Mathematik: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
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Analysis

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Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze


Fixpunktsätze sind oftmals das Mittel der Wahl, um zu zeigen, dass ein kompliziertes Gleichungssystem Lösungen hat, wenn man nicht in der Lage ist, "auf direktem Wege" eine zu finden.
Aufgrund des Erfolgs, den man mit einem solchen Vorgehen hat, gibt es auch entsprechend viele Varianten von Fixpunktsätzen und artverwandten Konzepten, die einem die Lösbarkeit diverser Gleichungen sichern.

Nachdem im letzten Artikel die lokalkonvexen Räume vorgestellt wurden, möchte ich deshalb hier den Fixpunktsatz von Schauder-Tychonoff herleiten, der eine weitreichende Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer eben für die lokalkonvexen Räume ist und vielfältige Anwendungen z.B. in der Theorie der Differential- und Integralgleichungen hat.


Inhalt


Fixpunktsätze: Unser Ziel

Von Fixpunktsätzen hat der durchschnittliche Student auf jeden Fall schonmal gehört. In jedem Analysis-Vorlesungs-Zyklus hört man beispielsweise vom Banach'schen Fixpunktsatz, dessen äußerst günstiges "Preis-Leistungsverhältnis" seine Bedeutung ausmacht:
\ll(Satz 0)array(Fixpunktsatz von Banach)__ Sei (M,d) ein vollständiger, metrischer Raum und f:M->M eine strikte Kontraktion, d.h. es gibt ein 0<=L\lneq\ 1 mit d(f(x),f(y))<=L*d(x,y) für alle x,y\in\ M. Dann hat f genau einen Fixpunkt x, die Folge ((x_n)) mit x_(n+1):=f(x_n) konvergiert für alle Startwerte x_0 gegen x und erfüllt die beiden Ungleichungen d(x_n, x)<=L^n/(1-L)*d(x_1, x_0) d(x_n, x)<=L/(1-L)*d(x_n, x_(n-1)
Die Vorteile dieses Satzes sind wohlbekannt: Die Voraussetzungen lassen sich schnell nachrechnen, die meisten in der Praxis vorkommenden Räume sind auf die eine oder andere Weise vollständig metrisierbar. Der größte Haken ist es noch, ob die betrachtete Abbildung eine Kontraktion ist oder nicht, aber auch das ist oft genug erfüllt. Sobald man die Voraussetzungen zusammen hat, liefert der Banach'sche Fixpunktsatz nicht nur eine Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, sondern in Form einer Fixpunktiteration auch noch eine Methode zur Berechnung des Fixpunkts und wichtige Abschätzungen, um die Genauigkeit der Iteration unter Kontrolle zu haben. In einigen Anwendungen ist es aber nicht so schön einfach. Nicht jede wichtige Abbildung ist kontraktiv, meist hat man gerademal eine Stetigkeit und weiß nicht wesentlich mehr als das. Unter anderem in der Untersuchung der Lösbarkeit von Integral- und Differentialgleichungen stellt sich dieses Problem. Hier sind dann weitergehende Sätze gefragt, die unter noch allgemeineren Bedingungen Existenzaussagen machen. Viele solcher Resultate wurden bewiesen, einige sind nur mehr oder minder gute Abwandlungen des Banach'schen Fixpunktsatzes, andere gehen jedoch einen großen Schritt weiter und zeigen für sehr große Klassen von Räumen und/oder Abbildungen entsprechende Existenzaussagen. Die Fülle von Einzelergebnissen, die die Existenz von Fixpunkten stetiger Selbstabbildungen von bestimmten kompakten, konvexen Mengen sicherten, verleitete Juliusz Schauder dann 1930 zu folgender Vermutung, die erst 2001 in voller Allgemeinheit bewiesen wurde:
\ll(Satz 1)array(Fixpunktsatz von Schauder)__ Sei X ein hausdorffscher, topologischer \IK\-Vektorraum und \0!=C\subseteq\ X eine kompakte, konvexe Teilmenge von X. Dann hat jede stetige Abbildung f:C->C einen Fixpunkt.
Da es mir bisher nicht möglich war, Einsicht in die Arbeit von Robert Cauty zu nehmen, in der diese allgemeine Form bewiesen wurde, begnügen wir uns vorerst mit einem Spezialfall, der trotzdem noch sehr allgemein gehalten ist, nämlich dem, dass X ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ist. Dieser Spezialfall wurde von Tychonoff bereits kurz nach der Veröffentlichung der Vermutung bewiesen.

