Das Fünfer-Lemma

Ebenso unscheinbar auf den ersten Blick kommt ein anderes Lemma daher. Es wird seine Stärken aber noch zeigen: Der Beweis ist das, was man typischerwiese unter Diagrammjagd versteht. Es liegt keinerlei Schwierigkeit darin. Man darf nur die Übersicht nicht verlieren. Es ist also gut, das Diagramm immer in Sichtweise zu haben und den Weg, den man beim Beweis nimmt, daran mitzuverfolgen. \blue\ Beweis: Wir vereinbaren die Konvention, dass wir die Elemente immer so wie die sie enthaltenenen Moduln bezeichnen. Wir werden also c_1 für ein Element von C_1 schreiben, a_0 für eines von A_0 etc. Um den Beweis übersichtlicher zu gestalten, werden wir das nicht mehr explizit erwähnen. Zuerst a.: Ist \gamma(c_1)=0, so folgt: 0=h_0(\gamma(c_1))=\delta(h_1(c_1)) \lr(Kommutativität) => 0=h_1(c_1) \lr(Injektivität) => c_1\in\ ker(h_1)=im(g_1) \lr(Exaktheit) => \exists\ b_1: g_1(b_1)=c_1 => 0=\gamma(c_1)=\gamma(g_1(b_1))=g_0(\beta(b_1)) \lr(Exaktheit) => \beta(b_1)\in\ ker(g_0)=im(f_0) \lr(Exaktheit) => \exists\ a_0: f_0(a_0)=\beta(b_1) \exists\ a_1: \alpha(a_1)=a_0 \lr(Surjektivität) => \beta(b_1)=f_0(\alpha(a_1))=\beta(f_1(a_1)) \lr(Kommutativität) => b_1=f_1(a_1) \lr(Injektivität) => c_1=g_1(f_1(a_1))=0 \lr(Exaktheit) Also ist \gamma injektiv wie behauptet. \blue\checked Nun Aussage b.: Sei c_0 beliebig. \exists\ d_1: \delta(d_1)=h_0(c_0) \lr(Surjektivität) => 0=i_0(\delta(d_1)) \lr(Exaktheit) => 0=\epsilon(i_1(d_1)) \lr(Kommutativität) => 0=i_1(d_1) \lr(Injektivität) => d_1\in\ ker(i_1)=im(h_1) \lr(Exaktheit) => \exists\ c_1: h_1(c_1)=d_1 => h_0(c_0)=\delta(h_1(c_1))=h_0(\gamma(c_1)) \lr(Kommutativität) => c_0-\gamma(c_1) \in ker(h_0)=im(g_0) \lr(Exaktheit) => \exists\ b_0: g_0(b_0)=c_0-\gamma(c_1) => \exists\ b_1: \beta(b_1)=b_0 \lr(Surjektivität) => c_0-\gamma(c_1)=g_0(\beta(b_1))=\gamma(g_1(b_1)) \lr(Kommutativität) => c_0=\gamma(c_1+g_1(b_1))\in\ im(\gamma) Also ist \gamma surjektiv wie behauptet. \blue\ q.e.d. Wer beide Beweise im Diagramm nachvollzogen hat, wird erkannt haben, dass wir eigentlich in jedem Beweisschritt nur sehr wenig Möglichkeiten hatten, überhaupt etwas zu tun. Es gab in den meisten Punkten überhaupt nur eine sinnvolle Möglichkeit, etwas umzuformen oder die Voraussetzung anzuwenden. Und genau diese eine Möglichkeit hat uns jeweils weitergebracht. Beweise dieser Art werden oft "Diagrammjagd" genannt, weil man sich durch das Diagramm eben wild hindurch bewegt. Meistens laufen solche Diagrammjagden nach dem hier vorgestellten Schema ab und sind daher oft nicht schwer, wenn man einmal gesehen hat, wie es geht: Man hat sowieso nur wenig Möglichkeiten und die, die man hat, sind auch zielführend. Man darf sich eben nur nicht verwirren lassen und sollte sein Diagramm stets in Sichtweite haben, um den Überblick nicht zu verlieren.

