Mathematik: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
Released by matroid on Di. 11. März 2008 23:47:22 [Statistics]
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Analysis

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Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze


Fixpunktsätze sind oftmals das Mittel der Wahl, um zu zeigen, dass ein kompliziertes Gleichungssystem Lösungen hat, wenn man nicht in der Lage ist, "auf direktem Wege" eine zu finden.
Aufgrund des Erfolgs, den man mit einem solchen Vorgehen hat, gibt es auch entsprechend viele Varianten von Fixpunktsätzen und artverwandten Konzepten, die einem die Lösbarkeit diverser Gleichungen sichern.

Nachdem im letzten Artikel die lokalkonvexen Räume vorgestellt wurden, möchte ich deshalb hier den Fixpunktsatz von Schauder-Tychonoff herleiten, der eine weitreichende Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer eben für die lokalkonvexen Räume ist und vielfältige Anwendungen z.B. in der Theorie der Differential- und Integralgleichungen hat.



Inhalt



Fixpunktsätze: Unser Ziel



Von Fixpunktsätzen hat der durchschnittliche Student auf jeden Fall schonmal gehört. In jedem Analysis-Vorlesungs-Zyklus hört man beispielsweise vom Banach'schen Fixpunktsatz, dessen äußerst günstiges "Preis-Leistungsverhältnis" seine Bedeutung ausmacht:

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Die Vorteile dieses Satzes sind wohlbekannt: Die Voraussetzungen lassen sich schnell nachrechnen, die meisten in der Praxis vorkommenden Räume sind auf die eine oder andere Weise vollständig metrisierbar. Der größte Haken ist es noch, ob die betrachtete Abbildung eine Kontraktion ist oder nicht, aber auch das ist oft genug erfüllt.
Sobald man die Voraussetzungen zusammen hat, liefert der Banach'sche Fixpunktsatz nicht nur eine Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, sondern in Form einer Fixpunktiteration auch noch eine Methode zur Berechnung des Fixpunkts und wichtige Abschätzungen, um die Genauigkeit der Iteration unter Kontrolle zu haben.


In einigen Anwendungen ist es aber nicht so schön einfach. Nicht jede wichtige Abbildung ist kontraktiv, meist hat man gerademal eine Stetigkeit und weiß nicht wesentlich mehr als das. Unter anderem in der Untersuchung der Lösbarkeit von Integral- und Differentialgleichungen stellt sich dieses Problem.
Hier sind dann weitergehende Sätze gefragt, die unter noch allgemeineren Bedingungen Existenzaussagen machen. Viele solcher Resultate wurden bewiesen, einige sind nur mehr oder minder gute Abwandlungen des Banach'schen Fixpunktsatzes, andere gehen jedoch einen großen Schritt weiter und zeigen für sehr große Klassen von Räumen und/oder Abbildungen entsprechende Existenzaussagen.

Die Fülle von Einzelergebnissen, die die Existenz von Fixpunkten stetiger Selbstabbildungen von bestimmten kompakten, konvexen Mengen sicherten, verleitete Juliusz Schauder dann 1930 zu folgender Vermutung, die erst 2001 in voller Allgemeinheit bewiesen wurde:


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Da es mir bisher nicht möglich war, Einsicht in die Arbeit von Robert Cauty zu nehmen, in der diese allgemeine Form bewiesen wurde, begnügen wir uns vorerst mit einem Spezialfall, der trotzdem noch sehr allgemein gehalten ist, nämlich dem, dass X ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ist. Dieser Spezialfall wurde von Tychonoff bereits kurz nach der Veröffentlichung der Vermutung bewiesen.


1. Schritt: Der Fixpunktsatz von Brouwer



Der Fixpunktsatz von Schauder (auch in der schwächeren lokalkonvexen Version) hat natürlich diverse Spezialfälle zur Folge, da die Klasse der lokalkonvexen Räume sehr reichhaltig ist, wie wir im letzten Artikel sahen.

So folgt daraus z.B. sofort der berühmte Fixpunktsatz von Brouwer:

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Wir werden den umgekehrten Weg gehen und den Satz von Schauder-Tychonoff Stück für Stück aus dem Brouwer'schen herleiten. Das stellt uns vor das Problem, erstmal diesen Satz zu beweisen, was nämlich alles andere als trivial ist.

