Mathematik: Topologische und metrische Räume
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Mathematik

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Topologische und metrische Räume - Teil I

Meistens macht man in der Analysis 2 die ersten Bekanntschaften mit metrischen oder topologischen Räumen. Begriffe wie Kompaktheit, offene und abgeschlossene Kugeln oder der Satz von Heine-Borel werden meistens zuerst eingeführt und einige Studenten sind mit diesen neuen Begriffen und der abstrakten Denkweise total überfordert. In diesem Artikel wollen wir versuchen, genau und "anschaulich" zu erklären, was man sich unter metrischen oder topologischen Räumen vorstellen kann und was man unter Überdeckungskompaktheit oder Folgenkompaktheit versteht. Kurz gesagt: Wir werden die wichtigsten Begriffe, die wir mit metrischen und topologischen Räumen verbinden, einführen, definieren und bedeutende und schöne Sätze beweisen. Klar ist aber auch, dass dieser Artikel nur eine erste Einführung darstellen soll und keinesfalls Anspruch auf Vollständigkeit erhebt. ;) Eine grobe Übersicht: §1 Metrische Räume §2 Topologische Räume §3 Normierte Vektorräume §4 Banachräume §5 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen §6 Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen §7 Sätze über stetige Abbildungen

Da die ganzen Themen für einen Artikel zu viel wären, planen wir insgesamt drei Artikel mit folgender Aufteilung: Topologische und metrische Räume I: §1 Metrische Räume 1.1 Was ist ein metrischer Raum? 1.2 Beispiele für Metriken und metrische Räume 1.3 Wichtige Begriffe 1.4 Ein paar nette Sätze §2 Topologische Räume 2.1 Was ist eine Topologie? 2.2 Beispiele für Topologien und topologische Räume 2.3 Ein paar Definitionen Topologische und metrische Räume II: §3 Normierte Vektorräume 3.1 Was ist ein Vektorraum? 3.2 Wie ist eine Norm definiert? §4 Banachräume 4.1 Banachraum - Was ist das? 4.2 Beispiel für Banachräume Topologische und metrische Räume III: §5 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen 5.1 Definition der Stetigkeit 5.2 Stetigkeitskriterium §6 Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen 6.1 Wie kann man die Stetigkeit zwischen topologischen Räumen definieren? 6.2 Beispiele §7 Sätze über stetige Abbildungen 7.1 Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen 7.2 Weitere wichtige Sätze über stetige Abbildungen

§1 Metrische Räume

1.1 Was ist ein metrischer Raum?

Wie euch sicherlich schon in der Analysis 1 aufgefallen sein sollte, untersucht man in der Analysis häufig Grenzwertprozesse. Hierfür ist ein adäquater Konvergenzbegriff von Nöten. Dafür müssen Abstände bzw. Abweichungen gemessen werden, z.B. wie weit bei einer Funktion der Form f: M -> N zwischen zwei Mengen M und N die Funktionswerte f(x) und f(y) von einander entfernt sind bzw. abweichen, wenn die Abweichungen von x und y in M bekannt sind. Genau dies erfüllt der Begriff der Metrik. Die genaue Definition lautet: \big\ (Definition einer Metrik)____ Sei M eine Menge. Eine Metrik__ ist eine Abbildung d: M\cross\ M ->\IR auf M\cross\ M, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind: i) \darkblue\ Positive Definitheit Für alle x, y\el\ M gilt d(x,y)>=0 Gleichheit gilt genau dann, wenn x=y. ii) \darkblue\ Symmetrie d(x,y)=d(y,x) \forall\ x, y\el\ M iii) \darkblue\ Dreiecksungleichung d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z) \forall\ x, y, z\el\ M Das Paar (M, d) nennt man einen (metrischen Raum)____. Für den ein oder anderen mag diese Definition schon etwas kompliziert klingen. Die Idee dahinter ist aber mehr als simpel. Füllen wir die Definition doch mal mit Leben. Stellt euch vor ihr steht gerade an eurer Universität am Haupteingang, z.B. in Hannover. i) Dieses Axiom fordert, dass der Abstand von euch zu irgendeinem Ort immer eine positive reelle Zahl ist und dass der Abstand von euch zu euch selbst Null ist. ii) besagt nichts anderes als dass der Abstand von eurer Universität (z.B. Hannover) zu einer anderen Universität, z.B. München genauso groß ist wie der Abstand von der Universität München nach Hannover. iii) Die Dreiecksungleichung kann man sich so verdeutlichen: Wenn ihr auf dem Weg von Hannover nach München einen Umweg über Berlin macht, müsst ihr euch nicht wundern, wenn ihr länger unterwegs seid. Solche und ähnliche lustige, aber hilfreiche Erklärungen finden sich in [1].

1.2 Beispiele für Metriken und metrische Räume

Ich wette, dass jeder von euch einen metrischen Raum kennt. Dass euch der Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes schon vertraut sein sollte, zeigt Beispiel 1. Wir werden im Folgenden ein paar Beispiele angeben, die ebenfalls zeigen sollen, wie man in Übungsaufgaben Metrikeigenschaften nachweist. \big\ Beispiel 1: Die Menge der reellen Zahlen mit der Abstandsmetrik d(x,y):=abs(x-y) bilden einen metrischen Raum. \big\ Beispiel 2: Die Metrik aus Beispiel 1 kann man sehr leicht auf den \IR^n=\IR\cross\ ...\cross\ \IR übertragen. Für x=(x_1, ..., x_n) und y=(y_1, ..., y_n) \el\ \IR^n setzen wir norm(x):=sqrt((x_1)^2+...+(x_n)^2). Dann ist d(x,y):=norm(x-y) eine Metrik. Als Übungsaufgabe solltet ihr die Axiome, die für eine Metrik gelten müssen, nachprüfen. Positive Definitheit und Symmetrie bekommt ihr fast geschenkt, nur die Dreiecksungleichung erfordert etwas mehr Arbeit. Spätestens wenn wir die Norm im zweiten Artikel dieser Serie einführen, werden wir euch sozusagen eine Lösung präsentieren. \big\ Beispiel 3: Sei M eine beliebige Menge. Die Abbildung d: M\cross\ M->\IR mit d(x,y):=cases(0,x=y;1,x!=y) definiert eine Metrik auf M. Man bezeichnet sie als die \big\ diskrete Metrik. \big\ Beispiel 4: In Analogie zu Beispiel 2 definiert d(x,y):=sqrt(sum((x_k-y_k)^2,k=1,n)) auf der Menge M:=\IR^n mit der Abbildung d:\IR^n\cross\ \IR^n->\IR eine Metrik. Auch sie hat einen besonderen Namen, man nennt sie die \big\ euklidische Metrik. \big\ Beispiel 5: Sei auch hier M=\IR^n. Die Metrik d(x,y):=max_(k=1,...,n) abs(x_k-y_k) heißt \big\ Maximumsmetrik. Wenn wir den Begriff der Norm kennen, werden wir eine "Verallgemeinerung" dieser Metrik auf den Vektorraum der stetigen reellen Funktionen kennenlernen, nämlich die Maximumsnorm oder Supremumsnorm. Dazu aber im zweiten Artikel mehr. \big\ Beispiel 6: Mit diesem Beispiel wollen wir zeigen, wie ihr bei Übungsaufgaben vorgehen müsst, um zu zeigen, dass eine gewisse Abbildung eine Metrik definiert. Es ist klar, was ihr zu tun habt. Ihr müsst die positive Definítheit, die Symmetrie und die Dreiecksungleichung nachweisen. Zeige, dass auf \IR_(>0):=(0, \inf ) durch d: \IR_(>0)\cross\ \IR_(>0)->\IR: d(x,y):=abs(x-y)/xy eine Metrik definiert wird. Positive Definitheit und Symmetrie sind geschenkt. :) Nur die Dreiecksungleichung erfordert etwas Arbeit. Dies sieht man so ein: Bedenke, dass wir zeigen müssen, dass d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y): d(x,z)+d(z,y)=abs(x-z)/xz+abs(z-y)/yz >=abs((x-z)/xz+(z-y)/yz) =abs((xy-yz+xz-xy)/(xyz))= abs((z(x-y))/(xyz))= abs(x-y)/xy=d(x,y) \bigbox