Das Schlangenlemma

Eine wichtige Konstruktion bietet das folgende Lemma. Diese Konstruktion wird u.A. bei der Konstruktion der langen, exakten Homologiesequenz Anwendung finden. Es ist jedoch auch zum Beweis weiterer interessanter Sätze (etwa vom Neun-Lemma) hilfreich. Worum gehts nun genau? Wir wollen aus zwei gegebenen exakten Sequenzen, die ein kommutatives Diagramm bilden, eine neue exakte Sequenz konstruieren. Das wird wie folgt funktionieren: Wir machen wie eben von der Konvention Gebrauch, dass wir Elemente von A_1, B_1, ... durchgängig mit den zugehörigen Kleinbuchstaben bezeichnen und dafür darauf verzichten, jedes mal zu spezifieren, woher welche Variable stammt. Außerdem werden wir die Elemente in den Quotientenmoduln coker(\alpha)=A_0\.\/im(\alpha) etc. stets durch (a_0)^- bezeichnen. Die Abbildungen (g_0)^- und (h_0)^- sind die auf den Quotienten induzierten Abbildungen (g_0)^-((a_0)^-):=(g_0(a_0))^- und (h_0)^-((b_0)^-):=(h_0(b_0))^-. \blue\ Beweis: Die Abbildung ist das einzige an dem Beweis, das etwas vom Himmel fällt. Sie ist durch d(c_1):=((g_0^(-1)\circ\beta\circ\ h_1^(-1))(c_1))^- gegeben. Dabei ist mit h_1^(-1)(c_1) irgendein Urbild von c_1 unter h_1 gemeint. Das existiert immer, da h_1 aufgrund der Exaktheit der oberen Zeile surjektiv ist. Die Behauptung nun zu verifizieren, wird eine längere Diagrammjagd: Zunächst zur Wohldefiniertheit der in der Zielsequenz vorkommenden Abbildungen: Ist a_1\in\ ker(\alpha), so gilt: 0=g_0(\alpha(a_1))=\beta(g_1(a_1)) \lr(Kommutativität) => g_1(a_1)\in\ ker(\beta) => g_1(ker(\alpha))\subseteq ker(\beta) Mit dem analogen Argument ist h_1(ker(\beta))\subseteq\ ker(\gamma). \blue\checked Zur Wohldefiniertheit von d: Sei nun b_1 ein beliebiges Urbild von c_1\in\ ker(\gamma). => 0=\gamma(h_1(b_1))=h_0(\beta(b_1)) \lr(Kommutativität) => \beta(b_1)\in\ ker(h_0)=im(g_0) \lr(Exaktheit) => g_0^(-1)(\beta(b_1)) existiert. Ist b'_1 ein weiteres Urbild von c_1, so gilt: b_1-b'_1 \in\ ker(h_1)=im(g_1) \lr(Exaktheit) => \exists\ a_1: g_1(a_1)=b_1-b'_1 => \beta(b_1)-\beta(b'_1)=\beta(g_1(a_1))=g_0(\alpha(a_1)) \lr(Kommutativität) => g_0^(-1)(\beta(b_1))-g_0^(-1)(\beta(b'_1))=\alpha(a_1)\in\ im(\alpha) => (g_0^(-1)(\beta(b_1)))^- = (g_0^(-1)(\beta(b'_1)))^- Also ist d wohldefiniert. \blue\checked Dass d R\-linear ist, sieht man relativ einfach ein. Sind c_1, c'_1\in\ ker(\gamma) sowie r,r'\in\ R beliebig und b_1, b'_1 Urbilder von c_1 bzw. c'_1, so ist rb_1+r'b'_1 ein Urbild von rc_1+r'c'_1, es gilt also