1. Schritt: Der Fixpunktsatz von Brouwer

Der Fixpunktsatz von Schauder (auch in der schwächeren lokalkonvexen Version) hat natürlich diverse Spezialfälle zur Folge, da die Klasse der lokalkonvexen Räume sehr reichhaltig ist, wie wir im letzten Artikel sahen. So folgt daraus z.B. sofort der berühmte Fixpunktsatz von Brouwer:
\ll(Satz 2)array(Fixpunktsatz von Brouwer)__ Sei D^n\subseteq\IR^n die Einheitskugel. Dann hat jede stetige Abbildung f:D^n->D^n einen Fixpunkt.
Wir werden den umgekehrten Weg gehen und den Satz von Schauder-Tychonoff Stück für Stück aus dem Brouwer'schen herleiten. Das stellt uns vor das Problem, erstmal diesen Satz zu beweisen, was nämlich alles andere als trivial ist. Während man den Banach'schen Fixpunktsatz in wenigen Zeilen beweisen kann und der Beweis keine wesentlichen Schwierigkeiten enthält, muss man für einen Beweis des Brouwer'schen Satzes schon ein bisschen Aufwand betreiben. Daher muss der Beweis hier entfallen. Vielleicht reiche ich ihn später einmal nach, hier beschränke ich mich jedoch darauf, drei der mir bekannten Beweisansätze (sehr) grob zu umreißen: 1. Der wohl elementarste Weg, den Fixpunktsatz von Brouwer zu beweisen, benutzt geometrische Argumente und das Lemma von Sperner. Die Idee ist, Simplizes zu betrachten und diese Schritt für Schritt durch baryzentrische Unterteilung zu verkleinern. Das Sperner'sche Lemma liefert dann (auf Umwegen) eine Anleitung, wie ein Fixpunkt in diesen immer kleiner werdenden Simplizes zu finden ist. Es wird also eine Einschachtelung eines Fixpunktes vorgenommen, womit man dann auch eine numerische Berechnungsmöglichkeit zur Hand hat. Die anderen Beweise sind da äußerst nicht-konstruktiv. 2. Obwohl nicht völlig elementar, kommt der Beweis, den man bei Elstrodt findet, mit durchaus alltäglichen Hilfsmitteln aus. Er benutzt Hilfsmittel der mehrdimensionalen Differentiation und Integration wie die Transformationsformel und ein paar Aussagen über die Divergenz. Der Beweis ist leider sehr technisch und nicht sehr erhellend, wie ich finde. Dafür ist er eben mit dem machbar, was Viele sowieso im Studium lernen. 3. Der bekannteste Weg ist meines Wissens aber, durch Betrachtung von \(Ko\)Homologien zu zeigen, dass es keine Retraktion der Vollkugel auf die Sphäre geben kann, d.h. keine Abbildung r:D^n->S^(n-1) mit \forall\ x\in\ S^(n-1): r(x)=x, was eine zum Brouwer'schen Fixpunktsatz äquivalente Aussage darstellt. Um diese Äquivalenz einzusehen, nimmt man eine als fixpunktfrei angenommene stetige Abbildung f:D^n->D^n und definiert t(x) als diejenige nichtnegative, reelle Zahl mit t*f(x)+(1-t)*x\in\ S^(n-1). Eine kleine Rechnung zeigt, dass t dann stetig von x abhängt \(wir werden das auch noch in einem allgemeineren Kontext im nächsten Absatz zeigen\) und r(x):=t(x)*f(x)+(1-t(x))*x ist dann die gewünschte Retraktion, da t(x)=0 für x\in\ S^(n-1) ist. Ist umgekehrt der Fixpunktsatz gegeben und r:D^n->S^(n-1) eine Retraktion, so ist (-r):D^n->D^n eine fixpunktfreie Abbildung, woraus sich ein Widerspruch ergibt.