1.3 Wichtige Begriffe

Wir geben nun eine Menge an neuen Begriffen, die euch bestimmt nicht sofort im Gedächtnis bleiben und die ihr erst nach mehrfachem Lesen und Überlegen nachvollziehen könnt. Aber glaubt mir, das wird. :) \big\ Offene und abgeschlossene Kugel: Sei (M, d) ein metrischer Raum, x_0\el\ M und r>0. Die Menge U(x_0,r):=menge(x \el\ M: d(x,x_0)0 vor. Die offene Kugel beinhaltet dann alle Punkte, die von dem Mittelpunkt x_0 einen Abstand kleiner als r haben. Sie liegen also sozusagen alle innerhalb des Kreises und nicht auf dem Rand. Analog verdeutlicht euch die abgeschlossene Kugel, man sagt auch abgeschlossener Ball, als Kreis, bei dem der Rand "dazugehört". Graphisch sieht das so aus: Offene und abgeschlossene Kugel Das Gestrichelte im linken Bild soll andeuten, dass die Randpunkte nicht dazu gehören. Hier ist Platz für eine kleine \red\ \big\ Warnung: Man darf sich die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln nicht als Kugeln in dem Sinne vorstellen, wie der Begriff in unserem Sprachgebrauch benutzt wird. Um das zu verdeutlichen, zeichnet doch mal die Kugeln in der diskreten Metrik auf dem \IR^2 oder in der Produktmetrik (mit M=N=\IR und jeweils euklidischer Metrik auf M und N). Wir wollen hier für die Normen abs(*)_1:=sum( abs(x_k),k=1,n), abs(*)_2:=(sum((x_k)^2,k=1,n))^(1/2) und abs(*)_(\inf ):=max_(1<=k<=n) abs(x_k) im \IR^2 die Einheitskugeln B(0,1)=menge(x: abs(*)_p <=1) mit p=1, 2, \inf skizzieren. Die Metrik dazu entsteht jeweils wie in Beispiel 2 oben. Metrik 1 Dieses Bild zeigt die Einheitskugel der Metrik, die aus der Norm abs(*)_1:=sum( abs(x_k),k=1,n) hervorgeht. Alles andere als eine Kugel, oder? Metrik 2 Diese Abbildung zeigt eine Skizze der Einheits"kugel" zur Norm abs(*)_2:=(sum((x_k)^2,k=1,n))^(1/2). Metrik 3 Und schließlich die Norm abs(*)_(\inf ):=max_(1<=k<=n) abs(x_k). Machen wir weiter mit den Definitionen: \frame\black\big\ Definition der Umgebung: Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U\subset\ M heißt Umgebung__ eines Punktes x\el\ M, falls ein \epsilon>0 existiert, so dass U(x,\epsilon)\subset\ U. Insbesondere ist U(x,\epsilon) selbst eine Umgebung von x. Man nennt U(x,\epsilon) die (\epsilon-Umgebung)__. Umgebung \frame\black\big\ Definition einer offenen Menge: Eine Menge \Omega\subset\ M eines metrischen Raums (M, d) heißt (offen)__, genauer (d-offen)__, wenn zu jedem x\el\ \Omega ein \epsilon>0 existiert, so dass U(x,\epsilon)\subset\ \Omega. Wie kann man sich das also vorstellen? Eigentlich ganz einfach, wenn man den Begriff der Umgebung verstanden hat. Malen wir uns mal ein Bildchen, und schauen, was diese Definition sagt: Sie sagt einfach nur, dass eine Menge offen heißt, wenn zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung existiert, d.h. zu jedem Punkt kann man so eine offene Kugel finden, sodass diese noch in der Menge liegt. Offene Menge \frame\black\big\ Definition der abgeschlossenen Menge: Eine Menge A\subset\ M heißt abgeschlossen__, wenn das Komplement M\\A offen ist. Dies bedarf keiner großen Erklärung. Wenn man also zeigen möchte, dass eine Menge abgeschlossen ist, zeigt man einfach, dass das Komplement offen ist. Und wie man das macht, werden wir uns an ein paar Beispielen etwas später noch genauer anschauen. Noch eine wichtige (Anmerkung:)__ Wählen wir als Raum X z.B. die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3] mit euklidischer Metrik, so sind in diesem Raum die Teilmengen [0,1] und [2,3] beide sowohl offen, als auch abgeschlossen. Außerdem ist in einem metrischen Raum die zugrundeliegende Gesamtmenge ebenso wie die leere Menge stets sowohl offen als auch abgeschlossen. Mengen können also durchaus beide Eigenschaften besitzen. \big\ Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen. Dies wollen wir nun \stress\ beweisen: Dies ist erstaunlich einfach. Gegeben sei ein metrischer Raum (M, d) und zwei offene Mengen \Omega_1 und \Omega_2. Wir wollen nun zeigen, dass \Omega_1 \cut\ \Omega_2 offen ist. Was bedeutet es nun, dass \Omega_1 und \Omega_2 offen sind? Ganz einfach: Nach Definition bedeutet das, dass \epsilon_1 und \epsilon_2>0 existieren mit U(x,\epsilon_1)\subset\ \Omega_1 und U(x,\epsilon_2)\subset\ \Omega_2. Wählen wir nun \epsilon:=min{\epsilon_1, \epsilon_2 }, so gilt doch U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_1\cut\ \Omega_2. Damit haben wir also gezeigt, dass \Omega_1\cut\ \Omega_2 offen ist. Induktiv folgt dann die Behauptung. Stimmt es denn, dass der Durchschnitt von beliebig vielen, also z.B. von unendlich vielen offenen Mengen wieder offen ist? Wenn man eine Aussage widerlegen will, dann konstruiert man einfach ein Gegenbeispiel. Machen wir dies also: cut((-1/n, 1/n),n\el\ \IN)={0}, aber {0} ist nicht offen, wie man sich leicht überlegt. Daher ist der Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen im Allgemeinen nicht__ wieder offen. \big\ Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen. \stress\ Beweis: Sei I eine beliebige Indexmenge und für jedes \alpha\el\ I sei \Omega_\alpha eine offene Teilmenge. Ist x\el\ union(\Omega_\alpha,\alpha\el\ I), so existiert ein \alpha\el\ I mit x\el\ \Omega_\alpha und dann auch ein \epsilon>0 mit U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_\alpha. Daraus folgt nun, dass U(x,\epsilon)\subset\ union(\Omega_\alpha,\alpha\el\ I). Damit folgt die Behauptung. Dasselbe Spielchen können wir nun auch mit abgeschlossenen Mengen spielen. Hier ist es "umgekehrt", wie wir gleich sehen werden: \big\ Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. \stress\ Beweis: Sei (M, d) ein metrischer Raum und seien U_0, U_1, ..., U_n mit n\el\ \IN abgeschlossene Mengen mit U_i \subset\ M für alle i=1, ..., n. Dann sind die Komplemente M\\U_0, M\\U_1, ..., M\\U_n offene Mengen. Nun wissen wir ja bereits, dass der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist, d.h. cut(M\\U_i,i=1,n) ist eine offene Menge und aus den Regeln von de Morgan folgt nun, dass cut(M\\U_i,i=1,n)=M\\ union(U_i,i=1,n). Also ist die Menge union(U_i,i=1,n) abgeschlossen. Daraus folgt die Behauptung. \big\ Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. \stress\ Beweis: Sei (M, d) ein metrischer Raum und seien U_0, U_1, ... beliebig viele abgeschlossene Mengen mit U_i \subset\ M für alle i\el\ I, wobei I eine beliebige Indexmenge ist. Dann sind die Komplemente M\\U_0, M\\U_1, ... offene Mengen. Nun wissen wir ja bereits, dass die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist, d.h. union(U_i,i\el\ I) ist eine offene Menge und aus den Regeln von de Morgan folgt nun, dass union(U_i,i\el\ I)=M\\ cut(U_i,i\el\ I). Also ist die Menge cut(U_i,i\el\ I) abgeschlossen. Daraus folgt die Behauptung. Die Vereinigung von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist im Allgemeinen aber nicht__ wieder abgeschlossen, wie das Gegenbeispiel union(([ 1/n, 1-1/n]),n\el\ \IN\\{1},)=(0,1) zeigt, denn (0,1) ist ein offenes__ Intervall, das nicht abgeschlossen ist. (bzgl. der Standardmetrik) \frame\black\big\ Hausdorffsche Trennungseigenschaft: Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gibt es zu je zwei beliebigen Punkten x, y\el\ M mit x!