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| "Physik: Von d´Alembert zu Lagrange II" | 10 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Hallo zusammen,
da bis jetzt niemand gemeckert hat 😉 , habe ich eine pdf-Version zur Verfügung gestellt.
lg
Georg\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Wunderbarer Artikel, den versteh sogar ich halbwegs. Schön wäre nur ein Hinweis über die vier verschiedenen Differentialschreibweisen:
d/dt q_j
entspricht
q^*
nach dem "Parameter" t abgeleitet
\delta r^>
ist für mich eine vektorielle Ableitung (was immer das ist),
wirklich ist es eine virtuelle Verschiebung, eine Variation des Ortsvektors, bei festem t:
\delta r^> = sum( pdiff(r^> ,q_j, ) \delta q_j,j=1,n)
und
pdiff(\ ,q_j) r^>_i
steht für die partielle Ableitung nach j, wobei j die ausgewählten Dimensionen sind und i wohl die des Raumes des Vektors. n kann beispielsweise 3 oder 6 sein.
Gruß Roomsixhu
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo roomsixhu,
dein Kommentar ist irgendwie "durchgerutscht", daher gibt es erst heute eine Antwort. ☹️
Du mußt zwischen einer wirklichen und einer virtuellen infinitesimalen Verschiebung unterscheiden \(d|r^> bzw. \delta|r^> \).
Die virtuellen Verschiebungen sind von den tatsächlichen Verschiebungen zu unterscheiden.
Die tatsächlichen Verschiebungen hängen z.B. auch von der Zeit ab, während für die virtuellen Verschiebungen, wegen der gedanklichen, momentan ausgeführten Verschiebung, \delta|t=0 gilt.
Mathematisch gesehen, werden aber die Operatoren "\delta\" als auch "d" gleichbehandelt.
Die virtuellen Verschiebungen müssen natürlich mit den Zwangsbedingungen verträglich sein \(man kann z.B. ein rollendes Rad nicht senkrecht zur Unterlage verschieben\), deshalb hängen "sie" natürlich auch von den q_j ab.
pdiff(\ ,q_j) r^>_i verstehst du falsch. Das hat nichts mit "Dimensionen" zu tun. Wenn du z.B. ein Doppelpendel hast, wäre eine "günstige" Wahl der Koordinaten die beiden Winkel \phi_1 und \phi_2 , das heißt
pdiff(\ ,q_j)=pdiff(\ ,\phi_1) bzw. pdiff(\ ,\phi_2) . Der Index i hat gar nichts mit irgendwelchen Dimensionen zu tun. Er identifiziert lediglich einen Massenpunkt, r^>_i ist also der Ortsvektor zum Massenpunkt Nr. i
lg
Georg
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\(\begingroup\)Hallo Georg,
danke für die Hinweise. Ich glaube einem Leser mit mehr Ahnung bringen sie auch etwas.
\delta und d
habe ich schon auseinander gehalten: mit d wird die Physik, also Bahn, Temperatur, Schwingung beschrieben, weshalb t eine Rolle spielt.
\delta
ist Ausdruck, dass das ganze System stationär oder statisch oder im Gleichgewicht ist, sozusagen eine stabile Einheit (Planetensystem z.B.).
\delta
ist dann doch auch Ausdruck, dass das System gegenüber gewissen Abweichungen im Innern als Ganzes invariant ist. Oder? Oder ist das erst bei Hamilton so?
Na ja, das
pdiff(\ ,q_j) r^>_i
war geraten. Ist dann ja einfacher als gedacht, aber man muss sich dann immer zu seinem Problem genaue Gedanken machen. (was ist das eigentlich für ein Symbol, dieses fantasievolle d? Also partielle Ableitung, schon klar, aber hat das Leibniz so hingeschrieben?)
Um das ganze dann zu beherrschen muss ich aber noch viel, viel lernen.
Ich habe hier mal bei K. H. Weise Differentialgleichungen nachgeblättert, er unterscheidet gar nicht zwischen Lagrange und D´Alembert, schreibt das ganze aber ein wenig anders hin, besonders kurz.
Ich schlage vor die Ergänzungen hier, als eine Art Legende hinzuzufügen.
Gruß Room 608
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\(\begingroup\)Room 608 schreibt
"Hallo Georg, danke für die Hinweise. Ich glaube einem Leser mit mehr Ahnung bringen sie auch etwas. "
Hallo Room,
wenn noch "Klärungsbedarf" besteht, können wir das gerne im Forum diskutieren. Das ist erstens auch für "andere" Leser interessant und zweitens "hörst" du auch die Meinung anderer "Teilnehmer".
lg
Georg
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\(\begingroup\)Hallo,
also ich finde den Artikel klasse. Nur verstehe ich ihn nicht mehr so ganz ab:
\
v^>_i=d/dt r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i q^*_j+pdiff(\ ,t) r^>_i,j,)=>pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) r^>_i $
Wo kommt denn das \ q^*_j auf einmal her? Resultiert das aus Gl. 5, weil d und \ \delta
mathematisch gleich sind?
\
\delta r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,j,) \ll(5)
Aber dann verstehe ich nicht den zweiten Term nicht:
\ pdiff(\ ,t) r^>_i
Wo kommt der her?
Danke.
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo "Albert" 😁
zu deiner ersten Frage : ja
Zu deiner zweiten Frage : r^>_i ist der Ortsvektor zu einem beliebigen Massenpunkt. Der kann natürlich auch von der Zeit abhängen. Siehe die "Formel" nach Gl Nr. 4.
Für eine ausführliche Diskussion empfehle ich das Forum (siehe Kommentar vom 29.03.2008) 😉
lg
Georg\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo zusammen!
Ich hoffe mir kann wer helfen, obwohl der letzte Beitrag schon Jahre her ist 😛
Mir sind alle Schritte plausibel, außer die Ableitung mit der Produktregel ...
Wieso kommt nach der Gleichung (7) ein Minus vor???
Produktregel geht doch so: (u*v)'= u'*v + u*v'
Und nach welcher Verschiebung wird da abgeleitet? Da ich die Ableitung nicht nachvollziehen kann, ist mir das auch nicht klar ☹️
Hoffe es kann mir wer bis zu meiner Prüfung nächste Woche helfen!
Danke!
Mfg duke86
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\(\begingroup\)Oha!!!!!!
Das ist eine Quotientenregel!!!!! 😮
Ok! Dann ist ja alles klar! 😁
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\(\begingroup\)Hallo Duke!
Nein, dort wird nicht die Quotientenregel angewandt, sondern die Produktregel; und zwar in der Form
u'v=(uv)'-uv'
Liebe Grüße, Franz
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