Physik: Das Noether-Theorem in der Mechanik
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Physik

\(\begingroup\) Dieser Artikel leitet das Noether-Theorem der Mechanik her. Das Noether-Theorem stellt für die moderne Physik ein wichtiges Ergebnis dar, denn es erlaubt Erhaltungsgrößen zu finden.

Gegeben sei qi, die i-te generalisierte Koordinate eines N-Teilchen-Systems mit f=3N-k Freiheitsgraden. Wir nehmen an, dass qi differenzierbar ist. \lr(D1)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Koordinatentransformation)\normal Sei \alpha\in\IR, wir definieren: | | q_i \mapsto q'_i := q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha) Diese Transformation sei \stress\invertierbar\normal und für ihre Inverse soll gelten: | | q'_i \mapsto q_i := q_i(q'_1,...,q'_f,t,\alpha) Für \alpha=0 soll die identische Transformation vorliegen, das heißt: \frameoff\ | q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha=0):=q_i \lr(D2)\single\frame\blue\big\Definition__\normal Wir benutzen von nun an die folgende \stress\Abkürzung\normal\: | | menge(q_1,...,q_f)=:q Für die Transformationen können wir also schreiben: | | q'_i(q_1,...,q_f,t,\alpha)=q'_i(q,t,\alpha) und \frameoff\ | q_i(q'_1,...,q'_f,t,\alpha)=q_i(q',t,\alpha) Was es mit dem α auf sich hat, sehen wir an folgendem Beispiel: \single\frame\green\big\Bespiel__ Wir betrachten die generalisierte Koordinate q=\phi, welche für den Azimutwinkel steht. Die Transformation | | \phi \mapsto \phi\' = \phi + \alpha repräsentiert also eine Drehung um die z\-Achse. Beachte, dass für \alpha=0 wie von \ref(D1) gefordert gilt: \frameoff\ | \phi\' = \phi Wie man in dem Artikel Von d´Alembert zu Lagrange II nachlesen kann, gilt für die Lagrange-Funktion und die Lagrange-Gleichungen: \lr(D3)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Lagrange\-Funktion)\normal | | \dsL := T-V wobei \frameoff\ | \dsL = \dsL(q,q^*,t) \lr(S1)\single\frame\red\big\Satz__\black\stress (Lagrange\-Gleichungen)\normal Die Lagrange\-Gleichungen lauten: \frameoff\ |d/dt pdiff(\dsL,q^*_i)-pdiff(\dsL,q_i)=0 Wir können also die Lagrange\-Funktion in den neuen Koordinaten ausdrücken: \lr(1) | | \dsL(q,q^*,t) = \dsL(q(q',t,\alpha),q^*(q',t,\alpha),t) Betrachten wir nun die partielle Ableitung von \ref(1) nach \alpha: \lr(2) | | pdiff(\dsL,\alpha) = sum((\blue\ pdiff(\dsL,q_i) \black\ (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) \red\ (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)\black\ ),i=1,f) Wir bemerken, dass wegen \ref(S1) gilt: | | \blue\ pdiff(\dsL,q_i)\black\ = d/dt pdiff(\dsL,q^*_i) außerdem: | | \red\ |(\partial q^*_i(q',t,\alpha))/\partial\alpha \black\ = d/dt pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha) Aus \ref(2) wird somit: \align pdiff(\dsL,\alpha) = sum((pdiff(\dsL,q_i) (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)),i=1,f) = d/dt sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f) \breakalign Dies gilt für alle \alpha, also auch an der Stelle \alpha=0. \lr(3) | | pdiff(\dsL,\alpha)\|_(\alpha=0) = d/dt sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0),i=1,f) \light\small\stress\Bemerkung: \normal\small Wir wählen \alpha=0, da dann später beim Rechnen alle Terme, welche von höherer Ordnung als 1 sind, verschwinden. Außerdem gehen die Koordinaten q' wieder in Koordinaten q über, da per Definition ref(D1) für \alpha=0 die identische Transformation vorliegt. Wir wollen ab jetzt nur noch solche Transformationen \ref(D1) betrachten, welche die Lagrange\-Funktion bis auf die zeitliche Ableitung d/dt einer beliebigen Funktion F in den Variablen q',t und \alpha nicht verändern. Es soll also gelten: \lr(4) | | \dsL(q,q^*,t) = \dsL(q',q^*',t) + d/dt F(q',t,\alpha) \lr(D4)\single\frame\blue\big\Definition__\black\stress (Symmetrietransformationen)\normal \frameoff\Transformationen \ref(D1), die derart sind, dass \ref(4) gilt, nennt man Symmetrietransformationen__. Setzen wir \ref(4) in die linke Seite von \ref(3) ein: \align pdiff(\dsL,\alpha)\|_(\alpha=0) = pdiff(\dsL(q,q^*,t),\alpha)\|_(\alpha=0) = pdiff(\dsL(q',q^*',t),\alpha)\|_(\alpha=0) + d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0) = 0 + d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0) \breakalign Beachten wir die Gleicheit mit der rechten Seite von \ref(3), dann folgt: \align d/dt pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0) = d/dt sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f))\|_(\alpha=0 \breakalign Dies ist äquivalent zu: \align d/dt ( pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0)) = 0 \breakalign Wir folgern: \lr(5)pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0) = const. \ref(5) ist konstant,verändert sich daher zeitlich \stress\nicht\normal\ . Wir haben eine Erhaltungsgröße gefunden! \lr(S2)\red\triple\frame\red\big\Hauptsatz__\black\stress ("Noether\-Theorem" der Mechanik)\normal I:= pdiff( F(q',t,\alpha),\alpha)\|_(\alpha=0)- sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)\|_(\alpha=0) \frameoff\ | \big\I ist eine Erhaltungsgröße__! Wir schließen diesen Artikel mit einem Beispiel ab: \single\frame\green\big\Beispiel__ \(\black\stress\ Rotation um die z\-Achse) Gegeben sei die Lagrange\-Funktion \lr(B.1) | | \dsL = \dsL (r, r^*, \phi^*, z, z^*) = 1/2 m (r^*^2 + r^2 \phi^*^2 + z^*^2) - V(r,z) Wir betrachten nun die generalisierten Koordinaten (q_1\,q_1\,q_3)=(r,\phi,z) und die Transformation \lr(B.2) | | (r,\phi,z) \mapsto (r',\phi\',z') | | (r',\phi\',z') = (r,\phi+\alpha,z) Diese Transformation entspricht \ref(D1) und stellt eine Rotation um die z\-Achse dar. Die Lagrange\-Funktion \ref(B.1) bleibt unter der Transformation \ref(B.2) unverändert. Es gilt daher: | | \dsL(q, q^*, t) = \dsL(q', q^*', t) Die zeitliche Ableitung von F aus \ref(4) ist daher gleich null: | | d/dt F(q',t,\alpha) = 0 Das Noether\-Theorem sagt nun die \blue\big\Erhaltung \normal\black\ des folgenden Ausdrucks voraus: | | I= - sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,3) = - pdiff(\dsL , \phi^*) pdiff((\phi\'-\alpha),\alpha) = m r^2$\.\phi^* \frameoff\Dies erkennt das "geübte Auge" sofort als \blue\big\Drehimpuls.
