Mathematik: Endliche Symmetriegruppen
Released by matroid on Mi. 02. Dezember 2009 21:51:21 [Statistics]
Written by FlorianM - 3945 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Lineare Algebra

\(\begingroup\)

Symmetriegruppen

§3 Endliche Symmetriegruppen

Symmetrie In diesem Artikel wollen wir uns ein paar endliche Symmetriegruppen anschauen. Im Mittelpunkt wird die Diedergruppe stehen. Zuvor führen wir aber einige Begriffe, wie den Fixpunkt, den Schwerpunkt oder die Bahn einer endlichen Symmetriegruppe ein. Wir werden zeigen, dass eine endliche Untergruppe von Sym(E) genau einen Fixpunkt besitzt. Wir wünschen wie immer viel Spaß!

3.1 Wichtige Begriffe und Definitionen Bevor wir richtig anfangen können, wollen wir einige wichtige Definitionen und Begriffe zusammenstellen, die wir im Zusammenhang mit (endlichen Symmetriegruppen)__ benötigen. \big\ \green\ Definition des Fixpunkt: Sei G\subset\ Sym(E) eine endliche Untergruppe. Ein Punkt x_0\el\ E heißt Fixpunkt__, wenn x_0 von allen Elementen g\el\ G festgelassen wird, also wenn g(x_0)=x_0 gilt. \big\ \green\ Definition des Schwerpunktes: Sei M\subset\ E eine endliche Teilmenge der Ebene. Der Schwerpunkt__ von M ist der Punkt p(M):=1/abs(M)*sum(x,x\el\ M,). Hierbei bezieht sich die Summe auf die Vektoraddition in E=\IR^2. \big\ \green\ Definition der Bahn: Sei q ein Punkt der Ebene. Sei Q die Menge seiner Bilder unter den verschiedenen Symmetrien aus G. Dabei hat jedes Element von Q die Form q'=g(p) für ein geeignetes g\el\ G. Diese Menge nennt man Bahn:: von q unter der Wirkung von G. \big\ \green\ Definition des Stabilisators: Sei x\el\ E. Die Teilmenge O_x:=menge(g\el\ Sym(E): g(x)=x) aller Symmetrien, die x festlassen, heißt der Stabilisator__ von x.
3.2 Der Fixpunktsatz Folgenden Satz__ wollen wir beweisen: \big\ \green\ Fixpunktsatz: Sei G\subset\ Sym(E) eine endliche Untergruppe. Dann gibt es einen gemeinsamen Fixpunkt x_0\el\ E, der von allen Elementen von G festgelassen wird, also g(x_0)=x_0 \forall\ g\el\ G. Aus diesem Satz folgt z.B., dass jede Untergruppe von Sym(E), die Drehungen um zwei verschiedene Punkte enthält, unendlich ist. Der Satz ermöglicht uns also auch, zu entscheiden, ob eine Untergruppe von Sym(E) endlich ist. Besitzt eine Symmetrie keinen Fixpunkt, so ist diese nicht endlich. Bevor wir den Satz beweisen, geben wir ein Lemma, das wir zunächst beweisen wollen: \big\ \green\ Lemma: Sei M\subset\ E eine endliche Teilmenge der Ebene, x_0:=p(M) der Schwerpunkt von M und \phi2:E->E eine Symmetrie. Dann ist \phi2(x_0) der Schwerpunkt von \phi2(M)\subset\ E. \stress\ Beweis: Wir schreiben M=menge(x_1, x_2, ..., x_n) und \phi2(x)=S*x+v. Dann gilt: \phi2(x_0)=S*1/n*(x_1+...+x_n)+v =1/n*((S*x_1+v)+...+(S*x_n+v)) =1/n*(\phi2(x_1)+...+\phi2(x_n))=p(\phi2(M)) \bigbox Nun sind wir gewappnet, um den Fixpunktsatz zu \stress\ beweisen: Sei dazu G\subset\ Sym(E) eine endliche Untergruppe. Wir wählen einen beliebigen Punkt y\el\ E und definieren M\subset\ E als die Bahn von y unter G, also M:=menge(g(y): g\el\ G). Offenbar ist M eine endliche Menge. Für ein beliebiges h\el\ G gilt nun: h(M)=menge((h\circ\ g)(y)=h(g(y)): g\el\ G)=menge(g(y): g\el\ G)=M. Für das vorletzte Gleichheitszeichen haben wir ausgenutzt, dass die Abbildung G->G, g|->h\circ\ g eine Bijektion ist, die Umkehrabbildung lautet g|->h^(-1)\circ\ g. Die endliche Teilmenge M wird also von einem Element h\el\ G in sich abgebildet. Ist x_0:=p(M) der Schwerpunkt von M, so folgt nach dem obigen Lemma, dass h(x_0)=x_0 \forall\ h\el\ G und damit die Behauptung.\bigbox Zum Abschluss wollen wir nochmal zusammenfassen, welche Symmetrien, siehe dazu den zweiten Teil dieser Serie, Fixpunkte besitzen und welche nicht. \squaredot Die Translation besitzt keinen Fixpunkt, es sei denn der Translationsvektor ist der Nullvektor. \squaredot Die Drehungen besitzen genau einen Fixpunkt, nämlich den Punkt, um den gedreht wird. \squaredot Die Spiegelungen besitzen eine ganze Spiegelgerade als Fixpunkte. \squaredot Die Gleitspiegelungen besitzen wegen der anschließenden Translation ebenfalls keinen Fixpunkt. Dennoch kann man Gleitspiegelungen und Translationen auseinander halten. Bei den Translationen ist die orthogonale Matrix die Einheitsmatrix. Bei den Gleitspiegelungen besitzt die entsprechende Spiegelmatrix die Determinante -1.