=y Umgebungen U von x und V von y, die punktfremd sind, d.h. U\cut\ V=\0. \stress\ Beweis: Sei \epsilon:=1/3*d(x,y). Dann ist \epsilon>0 und U:=U(x,\epsilon), V:=U(y,\epsilon) sind punktfremde Umgebungen von x bzw. y. Denn gäbe es einen Punkt z\el\ U\cut\ V, so würde mit der Dreiecksungleichung folgen 3\epsilon=d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)<\epsilon+\epsilon=2*\epsilon, also 3*\epsilon<2\epsilon. Dies ist ein Widerspruch. Damit folgt die Behauptung. \bigbox Das folgende Bild verdeutlicht den Satz nochmal. Hausdorffscher Raum Wir wollen nun einige Definitionen in metrischen Räumen geben, die euch schon aus der Analysis I bekannt sein sollten. Denn auch in metrischen Räumen und das ist ja gerade die Stärke dieser Räume, können wir die Konvergenz definieren. Wir verallgemeinern halt nur. \frame\black\big\ Definition der Konvergenz: Sei ((x_n))_(n \el\ \IN) eine Folge in M. Dann nennt man die Folge konvergent__ gegen den Punkt x \el\ M genau dann, wenn folgendes gilt: \forall\ \epsilon>0 \exists\ N\el\ \IN: d(x_n,x)<\epsilon \forall\ n>=N x heißt in diesem Fall Grenzwert__ der Folge. In Worten: Für alle \epsilon>0 existiert ein N\el\ \IN mit der Eigenschaft, dass d(x_n,x)<\epsilon für alle n>=N. Als Erläuterung stelle man sich folgendes vor: Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Folge in M. Die Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) konvergiert gegen x\el\ M, wenn lim(n->\inf,d(x_n,x))=0. Wir schreiben lim(n->\inf,x_n)=x. Hierzu muss aber noch gesagt werden, dass der Limes sich auf die Konvergenz bezüglich der euklidischen Metrik in \IR bezieht. \frame\black\big\ Definition des Häufungspunktes: Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ M eine Folge. Ein Punkt x\el\ M heißt Häufungspunkt__ der Folge ((x_n))_(n\el\ \IN), wenn es eine konvergente Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN) gibt, die gegen x konvergiert. \frame\black\big\ Definition der Cauchy-Folge: Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ M eine Folge. Wir sagen ((x_n))_(n\el\ \IN) ist eine (Cauchy-Folge)__, wenn es zu jedem \epsilon>0 ein N \el\ \IN gibt, sodass d(x_m,x_n)<\epsilon für alle m,n>=N. \frame\black\big\ Vollständigkeit: Ist K eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raums (M, d). Dann heißt K vollständig__, wenn jede Cauchyfolge ((x_n))_(n\el\ \IN) \subset\ K auch einen Grenzwert in K besitzt. Ist M selbst eine vollständige Menge, so heißt der metrische Raum vollständig. Nun weiter im eigentlichen Thema. Wir wollen nun ein paar weitere Definitionen geben. \frame\black\big\ Definition des Randes: Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Ein Punkt x\el\ M heißt Randpunkt__ von A, wenn für jedes \epsilon>0 sowoh U(x,\epsilon)\cut\ A!=\0 und U(x,\epsilon)\cut\ (M\\A)!=\0. Wir setzen \delta A:=menge(x\el\ M: x ist Randpunkt von A). Der Rand ist also die Menge aller Randpunkte. Verdeutlichen wir dies uns mal ein einem Bild. Ich denke, dann sollte alles klar sein. Rand einer Menge \frame\black\big\ Definition des Inneren: Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Das Innere__ von A ist definiert als A^( \circ\ ) :=A \\ \delta A. Es ist also die Menge ohne den Rand. Das Innere einer Mengen \frame\black\big\ Definition des Abschluss: Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Der Abschluss__ von A ist definiert als A^(-):=A \union\ \delta A. Der Abschluss einer Menge Wir wollen im Folgenden ein paar Kompaktheitsdefinitionen geben. Der Begriff der Kompaktheit ist euch bestimmt schon in der Analysis 1 begegnet. Ein Intervall konnte dort kompakt sein, wenn es abgeschlossen und beschränkt war. Dass man hier vorsichtig sein muss und was wir unter der Kompaktheit im topologischen Sinne genau verstehen, dies wollen wir nun erläutern. \frame\black\big\ Offene Überdeckung: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine beliebige Teilmenge. Sei weiterhin I eine beliebige Indexmenge und bezeichnen wir mit O die Menge aller offenen Teilmengen. Eine (offene Überdeckung)__ ((\Omega_i))_(i\el\ I) von K ist eine Familie von offenen Teilmengen \Omega_i, deren Vereinigung unser K umfasst, d.h. \Omega_i \el\ O für alle i\el\ I und K\subset\ union(\Omega_i,i\el\ I). Auch dies macht man sich anschaulich sehr schnell klar. Wenn es möglich ist K durch offene Mengen zu überdecken, dann besitzt K eine offene Überdeckung. Schaut euch das folgende Bild an: Offene Überdeckung \frame\black\big\ Überdeckungskompakt: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine Teilmenge. K heißt überdeckungskompakt, wenn es zu (jeder beliebig vorgegebenen)__ offenen Überdeckung ((\Omega_i))_(i\el\ I) eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. eine endliche Teilmenge E\subset\ I, so dass K\subset\ union(\Omega_i,i\el\ E). Diese Definition wird oft falsch verstanden. Es bedeutet nicht__, dass man K überdeckungskompakt nennt, wenn man K durch eine endliche Anzahl von offenen Mengen überdecken kann. Denn das ist sowieso immer möglich, nämlich durch die Menge selbst. Es bedeutet, dass zu jeder (beliebig vorgegebenen)__ offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existieren muss! \frame\black\big\ Folgenkompaktheit: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine beliebige Teilmenge. Wir sagen K ist folgenkompakt__, wenn jede Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) eine konvergente Teilfolge in K besitzt, d.h. wenn der Grenzwert wieder in K liegt. \stress\ Hier muss natürlich vorausgesetzt werden, dass überhaupt ein Grenzwert in K existiert. \frame\black\big\ Total beschränkt: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine Teilmenge. K heißt (total beschränkt)__, wenn es zu jedem \epsilon>0 eine endliche Anzahl von Punkten x_1, ..., x_n\el\ K und n=n(\epsilon)\el\ \IN gibt mit K\subset\ union(U(x_i,\epsilon),i=1,n). Klingt vielleicht erstmal kompliziert. Aber schauen wir uns genau an, was dort eigentlich steht. Dort steht eigentlich nichts anderes, als dass man eine Menge K total beschränkt nennt, wenn es möglich ist K durch eine endliche__ Anzahl an offenen Bällen mit vorgegebenem Maximalradius zu überdecken. Folgendes Bild soll zum Verständnis beitragen. Total beschränkt Während bei der offenen Überdeckung beliebig viele offene Bälle die Menge überdecken können, wird hier gefordert, dass endlich viele reichen müssen. \frame\black\big\ Definition der Beschränktheit: Beschränkt im metrischen Sinne bedeutet die Existenz eines Punktes, der eine r-umgebung (mit selbstverständlich endlichem r) besitzt, die die Menge komplett umfasst. Hier gibt es aber einen Unterschied, z.B. ist ein unendlicher Raum mit diskreter Metrik zwar beschränkt, aber niemals total beschränkt. Nun haben wir verschiedene Begriffe für Kompaktheit. In Abschnitt 1.4 werden wir durch den sehr wichtigen Satz von Heine-Borel zeigen, dass diese äquivalent sind. Wenn ihr also zeigen sollt, dass eine Menge kompakt ist, dann könnt ihr euch aussuchen, ob ihr zeigt, dass sie folgenkompakt oder überdeckungskompakt ist. Dennoch sollte man natürlich von Fall zu Fall unterscheiden, was einfacher ist. Dazu aber später mehr.