d(rc_1+r'c'_1)=((g_0^(-1)\circ\beta)(rb_1+r'b'_1))^- aufgrund der Wohldefiniertheit. \beta, g_0^(-1) und die Quotientabbildung A_0\to\ coker(\alpha) sind allesamt Homomorphismen, sodass auch d einer ist. \blue\checked Die Wohldefiniertheit von (g_0)^- und (h_0)^- folgt ebenfalls einfach aus der Kommutativität: a_0\in\ im(\alpha) => \exists a_1: \alpha(a_1)=a_0 => g_0(a_0)=g_0(\alpha(a_1))=\beta(g_1(a_1)) \lr(Kommutativität) => g_0(im(\alpha))\subseteq\ im(\beta) und analog h_0(im(\beta))\subseteq\ im(\gamma) Also sind (g_0)^- und (h_0)^- wohldefiniert. \blue\checked Exaktheit bei ker(\beta): h_1\circ\ g_1=0 \lr(Exaktheit) Sei umgekehrt b_1\in\ ker(h_1)\cut\ ker(\beta). => b_1\in im(g_1) \lr(Exaktheit) => \exists\ a_1: g_1(a_1)=b_1 => g_0(\alpha(a_1))=\beta(g_1(a_1))=\beta(b_1)=0 \lr(Kommutativität) => \alpha(a_1)=0 \lr(Injektivität) Also ist a_1\in\ ker(\alpha) ein Urbild von b_1. \blue\checked Exaktheit bei ker(\gamma): Für alle b_1\in\ ker(\beta) gilt: (d\circ\ h_1)(b_1)=((g_0^(-1)\circ\beta\circ h_1^(-1)\circ h_1)(b_1))^-=((g_0^(-1)\circ\beta)(b_1))^-=0 Also ist d\circ\ h_1=0. Sei umgekehrt c_1\in ker(d). => 0=d(c_1)=((g_0^(-1)\circ\beta\circ h_1^(-1))(c_1))^- => (g_0^(-1)\circ\beta\circ h_1^(-1))(c_1) \in\ im(\alpha) => \exists a_1: \alpha(a_1)=(g_0^(-1)\circ\beta\circ h_1^(-1))(c_1) => (\beta\circ h_1^(-1))(c_1)=g_0(\alpha(a_1))=\beta(g_1(a_1)) \lr(Kommutativität) => b_1:=h_1^(-1)(c_1) - g_1(a_1) \in \ker(\beta) => h_1(b_1)=c_1-(h_1\circ\ g_1)(a_1)=c_1 \lr(Exaktheit) Also ist das gesuchte Urbild gefunden. \blue\checked Exaktheit bei coker(\alpha): (g_0\circ\ g_0^(-1)\circ\beta\circ\ h_1^(-1))(c_1)=(\beta\circ\ h_1^(-1))(c_1)\in im(\beta) => (g_0)^-\circ\ d=0 Sei umgekehrt (a_0)^-\in\ ker((g_0)^-). => 0=(g_0(a_0))^- => g_0(a_0)\in im(\beta) => \exists\ b_1: \beta(b_1)=g_0(a_0) => \gamma(h_1(b_1))=h_0(\beta(b_1))=(h_0\circ\ g_0)(a_1)=0 \lr(Kommutativität+Exaktheit) => c_1:=h_1(b_1)\in ker(\gamma) Nach Konstruktion ist d(c_1)=((g_0^(-1)\circ\beta\circ\ h_1^(-1))(c_1))^-=(a_0)^-, und das gesuchte Urbild ist gefunden. \blue\checked Exaktheit bei coker(\beta): (h_0)^-\circ\ (g_0)^-=(h_0\circ\ g_0)^-=0 \lr(Exaktheit) Sei umgekehrt (b_0)^-\in\ ker((h_0)^-) => 0=(h_0(b_0))^- => h_0(b_0)\in im(\gamma) => \exists\ c_1: \gamma(c_1)=h_0(b_0) => \exists\ b_1: h_1(b_1)=c_1 \lr(Surjektivität) => h_0(b_0)=\gamma(h_1(b_1))=h_0(\beta(b_1)) \lr(Kommutativität) => b_0-\beta(b_1)\in ker(h_0)=im(g_0) => \exists\ a_0: g_0(a_0)=b_0-\beta(b_1) => (b_0)^-=(g_0(a_0))^- \in