2. Schritt: Der endlichdimensionale Fall

Wir werden nun den Schauder'schen Fixpunktsatz für X=\IR^n aus dem Brouwer'schen herleiten.
\ll(Lemma / Definition 3) Sei A\subseteq\IR^n offen und konvex sowie x\in\IR^n beliebig. Es sei cone(A,x):=menge(tx+(1-t)a | a\in\ A, t\in\ [0,1\)) Dann ist cone(A,x) offen und konvex. Man nennt cone(A,x) daher auch den array(offenen\, konvexen Kegel über A mit Spitze x)____.
\blue\ Beweis: Zunächst rechnen wir nach, dass cone(A,x) konvex ist: Seien also t,t'\in\ [0,1\), a,a'\in\ A und s\in\ [0,1]. Dann gilt: y:=s(tx+(1-t)a)+(1-s)(t'x+(1-t')a') =\red\(st\+\(1\-s\)t'\)\black\ x+\blue\ s\(1\-t\)\black\ a+\green\(1\-s\)\(1\-t'\)\black\ a' Dabei sind \l:=\red\(st\+\(1\-s\)t'\)\black\in\ [0,1\), \blue\ s\(1\-t\)\black\in\ [0,1] und \green\(1\-s\)\(1\-t'\)\black\in\ [0,1] da s,t und t' entsprechende Schranken haben. Weiter gilt nun: (\blue\ s\(1\-t\)\black\ +\green\(1\-s\)\(1\-t'\)\black)/(1-\red\(st\+\(1\-s\)t'\)\black)=(\blue\ s\-st\black+\green\ 1\-s\-t'\+st'\black)/(1-\red\ st\-t'\+st'\black)=(\green\ 1\blue\-st\green\-t'\+st'\black)/(1\-\red\ st\-t'\+st'\black)=1 Wir können also y schreiben als: y=\l*x+(1-\l)*((s(1-t))/(1-\l)*a+(1-s)(1-t')/(1-\l)*a') und der Klammerausdruck ist dabei wegen der Konvexität von A selbst in A, denn die Summe der nichtnegativen Koeffizienten ist 1, wie wir eben nachgerechnet haben. Wegen cone(A,x)=union((tx+(1-t)A),t\in\ intervallgo(0,1)) ist cone(A,x) offen. \blue\ q.e.d.
\ll(Lemma 4) Sei C\subseteq\IR^n kompakt, konvex und C^opimg(\circ)!=\0. Dann gibt es einen Homöomorphismus f: \IR^n->\IR^n, mit f(D^n)=C und f(S^(n-1))=\pd||C.
\blue\ Beweis: Indem wir erstmal geeignet verschieben, können wir oBdA 0\in\ C^opimg(\circ) annehmen. Wir definieren erstmal zwei Hilfsfunktionen r: \pd||C->S^(n-1) und t: S^(n-1)->\pd||C durch: r(x):=x/norm(x) s_y:=sup|menge(s | s>=0, sy\in\ C) t(y):=s_y*y Das Supremum s_y existiert, weil 0\in\ C und C beschränkt ist. Weil C auch abgeschlossen ist, ist t(y)=lim(s \textuparrow s_y,sy)\in\ C, d.h. s_y ist in der Tat ein Maximum. Wir halten weiterhin fest: t(y) ist nicht in C^opimg(\circ), denn sonst könnten wir noch eine kleine Kugel um t(y)=s_y*y legen, die komplett in C liegt, was aber der Maximalität von s_y wiederspricht, wie man sich leicht klarmacht. Also ist in der Tat t(y)\in\pd||C und damit insbesondere s_y stets !=0. Die Abbildung r ist offensichtlich stetig. Wir rechnen nach, dass r bijektiv ist: Sei y\in\ S^(n-1) beliebig. Wegen norm(t(y))=s_y*norm(y)=s_y folgt dann sofort r(t(y))=y. Damit ist r schonmal surjektiv und t ist Nummer\-Eins\-Kandidat für die Umkehrfunktion. Außerdem ist r injektiv, denn wäre etwa x/norm(x)=x'/norm(x') und oBdA norm(x') x'=norm(x')/norm(x)*x+0\in\ cone(C^opimg(\circ),x). Da der Kegel offen und C konvex ist, ist er komplett in C^opimg(\circ) enthalten, d.h. x'\notin\pd||C, was ein Widerspruch wäre. Nun ist r also bijektiv und stetig. Aus der Kompaktheit von \pd||C folgt, dass r ein Homöomorphismus ist. Die nun als stetig erkannte Umkehrfunktion ist damit t. Wir definieren nun den Homöomorphismus f:\IR^n->\IR^n durch f(0):=0 und f(x):=norm(x)*t(x/norm(x))=s_(x \/ norm(x))*x. Da s ein Homöomorphismus ist, ist f auf \IR^n\.\\{0} stetig. Da t beschränkt ist, ist f auch in 0 stetig, also überall. f ist ein Homöomorphismus, denn wie man sich leicht überlegt, ist g(0):=0 bzw. g(y):=s_(y \/ norm(y))^(-1)*y die Umkehrfunktion und ebenfalls stetig. \blue\ q.e.d. Kommen wir nun zum angestrebten Beweis des endlichdimensionalen Falls:
\ll(Satz 5) Die Schauder'sche Vermutung gilt für X=\IR^n.
\blue\ Beweis: Sei also \0!=C kompakt und konvex und f:C->C stetig. OBdA nehmen wir an, dass X von C aufgespannt ist, d.h. \=X. \(Ist dem nicht so, dann gehen wir eben zu \ über und betrachten alles darin.\) Die Fixpunkteigenschaft ist offenbar unter Homöomorphismen wie Translationen invariant. Wir können also oBdA zusätzlich 0\in\ C annehmen. Der nächste Schritt ist, C^opimg(\circ)!=\0 zu zeigen, denn dann greift \ref(Lemma 4) und sagt, dass C zu D^n homöomorph ist. D^n hat nach dem Fixpunktsatz von Brouwer aber die Fixpunkteigenschaft, also hat sie auch C. Sei dazu \{v_1, ..., v_n \}\subseteq\ C eine Basis von \IR^n. Sei L:\IR^n->\IR^n der Basiswechsel, der e_i auf v_i abbildet. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen, also ein Homöomorphismus. Das Bild des Simplex menge(v\in\IR^n | v=sum(\lambda_i v_i, i=1,n), \lambda_i>=0, sum(\lambda_i,i=1,n)<=1) unter L liegt wegen der Konvexität von C vollständig in C. Diese Menge hat jedoch das nicht\-leere Innere menge(v\in\IR^n | v=sum(\lambda_i v_i, i=1,n), \lambda_i>0, sum(\lambda_i,i=1,n)<1), also hat auch C ein nicht\-leeres Inneres. Wie wir uns eben überlegt haben, folgt damit die Behauptung. \blue\ q.e.d.