1.4 Ein paar nette Sätze

Wir wollen nun die neuen Begriffe und Definitionen einüben, indem wir einige Sätze beweisen, die äußerst interessant sind. Den krönenden Abschluss wird der Satz von Heine-Borel machen. \big\ Lemma 1: Offene Bälle U(x_0,r) in einem metrischen Raum (M, d) sind offen. \stress\ Beweis: Anmerkung: Es wäre durchaus blöd, wenn dies nicht so wäre, denn dann würde eine offene Kugel den Namen "offen" doch gar nicht verdienen. Also schnell ran ans Werk, um die Würde der offenen Bälle zu retten. Was müssen wir eigentlich tun? Wir müssen uns einen beliebigen Punkt x aus der offenen Kugel U(x_0,r) vorgegeben und eine weitere offene Kugel U(x,\epsilon) definieren, sodass U(x,\epsilon)\subset\ U(x_0,r) ist. Das einzige, was wir zu tun haben, ist also die Angabe von \epsilon. Aber nochmal strukturierter: Sei x\el\ U(x_0,r). Weiterhin definieren wir \epsilon:=r-d(x,x_0). Dann ist \epsilon>0 und U(x,\epsilon)\subset\ U(x_0,r), denn für y\el\ U(x,\epsilon) gilt wegen der Dreiecksungleichung d(y,x_0)<=d(y,x)+d(x,x_0)<\epsilon+d(x,x_0)=\epsilon-\epsilon+r=r. Wir haben also U(x,\epsilon)\subset\ U(x_0,r) und damit ist gezeigt, dass U(x_0,r) offen ist. \bigbox Die größte Leistung bei diesem Beweis besteht also nur darin, das \epsilon geschickt zu wählen. Wie sind wir darauf gekommen? Na, schaut euch mal folgendes Bild an, dann sollte es klar werden: Offene Bälle sind offen \darkblue\ Übungsaufgabe: Zeige, dass abgeschlossene Bälle abgeschlossen sind. \big\ Satz 1: Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A\subset\ M ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes x\el\ M, welches Grenzwert einer Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A ist, sogar schon in A liegt. \stress\ Beweis: Wir haben zwei Richtungen zu beweisen. "=>": Sei A abgeschlossen, d.h. M\\A offen. Nach Definition der Offenheit gibt es zu jedem x\el\ M\\A ein \epsilon>0 mit U(x,\epsilon)\subset\ M\\A. Sei weiter ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A eine Folge. Dann gilt x_n\notel\ U(x,\epsilon) für alle n\el\ \IN und die Folge kann daher nicht gegen x konvergieren. "<==": Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wäre A nicht abgeschlossen, d.h. M\\A nicht offen, so gäbe es ein x\el\ M\\A mit der Eigenschaft, dass für kein n\el\ \IN die Inklusion U(x,1/n)\subset\ M\\A richtig wäre. Zu n\el\ \IN existiert also ein x_n\el\ A\cut\ U(x,1/n). Dann konvergiert die Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) gegen x, denn d(x_n,x)<1/n. Nach Voraussetzung liegt der Grenzwert aber wieder in A. Das ist ein Widerspruch. Die Behauptung ist damit gezeigt.\bigbox \big\ Korollar 1: Jede endliche Teilmenge eines metrischen Raums (M, d) ist abgeschlossen. \bigbox \big\ Satz 2: Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Dann sind der Rand \delta A, der Abschluss A^(-) abgeschlossen und das Innere A^( \circ\ ) offen. \stress\ Beweis: \darkblue\ Der Rand \delta A ist abgeschlossen. Um zu zeigen, dass \delta A abgeschlossen ist, müssen wir zeigen, dass M\\\delta A offen ist. Sei x\el\ M\\\delta A beliebig. D.h. x ist kein Randpunkt. Daher existiert ein offener Ball U(x,r), so dass U(x,r)\cut\ A =\0 oder U(x,r)\cut\ (M\\A) =\0 gilt. Nun zeigen wir, dass für dieses r dann auch U(x,r)\cut\ \delta A =\0 gilt. Dies sieht man so ein: Wäre y\el\ U(x,r)\cut\ \delta A, so würde wegen der Offenheit von U(x,r) zunächst ein \epsilon>0 mit U(y,\epsilon)\subset\ U(x,r) existieren. Da dann aber U(y,\epsilon) wegen y\el\ \delta A und nach Definition des Randes sowohl einen Punkt aus A, als auch einen Punkt aus M\\A enthielte, träfe dies auch auf U(x,r) zu. Dies ist aber ein Widerspruch. Daher gilt U(x,r)\cut\ \delta A=\0. Es folgt nun, dass U(x,r)\subset\ M\\\delta A. Damit haben wir gezeigt, dass M\\\delta A offen und folglich \delta A abgeschlossen ist. \darkblue\ Der Abschluss (A\union\ \delta A) ist abgeschlossen. Wir zeigen also, dass M\\(A\union\ \delta A) offen ist. Dazu sei x\el\ M\\(A\union\ \delta A) beliebig. Es gilt nun nach einfachen mengentheoretischen Aussagen M\\(A\union\ \delta A) \subset\ M\\A und damit auch x\el\ M\\A. x ist aber kein Randpunkt, also muss eine offene Kugel U(x,r) mit U(x,r)\cut\ A=\0 existieren, also U(x,r)\subset\ M\\A. Wie im ersten Teil folgt U(x,r)\cut\ \delta A=\0 und damit ist U(x,r)\subset\ (M\\A)\\\delta A=M\\(A\union\ \delta A). Also ist M\\(A\union\ \delta A) offen und (A\union\ \delta A) abgeschlossen. \darkblue\ Das Innere A^( \circ\ ) ist offen. Wir definieren B:=M\\A. Auf diese Mengen wenden wir nun das eben Bewiesene an. Es ergibt sich, dass B^(_) abgeschlossen ist. Da nun aber auch \delta (M\\A)=\delta A, ist B^(_)=B\union\ \delta B=(M\\A)\union\ \delta A=M\\(A^( \circ\ )). Also ist A^( \circ\ )=M\\B^(-) offen. Wir sind fertig.\bigbox Nun kommen wir endlich zum \big\ \red\ Satz von Heine-Borel: \big\ Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann sind für eine Teilmenge K\subset\ M die folgenden Aussagen äquivalent. \big\ i) K ist überdeckungskompakt. \big\ ii) K ist folgenkompakt. \big\ iii) K ist total beschränkt und vollständig. Dieser Satz beantwortet nun endlich die oben gestellte Frage, ob die definierten Kompaktheitsbegriffe äquivalent sind. Der Beweis ist etwas länger, ich habe ihn aus [2] mit leichten Modifizierungen übernommen. \stress\ Beweis: Einige Implikationen sind zu beweisen. \big\ i)=>ii): Sei K überdeckungskompakt, d.h. zu jeder beliebig vorgegebenen Überdeckung existiert eine endliche Teilüberdeckung. Wir haben zu zeigen, dass K folgenkompakt ist. Dazu sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Folge. Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wenn ((x_n))_(n\el\ \IN) keine in K konvergente Teilfolge besitzen würde, so existiere zu jedem x\el\ K ein r=r(x)>0, so dass U(x,r(x)) nur noch endlich viele Folgenglieder von ((x_n))_(n\el\ \IN) enthält. Da dann aber K\subset\ union(U(x,r(x)),x\el\ K) und K überdeckungskompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge E\subset\ K mit K\subset\ union(U(x,r(x)),x\el\ E). Das kann aber nicht sein, da in wenigstens einer dieser endlich vielen Mengen unendlich viele Folgenglieder von ((x_n))_(n\el\ \IN) liegen müssten. Damit ist die erste Implikation bewiesen. \big\ ii)=>iii): Sei K folgenkompakt. Wir haben zu zeigen, dass K a) total beschränkt und b) vollständig ist. Ran ans Werk: Erstmal merken wir an, dass aus der Dreiecksungleichung ganz allgemein folgt, dass Cauchy-Folgen schon dann konvergent sind, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzen und dieser Grenzwert stimmt dann auch mit dem Grenzwert der konvergenten Teilfolge über ein. Sei ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Cauchy-Folge. Wegen der Folgenkompaktheit existiert eine in K konvergente Teilfolge. Mit obiger Bemerkung folgt, dass K vollständig ist. Zeigen wir nun noch, dass K total beschränkt ist; und zwar durch einen kleinen Widerspruchsbeweis. Angenommen, K wäre nicht total beschränkt. Dann existiert ein \epsilon>0, so dass K nicht von endlich vielen U(x_i,\epsilon) mit x_i\el\ K, i\el\ E, wobei E eine endliche Menge ist, überdeckt werden kann. Sei x_1\el\ K beliebig. Induktiv definieren wir eine Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ K mit d(x_i,x_j)>=\epsilon für alle i!=j\el\ \IN. Dies können wir machen, denn nach Annahme existiert für jede Auswahl von n Punkten x_1, ..., x_n\el\ K noch Punkte x\el\ K mit x\notel\ union(U(x_i,\epsilon),i=1,n). Wir wählen jetzt für x_(n+1) irgendeinen Punkt aus der Menge K\\(union(U(x_i,\epsilon),i=1,n)) aus. Die auf diese Weise erhaltene folge muss wegen der Folgenkompaktheit eine konvergente Teilfolge besitzen. Dies ist aber ein Widerspruch zu d(x_i,x_j)>=\epsilon. Daraus folgt, dass K total beschränkt ist. Zweite Implikation fertig. Wollen wir einen Ringschluss durchführen, so brauchen wir nur noch \big\ iii)=>i) zu zeigen. Also los: Sei K total beschränkt und vollständig. Wir zeigen, dass K dann auch überdeckungskompakt ist. Ebenfalls wieder durch einen Widerspruchsbeweis. Angenommen K wäre nicht überdeckungskompakt. Dann existiert eine offene Überdeckung (U_i)_(i\el\ I) von K, welche keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Sei \eta>0. Weil K total beschränkt ist, existieren eine endliche Menge E und Punkt \xi_i\el\ K mit i\el\ E und K\subset\ union(B(\xi_i,\eta),i\el\ E). Dann existiert aber wenigstens ein i\el\ E, so dass auch K\cut\ B(\xi_i,\eta) nicht durch endlich viele der U_i überdeckt wird, d.h. auch nicht überdeckungskompakt ist. Denn (U_i)_(i\el\ I) ist natürlich eine offene überdeckung von K\cut\ B(\xi_i,\eta). Auf diese Weise erhalten wir nun iterativ eine Folge ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ K mit der Eigenschaft, dass K\cut\ B(x_n,1/2^n) nicht durch endlich viele der U_i überdeckt wird und K\cut\ B(x_(n+1),1/2^(n+1))\subset\ K\cut\ B(x_n,1/2^n). Wegen dieser Inklusion gilt dann insbesondere d(x_n, x_(n+1))<=1/2^n für alle n\el\ \IN und hieraus folgt, dass ((x_n))_(n\el\ \IN) eine Cauchy-Folge ist. Da K nach Voraussetzung vollständig ist, konvergiert sie gegen ein x\el\ K. Hierzu gibt es ein \alpha_x\el\ I mit x\el\ U_\alpha_x. Da U_\alpha_x offen ist, existiert ein \el\ >0, so dass B(x,\epsilon)\subset\ U_\alpha_x. Da ((x_n))_(n\el\ \IN) gegen x konvergiert, existiert ein n_0\el\ \IN, so dass d(x_n,x)<\epsilon/2 für alle n>=n_0. Für y\el\ B(x_n,1/2^n) mit n>=n_0 folgt aus der Dreiecksungleichung d(y,x)<=d(y.x_n)+d(x_n,x)<=1/2^n+\epsilon/2. Wählen wir daher n_1\el\ \IN so groß, dass 1/2^(n_1)<\epsilon/2, so gilt für alle n>=max{n_0, n_1 } die Inklusion B(x_n,1/2^n)\cut\ K\subset\ B(x,\epsilon)\subset\ U_\alpha_x. Dies ist nun aber der gesuchte Widerspruch zur Konstruktion der B(x_n,1/2^n). Damit folgt, dass K überdeckungskompakt ist. Und damit hätten wir den Satz von Heine-Borel bewiesen. \bigbox \frame\black\big\ Definition Kompaktheit: Eine Teilmenge K\subset\ M eines metrischen Raums (M, d) heißt kompakt__, wenn eine der äquivalenten Bedingungen im Satz von Heine-Borel erfüllt sind. \big\ Lemma 2: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M kompakt. Dann ist jede abgeschlossene Menge A\subset\ K auch kompakt. \stress\ Beweis: Wir zeigen, dass A folgenkompakt ist. Sei ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ A eine Folge. Da K kompakt, also insbesondere folgenkompakt ist und A\subset\ K eine Teilmenge von K ist, existiert eine Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN), die gegen ein x\el\ K konvergiert. Da nun A abgeschlossen ist folgt mit Satz 1, dass x\el\ A. Also ist A folgenkompakt und nach Heine-Borel kompakt.\bigbox \big\ Korollar 2: Sei \IR^n mit der Standardmetrik versehen. Dann ist eine Teilmenge K\subset\ \IR^n genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. \big\ \red\ Vorsicht! Dass hier ein wenig Vorsicht geboten ist, zeigt der Artikel unter [3]. \stress\ Beweis: "=>": Sei K kompakt, insbesondere vollständig und total beschränkt. Da vollständige Mengen abgeschlossen und total beschränkte Mengen beschränkt sind, folgt die Behauptung. "<==": Sei K\subset\ \IR^n beschränkt und abgeschlossen. Dann existiert ein R>0, so dass K\subset\ B(0,R). Da K abgeschlossen ist, gen+gt es nach Lemma 2 zu zeigen, dass B(0,R) kompakt ist. Sei hierzu ((x_n))_(n\el\ \IN)\subset\ B(0,R) eine Folge. Schreiben wir x_k=((x_k)^1, ..., (x_k)^n), k\el\ \IN, so erhalten wir wegen norm(x_k)^2=sum(((x_k)^i)^2,i=1,n)<=R^2 insgesamt n beschränkte Folgen in \IR. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert daher eine konvergente Teilfolge ((y_n))_(n\el\ \IN) von ((x_n))_(n\el\ \IN), so dass ((y_n)^1)_(n\el\ \IN), d.h. die erste Komponenten von ((y_n))_(n\el\ \IN), konvergiert. Nach Auswahl einer weiteren Teilfolge ((z_n))_(n\el\ \IN) von ((y_n))_(n\el\ \IN) erhält man dann eine Teilfolge, bei der die ersten beiden Koordinantenfolgen ((z_n)^1)_(n\el\ \IN), ... konvergieren. Iterativ erhalten wir eine Teilfolge (((x^~)_n))_(n\el\ \IN) von ((x_n))_(n\el\ \IN), bei der sämtliche Koordinatenfolgen in \IR konvergieren. Da eine Folge genau dann bzgl. norm(*) konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen in \IR konvergieren, ist (((x^~)_n))_(n\el\ \IN) somit eine konvergete Teilfolge von ((x_n))_(n\el\ \IN). Ferner ist norm((x^~)_k)^2<=R^2 für alle k\el\ \IN und daher auch mit den Grenzwertsätzen norm(lim(k->\inf,(x^~)_k))^2=lim(k->\inf,norm((x^~)_k)^2)<=R^2. Dies impliziert lim(k->\inf,(x^~)_k)\el\ B(0,R) und daher ist B(0,R) kompakt.\bigbox

