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Algebraische Topologie
Einige der erfolgreichsten Methoden der modernen Mathematik entstammen dem Gebiet der algebraischen Topologie.
So finden etwa Methoden der Homologie und Kohomologie heutzutage Anwendungen in nahezu allen Gebieten der Mathematik, kommen ursprünglich aber aus der Topologie. Heute sind (ko)homologische Methoden nicht nur aus der Topologie, sondern auch aus Gruppentheorie, algebraischer Geometrie, Zahlentheorie, Analysis und einigen anderen Bereichen nicht mehr wegzudenken.
Die Sprache Kategorientheorie, die zusammen mit der algebraischen Topologie entstanden ist, findet heute ebenfalls in vielen Bereichen der Mathematik und darüber hinaus (etwa in der Informatik) Anwendung. Sie bildet ein gemeinsames Fundament für das Verständnis von Konstruktionen aus allen Disziplinen der Mathematik.
In einer Reihe von Artikeln, die ab sofort nach und nach erscheinen werden, möchte ich eine Einführung in einige Ideen und Methoden der algebraischen Topologie geben.
Inhalt der Reihe
Bisher sind folgende Artikel konkret für die Artikelreihe geplant:
- Motivation
Kommt man zum ersten Mal mit algebraischer Topologie in Berührung, scheinen einige Resultate auf den ersten Blick wie Zauberei. Die verwendeten Methoden und Beweistechniken fallen geradezu vom Himmel, möchte man denken.
Tatsächlich sind viele Ideen aber tatsächlich nur Weiterentwicklungen sehr naheliegender Überlegungen und Konstruktionen, die sich aus bestimmen geometrisch-analytischen Fragestellungen ganz natürlich ergeben. Bevor die eigentliche Einarbeitung in die algebraischen Topologie erfolgt, möchte ich den ersten Artikel nutzen, um einige dieser Ideen und Konstruktionen vorzuführen.
Es wird dabei unter anderem Beispiele aus Analysis, Graphentheorie und Fixpunkttheorie geben.
- Homologie und Kohomologie I - Die Eilenberg-Steenrod-Axiome
In der Artikelserie sollen als demonstrierende Beispiele für die Kraft der algebraischen Topologie die grundlegenden Eigenschaften von Homologie- und Kohomologietheorien erarbeitet werden.
Dieser Artikel stellt zunächst die charakteristischen Axiome vor, die zu den Begriffen Homologie und Kohomologie gehören, die so genannte Eilenberg-Steenrod-Axiome. Außerdem sollen einige erste Folgerungen aus diesen Axiomen bewiesen werden, etwa der Satz über die Invarianz der Dimension.
- Homologie und Kohomologie II - Anwendungen der Axiome
Nachdem im vorangegangen Artikel schon einige der einfacheren Folgerungen aus den Eilenberg-Steenrod-Axiomen bewiesen wurden, soll es in diesem Artikel vertiefend um Folgerungen aus diesen Axiomen gehen.
So sollen allein mit Hilfe der Axiome Resultate wie der Brouwersche Fixpunktsatz, der Jordan'sche Kurvensatz (genauer: dessen n-dimensionale Verallgemeinerung der Jordan-Brouwer'sche Trennungssatz) sowie der Satz von der Invarianz des Gebiets bewiesen werden.
- Homologie und Kohomologie III - Singuläre Homologie
Nachdem die beiden vorangegangen Artikel nur Gebrauch von den Eilenberg-Steenrod-Axiomen gemacht haben, wird in diesem Artikel endlich eine Homologietheorie konstruiert werden, die diese Axiome auch wirklich erfüllt.
Die Beweise, dass sie sie erfüllt, werden aufgrund ihres Umfangs nur skizzenhaft angegeben werden.
Sollte ich danach noch Zeit und Muße haben, weiterzumachen, wird es weitere Teile geben.
Außerdem gibt es Artikel, die algebraische Hilfsmittel bereitstellen:
- Algebraischen Grundlagen 1
Hier soll es um exakte Sequenzen, das Fünfer-, das Schlangen- und das Barratt-Whitehead-Lemma gehen, die wir u.A. in den Artikeln über Homologie brauchen werden.
- Algebraische Grundlagen 2
Hier sollen Kettenkomplexe und das Konzept der Homologie von Kettenkomplexen eingeführt werden, die es uns ermöglichen werden, eine Homologietheorie für topologische Räume konkret zu konstruieren.