3. Schritt: Der lokalkonvexe Fall

Zunächst beweisen wir eine Erweiterung der T_3-Trennungseigenschaft für topologische Vektorräume:
\ll(Lemma 6) Sei X ein topologischer \IK\-Vektorraum., K\subseteq\ X kompakt, A\subseteq\ X abgeschlossen, K\cut\ A=\0. Dann gibt es eine Nullumgebung V, sodass (K+V)\cut(A+V)=\0
\blue\ Beweis: Weil die Addition stetig ist, gibt es zu jeder Nullumgebung U eine Nullumgebung W, sodass W+W\subseteq\ U ist. Zweifaches Anwenden liefert ein W mit W+W+W+W\subseteq\ U. Weil W die Null enthält, ist dann insbesondere W+W+W\subseteq\ W+W+W+W\subseteq\ U. Für jedes x\in\ K wählen wir daher eine balancierte Nullumgebung W_x mit W_x+W_x+W_x\subseteq\ X\\A-x => x+W_x+W_x+W_x\subseteq\ X\\A => x+W_x+W_x\cut\ A+W_x=\0. Nun gilt K\subseteq\ union(x+W_x,x\in\ K), d.h. es gibt aufgrund der Kompaktheit von K endlich viele x_1, ..., x_n\in\ K mit K\subseteq\ union(x_i+W_x_i,i=1,n). Setzen wir nun V:=cut(W_x_i,i=1,n). => K+V\subseteq\ union(x_i+W_x_i+V,i=1,n)\subseteq\ union(x_i+W_x_i+W_x_i,i=1,n) => (K+V)\cut(A+V)=\0 \blue\ q.e.d.
\ll(Lemma 7) Sei X ein hausdorff'scher, lokalkonvexer \IK\-Vektorraum. Dann ist jede injektive, lineare Abbildung f:\IK^n->X ein Homöomorphismus auf sein Bild.
\blue\ Beweis: Sei p_i: \IK^n->\IK die Projektion auf die i\-ten Komponente und e_i der i\-te Einheitsvektor. Dann gilt: \forall\ v\in\IK^n: f(v)=sum(p_i(v)*f(e_i),i=1,n) Da die p_i stetig, die Addition und die Skalarmultiplikation in X stetig sind, ist also auch f stetig. Wir setzen Y:=f(\IK^n). Da f^(-1): Y->\IK^n linear ist, reicht es, die Stetigkeit der Umkehrabbildung im Nullpunkt zu zeigen. Dazu betrachten wir einfach nur die Einheitskugel und \-sphäre D:=menge(v\in\IK^n | norm(v)_2<=1) bzw. S:=menge(v\in\IK^n | norm(v)_2=1). S ist kompakt, f stetig und X hausdorff. Also sind f_\|S und f_\|D Homöomorphismen auf ihr Bild. f||array(\small\ -1;\|f(D)\normal) ist also bzgl. der Teilraumtopologie von f(D) stetig in 0. Um zu zeigen, dass f^(-1) auch bzgl. der Topologie von Y stetig in 0 ist, weisen wir nach, dass f(D) eine in Y offene Umgebung der 0 enthält. Wegen der Injektivität von f ist 0\notin\ f(S). f(S) ist kompakt, also abgeschlossen \(X ist hausdorff !\) in X. Sei nun V\subseteq\ Y\\f(S) eine offene, konvexe Umgebung der 0. Wegen der Konvexität muss dann V\subseteq\ f(D) sein, d.h. f(D) enthält die offene Nullumgebung V und wir sind fertig. \blue\ q.e.d. Das sagt uns u.A., dass in einem hausdorff'schen, topologischen Vektorraum jeder endlichdimensionale Unterraum abgeschlossen ist, wie man sich leicht überlegt. Und mehr noch: Das sagt uns außerdem, dass es im Endlichdimensionalen nur eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie gibt, die mit der Vektorraumstruktur verträglich ist, nämlich die Normtopologie, womit auf Umwegen auch der Normäquivalenzsatz erneut bewiesen wäre. Aber alles das nur am Rande. Kommen wir zum eigentlichen Höhepunkt des Artikels:
\ll(Satz 8)array(Fixpunktsatz von Schauder\-Tychonoff)__ Die Schauder'sche Vermutung gilt für lokalkonvexe X.
\blue\ Beweis: Sei also X hausdorffsch und lokalkonvex, \0!=C\subseteq\ X kompakt und konvex sowie f:C->C stetig. Wir nehmen an, f hätte keinen Fixpunkt. Dann ist G:=menge((x,f(x)) | x\in\ C) disjunkt zur Menge \D_X:=menge((x,x) | x\in\ X). Da C kompakt und f stetig ist, ist auch G kompakt in X\times\ X. Da X hausdorff ist, ist \D_X abgeschlossen in X\times\ X. Das Lemma sagt uns, dass es eine Nullumgebung V\subseteq\ X gibt, sodass G+(V\times\ V) und \D_X disjunkt sind. oBdA wählen wir V als konvex, balanciert und offen. Das geht ja, weil X lokalkonvex ist. Dann gilt insbesondere: \lr(1)x\in\ C: f(x)\notin\ x+V, d.h. f(x)-x\notin\ V Zu diesem V betrachten wir das Minkowski\-Funktional p:X->\IR, welches nach einem Beweis aus dem letzten Artikel eine stetige Halbnorm ist. Weiterhin sei daran erinnert, dass V=menge(x\in\ X | p(x)<1) gilt. Wiederum wegen der Kompaktheit von C existieren nun x_1, ..., x_n\in\ C derart, dass C\subseteq\ union(x_i+V,i=1,n). Damit definieren wir die Abbildungen \b_i und \b: C->\IR durch: \lr(2)\b_i(x):=max|menge(0,1-p(x-x_i)) und \lr(3)\b(x):=sum(\b_i(x),i=1,n). Alle \b_i sind nicht\-negativ nach Definition. \b ist auf C sogar streng positiv, da jedes x\in\ C in einer der Mengen x_i+V enthalten ist. Außerdem sind die \b_i und \b stetig, da p stetig ist. Wir definieren weiter: \a_i und g: C->\IR durch: \lr(4)\a_i(x):=\b_i(x)/\b(x) und \lr(5)g(x):=sum(\a_i(x)*x_i,i=1,n) Die \a_i sind dabei auf C wohldefiniert, stetig und bilden C in [0,1] ab. Nach Konstruktion gilt außerdem sum(\a_i(x),i=1,n)=1 für alle x\in\ C. => \forall\ x\in\ C: g(x)\in\ co(x_1, ..., x_n)\subseteq\ C da C konvex ist. Wir setzen C':=co(x_1, ..., x_n) und Y:=span(x_1 \,...\, x_n). Dann ist Y ein endlich\-dimensionaler Unterraum von X \(d.h. zu einem \IR^m linear homöomorph wie wir eben gesehen haben\) und C'\subseteq\ Y kompakt \(es sind nur endlich viele Punkte\) und konvex. Die Abbildung (g\circ\ f)_\|C': C'->C' hat dann also nach unserer Untersuchung des endlich\-dimensionalen Falls einen Fixpunkt x^\*\in\ C'\subseteq\ C. Es gilt also x^\*=g(f(x^\*)). Wir setzen der Kürze halber y^\*:=f(x^\*) und stellen folgendes fest: \align\ f(x^\*)-x^\*><=f(x^\*)-g(f(x^\*)) ><=y^\*-g(y^\*) ><=sum(\a_i(y^\*)*y^\*,i=1,n)-sum(\a_i(y^\*)*x_i,i=1,n) ><=sum(\a_i(y^\*)(y^\*-x_i),i=1,n) \stopalign Ist p(y^\*-x_i)>=1, so ist \a_i(y^\*)=0 nach Definition der \a_i. Damit folgt sofort p(f(x^\*)-x^\*)<=sum(\a_i(y^\*)p(y^\*-x_i),i=1,n) f(x^\*)-x^\*\in\ V Das steht nun aber im Widerspruch zu \ref(1), was wir aus der Annahme, f sei fixpunktfrei hergeleitet hatten. \blue\ q.e.d.