§2 Topologische Räume

2.1 Was ist eine Topologie?

Es ist möglich, einen abstrakteren Begriff eines Raumes zu definieren. Wir hatten ja durchaus gesehen, dass sich gewisse Eigenschaften von metrischen Räumen nur durch offene Mengen beschreiben lassen. Dies wollen wir nun ausnutzen. Wir definieren: \frame\black\big\ Definition eines topologischen Raumes: Sei M eine Menge und O\subset\ \wp(M) ein System von Teilmengen von M. O heißt eine Topologie__ auf M und das Paar (M, O) ein (topologischer Raum)__, wenn folgende Axiome erfüllt sind: a) \0, M\el\ O \darkblue\ Die leere Menge und Menge selbst gehören zur Topologie b) \Omega_1, \Omega_2\el\ O => \Omega_1\cut\ \Omega_2\el\ O. \darkblue\ D.h. wenn zwei Mengen zur Topologie gehören, dann auch deren Durchschnitt. c) Ist I eine beliebige Indexmenge und sind ((\Omega_i))_(i\el\ I) Elemente von O, dann ist auch union(\Omega_i,i\el\ I)\el\ O. \darkblue\ Das bedeutet nichts anderes als dass die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist. Auch hier gibt es den Begriff der Offenheit. Die Definition liegt auf der Hand: \frame\black\big\ Definition der offenen Menge: Sei (M, O) ein topologischer Raum. Dann nennt man eine Teilmenge \Omega\subset\ M offen__, wenn \Omega\el\ O. \frame\black\big\ Definition der abgeschlossenen Menge: Eine Menge A\subset\ M heißt abgeschlossen__, wenn das Komplement M\\A offen ist. Auch die Begriffe "Umgebung" oder "Basis" können wir sehr leicht definieren und uns an die Definitionen in metrischen Räumen orientieren. \frame\black\big\ Definition der Umgebung: Sei (M, O) ein topologischer Raum. Ist p\el\ M, so heißt \Omega\el\ O eine (offene Umgebung)__ von p, wenn p\el\ \Omega. \frame\black\big\ Definition der Basis: Ist B\subset\ O ein System offener Teilmengen, so nennen wir B eine Basis von (M, O), wenn sich jede offene Menge \Omega\el\ O als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt. Wem dies nichts zu sagt, der denke einfach an den Begriff der Basis aus der Lina 1 und übertrage diese Vorstellung entsprechend. :) \big\ Eine Topologie ist also ein System von Teilmengen bzw. von offenen Mengen.