im((g_0)^-) \blue\checked define(label0,0) define(labelA0,A_0) define(labelB0,B_0) define(labelC0,C_0) define(labela,\small\alpha) define(labelb,\small\beta) define(labelc,\small\gamma) define(labelA1,A_1) define(labelB1,B_1) define(labelC1,C_1) define(labelg1,\small\ g_1) define(labelh1,\small\ h_1) define(labelg0,\small\ g_0) define(labelh0,\small\ h_0) define(labelAt0,A^~_0) define(labelBt0,B^~_0) define(labelCt0,C^~_0) define(labelat,\small\alpha^~) define(labelbt,\small\beta^~) define(labelct,\small\gamma^~) define(labelAt1,A^~_1) define(labelBt1,B^~_1) define(labelCt1,C^~_1) define(labelgt1,\small\ g^~_1) define(labelht1,\small\ h^~_1) define(labelgt0,\small\ g^~_0) define(labelht0,\small\ h^~_0) define(labelphiA1,\small\phi_A_1) define(labelphiB1,\small\phi_B_1) define(labelphiC1,\small\phi_C_1) define(labelphiA0,\small\phi_A_0) define(labelphiB0,\small\phi_B_0) define(labelphiC0,\small\phi_C_0) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.125) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) makro(mklabel,\ kreis(%1.mid,0.1,K,hide) fill(K,ffffff,top) \ ) x(-0.25,5.75) y(-0.25,2.25) ebene(600,250) noaxis() nolabel() punktform(.) node(0.0,0.0,N1) node(5.0,1.5,N2) node(0.5,0.5,Nt1) node(5.5,2.0,Nt2) node(1.0,0.0,A0) node(2.5,0.0,B0) node(4.0,0.0,C0) node(1.0,1.5,A1) node(2.5,1.5,B1) node(4.0,1.5,C1) node(1.5,0.5,At0) node(3.0,0.5,Bt0) node(4.5,0.5,Ct0) node(1.5,2.0,At1) node(3.0,2.0,Bt1) node(4.5,2.0,Ct1) replace() arrow(N1.E,A0.W,ar) arrow(C1.E,N2.W,ar) arrow(Nt1.E,At0.W,ar) arrow(Ct1.E,Nt2.W,ar) arrow(A0.E,B0.W,arA0B0) arrow(B0.E,C0.W,arB0C0) arrow(A1.E,B1.W,arA1B1) arrow(B1.E,C1.W,arB1C1) arrow(At0.E,Bt0.W,arAt0Bt0) arrow(Bt0.E,Ct0.W,arBt0Ct0) arrow(At1.E,Bt1.W,arAt1Bt1) arrow(Bt1.E,Ct1.W,arBt1Ct1) arrow(A1.S,A0.N,arA1A0) arrow(B1.S,B0.N,arB1B0) arrow(C1.S,C0.N,arC1C0) arrow(At1.S,At0.N,arAt1At0) arrow(Bt1.S,Bt0.N,arBt1Bt0) arrow(Ct1.S,Ct0.N,arCt1Ct0) arrow(At0.SW,A0.NE,arAt0A0) arrow(Bt0.SW,B0.NE,arBt0B0) arrow(Ct0.SW,C0.NE,arCt0C0) arrow(At1.SW,A1.NE,arAt1A1) arrow(Bt1.SW,B1.NE,arBt1B1) arrow(Ct1.SW,C1.NE,arCt1C1) print(\label0,-0.05,0.075) print(\labelA0,0.95,0.075) print(\labelB0,2.45,0.075) print(\labelC0,3.95,0.075) print(\labelA1,0.95,1.575) print(\labelB1,2.45,1.575) print(\labelC1,3.95,1.575) print(\label0, 4.95,1.575) print(\label0, 0.45,0.575) print(\labelAt0,1.45,0.6) print(\labelBt0,2.95,0.6) print(\labelCt0,4.45,0.6) print(\labelAt1,1.45,2.1) print(\labelBt1,2.95,2.1) print(\labelCt1,4.45,2.1) print(\label0, 5.45,2.075) mklabel(arA0B0) print(\labelg0, 