Anwendungen

Um den Schauder'schen Fixpunktsatz dann auch tatsächlich zu benutzen, werden wir davor noch eine kleine Abwandlung beweisen, die für die Praxis deutlich flexibler und somit einfacher anzuwenden ist. Dazu brauchen wir:
\ll(Definition 9) Sei A\subseteq\ X und Y ein weiterer topologischer Vektorraum. f:A->Y heißt kompakt____, wenn das Bild jeder beschränkten Mengen B\subseteq\ A unter f relativ kompakt ist, d.h. wenn f(B)^- kompakt ist.
Die Klasse der stetigen, kompakten Funktionen (sie werden in der Literatur auch oft "vollstetig" genannt, aber die Bezeichnungen sind da leider sehr uneindeutig) ist erfreulich reichhaltig, wie wir gleich an einem ziemlich allgemeinen Beispiel sehen werden. Außerdem lassen kompakte Abbildungen die Verallgemeinerung vieler Sätze und Konzepte aus der Fixpunkttheorie (etwa das des Fixpunktindexes) auf kompakte, stetige Abbildungen zu. Auch der Schauder'sche Satz lässt sich im lokalkonvexen Fall auf stetige, kompakte Abbildungen in der folgenden Weise verallgemeinern:
\ll(Satz 10)array(Fixpunktsatz von Schauder\-Tychonoff\, 2.Version)__ Sei X ein hausdorffscher, lokalkonvexer, quasi\-vollständiger Vektorraum. Sei weiter \0!=C\subseteq\ X konvex, abgeschlossen und beschränkt sowie f:C->C stetig und kompakt. Dann hat f einen Fixpunkt.
\blue\ Beweis: Der Beweis ist denkbar einfach: Wir setzen C':=co(f(C))^-. Nun gilt: f(C)^- ist kompakt => f(C) ist total beschränkt. X ist lokalkonvex und quasi\-vollständig => C' ist kompakt und konvex C ist konvex und abgeschlossen => C'\subseteq\ C Es gilt natürlich f(C')\subseteq\ f(C)\subseteq\ C', d.h. f_\|C' ist eine Selbstabbildung von C'. Setzen wir alles dies zusammen, kommen wir zu dem Schluss, dass f_\|C' nach dem Schauder'schen Fixpunktsatz einen Fixpunkt in C' haben muss, der selbstverständlich auch ein Fixpunkt von f ist. \blue\ q.e.d. Abgeschlossenheit und Beschränktheit sind meist einfacher zu zeigen als Kompaktheit einer Menge. (Quasi-)Vollständigkeit bekommt man ebenfalls meistens geschenkt, da es oftmals eh Banachräume sind, in denen man arbeitet. Der Haken liegt diesmal dabei, herauszufinden, ob f kompakt ist. Bevor wir zur versprochenen Klasse von Beispielen kommen, sei zuvor an den Satz von Arzela-Ascoli erinnert:
\ll(Satz 11)array(Arzela-Ascoli)__ Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum, und M\subseteq\ C(K,\IR^n). Dann sind äquivalent: (a) $M ist relativ kompakt, d.h. M^- ist kompakt (b) $M erfüllt: $ $ (i) $M ist beschränkt $ $ (ii) M ist gleichgradig gleichmäßig stetig, d.h.: $ $ $ $ $\forall\eps>0\exists\delta>0\forall\ x,x'\in\ K\forall\ f\in\ M: d(x,x')<\delta => norm(f(x)-f(x'))<\eps
Auf einen Beweis verzichte ich hier und verweise stattdessen auf die Literatur (z.B. auf den Werner). Der Satz ist in vielerlei Versionen unterwegs, man kann ihn auf vielfältige Weise verallgemeinern. Die obige Version reicht uns aber erstmal für die Beispielanwendungen. Nun das versprochene Beispiel für kompakte Abbildungen:
\ll(Beispiel Ia - Integraloperatoren) Sei k: [a,b]\times\ [a,b]\times\IR^n->\IR^m stetig, x_0\in\ [a,b] beliebig aber fest. Definiere F: C([a,b],\IR^n)->C([a,b],\IR^m) durch (F\phi)(s):=int(k(s,t,\phi(t)),t,x_0,s) F ist dann eine stetige, kompakte Abbildung.
Ist R>0 beliebig, so ist k auf [a,b]\times\ [a,b]\times\ B^-_R(0) gleichmäßig stetig, d.h. für jedes \eps>0 existiert ein \delta_R>0, sodass: abs(s-s'), abs(t-t'), abs(u-u')<=\delta_R \and\ norm(u), norm(u')<=R => norm(k(s,t,u)-k(s',t',u'))<=\eps Sei nun \phi\in\ C([a,b],\IR^n) beliebig. Dann setze R:=2*norm(\phi)_\inf und array(\delta:=min menge(\delta_R, R)). Für norm(\psi-\phi)_\inf<=\delta gilt dann: norm((F\phi)(s)-(F\psi)(s))=norm(int(k(s,t,\phi(t))-k(s,t,\psi(t)),t,x_0,s)) <=int(norm(k(s,t,\phi(t))-k(s,t,\psi(t))),t,x_0,s) <=int(norm(k(s,t,\phi(t))-k(s,t,\psi(t))),t,a,b) <=\eps*(b-a) => norm(F\phi-F\psi)_\inf<=\eps*(b-a) => F ist stetig in \phi => F ist