Globale Analysis

Das Wort Global soll hier dafür stehen, dass wir die Objekte, die wir untersuchen wollen, als Ganzes betrachten möchten. In der Analysis 1 lernt man die Differential- und Integralrechnung auf dem Körper der reellen Zahlen kennen, in der Analysis 2 betrachtet man dann oft allgemeine Banachräume, trotzdem arbeitet man noch immer auf Vektorräumen. Interessante Objekte haben jedoch im Allgemeinen nicht die Gestalt eines flachen Raumes, mit dem man in der Analysis 1 und 2 arbeitet, sondern sie ähneln eher Objekten wie dem Erdball oder einer geschwungenen Membran.

Wir wollen uns vor allem Funktionen auf solchen Objekten zuwenden und die aus der Analysis 1 und 2 bekannten Begriffe, wie differenzieren und integrieren, auf dieses neue Feld ausweiten.

Wie gehen wir nun vor? All diese Objekte haben eins gemeinsam: Lokal, im Kleinen, sind sie vom flachen Raum nicht zu unterscheiden.

In der Analysis hat es sich schon mindestens einmal bewährt, komplizierte Zusammenhängen durch linearisieren auf etwas Einfacheres, wie die Lineare Algebra zurückzuführen. Als Beispiel nehme man da den Begriff der Ableitung. Wir werden hier noch einige Schritte weitergehen und für die oben angesprochenen Objekte den Begriff der Mannigfaltigkeit definieren.

Im wesentlichen soll es also darum gehen, klassischen Ana 3 Stoff "and beyond" für den interessierten und/oder frustrierten Studenten in einer möglichst lesbaren Form darzustellen. Schnell kann es passieren, dass man in der Ana3 bei der Fülle an neuem ungewohntem Stoff den Anschluss verliert und sich dann durch kryptische Notizen kämpfen muss.
Manche Dozenten legen viel Wert auf formale Beweise, dort kommt das Verständnis der zugrundeliegenden Ideen evtl. etwas zu kurz, andere sind mehr am Prinzip interessiert und führen Beweise manchmal nicht vollständig aus. Wir wollen versuchen, in dieser Artikelserie zweigleisig zu fahren. Einerseits legen wir Wert auf vollständige Beweise (es sei denn, sie sind wirklich trivial), andererseits versuchen wir auch den Hintergrund "mit schönen Worten zu erklären". Wir versuchen uns soweit möglich an gängige Standardnotation zu halten, um den Leser nicht unnötig zu verwirren.

Dieses Vorhaben mag gewagt sein, da es bereits eine Fülle wirklich guter Bücher zu diesem Thema gibt, jedoch versuchen wir diesem Konkurrenzproblem durch interessanten Stoff zu begegnen.
So wollen wir unter anderem auch auf De-Rham-Kohomologien und exakte Sequenzen eingehen, wenn uns die Motivation nicht verlässt, kommen vielleicht auch die Poincare-Dualität und der Hodge-Operator nicht zu kurz. Das ist zwar nicht mehr unbedingt Standardstoff, aber trotzdem höchst interessant.
Entstanden ist die Idee zu dieser Artikelserie aus der Ana3 Vorlesung von Prof. Weissauer in Heidelberg.

Es ist klar, dass der Leser zusätzlich Kenntnisse in Linearer Algebra, wie der einer Lineare Algebra 1 Vorlesung, mitbringen sollte.

• Wir werden mit der Konstruktion der sogenannten Graßmann Algebra der Differentialformen beginnen und wichtige Rechenregeln erstellen.
• Als nächstes führen wir dann der Begriff der äußeren Ableitung und des Pullbacks für Differentialformen ein.
• Damit erklären wir dann die Integration von Differentialformen und beweisen den Integralsatz von Stokes in einer Babyversion. Um das Kapitel noch etwas abzurunden, bringen wir auch noch das Poincaré Lemma.
• Nach etwas topologischer Vorarbeit (Partitionen der Eins) kommen dann im nächsten Kapitel die bereits oben erwähnten Mannigfaltigkeiten dran. Wir übertragen die Differentialformen auf den Mannigfaltigkeitsbegriff, erklären die Integration auf Mannigfaltigkeiten und beweisen schließlich den Stokeschen Integralsatz in der allgemeinen Form.
• Anschließend befassen wir uns noch etwas mit Kohomologien und kommen zum Schluss noch zu einer schwachen Form der Poincare Dualtität.
• Wenn wir dann noch Lust und Motivation verspüren sollten, schreiben wir eventuell auch noch etwas zum Hodge Operator, geben einen Ausblick auf den Satz von Hodge und führen Metriken auf Mannigfaltigkeiten ein.

Und nun wünschen wir Euch viel Spaß beim Lesen!

Inhaltsverzeichnis
1. Multilineare Algebra
2. Differentialformen

Euer Mirko und Konstantin