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Das Noether-Theorem in der Mechanik [von HansPhysikus]  
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"Physik: Das Noether-Theorem in der Mechanik" | 10 Comments
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Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: KingGeorge am: Mi. 15. Juli 2009 13:56:57
\(\begingroup\)Hallo HP, danke für den Artikel. Ich hatte ihn mir als "Mechaniker" schon des öfteren gewünscht. lg Georg P.S: Ich glaube beim Beispiel hast du den Exponenten 2 verloren. Müßte es nicht \lr(B.1) \dsL = ... = 1/2 m (r^*^2 + ...) - V(r,z) heißen?\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: HansPhysikus am: Mi. 15. Juli 2009 15:56:31
\(\begingroup\)Hallo Georg, ja, da ist in der Tat ein "Quadrat" verloren gegangen. Viele Grüße, HP\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: shadowking am: Do. 16. Juli 2009 22:44:29
\(\begingroup\)Hallo ihr Physiker, \ ich wage mich mal auf dieses für mich esoterische Gebiet vor, denn mir scheint da ein Faktor 2 zu fehlen: \blue Zitat HansPhysikus Aus \ref(2) wird somit: \align pdiff(\dsL,\alpha) = sum((pdiff(\dsL,q_i) (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)),i=1,f) = d/dt (sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)) \blue Zitat Ende Wenn ich das Vorhergehende in vec((2)) einsetze, erhalte ich aus \align pdiff(\dsL,\alpha) = sum((pdiff(\dsL,q_i) (\partial q_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q^*_i(q',t,\alpha))/(\partial \alpha)),i=1,f) = sum((d/dt (pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q_i(q',t,\a))/(\partial \a)) + pdiff(\dsL,q^*_i) d/dt ((\partial q_i(q',t,\a))/(\partial \a))),i=1,f) durch Vertauschen der Differentiationsreihenfolge im zweiten Summanden, Vorziehen der Zeitableitung vor die Summe und Zusammenfassen gleicher Terme = 2*d/dt (sum(pdiff(\dsL,q^*_i) (\partial q_i(q',t,\a))/(\partial \a),i=1,f)) anstelle von = d/dt (sum(pdiff(\dsL , q^*_i) pdiff(q_i(q',t,\alpha),\alpha),i=1,f)). \breakalign Auf das Beispiel mit dem Drehimpuls wirkt sich das nicht aus, da die Erhaltungsgröße nur aus diesem Term resultiert \(und eine mit 2 multiplizierte Erhaltungsgröße immer noch eine Erhaltungsgröße ist\), aber im Allgemeinen könnte sich das doch schon auswirken, oder? Oder ist d/dt ((\partial F(q',t,\alpha))/(\partial \a))\|_(\alpha=0) immer Null? Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: HansPhysikus am: Fr. 17. Juli 2009 01:05:54
\(\begingroup\)Hallo Norbert, die Rechnung im Artikel stimmt. Beachte, dass wegen der Produktregel gilt: d/dt (pdiff(\dsL,q^*_i) pdiff(q_i,\alpha)) = d/dt (pdiff(\dsL,q^*_i)) pdiff(q_i,\alpha) + pdiff(\dsL,q^*_i) d/dt (pdiff(q_i,\alpha)) F ist im Übrigen auch nicht immer = 0 Betrachte dazu den freien Fall, die dazugehörige Lagrangefunktion: \lr(1)\dsL = m/2 x^*^2 - m g x und die Transformation x \mapsto x' = x + \alpha t hier findest du durch einsetzen von x = x' - \alpha t in \ref(1) dass F != 0 sein wird. Viele Grüße, HP\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: shadowking am: Fr. 17. Juli 2009 16:25:44
\(\begingroup\)Oh, natürlich; wieder einmal wird alles klar. Natürlich hat es nichts mit Reihenfolgenvertauschung zu tun, sondern vielmehr mit der Produktregel. Genau hingucken hilft. Vielen Dank!\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: MoniseurLagrange am: Sa. 18. Juli 2009 20:13:39
\(\begingroup\)Tach Hans, im Forum immer den Verwirrten bei partiellen Ableitungen etc. spielen, und dann so einen Artikel raushauen, Respekt! ;)\(\endgroup\)
 

Antwort: MoniseurLagrange
von: HansPhysikus am: So. 19. Juli 2009 00:39:36
\(\begingroup\)Jaja, nach 10 Büchern und 20 verschiedenen Notationsweisen sieht man den Ableitungswald vor lauter Bäumen nicht mehr 😁 Viele Grüße, HP\(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 01. März 2014 13:08:27
\(\begingroup\)Hallo, In der letzen Formel ist dein (phi-punkt), wenn ich das so schreiben darf, in die nächste Zeile gerutscht. Wenn man nun nicht ganz aufmerksam ist, dann scheint es als ob m*r^2 deine Erhaltungsgröße ist. Also kein "Fehler", sondern nur eine Formalität. ;) \(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: fru am: Sa. 01. März 2014 18:23:34
\(\begingroup\)Hallo, Unbekannter! Vielen Dank für den Hinweis und Deine Aufmerksamkeit! Die Änderung habe ich soeben beantragt wurde schon durchgeführt. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Das Noether-Theorem in der Mechanik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 21. April 2014 19:03:09
\(\begingroup\)Hallo, man könnte noch schreiben was es mit dem Noether current und Noether charge auf sich hat. Gruß \(\endgroup\)
 

 
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