stetig, da \phi beliebig war. Wir zeigen weiter, dass F kompakt ist, d.h. beschränkte auf relativ kompakte Mengen abbildet. Dazu wählen wir wie gehabt \eps>0 und R>0 beliebig. Weiter sei norm(\phi)<=R. Ist dann abs(s-s')<=min menge(\delta_R, \eps), k(s,t,u)<=M auf [a,b]\times\ [a,b]\times\ B^-_R(0) und oBdA s<=s', so gilt: norm((F\phi)(s)-(F\phi)(s'))=norm(int(k(s,t,\phi(t)),t,x_0,s)-int(k(s',t,\phi(t)),t,x_0,s')) <=norm(int(k(s,t,\phi(t))-k(s',t,\phi(t)),t,x_0,s))+norm(int(k(s',t,\phi(t)),t,s,s')) <=int(norm(k(s,t,\phi(t))-k(s',t,\phi(t))),t,a,b)+int(norm(k(s',t,\phi(t))),t,s,s') <=\eps*(b-a)+M*abs(s-s') <=\eps*(b-a+M) => menge(F\phi | norm(\phi)_\inf<=R) ist gleichgradig gleichmäßig stetig und durch M*(b-a) beschränkt. Also ist diese Menge nach dem Satz von Arzela\-Ascoli relativ kompakt. F ist demnach eine stetige, kompakte Abbildung. So, wie das Beispiel ist, ist es schon recht nützlich, wie wir gleich beim Beweis des Satzes von Peano sehen werden, man kann mit etwas Aufwand jedoch noch einen Schritt weiter gehen: Dazu betrachte man einen kompakten, metrischen Raum (K,d) und ein endliches Maß \mue auf der \s\-Algebra \frakA\subseteq\calP(K). \frakA wird mit d_\mue\.(A,B):=\mue(A\Delta\ B) zu einem pseudometrischen Raum, d.h. d_\mue hat alle Eigenschaften einer Metrik außer möglicherweise der Definitheit. d_\mue ist in gewissem Sinne eine "natürliche Pseudometrik" für \frakA, da sie zum einen die geometrische Anschauung widerspiegelt, dass zwei Mengen "dicht beieinander" sind, wenn sie sich fast überschneiden, also nur "kleine" Bereiche der einen Menge aus der anderen herausragen. Außerdem unterscheidet d_\mue nicht zwischen Nullmengen, was in der Maß\- und Integrationstheorie ja bekanntlich völlig normal und auch gewollt ist. Mit diesem Wissen ausgestattet, kann man das Beispiel wie folgt verallgemeinern:
\ll(Beispiel Ib - Immer noch Integraloperatoren) Seien K,d,\mue,\frakA,d_\mue wie eben. Sei außerdem k: K\times\ K\times\IR^n->\IR^m stetig und A: (K,d)->(\frakA,d_\mue) stetig. Dann definiere F: C(K,\IR^n)->C(K,\IR^m) durch: (F\phi)(s):=int(k(s,t,\phi(t)),\mue(t),A(s)) Dann ist F stetig und kompakt.
Der Beweis läuft im Wesentlichen ähnlich wie oben. An der Stelle, an der wir int(norm(k(s',t,\phi(t))),t,s,s') durch M*abs(s-s') abgeschätzt haben, müssen wir hier int(norm(k(s,t,\phi(t))),\mue(t),A(s)\\A(s'))+int(norm(k(s',t,\phi(t))),\mue(t),A(s')\\A(s)) <=M*\mue(A(s)\\A(s'))+M*\mue(A(s')\\A(s)) =M*d_\mue\.(A(s),A(s')) nach oben durch d(s,s') abschätzen, wofür die \(gleichmäßige\) Stetigkeit von A benötigt wird. Diese sehr, sehr allgemein gehaltene Abbildung liefert uns im Detail viele wichtige Spezialfälle, die wir somit alle als kompakt erkannt haben. Andere Beispiele sind Einbettungsabbildungen zwischen gewissen Banachräumen, etwa von C^k in C^n für k>n und viele andere. Auch dieses Beispiel für Integraloperatoren lässt sich weiter abwandeln, wenn man andere Funktionenräume, etwa L^p benutzt. Wir werden damit zeigen, dass man aus dem Schauder'schen Fixpunktsatz in obiger Version den Existenzsatz von Peano erhalten kann:
\ll(Beispiel II - Anfangswertproblem)array(Satz von Peano)__ Sei f: [a,b]\times\IR^n->\IR^n stetig und beschränkt sowie x_0\in\ [a,b], y_0\in\IR^n fest gewählt. Dann hat das Anfangswertproblem: y'(x)=f(x,y(x)), a<=x<=b y(x_0)=y_0 eine Lösung.