3.3 Diedergruppen Sei n\el\ \IN eine beliebige, aber fest gewählte natürliche Zahl und d=d_(2\pi/n)\el\ O_2(\IR) die Drehung um den Ursprung mit dem Winkel 2\pi/n. Weiterhin sei s\el\ O_2(\IR) die Spiegelung an der x_1-Achse. Man verifiziert nun sehr leicht die folgenden "Regeln": d^n=1 \green\ Dreht man n-mal um den Winkel 2\pi/n, so gelangt man wieder am Ausgangspunkt an. s^2=1 \green\ Zwei Spiegelungen bewirken "nichts". s^(-1)=s \green\ Geometrisch klar, denn beachte, was eine Spiegelung ist. ;) d^(-1)=d^(n-1) \green\ Dies verifiziert man auch sehr schnell geometrisch. Daraus ergibt sich nun auch sds=d^(n-1)=d^(-1). Wir definieren nun zwei endliche Untergruppen von O_2(\IR). \squaredot Zum einen die von d erzeugte (zyklische) Gruppe C_n:= =menge(1, d, d^2, ..., d^(n-1)), die wir im Abschnitt 3.4 kurz ansprechen werden und zum anderen die \squaredot Diedergruppe, die Gruppe, die von d uns s erzeugt wird, also D:=. Die Diedergruppe besitzt die Ordnung 2*n. Durch Anwenden unserer obigen "Regeln" kann man die 2*n Elemente sehr leicht auflisten: D_n=menge(1,d, d^2, ..., s, sd, sd^2, ..., sd^(n-1)) Geometrisch kann man sich die Diedergruppe sehr schön verdeutlichen und zwar als Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks. Wir betrachten hier den Fall n=4. Wir wissen aus den vorigen Überlegungen, dass D_4=menge(1, d, d^2, d^3, s, sd, sd^2, sd^3) gilt. Nun stellt man sich aber die Frage, was diese Elemente zu bedeuten haben, also anschaulich, sprich geometrisch. Erstmal leuchtet ein, dass die Drehung d um den Winkel (2\pi)/4=\pi/2 das Viereck in sich überführt und dabei die vier Ecken zyklisch permutiert. Damit hätten wir uns geometrisch klar gemacht, was die Drehungen 1, d, d^2 und d^3 bedeuten. Nun gibt es aber noch vier weitere Symmetrien. Und zwar die Spiegelungen__ an den beiden Koordinatenachsen, der Diagonalen und an der Antidiagonalen. Wir müssen uns nun überlegen, welche Elemente von s, sd, sd^2 und sd^3 diesen Spiegelungen entsprechen. Die Spiegelung an der x_1-Achse haben wir s genannt. Nun überlegt man sich, dass die Elemente sd, sd^2 und sd^3 die Spiegelungen an der Antidiagonalen, an der x_2-Achse und an der Diagonalen entsprechen. Siehe auch das unten stehende Bild. Nun können wir D_4 auch in Konjugiertenklassen einteilen. Wir geben eine Überlegung, den Rest möge sich der Leser als Übungsaufgabe selbst überlegen. Die Drehungen d und d^3 sind wegen s^(-1) ds=d^3 konjugiert. Das macht man sich auch geometrisch klar: Eine Drehung um den Winkel \pi/2 bezüglich des durch s gespiegelten Koordinatensystems sieht wie eine Drehung um den Winkel -\pi/2 aus. Weiterhin ist klar, dass die Spiegelungen s und sd^2 konjugiert sind. Rechnerisch sieht man es an der Relation dsd^(-1)=sd^3 d^(-1)=sd^2 und geometrisch leuchtet es auch ein: Bei s und sd^2 handelt es sich ja um Spiegelungen an zwei Geraden, von denen die eine durch die in D_4 liegende Drehung d in die andere überführt wird. Als Kontrolle geben wir die anderen Konjugiertenklassen an: D_4 besitzt insgesamt 5 Konjugiertenklassen: \squaredot Die Identität \squaredot Die Drehungen um den Winkel +-\pi/2, d und d^3 \squaredot Die Drehung um den Winkel \pi, d^2 \squaredot Die Spiegelung an den Koordinatenachsen, s und sd^2 \squaredot Die Spiegelungen an der Diagonalen und der Antidiagonalen, sd und sd^3
