:\normal Seien g,h \el\ G, dann heisst h * g * h^(-1) die Konjugation von g mit h. Die Konjugation mit einem Element ist ein Automorphismus der Gruppe, also ein bijektiver Gruppenhomomorphismus der Gruppe in sich selbst. Angewendet auf Algorithmen bedeutet dieses Konzept: Wir führen zuerst g aus, dann h, dann machen wir g rückgängig. Der Effekt des neuen Algorithmus wird der gleiche sein wie der des alten, nur wird er sich auf andere Steine auswirken. \ \big\Bemerkungen:\normal Zueinander konjugierte Elemente haben die gleiche Ordnung Wozu braucht man das nun? Ganz einfach. Kennen wir bereits ein paar Züge, dann können wir durch Konjugation viele weitere sinnvolle Züge erzeugen. In der Cube Szene bezeichnet man das Konzept der Konjugation übrigens meistens mit "Setup Moves". Angenommen wir kennen einen Zug der drei Steine der oberen Ebene zyklisch vertauscht (einen sogenannten 3-Cycle, siehe oben). Mit Hilfe dieses einen einzelnen Zuges ist es uns nun bereits möglich drei beliebige Steine zu tauschen. Wir müssen die drei Steine, die wir tauschen wollen, lediglich noch per "Setup Move" in die Position bringen, von der aus wir bereits wissen, wie man die Steine tauscht. Den Algorithmus ausführen und den Setup rückgängig machen. \ \big\Definition:\normal Sei x,y \el\ G, dann nennt man [x,y] = x^(-1) * y^(-1) * x * y den Kommutator von x und y. Kommutatoren sind in gewisser Weise ein Maß dafür, wie sehr zwei Elemente das Kommutativgesetz verletzen. Wenn x und y kommutieren ist der Kommutator das neutrale Element. Für den Cube sind solche Züge oft sehr nützlich, wählt man z.B. zwei "fast kommutierende" Elemente x und y dann ist [x,y] sehr oft ein Zug, der "wenig ändert" und "nützliche Auswirkungen" hat. \ \big\Beispiel:\normal Seien x und y zwei beliebige Basiszüge an benachbarten Seiten, dann ist: [x,y]^2 ein Zug, der drei Kanten permutiert und keine Ecken [x,y]^3 ein Zug, der genau zwei Paare von Ecken permutiert und keine Kanten Die beiden Konzepte lassen sich natürlich auch kombinieren. \ \big\Beobachtung:\normal Kommutatoren sind verträglich mit Gruppenhomomorphismen, also insbesondere mit Konjugation. Sei g,x,y \el\ G, dann gilt: g^(-1) * [x,y] * g = [g^(-1)*x*g, g^(-1)*y*g]

Ein paar offene Probleme

Es gibt ein paar interessante Probleme für den Rubiks Cube, die bis heute ungelöst sind.
  • Wieviele Züge benötigt man maximal um eine beliebige Rubiks Cube Stellung zu lösen? Es existiert ein Zug (der sogenannte superflip4spot) für den es bewiesen ist, dass man (gemessen in der Quarter Turn Metrik, d.h. jede Vierteldrehung zählt einen Zug) ihn in nicht weniger als 26 Quarterturns lösen kann, d.h. 26 ist aufjedenfall eine untere Grenze, aber ist es auch die größte untere Schranke? Gibt es eventuell eine "längere" Stellung?
  • Anders ausgedrückt: Wie hoch ist die Anzahl der Züge für die bestmögliche Lösung für die schlechtest mögliche Stellung? Dieses Problem ist für die meisten Puzzle ungelöst
  • Finde God's Algorithm, d.h. ein Verfahren um zu jeder gegebenen Stellung effizient (!) die bestmögliche Lösung zu finden
  • Enthält der Cayley Graph der Cube Gruppe einen Hamiltonkreis? Oder anders ausgedrückt: Existiert eine Zugfolge, so dass bei ihrer schrittweisen Ausführung jede mögliche Stellung exakt einmal eingenommen wird?

Ergänzung: Im Jahre 2010 wurde der Beweis erbracht, dass jede beliebige Stellung mit maximal 20 Schritten lösbar ist. Jedoch ist nicht bekannt, wieviele Stellungen exakt 20 Schritte benötigen. Weiter Information dazu unter cube20.org

Weitere Informationen

Ich hoffe, ich habe mit diesem Artikel ein kleines bisschen Interesse wecken können. Wer weitere Informationen erhalten will:

 
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Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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: Spiele+Rätsel :: Angewandte Mathematik :
Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur [von flx]  
Der "Rubiks Cube", in Deutschland auch "Zauberwürfel" genannt, ist wohl das bekannteste Spielzeug aus den 80er Jahren! Jeder hatte damals einen. Es handelt sich um einen kleinen Würfel mit Aufklebern in sechs verschiedenen Farben auf allen Seiten, an dem sich jede Seite drehen
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"Stern Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur" | 6 Comments
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Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: grosser am: Mi. 06. Februar 2008 10:14:03
\(\begingroup\)Hallo flx, interessanter Artikel, vor allem weil ich mich vor kurzem selbst mit diesem Thema beschäftigt habe. Sehr interessant finde ich auch die englische Wikipediaseite über die optimale Lösung, siehe hier. Kleine Anmerkung noch zu den offenen Problemen. Die Formulierung, "26 ist auf jeden Fall eine untere Grenze", ist gewagt. Denn bis jetzt hat nur noch keiner eine bessere Lösung gefunden. Es gibt keinen Beweis, dass diese Konstellation mindestens 26 Quarterturns benötigt. Übrigens ist 26 die aktuelle obere Grenze für jede beliebige (lösbare) Stellung, dies wurde erst im August 2007 bewiesen, siehe hier. grosser \(\endgroup\)
 

Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: Han-Xian am: Mi. 06. Februar 2008 15:47:48
\(\begingroup\)Ich find den Artikel super! Der Würfel hat mich schon immer interessiert. Großes Lob und mach weiter so. Gruß Sebastian\(\endgroup\)
 

Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: FlorianM am: Mi. 06. Februar 2008 15:58:31
\(\begingroup\)Hi, ich fand ihn ebenfalls interessant. 😄 Danke! Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: Bernhard am: Do. 07. Februar 2008 00:06:17
\(\begingroup\)Hallo flx! Dein Artikel ist wirklich interessant! Die Sache mathematisch anzugreifen, war auch schon immer mein Traum. die Schwierigkeit ist, was man bei dem gefragten God's Algorithm unter einem "Zug" versteht. In der von dir angegebenen Seite "Cube Notations" sind eine ganze Menge Züge beschrieben (Face Rotation, Double face Rotation, Cube Rotation), dazu vorwärts, 2x vorwärts und rückwärts. Soviel, meine ich, ist nicht nötig. Wenn man verabredet, daß die senkrechte Achse fest bleiben soll, also z.B. die weiße Mittelfläche immer oben bleibt, braucht folgende (ebenfalls!) 6 Elementarzüge: Vorne, rechts, hinten und links jeweils eine Drehung um 90° im Uhrzeigersinn (oder umgekehrt), für die untere und die mittlere Ebene ebenfalls gilt das gleiche. Ich bin gerade noch am Überlegen, ob man ebenfalls 6 gleichwertige Elementarzüge erhält, wenn man eine Kante oder eine Ecke fixiert. Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: flx am: Mo. 25. Februar 2008 17:05:03
\(\begingroup\)Der aktuelle Weltrekord wurde übrigens vorgestern gebrochen (jetzt 9.18 Sekunden, Video bei Youtube)\(\endgroup\)
 

Re: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
von: Martin_Infinite am: Sa. 13. August 2011 16:33:55
\(\begingroup\)Was für ein großartiger Artikel! Ich war in der Kindheit dem Zauberwürfel verfallen und bin kürzlich (als Vorbereitung auf einen Vortrag über Gruppentheorie für Nichtmathematiker) darauf zurückgekommen. Ich finde es spannend, wieviel Gruppentheorie eigentlich in diesem Würfel "steckt". Und nicht nur das, meiner Meinung nach könnte man eine ganze Einführung in die Gruppentheorie darauf aufbauen (siehe z.B. Jaaps Puzzle Page für einen Ansatz dazu): Definition einer Gruppe, Ordnung, Elementordnung, Satz von Lagrange, Gruppenwirkungen, Bahn-Stabilisator-Formel, Cayley-Graphen und wie du schon sagst Zentrum, Konjugation und sicherlich noch weitere Konzepte motivieren sich direkt aus dem Zauberwürfel; es gibt natürlich Anwendungen, die für die Welt "wichtiger" sind, aber es geht wohl kaum anschaulicher. Das im Artikel genannte erste offene Problem wurde übrigens mittlerweile gelöst. Im Jahre 1995 hatte Michael Reid bewiesen, dass sich der Superflip nicht in weniger als 20 Zügen lösen lässt. Die obere Schranke von 26 wurde 2007 von Daniel Kunkle und Gene Cooperman gefunden. Im Jahre 2008 hat Tomas Rokicki auf 25 und dann sogar auf 23 verbessert. Im vergangenen Jahr 2010 haben Tomas Rokicki, Herbert Kociemba und Morley Davidson einen Beweis (der aufgrund der zu überwindenen Rechnungen natürlich computergestützt ist) dafür gegeben, dass man jede Stellung mit 20 Zügen lösen kann. Für mehr Informationen siehe Wikipedia (Optimal Solutions for Rubik's Cube) und God's Number is 20. Ist das nicht faszinierend, dass man selbst auf dem heutigen Stand der modernen Mathematik erst 15 Jahre nach Erfindung des Zauberwürfels die untere Schranke 20 erkannt hat und noch einmal weitere 15 Jahre dafür gebraucht hat, dass es auch die obere Schranke ist? Bei den Speedcubing-Rekorden hat sich natürlich auch einiges getan. Zur Zeit ist Feliks Zemdegs dabei, seine eigenen Weltrekorde immer weiter zu verbessern. Er liegt heute bei 5,66 Sekunden. Mehr dazu bei Wikipedia und bei Youtube. Ich würde übrigens gerne eine Präsentation der Würfelgruppe in den kanonischen Erzeugern R,L,U,D,B,F finden, habe schon bei mathoverflow nachgefragt.\(\endgroup\)
 

 
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