Inhalt

• I. Die Eilenberg-Steenrod-Axiome
  • Kategorientheoretisches
  • Das Axiom der langen, exakten Sequenz
  • Homotopie-Invarianz
  • Das Ausschneidungsaxiom
  • Das Dimensionsaxiom
  • Das Additivitätsaxiom
  • Zusammenfassung
• II. Erste Anwendungen
  • Die Mayer-Vietoris-Sequenz
  • Homologie von Sphären
  • Invarianz der Dimension
• Abschluss

I. Die Eilenberg-Steenrod-Axiome

Im Gegensatz zur Dimension von Vektorräumen oder Eigenwerten von Endomorphismen, braucht man für die Invarianten der algebraischen Topologie oft einigen Aufwand, um sie korrekt definieren zu können bzw. um nachzuweisen, dass sie die gewünschten Eigenschaften erfüllen. Wir werden daher vorerst abstrakt bleiben, bevor wir eine Homologie-Theorie zum ersten Mal konkret angeben werden. Zunächst werfen wir einen Blick auf die Axiome, die eine Homologie-Theorie erfüllen soll, und schauen uns deren Konsequenzen genau an. Diese Axiome sind erst einmal ungewöhnlich, weil sie zum Teil sehr abstrakt erscheinen. Es wird sich jedoch herausstellen, dass wir mit ihnen schon eine Menge anfangen können und ohne allzu großen Aufwand viel erreichen können. Durch die gleich zu definierenden Axiome sind die Homologien bestimmter, sehr gutartiger Räume sogar bereits eindeutig festgelegt.

Kategorientheoretisches

Wir fixieren für den gesamten Verlauf dieses und der folgenden Artikel einen Grundring R, der der Bequemlichkeit halber kommutativ sei und eine Eins habe. makro(cat,array(\stress\big\ %1\normal)) Wir werden uns viel mit der Kategorie cat(Top^2) der Raumpaare beschäftigen. Daher zunächst einmal ein paar Definitionen: Doch nun etwas konkreter. Was wollen wir genau definieren? Was soll "Homologie" für uns bedeuten? Wir werden ab sofort diverse Kurzschreibweisen verwenden, um die Notation nicht unnötig zu überladen. So werden wir z.B. ein Raumpaar der Gestalt (X,\emptyset) stets als X schreiben. Entsprechend wird H_n(X,\emptyset) als H_n(X) notiert werden. Wir werden oft die Indizes unterdrücken, falls klar ist, welche gemeint sind oder eine Aussage ohnehin für alle n\in\IZ gilt. So schreiben wir beispielsweise \partial_\* und H_\*. \small\(Mit einer geeigneten Sichtweise ist H_\* ein Funktor, der sich aus den H_n zusammensetzt und so das Sternchen für die "Gesamtheit" der Indizes gilt. Das Stichwort lautet "graduierte Moduln". Wir wollen jedoch hier der Einfachheit halber nicht weiter darauf eingehen.\) Wir unterdrücken bei Homomorphismen der Form H_n(f) den Funktor H_n gleich ganz und werden für H_n(f) ebenfalls f_\* schreiben. Noch kürzer wird es bei inklusionsinduzierten Abbildungen, die so häufig auftreten werden, dass wir sie durchgängig mit opimg(\subseteq) bzw. opimg(\subseteq)_\* abkürzen werden. Es wird aus dem Kontext stets klar, welche Inklusion zwischen welchen Räumen bzw. Raumpaaren gemeint ist. define(labelXA,H_n(X,A)) define(labelAO,H_(n-1)(A)) define(labelYB,H_n(Y,B)) define(labelBO,H_(n-1)(B)) define(pd,\small\partial_n) define(fast,\small\ f_\*) define(fAast,((\small\ f_\|A\normal))_array(\small\*\normal)) \geo konst(dx,0.4) konst(dy,0.2) makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) x(-0.4,2.1) y(-0.4,1.7) ebene(250,210) noaxis() nolabel() punktform(.) node(0.0,1.5,XA) node(1.5,1.5,AO) node(0.0,0.0,YB) node(1.5,0.0,BO) print(\labelXA,-0.35,1.6) print(\labelAO, 1.2,1.6) print(\labelYB,-0.35,0.1) print(\labelBO, 1.2,0.1) print(\pd, 0.7, 1.75) print(\fast,-0.3, 0.9) print(\fAast,1.6, 0.9) print(\pd, 0.7,-0.1) punktform(of) pfeil(XA.E,AO.W) pfeil(XA.S,YB.N) pfeil(AO.S,BO.N) pfeil(YB.E,BO.W) \geooff Zur absoluten Klarheit seien die bisherigen Forderungen nochmal ausgeschrieben. Dass H_n ein Funktor ist, heißt, dass \ll(1)die induzierte Abbildung der Identität selbst die Identität ist \ll()\(id_(X,A)\.\)_\*=id_array(H_\*(X,A)); \ll(2)für Abbildungen f:(X,A)\to(Y,B), g:(Y,B)\to(Z,C) die Beziehung \ll()\(g\circ\ f\)_\*=g_\* \circ f_\* \ll()gilt. Dass \partial_n eine natürliche Transformation sein soll, heißt, dass \ll(3)für alle Abbildungen f:(X,A)\to(Y,B) das Diagramm \ll()geoprint() \ll()kommutieren soll.