2.2 Beispiele für Topologien und topologische Räume

Genauso wie bei metrischen Räumen und Metriken wollen wir einige Beispiele für Topologien und topologische Räume geben. \big\ Beispiel 1: Das einfachste Beispiel eines topologischen Raumes ist die Menge der reellen Zahlen. Dabei ist die Topologie, also das System der offenen Teilmengen so erklärt, dass wir eine Menge \Omega\subset\ \IR offen nennen, wenn sie sich als Vereinigung von offenen Intervallen darstellen lässt. \big\ Beispiel 2: Trivialtopologie Jede Menge M kann auf wenigstens zwei Arten zu einem topologischen Raum gemacht werden. Dazu definieren wir die \big\ Klumpentopologie O_1:=menge(\0,M) und die \big\ diskrete Topologie O_2:=\wp(M). \stress\ Anmerkung: In der Literatur wird 0_1 auch häufig triviale oder indiskrete Topologie genannt. Der Lese möge überprüfen, dass die Axiome einer Topologie wirklich erfüllt sind. \big\ Beispiel 3: Relativtopologie Ist (M, O) ein topologischer Raum und N\subset\ M eine Teilmenge, so induziert O auch eine Topologie auf der Teilmenge N und zwar durch O\|_N:=menge(\Omega\subset\ M: \Omega=N\cut\ \Omega^~ mit \Omega^~\el\ O). \big\ Beispiel 4 Produkttopologie: Seien (M,O_1) und (M,O_2) zwei topologische Räume. Dann existiert auf M:=M_1\cross\ M_2:=menge((x_1, x_2):x_1\el\ M_1 und x_2\el\ M_2) eine induzierte Topologie O_1\cross\ O_2, die von der Basis menge(\Omega_1\cross\ \Omega_2 :\Omega_1\el\ O_1 und \Omega_2\el\ O_2) erzeugt wird, die man Produkttopologie nennt. D.h. O_1\cross\ O_2 besteht aus allen denjenigen Teilmengen von M_1\cross\ M_2, die sich als Vereinigung von Kreuzprodukten offener Mengen aus M_1 mit offenen Mengen aus M_2 darstellen lassen. \big\ Beispiel 5: Sierpinkski-Raum Sei M:=menge(0,1). Dann ist O:=menge(\0, M, menge(0)) eine Topologie auf M. Der topologische Raum (M, O) heißt der \big\ Sierpinkski-Raum. \big\ Beispiel 6: Euklidische Topologie Sei M=\IR^n der euklidische Standardraum und d die übliche euklidische Metrik. Die dadurch erzeugte Topologie nennt man die \big\ euklidische Topologie. Diese euklidische Topologie auf \IR natürlich dieselbe ist wie die in Beispiel 1. :) \big\ Beispiel 7: Bevor wir das Beispiel der Produkttopologie einführen, benötigen wir den Begriff der \big\ Subbasis: Sei (M, O) ein topologischer Raum, B\subsetequal\ \wp(M) eine Familie von Teilmengen von M. Dann heißt B eine Subbasis für O genau dann, wenn die Familie D:=menge(cut(S_i,i=1,n): n\el\ \IN, S_i\el\ B) aller endlichen Durchschnitt von Elementen aus B eine Basis für O ist. Nun zur \big\ allgemeinen Produkttopologie: Für zwei topologische Räume hatten wir das Produkt schon als Beispiel 4 erklärt - man kann das aber auch für beliebig viele machen. Sei I eine Menge und für jedes i\el\ I sei (M_i, O_i) ein topologischer Raum. Dann nennt man die von der Subbasis B:=menge(produkt(L_,i\el\ I,): (\forall\ i\el\ I: L_i\el\ O_i)\and\ (\exists\ i_0 \el\ I: \forall\ i!=i_0: L_i=M_i)), also der Familie aller derjenigen Produkte offener Mengen aus den jeweiligen Räumen, bei denen höchstens ein Faktor nicht gleich dem jeweiligen Gesamtraum ist, definierte Topologie produkt(O_i,i\el\ I,) die Produkttopologie auf produkt(M_i,o\el\ I,) bezüglich der gegebenen Räume (M_i, O_i).

2.3 Ein paar Definitionen und Sätze

Wir zeigen nun, dass eine Metrik auf einer Menge auch eine Topologie induziert. Mit anderen Worten: \big\ Jeder metrische Raum ist auch ein topologischer Raum. Die Umkehrung gilt nicht. Hier muss man aber etwas vorsichtig sein: Es ist nicht ganz richtig, dass jeder metrische Raum auch ein topologischer ist. Richtig ist, dass man in der oben bereits geschilderten Weise jeder Metrik auf einer Menge eine Topologie zuordnen kann. \big\ Satz 3: Sei (M, d) ein metrischer Raum und O:=menge(\Omega\subset\ M: \Omega ist d-offen), Dann ist M mit diesem System O ein topologischer Raum, der Hausdorffsch ist. \stress\ Beweis: Den Beweis haben wir eigentlich schon geführt, als wir gezeigt hatten, dass der Durchschnitt von endlich vielen und die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist. Dennoch wollen wir den Beweis der Vollständigkeit halber nochmal ausführen. Was wir machen müssen, ist einfach die Axiome einer Topologie nachzuweisen. Zu i): Die leere Menge \0 ist in O enthalten, da es gar kein x\el\ \0 gibt, für das ein U(x,r)\subset\ \0 gefunden werden müsste. Auch die Menge M selbst liegt in O, da sie Umgebung jedes ihrer Punkte und damit sicherlich offen ist. Zu ii): Seien \Omega_1 und \Omega_2 offen. Dann existieren \epsilon_1 und \epsilon_2 mit U(x,\epsilon_1)\subset\ \Omega_1 und U(x,\epsilon_2)\subset\ \Omega_2. Wähle nun \epsilon:=min{\epsilon_1, \epsilon_2 }. Dann ist auch U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_1\cut\ \Omega_2, also ist auch \Omega_1\cut\ \Omega_2 offen und insbesondere ist \Omega_1\cut\ \Omega_2\el\ O. Zu iii): Sei I eine beliebige Indexmenge und für i\el\ I eine offene Teilmenge \Omega_i gegeben. Ist x\el\ union(\Omega_i,i\el\ I), so existiert ein i\el\ I mit x\el\ \Omega_i und dann auch ein \epsilon>0 mit U(x,\epsilon)\subset\ \Omega_i. Daraus folgt U(x,\epsilon)\subset\ union(\Omega_i,i\el\ I)und damit sind wir fertig.\bigbox Für den Nachweis der Hausdorff-Eigenschaft nehmt euch zwei verschiedene Punkte p,q\el\ M und setzt r:=1/2*d(p,q)>0. Wir halten nochmal fest, dass jeder metrische Raum hausdorffsch ist. Das gilt für topologische Räume nicht. Dazu betrachtet M:=menge(0,1) und die indiskrete Topologie oder auch die Sierpinski-Topologie.

