Mathematik: Ein paar Sätze zur Linearen Algebra Released by matroid on Fr. 11. September 2009 15:13:00 [Statistics] [Comments] Written by neeerreee - 2190 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) In dieser Artikelserie sollen Sätze der Lineare Algebra behandelt werden, die in den meisten Vorlesungen nicht besprochen werden,die man aber kennen sollte. [Edit] [To the bottom] \ \big\red\Rangformel\normal\black Sei A eine m\cross n und B eine n\cross p Matrix dann gilt: Rang(AB)=Rang(B)-dim(Kern(A) \cut\ Bild(B)) \stress\Beweis__: Sei C = {c_1,...,c_s } eine Basis von Kern(A) \cut\ Bild(B) . Ergänze diese durch D={d_1,...,d_t } zu einer Basis von Bild(B). Nun zeigen wir: E={Ad_1,..., Ad_t } ist eine Basis von Bild(AB): sei x \el\ Bild(AB) dann folgt: \exists\ y : x=ABy .Nun ist By \el\ Bild(B), also gilt: By = sum(a_i c_i,i=1,s) + sum(b_i d_i,i=1,t). Und damit: ABy=sum(a_i Ac_i,i=1,s) + sum(b_i Ad_i,i=1,t) =sum(b_i Ad_i,i=1,t),also spannt E Bild(AB) auf. E ist auch linear unabhängig: 0=sum(b_i Ad_i,i=1,t)=A sum(b_i d_i,i=1,t) => sum(b_i d_i,i=1,t) \el\ Kern(A) \cut\ Bild(B) => \exists\ (l_i) : sum(b_i d_i,i=1,t)=sum(l_i c_i,i=1,s) => b_i=l_i = 0 da C \union\ D linear unabhängig ist als Basis von Bild(B). [Edit] \ \stress\Korollare__: \ll(1)Für invertierbare Matrizen Q und P gilt: \ll()Rang(QAP)=Rang(A) \ll(2)Zeilenrang=Spaltenrang \ll(3)Rang(AB)<=min{Rang(A),Rang(B)} \ll(4)Rang(A)+Rang(B)-n<=Rang(AB) \ll(5)Für komplexe Matrizen A gilt: \ll()X(A A^\*)=X(A)=X(A^\* A), \ll()wobei X hier für Bild,Rang oder Kern stehen kann und A^\* = A^- ^t ist. [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Lineare Algebra :: Matrizen :: Dimensionsformeln :: Grundstudium Mathematik : Ein paar Sätze zur Linearen Algebra [von neeerreee]   Ein Beweis einer Rangformel für Produkte von Matrizen, die sehr einfach verschiedene andere Standardaussagen der LA wie "Zeilenrang = Spaltenrang" impliziert. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Ein paar Sätze zur Linearen Algebra von: owk am: Sa. 12. September 2009 15:26:21

\(\begingroup\) \ Alternativbeweis: Nenne den Grundkoerper K. Bezeichne mit A' die lineare Abbildung Bild(B)\to\ K^m, die man durch Einschraenkung von A erhaelt. Dann ist Rang(A')=Rang(AB), Kern(A')=Kern(A)\cap\ Bild(B), und Anwendung der gewoehnlichen Dimensionsformel auf A' ergibt die gewuenschte Gleichung. owk \(\endgroup\)