Während man den Banach'schen Fixpunktsatz in wenigen Zeilen beweisen kann und der Beweis keine wesentlichen Schwierigkeiten enthält, muss man für einen Beweis des Brouwer'schen Satzes schon ein bisschen Aufwand betreiben. Daher muss der Beweis hier entfallen. Vielleicht reiche ich ihn später einmal nach, hier beschränke ich mich jedoch darauf, drei der mir bekannten Beweisansätze (sehr) grob zu umreißen:

1. Der wohl elementarste Weg, den Fixpunktsatz von Brouwer zu beweisen, benutzt geometrische Argumente und das Lemma von Sperner. Die Idee ist, Simplizes zu betrachten und diese Schritt für Schritt durch baryzentrische Unterteilung zu verkleinern. Das Sperner'sche Lemma liefert dann (auf Umwegen) eine Anleitung, wie ein Fixpunkt in diesen immer kleiner werdenden Simplizes zu finden ist. Es wird also eine Einschachtelung eines Fixpunktes vorgenommen, womit man dann auch eine numerische Berechnungsmöglichkeit zur Hand hat. Die anderen Beweise sind da äußerst nicht-konstruktiv.

2. Obwohl nicht völlig elementar, kommt der Beweis, den man bei Elstrodt findet, mit durchaus alltäglichen Hilfsmitteln aus. Er benutzt Hilfsmittel der mehrdimensionalen Differentiation und Integration wie die Transformationsformel und ein paar Aussagen über die Divergenz. Der Beweis ist leider sehr technisch und nicht sehr erhellend, wie ich finde. Dafür ist er eben mit dem machbar, was Viele sowieso im Studium lernen.

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2. Schritt: Der endlichdimensionale Fall



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Kommen wir nun zum angestrebten Beweis des endlichdimensionalen Falls:

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3. Schritt: Der lokalkonvexe Fall



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Das sagt uns u.A., dass in einem hausdorff'schen, topologischen Vektorraum jeder endlichdimensionale Unterraum abgeschlossen ist, wie man sich leicht überlegt. Und mehr noch: Das sagt uns außerdem, dass es im Endlichdimensionalen nur eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie gibt, die mit der Vektorraumstruktur verträglich ist, nämlich die Normtopologie, womit auf Umwegen auch der Normäquivalenzsatz erneut bewiesen wäre.

Aber alles das nur am Rande. Kommen wir zum eigentlichen Höhepunkt des Artikels:

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Anwendungen



Um den Schauder'schen Fixpunktsatz dann auch tatsächlich zu benutzen, werden wir davor noch eine kleine Abwandlung beweisen, die für die Praxis deutlich flexibler und somit einfacher anzuwenden ist. Dazu brauchen wir:

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Die Klasse der stetigen, kompakten Funktionen (sie werden in der Literatur auch oft "vollstetig" genannt, aber die Bezeichnungen sind da leider sehr uneindeutig) ist erfreulich reichhaltig, wie wir gleich an einem ziemlich allgemeinen Beispiel sehen werden.
Außerdem lassen kompakte Abbildungen die Verallgemeinerung vieler Sätze und Konzepte aus der Fixpunkttheorie (etwa das des Fixpunktindexes) auf kompakte, stetige Abbildungen zu. Auch der Schauder'sche Satz lässt sich im lokalkonvexen Fall auf stetige, kompakte Abbildungen in der folgenden Weise verallgemeinern:

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Abgeschlossenheit und Beschränktheit sind meist einfacher zu zeigen als Kompaktheit einer Menge. (Quasi-)Vollständigkeit bekommt man ebenfalls meistens geschenkt, da es oftmals eh Banachräume sind, in denen man arbeitet. Der Haken liegt diesmal dabei, herauszufinden, ob f kompakt ist.

Bevor wir zur versprochenen Klasse von Beispielen kommen, sei zuvor an den Satz von Arzela-Ascoli erinnert:

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Auf einen Beweis verzichte ich hier und verweise stattdessen auf die Literatur (z.B. auf den Werner). Der Satz ist in vielerlei Versionen unterwegs, man kann ihn auf vielfältige Weise verallgemeinern. Die obige Version reicht uns aber erstmal für die Beispielanwendungen.