3.4 Zyklische Gruppe der Ordnung n Wir geben noch ganz kurz ein weiteres Beispiel endlicher Symmetriegruppen. Das ist die Gruppe C_n: Die zyklische Gruppe der Ordnung n, die von der Drehung d_(2\pi/n) erzeugt wird. Die Lösungen der Gleichung z^n=c (c\el\ \IC \\ menge(0)) sind in der komplexen Zahlenebene die Ecken eines regelmäßigen n\-Ecks. Für c=1 und n>=1 erhält man die Lösungen z_k=exp(k*(2\pi/n)*i). Man erhält sie algebraisch als Potenzen von exp((2\pi)/n*i) und geometrisch, wenn der Winkel (2\pi)/n gegeben ist, durch k\-faches "Abtragen" dieses Winkels auf dem Einheitskreis. Die Erzeuger der zyklischen Gruppe sind gegeben durch exp((2*k*\pi*i)/n) mit ggT(n,k)=1. Veranschaulicht euch dies am besten mal für C_4 und C_5.
3.5 Abschluss Mit diesem Artikel wollte ich die Serie der Symmetriegruppen zunächst einmal abschließen. Es ist aber nicht augeschlossen, dass es irgendwann zu diesem Thema nochmal Artikel von mir geben wird. Aber vielleicht haben auch andere Lust, hierzu etwas zu schreiben. Euer Florian
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Lineare Algebra :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Endliche Symmetriegruppen [von FlorianM]  
Symmetriegruppen §3 In diesem Artikel wollen wir uns ein paar endliche Symmetriegruppen anschauen. Im Mittelpunkt wird die Diedergruppe stehen. Zuvor führen wir aber einige Begriffe, wie den Fixpunkt, den Schwerpunkt oder die Bahn einer endlichen Symmetriegruppe ein. W
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 3945
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 408 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.10 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com5212.7%12.7 %
http://google.de22254.4%54.4 %
https://google.de7317.9%17.9 %
http://google.hu153.7%3.7 %
http://google.com153.7%3.7 %
http://google.no41%1 %
https://www.bing.com30.7%0.7 %
http://google.at20.5%0.5 %
http://ecosia.org20.5%0.5 %
http://images.google.de20.5%0.5 %
http://search.snap.do20.5%0.5 %
http://google.ch30.7%0.7 %
https://www.ecosia.org10.2%0.2 %
http://search-results.mobi10.2%0.2 %
http://de.search.yahoo.com10.2%0.2 %
http://www.bing.com51.2%1.2 %
http://suche.t-online.de20.5%0.5 %
https://r.search.yahoo.com10.2%0.2 %
http://search.conduit.com10.2%0.2 %
http://images.google.com10.2%0.2 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 364 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2017 (96x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (58x)https://google.de/
2020-2021 (51x)https://google.com/
201205-05 (25x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische symmetriegruppe
201206-06 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische untergruppen symmetriegruppe quad...
201204-04 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische gruppe drehung
201203-03 (15x)http://google.hu/imgres?q=symmetrie
2020-2021 (15x)https://google.de
2013-2015 (11x)http://google.com/url?sa=t&rct=j&q=
201201-01 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=symmetriegruppen
201212-12 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=diedergruppe stabilisator
201304-04 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was sind die bahnen bei symmetriegruppen
201210-10 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische gruppe für dummies
201211-11 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische symmetriegruppen
201207-07 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklische gruppe symmetriegruppe
201306-06 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=beweis drehung 2 pi endliche ordnung
201305-05 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=symmetriegruppe viereck
201209-09 (4x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=
201705-11 (4x)http://google.de/

[Top of page]

"Mathematik: Endliche Symmetriegruppen" | 1 Comment
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Endliche Symmetriegruppen
von: OmmO am: Mi. 25. April 2012 00:40:38
\(\begingroup\)In 3.4 müssen n und k teilerfremd sein.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]