\blue\ Beweis: Wir formen zunächst das AWP äquivalent in die Fixpunktgleichung y(x)=y_0+int(f(t,y(t)),t,x_0,x) um. Dass dies tatsächlich äquivalent ist, liegt \- wie man leicht einsieht \- am Hauptsatz der Differential\- und Integralrechnung. Das obige Beispiel zeigt uns, dass wir es mit einem stetigen und kompakten Operator zu tun haben, wenn wir die rechte Seite der Gleichung als (Fy)(x) auffassen. Was uns jetzt zu tun bleibt, ist eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Menge zu finden, die unter diesem Operator auf sich selbst abgebildet wird. Diese ist gegeben durch: C:=menge(y: [a,b]->\IR^n | y stetig, \forall\ x\in\ [a,b]: norm(y(x)-y_0)<=M*(b-a)) wobei M:=norm(f)_\inf. Dann ist C eine abgeschlossene Kugel um die konstante Funktion y_0, d.h. C ist beschränkt, abgeschlossen und konvex, ganz wie wir es wollen. Außerdem gilt: norm((Fy)(x)-y_0)<=int(norm(f(t,y(t))),t,x_0,x)<=int(M,t,a,b)=M*(b-a) d.h. F bildet C in sich ab. Der Schauder'sche Fixpunktsatz liefert uns also die gewünschte Lösung. \blue\ q.e.d. Man kann bei unbeschränktem f immerhin noch für ein genügend kleines Teilintervall um x_0 eine lokale Lösung der DGL erhalten, auch, wenn i.A. keine globale Lösbarkeit mehr möglich ist. Mit dem Schauder'schen Fixpunktsatz können wir auch die Existenz von Lösungen für einfache Randwertprobleme sichern:
\ll(Beispiel III - Randwertprobleme) Sei g: [a,b]\times\IR\times\IR->\IR stetig und beschränkt sowie y_a, y_b\in\IR fest. Das Randwertproblem y''(x)=g(x,y(x),y'(x)), a<=x<=b y(a)=y_a, y(b)=y_b hat eine Lösung.
\blue\ Beweis: Dazu betrachten wir die Banachräume C^0([a,b]) mit der Supremumsnorm und C^2([a,b]) mit der C^2-Norm norm(f)_(C^2):=max|menge(norm(f)_\inf, norm(f')_\inf, norm(f'')_\inf). Sei D:C^2->C^0 der lineare Differentialoperator Dy:=y''. D ist offenbar surjektiv. Die Definition der C^2-Norm sorgt dafür, dass D stetig ist. Da C^2 und C^0 beides Banachräume sind, ist D sogar offen, wie der Satz von der offenen Abbildung aus der Funktionalanalysis zeigt \(wens interessiert, dem sei erneut der Werner empfohlen\). Außerdem setzen wir G:C^2->C^0, (Gf)(x):=g(x,f(x),f'(x)). Wir zeigen, dass G stetig und kompakt ist: Für norm(f)_(C^2)<=L ist g gleichmäßig stetig auf [a,b]\times\ [-L,L]\times\ [-L,L]. Sei also \eps>0 und \delta_g>0 derart, dass abs(x_1-x^~_1), abs(x_2-x^~_2), abs(x_3-x^~_3)<=\delta_g => abs(g(x_1,x_2,x_2)-g(x^~_1,x^~_2,x^~_3))<=\eps. Der Mittelwertsatz sagt uns nun, dass abs(f(x)-f(x^~))<=norm(f')_\inf*abs(x-x^~)<=L*abs(x-x^~) und abs(f'(x)-f'(x^~))<=norm(f'')_\inf*abs(x-x^~)<=L*abs(x-x^~) gilt. Wählen wir also \delta:=min|menge(\delta_g, \delta_g/L), so gilt für abs(x-x^~)<=\delta: abs(x-x^~)<=\delta_g, abs(f(x)-f(x^~))<=\delta_g, abs(f'(x)-f'(x^~))<=\delta_g => abs((Gf)(x)-(Gf)(x^~))<\eps Also ist G kompakt. Die Stetigkeit folgt mit ähnlichen Überlegungen: Wenn norm(f-f^~)_(C^2)<=\delta_g ist, dann ist norm(Gf-G\.f^~)<=\eps. Als nächstes stellen wir fest, dass y''(x)=g(x,y(x),y'(x)) \and y(a)=y_a \and y(b)=y_b genau dann eine Lösung besitzt, wenn z''(x)=g(x,z(x)-Ax-B,z'(x)-A) \and z(a)=0 \and z(b)=0 eine besitzt. Hierbei sei Ax+B das eindeutige lineare Polynom, dass durch die Punkte (a,y_a) und (b,y_b) geht. Diese Einsicht ist natürlich trivial, da sich die Lösungen durch z(x)+Ax+B<->y(x) gegenseitig entsprechen. Aber sie hilft uns, weil wir uns ab sofort auf den Teilraum C^2\supseteq\ X:=menge(y\in\ C^2 | y(a)=y(b)=0) beschränken können. Dieser ist offenbar abgeschlossen, also selbst ein Banachraum. D_\|X: X->C^0 ist offenbar bijektiv womit D_\|X also ein linearer Homöomorphismus ist. Wenn wir y''(x)=g(x,y(x),y'(x)), also Dy=Gy in X lösen wollen, dann können wir also äquivalent auch die Fixpunktgleichung y=D_\|X^(-1)*Gy lösen. Da G stetig und kompakt und D_\|X^(-1) ein linearer Homöomorphismus ist, ist F:=D_\|X^(-1)\circ\ G ebenfalls stetig und kompakt. Die Menge C:=menge(y\in\ C^2 | norm(y)_(C^2)<=norm(D_\|X^(-1))_Op*norm(g)_\inf) ist offenbar beschränkt, abgeschlossen und konvex und wird unter F in sich abgebildet, d.h. es gibt einen Fixpunkt, also eine Lösung des RWPs. \blue\ q.e.d. Im Gegensatz zu Anfangswertproblemen kann man natürlich bei Randwertproblemen nicht mehr auf lokale Lösungen ausweichen, um auch für unbeschränkte g ein Ergebnis zu erzielen. Und natürlich lässt sich auch hier bei unbeschränktem g keine Lösbarkeit mehr erwarten. Auch zu komplexeren Randwertproblemen im Mehrdimensionalen kann man mit dem Schauder'schen Fixpunktsatz Lösungen erhalten.