1.70,0.075) mklabel(arB0C0) print(\labelh0, 3.20,0.075) mklabel(arA1B1) print(\labelg1, 1.70,1.575) mklabel(arB1C1) print(\labelh1, 3.20,1.575) mklabel(arAt0Bt0) print(\labelgt0, 2.20,0.6) mklabel(arBt0Ct0) print(\labelht0, 3.70,0.6) mklabel(arAt1Bt1) print(\labelgt1, 2.20,2.1) mklabel(arBt1Ct1) print(\labelht1, 3.70,2.1) mklabel(arA1A0) print(\labela, 0.95, 0.8) mklabel(arB1B0) print(\labelb, 2.45, 0.8) mklabel(arC1C0) print(\labelc, 3.95, 0.8) mklabel(arAt1At0) print(\labelat, 1.45, 1.325) mklabel(arBt1Bt0) print(\labelbt, 2.95, 1.325) mklabel(arCt1Ct0) print(\labelct, 4.45, 1.325) mklabel(arAt1A1) print(\labelphiA1, 1.2, 1.8) mklabel(arBt1B1) print(\labelphiB1, 2.7, 1.8) mklabel(arCt1C1) print(\labelphiC1, 4.2, 1.8) mklabel(arAt0A0) print(\labelphiA0, 1.2, 0.3) mklabel(arBt0B0) print(\labelphiB0, 2.7, 0.3) mklabel(arCt0C0) print(\labelphiC0, 4.2, 0.3) \geooff Es fehlt uns nun noch die Aussage, dass die so konstruierte Abbildung d natürlich ist. Was heißt das genau? Ist ein zweites Diagramm von gleicher Struktur zusammen mit Abbildungen \phi_A_i: A^~_i\to A_i, \phi_B_i: B^~_i\to B_i, \phi_C_i: \C^~_i\to\ C_i gegeben, sodass das zusammengesetzte Diagramm geoprint() kommutiert, so soll das dort analog konstruierte d^~ die Kommutativitätsbedingung d\circ\phi_C_1 = (\phi_A_0)^-\circ\ d^~ erfüllen. Das nachzurechnen, ist aber einfach. Wir beginnen mit einem beliebigen c^~_1\in\ ker(\gamma^~) und wählen ein Urbild b^~_1 unter h^~_1. Dann gilt h_1(\phi_B_1(b^~_1))=\phi_C_1(h^~_1(b^~_1))=\phi_C_1(c^~_1) \lr(Kommutativität) => \phi_B_1(b^~_1) ist ein Urbild von \phi_C_1(c^~_1) unter h_1. Es ist weiter (g_0^(-1)\circ\beta\circ\phi_B_1)(b^~_1)=(g_0^(-1)\circ\phi_B_0\circ\beta^~)(b^~_1) | | = (\phi_A_0\circ\ g^~_0^(-1)\circ\beta^~)(b^~_1) \lr(2x Kommutativität) Also ist wie behauptet d(\phi_C_1(c^~_1))=( \phi_A_0((g^~_0^(-1)\circ\beta^~\circ\ h^~_1^(-1))(c^~_1))^-) | | =(\phi_A_0)^-(((g^~_0^(-1)\circ\beta^~\circ\ h^~_1^(-1))(c^~_1))^-) | | =(\phi_A_0)^-(d^~(c^~_1)) Also gilt die behauptete Natürlichkeit. \blue\ q.e.d. Man kann allgemeiner zeigen, dass für jede Konstruktion, die ein gegebenes Diagramm nimmt und nur unter Verwendung der dort vorkommenden Abbildungen eine neue Abbildung zusammenstellt, das Ergebnis natürlich ist. Man muss natürlich präzisieren, was beim "Zusammenstellen" alles erlaubt ist. Funktorielle Konstruktionen wie wir sie hier mit Kokern, den induzierten Abbildungen und Umkehrabbildungen verwendet haben, sind aber erlaubt.