Abschluss und Literatur

Damit möchte ich den ersten Teil abschließen und noch auf weiterführende Literatur verweisen: [1] Allgemeine Topologie I von René Bartsch [2] Skript zur Analysis 2-Vorlesung [3] Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel Im nächsten Artikel werden wir die normierten Vektorräume und die Banachräume betrachten. Danken möchte ich noch ganz herzlich marvinius. Er hat zwischen Studentenquälen (alias mündliche Prüfungen) und Feierabend immer noch die Zeit gefunden, diesen Artikel sehr konsequent Korrektur zu lesen. :-D Dafür bin ich ihm sehr dankbar. :-) Ein weiterer Dank an Diophant, der diese wunderschönen Bilder erstellt hat! :) Euer Florian Modler
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: Mathematik :: Analysis :: Topologie :
Topologische und metrische Räume [von FlorianM]  
Ein Artikel über metrische und topologische Räume mit Sätzen unteranderem von Heine-Borel, dem Kompaktheitsbegriff und vieles mehr.
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201202-02 (108x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=waum jeder metrischer raum topologischer
201209-09 (103x)http://google.it/imgres?biw=1024&bih=582&tbm=isch&tbnid=yg0qPOAor0euXM:
201506-06 (89x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjAB
2016-2019 (77x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (76x)https://www.bing.com/
201208-08 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie zeigt man, dass eine menge offen ist
201507-07 (54x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&ved=0CC4QFjAFahUKEwimpoaMhfPGAhXHux...
2020-2021 (52x)https://www.ecosia.org/
2020-2021 (50x)https://duckduckgo.com/
201604-04 (47x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&rct=j&q=maximumsmetrik metrik bewei...
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201605-05 (33x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=topologie metrischer räu...
201704-04 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=topologisch metrisch
201508-08 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=euklidische topologie
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201512-12 (18x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=metrische und topologische ...
201509-09 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=beispiele für topologien
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201612-12 (16x)http://google.ro/url?sa=i&source=images&cd=&q=metrische raum
201606-06 (16x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&rct=j&q=topologie euklidischer raum
201607-07 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=topologische beweise
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201701-01 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=topologischer raum
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"Mathematik: Topologische und metrische Räume" | 17 Comments
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Re: Topologische und metrische Räume
von: Diophant am: Fr. 08. August 2008 09:45:16
\(\begingroup\)Hallo FlorianM, das ist mal wieder für mich als klassischen "Turnschuh-Mathematiker" genau das richtige! Aber Spaß beiseite. Der Artikel ist meiner Ansicht nach sehr ausführlich, verständlich und anschaulich geschrieben. Ich hätte noch ein Angebot parat: ich hätte nächste Woche etwas Zeit und könnte bei Interesse am PC Zeichnungen erstellen. Bei Interesse -> PM Gruß, Diophant \(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: gaussmath am: Fr. 08. August 2008 10:46:57
\(\begingroup\)Hi Florian, Wie immer super! Ich habe mir Deinen Artikel gerade für den Flug ausgedruckt. Bis nächste Woche. Marc \(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: FlorianM am: Fr. 08. August 2008 11:19:12
\(\begingroup\)Hi Diophant, danke für das Lob. Hast natürlich eine PN, so einem Angebot kann ich doch nicht widerstehen. 😛 Hi Marc, auch dir danke für die netten Worte. 😄 Dann wünsche ich dir mal viel Spaß im Urlaub!? Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: Martin_Infinite am: Fr. 08. August 2008 12:57:04
\(\begingroup\)da nichts zur anschauung hinter topologischen räumen gesagt wurde: topologische räume lassen sich auch durch systeme von umgebungen axiomatisieren. sie abstrahieren somit das konzept der "nähe", allerdings ohne von exakten abständen zu sprechen, was bei metrischen räumen der fall wäre. beispiel 6 in 1.2 kann man sich wegen d(x,y) = |1/x - 1/y| schenken ;).\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: 3rik am: Fr. 08. August 2008 21:38:24
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel! Ich muß den Stoff gerade wieder für meine Vordiplomsprüfung auffrischen und dein Artikel liest sich wirklich gut. Viele Grüße, Erik\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: Yves am: So. 10. August 2008 02:27:03
\(\begingroup\)Hi Du schreibst: \ \frame\black\big\ Folgenkompaktheit: Sei (M, d) ein metrischer Raum und K\subset\ M eine beliebige Teilmenge. Wir sagen K ist folgenkompakt__, wenn eine Folge ((x_n))_(n\el\ \IN) eine konvergente Teilfolge in K besitzt, d.h. wenn der Grenzwert wieder in K liegt. Die Definition ist falsch (bzw. unterscheidet sich von dem, was man üblicherweise unter Folgenkompaktheit versteht). Viele Grüße Yves\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: FlorianM am: So. 10. August 2008 19:09:52
\(\begingroup\)Hi Erik, danke für das Lob. 😄 Viel Erfolg beim Vordiplom Hi Yves, ja, was soll ich sagen? Ich habe sie so gelernt. Wie kennst du sie denn? 😉 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: Yves am: So. 10. August 2008 23:26:00
\(\begingroup\)Hi Florian Nach deiner Definition ist K:=(-1,1) folgenkompakt. Wir betrachten eine Folge, nämlich: 0,0,0, ... Diese hat eine in K konvergente Teilfolge. Also ist K folgenkompakt. Wenn du in der Def. "eine" durch "jede" ersetzt, dann ist aber alles ok. Gruß Yves\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: Wally am: Mo. 11. August 2008 10:43:42
\(\begingroup\)Hallo, Florian , eine gute und übersichtliche Zusammenstellung. Kleiner Verbesserungsvorschlag: bei "folgenkompakt" finde ich es wichtig zu betonen, dass es überhaupt erstmal einen Grenzwert in M gibt. Wally\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: FlorianM am: Mo. 11. August 2008 20:18:31
\(\begingroup\)Hallo Peter, dank dir für den Hinweis. Ich habe es ergänzt. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: FlorianM am: Di. 12. August 2008 18:33:29
\(\begingroup\)Nun ist der Artikel mit professionellen Bildern ausgestattet wurden, die von Diophant stammen. Dafür ganz herzlichen Dank. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: DonLukiano am: So. 24. August 2008 20:50:29
\(\begingroup\)Müsstes du in dem folgenden abschnitt nicht halboffene intervalle verwenden? Für mich sind die sonst abgeschlossen und nicht offen und abgeschlossen! -------------------------------------------------------------------- Noch eine wichtige (Anmerkung:) Wählen wir als Raum X z.B. die Vereinigung der Intervalle [0,1] und [2,3] mit euklidischer Metrik, so sind in diesem Raum die Teilmengen [0,1] und [2,3] beide sowohl offen, als auch abgeschlossen. Außerdem ist in einem metrischen Raum die zugrundeliegende Gesamtmenge ebenso wie die leere Menge stets sowohl offen als auch abgeschlossen. Mengen können also durchaus beide Eigenschaften besitzen. -------------------------------------------------------------------- lg Lukas \(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: huepfer am: Mo. 25. August 2008 09:45:49
\(\begingroup\)Hallo Lukas, würde man halboffene Intervalle in diesem Beispiel verwenden, dann wären die Mengen nicht mehr abgeschlossen bezüglich der Teilraum-Topologie. Dass sie abgeschlossen ist, scheint Dir ja klar zu sein, deshalb kläre ich nur, weshalb sie auch offen sind. Nach obigem ist [2,3] abgeschlossen und damit ist sein Komplement [0,1] offen. Analog gilt das natürlich auch für [2,3]. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: marvinius am: Di. 26. August 2008 16:14:45
\(\begingroup\)Salut Felix, doch, auch die halboffenen oder offenen Intervalle wären in der Teilraumtopologie sowohl offen als auch abgeschlossen: für z.B. X:=\[0,1\)\union\ \(2,3\] haben wir ja etwa \[0,1\) = X\cut\ \(-1,1.5\) und \(-1,1.5\) ist in \IR (mit euklidischer Topologie) offen. Damit ist automatisch \(2,3\] als Komplement von \[0,1\) in X abgeschlossen - und wegen z.B. \(2,3\]=X\cut\ \(1.5,4\) ebenso offen, woraus wiederum die Abgeschlossenheit von \[0,1\) folgt. Liebe Grüße, René.\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: huepfer am: Di. 26. August 2008 18:37:11
\(\begingroup\)Hallo René, der Raum X war aber doch intervall(0,1)\union\intervall(2,3). Dass halboffene Intervalle in einem geeigneten Raum unter geeigneter Topologie sowohl offen als auch abgeschlossen sein können, ist mir bekannt. Aber das war hier doch garnicht die Frage, oder? Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: marvinius am: Di. 26. August 2008 20:41:01
\(\begingroup\)Salut Felix, ich hab' die Frage eher so gedeutet, daß STATT aus [0,1] und [2,3] der RAUM X aus den entsprechenden halboffenen Intervallen gebildet werden sollte. Geht es freilich darum, im in dem Raum X so, wie er im Artikel definiert ist, offen-abgeschlossene Mengen zu finden, hast Du natürlich völlig Recht damit, daß die fraglichen halboffenen Intervalle dafür nicht taugen. Dann hab' ich die Frage einfach mißverstanden 😄 Liebe Grüße, René.\(\endgroup\)
 

Re: Topologische und metrische Räume
von: Arensnuphis am: Fr. 15. Februar 2013 23:53:17
\(\begingroup\)Hallo Florian! Kann sein, dass ich mich irre, aber ich meine einen Fehler im Beweis gefunden zu haben (Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.): \ Nun wissen wir ja bereits, dass die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen wieder offen ist, d.h. union(U_i,i\el\ I) ist eine offene Menge und aus den Regeln von de Morgan folgt nun, dass union(U_i,i\el\ I)=M\\ cut(U_i,i\el\ I). ich denke anstatt $\bigcup_{i \in I}U_{i}$ meinst du $\bigcup_{i \in I} M \backslash U_{i}$ oder? Liebe Grüße 😄 Jens\(\endgroup\)
 

 
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