Literatur Dinge, die in der Reihe vorausgesetzt werden Ich werde für diese Reihe grundlegende algebraische und topologische Kenntnis voraussetzen. Bekannt sein sollte u.A. was Gruppen, Ringe, Moduln und was die entsprechenden Homomorphismen sind. Elementare Ergebnisse wie den Homomorpiesatz und die Isomorphiesätze sollten auch bekannt sein. Es wird ebenfalls ein gewisses Pensum an topologischen Grundlagen vorausgesetzt, etwa das Wissen, was ein topologischer Raum und Stetigkeit ist, was offene und abgeschlossene Mengen sind und wie Homotopien definiert sind. Ich werde ebenfalls das elementare Vokabular der Kategorientheorie als bekannt voraussetzen. Es sollte bekannt sein, was eine Kategorie ist, was ein Funktor und eine natürliche Transformation ist. Fortgeschrittenere Kenntnisse, etwa über abelsche Kategorien, werden nicht benötigt. Auf dem Matheplanet haben sich über die Jahre viele nützliche Artikel angesammelt, in denen ein großer Teil dieses Grundwissen zu finden ist. Ich empfehle einfach mal (ohne Anspruch auf Nützlich- oder gar Vollständigkeit) einige der Artikel und Bücher, die mehr oder minder in den Themenkreis fallen: - Zum Thema (nichtalgebraische) Topologie:
- Zum Thema Kategorientheorie:
- Zum Thema Ringe und Moduln:
- Ringe und Moduln I von Curufin
Der Artikel definiert die notwendigen Begriffe und stellt Beweise der grundlegenden Dinge zur Verfügung. - Zum Thema (Homologische) Algebra:
- Algebraische Grundlagen 1 und 2
Zwei Artikel, die algebraische Hilfsmittel bereitstellen, die wir für unsere Auseinandersetzung mit algebraischer Topologie brauchen werden. - J.J. Rotman - An Introduction to Homological Algebra, 2008, Springer Verlag
das man bei google Books teilweise einsehen kann. Zur algebraischen Topologie selbst Natürlich kann eine Artikelreihe hier auf dem MP nur von sehr begrenztem Umfang sein. Einige Beweise sind zu lang, als dass man sie hier sinnvoll veröffentlichen kann. Andere Techniken erfordern so viel Vorarbeit, dass auch das nicht in vernünftigem Rahmen hier möglich ist und hier maximal angedeutet werden können. Bücher und Skripte können viel ausführlicher sein und so die vertiefenden Informationen zu den Themen dieser Reihe liefern. Ich empfehle daher einige Bücher und Skripte, die meiner Meinung nach einen guten Einstieg in das Thema ermöglich und nützliche Ergänzungen liefern können: - Als Einführung in die algebraische Topologie
- Hatcher - Algebraic Topology, 2002, Cambridge University Press
Ein Buch "under construction", das trotzdem sehr beliebt ist und das man in der jeweils aktuellen Version hier frei verfügbar als PDF bekommt. - Bredon - Topology and geometry, 1993, Springer
das man bei google Books teilweise einsehen kann. - Auf etwas fortgeschrittenerem Niveau
- Wolfgang Soergel - Topologie
Ein Skript zur algebraischen Topologie, das sehr umfassend ist und hier als PDF-Download erhältlich ist. - Anwendungen der algebraischen Topologie
- Andrzej Granas / James Dugundji: Fixed Point Theory
Ein Buch, das sich mit allen Spielarten der Fixpunkttheorie beschäftigt und dabei nicht selten auch Methoden aus der algebraischen Topologie einsetzt, etwa den Fixpunktsatz von Lefschetz und seine Verallgemeinerungen. Auch zum Abbildungsgrad und seinen Abwandlungen kann man dort eine Menge erfahren. Das Buch ist bei google Books teilweise einzusehen. - Banyaga, Hurtubise - Lectures on Morse Homology
Ein anspruchsvolleres Buch, das in die Morse-Theorie einführt. Morse-Homologie und Verallgemeinerungen davon wie Morse-Bott-Homologie und Floer-Homologie sind interessante, analytische Varianten der singulären Homologie, die u.A. in der String-Theorie und der Theorie dynamischer Systeme Anwendung finden. Nicht mehr überraschend kann man auch dieses Buch bei google Books teilweise einsehen. - Jiří Matoušek - Using the Borsuk-Ulam theorem
Ein Buch, das vielfältige Anwendungen des Satzes von Borsuk-Ulam in der Kombinatorik aufzeigt und auch einen eher kombinatorischen Beweis des Satzes mit Hilfe von Simplizialkomplexen und simplizialer Approximation von stetigen Abbildungen liefert. google Books.
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