Nun das versprochene Beispiel für kompakte Abbildungen:

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So, wie das Beispiel ist, ist es schon recht nützlich, wie wir gleich beim Beweis des Satzes von Peano sehen werden, man kann mit etwas Aufwand jedoch noch einen Schritt weiter gehen:

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Mit diesem Wissen ausgestattet, kann man das Beispiel wie folgt verallgemeinern:

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Wir werden damit zeigen, dass man aus dem Schauder'schen Fixpunktsatz in obiger Version den Existenzsatz von Peano erhalten kann:

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Mit dem Schauder'schen Fixpunktsatz können wir auch die Existenz von Lösungen für einfache Randwertprobleme sichern:

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Im Gegensatz zu Anfangswertproblemen kann man natürlich bei Randwertproblemen nicht mehr auf lokale Lösungen ausweichen, um auch für unbeschränkte g ein Ergebnis zu erzielen. Und natürlich lässt sich auch hier bei unbeschränktem g keine Lösbarkeit mehr erwarten.

Auch zu komplexeren Randwertproblemen im Mehrdimensionalen kann man mit dem Schauder'schen Fixpunktsatz Lösungen erhalten.


Abschluss



Ich hoffe, euch hat dieser Artikel gefallen und bedanke mich für eure Aufmerksamkeit.
Weitere Artikel über verwandte Themen wären sicher möglich, denn sowohl weitere Fixpunktsätze als auch weitere Anwendungsmöglichkeiten derselbigen gibt es noch zu Hauf. Auch andere interessante Dinge über lokalkonvexe Räume gibt es noch weitere zu berichten, so habe ich mir z.B. überlegt, vielleicht die beim letzten Mal schon ganz kurz angeschnittene Distributionentheorie zu behandeln.
Ich schaue mal, ob ich zu einem oder mehreren dieser Themen noch Zeit und Motivation finde.

Bis dahin bedanke ich mich bei Euch für eure Aufmerksamkeit und bei meinen Testlesern marvinius, huepfer und Irrlicht, die diesen und den letzten Artikel gegengelesen haben.

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: Analysis :: Topologie :: Fixpunkte :: Differentialgleichungen :: Reine Mathematik :
Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze [von Gockel]  
Es wird der Schauder'sche Fixpunktsatz - eine weitreichende Verallgemeinerung des Brouwer'schen Fixpunktsatzes - vorgestellt und der Spezialfall von Tychonoff bewiesen. Es werden Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen vorgestellt.
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"Mathematik: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze" | 3 Comments
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Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Hans-Juergen am: Mi. 12. März 2008 09:02:20
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Hallo Johannes,

ein Schauder läuft mir übern Rücken
bei soviel hoher Wissenschaft.
Total-beschränkt, will mir's nicht glücken,
auch nur den Fixpunkt zu verstehn,
um den sich die Gedanken drehn -
zu sehr fehlt's mir an Geisteskraft.

Mit Bewunderung grüßt Dich
Hans-Jürgen.
\(\endgroup\)
 

Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Kay_S am: Mi. 12. März 2008 23:42:57
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Die Gockelartikel nehmen einfach kein Ende :-)
Ich muss schon sagen, da steckt eine ganze Menge Detailarbeit drin. Wo da wohl die Motivation herkommen mag?
Ich hätte jedenfalls nicht die Kraft, eine ganze Artikelserie über ein so überaus trock... äh interessantes Gebiet zu schreiben.

PS: Mir ist aufgefallen, dass die beiden Links zu Topologie/Elstrodt nicht funktionieren.

Kay\(\endgroup\)
 

Re: Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze
von: Oktopus am: Do. 13. März 2008 12:05:56
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@Kay_S:
Es soll Leute geben, die sich unterfordert fühlen, und daher Bücher abschreiben.
Also habe dafür ein bisschen mehr Verständnis, zumal der Artikel ganz nützlich ist, wenn man einen Überblick über wohlbekannte Fixpunktsätze erhalten will.\(\endgroup\)
 

 
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