Abschluss

Ich hoffe, euch hat dieser Artikel gefallen und bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Weitere Artikel über verwandte Themen wären sicher möglich, denn sowohl weitere Fixpunktsätze als auch weitere Anwendungsmöglichkeiten derselbigen gibt es noch zu Hauf. Auch andere interessante Dinge über lokalkonvexe Räume gibt es noch weitere zu berichten, so habe ich mir z.B. überlegt, vielleicht die beim letzten Mal schon ganz kurz angeschnittene Distributionentheorie zu behandeln. Ich schaue mal, ob ich zu einem oder mehreren dieser Themen noch Zeit und Motivation finde. Bis dahin bedanke ich mich bei Euch für eure Aufmerksamkeit und bei meinen Testlesern marvinius, huepfer und Irrlicht, die diesen und den letzten Artikel gegengelesen haben. F(mfg*Gockel)=mfg*Gockel.

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: Analysis :: Topologie :: Fixpunkte :: Differentialgleichungen :: Reine Mathematik :
Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze [von Gockel]  
Es wird der Schauder'sche Fixpunktsatz - eine weitreichende Verallgemeinerung des Brouwer'schen Fixpunktsatzes - vorgestellt und der Spezialfall von Tychonoff bewiesen. Es werden Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen vorgestellt.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Mathematik: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze" | 3 Comments
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Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Hans-Juergen am: Mi. 12. März 2008 09:02:20
\(\begingroup\)Hallo Johannes, ein Schauder läuft mir übern Rücken bei soviel hoher Wissenschaft. Total-beschränkt, will mir's nicht glücken, auch nur den Fixpunkt zu verstehn, um den sich die Gedanken drehn - zu sehr fehlt's mir an Geisteskraft. Mit Bewunderung grüßt Dich Hans-Jürgen. \(\endgroup\)
 

Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Kay_S am: Mi. 12. März 2008 23:42:57
\(\begingroup\)Die Gockelartikel nehmen einfach kein Ende 😄 Ich muss schon sagen, da steckt eine ganze Menge Detailarbeit drin. Wo da wohl die Motivation herkommen mag? Ich hätte jedenfalls nicht die Kraft, eine ganze Artikelserie über ein so überaus trock... äh interessantes Gebiet zu schreiben. PS: Mir ist aufgefallen, dass die beiden Links zu Topologie/Elstrodt nicht funktionieren. Kay\(\endgroup\)
 

Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Oktopus am: Do. 13. März 2008 12:05:56
\(\begingroup\)@Kay_S: Es soll Leute geben, die sich unterfordert fühlen, und daher Bücher abschreiben. Also habe dafür ein bisschen mehr Verständnis, zumal der Artikel ganz nützlich ist, wenn man einen Überblick über wohlbekannte Fixpunktsätze erhalten will.\(\endgroup\)
 

 
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