Barratt-Whitehead-Leitern und Mayer-Vietoris-Sequenzen

Das Prinzip "Nimm ein kommutatives Diagramm und bastele eine exakte Sequenz daraus" steckt auch in der Konstruktion der so genannten Mayer-Vietoris-Sequenzen, die ein wichtiges Hilfsmittel in der algebraischen Topologie sind. Sie sind lange exakte Sequenzen, die sich auf eine bestimmte Weise aus zwei vorhandenen, exakten Sequenzen zusammensetzen. Weil sie später so wichtig ist, führen wir die Konstruktion hier durch. Im Wesentlichen wird dabei wieder nur eine Diagrammjagd durchgeführt. Die Konstruktion fällt im Moment noch einfach vom Himmel. Dort wo wir sie zuerst anwenden werden, wird sich aber die Barratt-Whitehead-Leiter, mit der wir starten, ganz natürlich aus der Situation ergeben. Eine Sequenz alleine ist noch nicht allzu hilfreich. Die Mayer-Vietoris-Sequenz ist aber sogar eine exakte Sequenz. Das werden wir jetzt beweisen: \blue\ Beweis: Auch das ist wieder eine Diagrammjagd. Wir folgen wieder unserer Konvention, nur mit den Bezeichnungen der Variablen zu kennzeichnen, aus welchem der Moduln sie stammen. Wir prüfen zunächst, dass die Kompositionen der Abbildungen gleich 0 sind, d.h. dass an jeder Stelle im(...)\subseteq\ ker(...) ist. ((i^~_n-g_n)\circ(f_n, i_n))(a_n)=i^~_n(f_n(a_n))-g_n(i_n(a_n)) =g_n(i_n(a_n))-g_n(i_n(a_n)) \lr(Kommutativität) =0 \blue\checked (r_n\circ(i^~_n-g_n))(a^~_n, b_n)=r_n(i^~_n(a^~_n)-g_n(b_n)) =(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n\circ\ i^~_n)(a^~_n)-(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n\circ\ g_n)(b_n) =(d_n\circ\ h_n^(-1))(0)-(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n\circ\ g_n)(b_n) \lr(Exaktheit) =-(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ h_n\circ\ j_n)(b_n) \lr(Kommutativität) =-(d_n\circ\ j_n)(b_n) =0 \lr(Exaktheit) \blue\checked (f_(n+1), i_(n+1))\circ\ r_n untersuchen wir komponentenweise: (f_(n+1)\circ\ r_n)(b^~_n)=(f_(n+1)\circ\ d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n)(b^~_n) =(d^~_n\circ\ h_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n)(b^~_n) \lr(Kommutativität) =0 \lr(Exaktheit) (i_(n+1)\circ\ r_n)(b^~_n)=(i_(n+1)\circ\ d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n)(b^~_n) =0 \lr(Exaktheit) \blue\checked Nun ist zu prüfen, dass an jeder Stelle sogar Gleichheit zwischen dem entsprechenden Kern und Bild gilt. Sei also (a^~_n, b_n)\in\ ker(i^~_n-g_n). => i^~_n(a^~_n)-g_n(b_n)=0 => i^~_n(a^~_n)=g_n(b_n) => 0=j^~(i^~_n(a^~_n))=j^~_n(g_n(b_n)) \lr(Exaktheit) => 0=h_n(j_n(b_n)) \lr(Kommutativität) => 0=j_n(b_n) \lr(Injektivität) => b_n\in\ ker(j_n)=im(i_n) \lr(Exaktheit) => \exists\ a_n: i_n(a_n)=b_n => i^~_n(f_n(a_n))=g_n(i_n(a_n)) \lr(Kommutativität) | | =i^~_n(a^~_n) => f_n(a_n)-a^~_n\in\ ker(i^~_n)=im(d^~_(n-1)) \lr(Exaktheit) => \exists c^~_(n-1): d^~_(n-1)(c^~_(n-1))=f_n(a_n)-a^~_n Setze c_(n-1):=h||array(\small\ -1$;n\-1\normal)(c^~_(n-1)) => f_n(d_(n-1)(c_(n-1)))=d^~_(n-1)(c^~_(n-1)) \lr(Kommutativität) | | =f_n(a_n)-a^~_n => a^~_n=f_n(a_n-d_(n-1)(c_(n-1))) Es gilt weiter i_n(a_n-d_(n-1)(c_(n-1)))=i_n(a_n)-(i_n\circ\ d_(n-1))(c_(n-1) | | =i_n(a_n) \lr(Exaktheit) Also ist a_n-d_(n-1)(c_(n-1)) das gesuchte Urbild von (a^~_n, b_n). \blue\checked Sei für den nächsten Schritt b^~_n\in\ ker(r_n) => 0=r_n(b^~_n)=(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n)(b^~_n) => h_n^(-1)(j^~_n(b^~_n))\in\ ker(d_n)=im(j_n) \lr(Exaktheit) => \exists b_n: j_n(b_n)=h_n^(-1)(j^~_n(b^~_n)) => j^~_n(b^~_n)=h_n(j_n(b_n)) | | =j^~_n(g_n(b_n)) \lr(Kommutativität) => b^~_n-g_n(b_n)\in\ ker(j^~_n)=im(i^~_n) \lr(Exaktheit) => \exists\ a^~_n: b^~_n-g_n(b_n)=i^~_n(a_n) => b^~_n=i^~_n(a^~_n)-g_n(-b_n)=(i^~_n-g_n)(a^~_n,-b_n) Also ist b^~_n\in\ im(i^~_n-g_n) wie gewünscht. \blue\checked Sei im letzten Schritt a_(n+1)\in\ ker(f_(n+1), i_(n+1))=ker(f_(n+1))\cut\ ker(i_(n+1)) => a_(n+1)\in\ ker(i_(n+1))=im(d_n) => \exists\ c_n: d_n(c_n)=a_(n+1) \lr(Exaktheit) Setze c^~_n:=h_n(c_n). => d^~_n(c^~_n)=d^~_n(h_n(c_n)) | | = f_(n+1)(d_n(c_n)) \lr(Kommutativität) | | = f_(n+1)(a_(n+1)) | | = 0 => c^~_n\in\ ker(d^~_n)=im(j^~_n) \lr(Exaktheit) => \exists b^~_n: c^~_n=j^~_n(b^~_n) => r_n(b^~_n)=(d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ j^~_n)(b^~_n) | | = (d_n\circ\ h_n^(-1))(c^~_n) | | = (d_n\circ\ h_n^(-1)\circ\ h_n)(c_n) | | = d_n(c_n) | | = a_(n+1) Also ist a_(n+1)\in\ im(r_n) und die Exaktheit der Sequenz damit gezeigt. \blue\ q.e.d. In der Tat könnten wir noch mehr beweisen. Die Konstruktion der Sequenz ist absolut natürlich. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Mayer-Vietoris-Sequenz ein Funktor ist von der Kategorie der Barratt-Whitehead-Leitern in die Kategorie der langen, exakten Sequenzen. Da das etwas umständlich aufzuschreiben ist und wir es auch nicht brauchen werden, wird an dieser Stelle jedoch darauf verzichtet.

Spaltende Sequenzen

Wir wollen zum Ende noch einen genaueren Blick auf die kurzen exakten Sequenzen werfen. Es wurde bereits bemerkt, dass jede kurze exakte Sequenz 0\to A\to B\to C\to 0 auch so aufgefasst werden kann, dass man A mit seinem Bild in B identifiziert und C mit B\/A. Das erste nichttriviale Beispiel, das einem dann für solch eine Sequenz einfällt, ist wahrscheinlich eine Sequenz der Form 0\to A\to A\oplus B\to B\to 0 wobei die beiden Abbildungen die kanonischen sind, also a\mapsto(a,0) und (a,b)\mapsto\ b. Längst nicht alle kurzen exakten Sequenzen sind von dieser Form, aber diese Sequenzen sind natürlich schon deshalb interessant, weil man sie besser unter Kontrolle hat, als allgemeine kurze exakte Sequenzen. Man würde deshalb gerne erkennen können, wann eine gegebene kurze exakte Sequenz von dieser Form ist. Dafür muss man sich erstmal darüber Gedanken machen, wie sinnvoll diese Frage denn eigentlich gestellt ist. Es tritt z.B. das Problem auf, dass längst nicht jede kurze exakte Sequenz 0\to A\to A\oplus\ B\to B\to 0 tatsächlich auch die beiden oben genannten Abbildungen benutzt. Einfach zu fordern, dass der mittlere Modul der Sequenz zu A\oplus\ B isomorph ist, wird also nicht ausreichend sein, auch die beiden Abbildungen müssen "passend" sein. Wir führen daher den Begriff der Äquivalenz ein: Man beachte, dass das Fünf\-Lemma sofort impliziert, dass eine Äquivalenz \phi stets ein Isomorphismus ist \(man verbinde die Nullen auch mit der Identität und hat dann die Situation des Fünf\-Lemmas\). Man prüft damit auch sofort nach, dass eine Äquivalenz von kurzen exakten Sequenzen diesen Namen auch verdient, d.h. wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Die Frage, die wir nun stellen wollen, ist die nach einem einfachen Kriterium, um zu erkennen, wann eine kurze exakte Sequenz spaltet. Das folgende Lemma gibt uns ein solches: \blue\ Beweis: Man sieht leicht ein, dass \ref(b)=>\ref(a) und \ref(b)=>\ref(c) direkt aus der Definition der Äquivalenz und der Existenz der Abbildungen (a,c)\mapsto\ a bzw. c\mapsto\ (0,c) folgen, die uns i bzw. j induzieren. Sind umgekehrt i bzw. j gegeben, so sind \phi:=cases(A\oplus\ C\to B;(a,c)\mapsto\ f(a)+j(c)) bzw. \psi:=cases(B\to\ A\oplus\ C;b\mapsto\ (i(b),g(b))) die gesuchten Äquivalenzen, wie man sich nachrechnet. \blue\ q.e.d. Einiges von dem, was wir bisher gemacht haben, gilt auch in der Kategorie der Gruppen, d.h. in einem nicht-abelschen Setting. Auch dort kann man exakte Sequenzen definieren und z.B. das Fünfer-Lemma genauso, wie wir es getan haben, beweisen. Auch der Begriff der spaltenden Sequenzen findet seine Entsprechung im Gruppenkontext. Die korrekte Variante ersetzt jedoch das direkte Produkt durch ein semidirektes Produkt. Das Splittinglemma ist dadurch in der Version für allgemeine Gruppen nicht mehr so symmetrisch wie hier: Während (a) und (b) noch immer äquivalent sind, ist (c) nun die wesentliche stärkere Forderung, dass die mittlere Gruppe der Sequenz nicht nur ein semidirektes, sondern sogar ein direktes Produkt ist. Siehe dazu auch Gruppenzwang X.

Abschluss

Das reicht für die ersten kleinen Anwendungen, die wir vorhaben. Ein zweiter Teil wird Kenntnisse über Kettenkomplexe und deren Homologien bereitstellen, die wir dann brauchen werden, um die singuläre Homologie eines topologischen Raums zu definieren. 0->mfg->Goc->kel->0