Ein Wort zur Kohomologie

Alle Axiome, die im folgenden besprochen werden, können auch für eine Kohomologie-Theorie formuliert werden. Das "Ko" im Namen deutet schon an, dass es sich hier um etwas Duales im kategorientheoretischen Sinne handelt. makro(cat,array(\stress\big\ %1\normal)) Eine Kohomologietheorie____ ist eine Folge von kontra__varianten Funktoren H^n: cat(Top^2)\to\ R\-Mod zusammen mit einer natürlichen Transformation \delta_n: H^(n+1)(A)\to\ H^n(X,A), für die die dualen Varianten der folgenden Axiome gelten. Die duale Variante erhält man dabei, indem man aus unteren Indizes obere macht, \partial durch \delta ersetzt und alle Pfeile umdreht. Wir werden daher die kohomologischen Varianten nicht explizit erwähnen. Auch viele Sätze, die wir aus den Axiomen folgern werden (z.B. die Mayer-Vietoris-Sequenz) gelten mutatis mutandis für Kohomologietheorien. Es hat ein paar Vorteile, Kohomologien zu betrachten, weil man z.B. für die singuläre Kohomologie nicht nur eine R-Modul-Struktur auf den Kohomologiegruppen hat, sondern sogar einen (graduierten) Ring aus der Kohomologie machen kann, was zusätzliche Informationen über den topologischen Raum kodiert. Das ist jedoch etwas komplizierter (wenn auch nicht viel), als wir hier werden wollen. Daher ignorieren wir diesen Aspekt und betrachten Kohomologien einfach als duale Variante von Homologien. Für alle Anwendungen, die wir beweisen wollen, wird das ausreichen.

Das Axiom der langen, exakten Sequenz

Die Funktoren H_n sind für sich alleine genommen erstmal relativ unspannend. Wirklich nützlich werden sie erst dadurch, dass man die Homologien verschiedener Räume miteinander in Beziehung setzen kann. Wir fordern deshalb zusätzliche Axiome von den H_n, die solche Beziehungen herstellen. Ein äußerst wichtiges Arbeitsmittel für Homologien und Kohomologien aller Art ist die lange, exakte Homologie\-Sequenz, die die erste solcher Beziehungen zur Verfügung stellt: define(labeldots,\cdots) define(labelHYX,H_n(Y,X)) define(labelHZX,H_n(Z,X)) define(labelHZY,H_n(Z,Y)) define(labelHmYX,H_n\-1(Y,X)) define(inkl,\small\ opimg(\subseteq)_\*) define(part,\small\partial_\*) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.4) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,6.75) y(-0.5,0.5) ebene(700,100) noaxis() nolabel() punktform(.) node(1,0,A) node(2.5,0,B) node(4,0,C) node(5.5,0,D) konst(dx,0.2) node(0,0,dots1) node(6.5,0,dots2) arrow(dots1.E,A.W,ar1) arrow(A.E,B.W,ar2) arrow(B.E,C.W,ar3) arrow(C.E,D.W,ar4) arrow(D.E,dots2.W,ar5) print(\labeldots,-0.1,0.075) print(\labelHYX, 0.7,0.075) print(\labelHZX, 2.2,0.075) print(\labelHZY, 3.7,0.075) print(\labelHmYX,5.1,0.075) print(\labeldots,6.4,0.075) print(\inkl,1.6,0.2) print(\inkl,3.1,0.2) print(\part,4.6,0.2) \geooff Daraus lässt sich eine allgemeinere Variante dieser Aussage ableiten. Für jedes Tripel X\subseteq\ Y\subseteq\ Z ist nämlich die entsprechende Sequenz geoprint(,,-0.25,-0.25,6.75,0.25) ebenfalls exakt. Dabei meint \partial_n diesmal die Verkettung opimg(\subseteq)_\*\circ\partial_n: H_n(Z,Y)\to\ H_(n-1)(Y,\emptyset)\to\ H_(n-1)(Y,X), die etwas schlampig ebenfalls mit \partial_n bezeichnet wird. Es ist aber immer klar, welche Variante dieser Transformation gemeint ist. Manchmal wird auch gefordert, dass die lange Sequenz für solche Tripel exakt ist. Indem man X=\0 einsetzt, ergibt sich daraus dann auch, dass die lange Sequenz für Paare exakt ist.

Homotopie-Invarianz

Eine weitere Möglichkeit, Homologien miteinander in Verbindung zu setzen, leitet sich aus einer Eigenschaft ab, die wir bereits im letzten Artikel an Beispielen beobachten konnten. Es handelt sich hierbei um die Homotopie-Invarianz. Wir nähern uns diesem Axiom, indem wir zunächst definieren, was Homotopie für Raumpaare bedeutet. Eine Homotopie von Abbildungen zwischen Raumpaaren ist dabei analog zu Homotopien von einfachen Räumen definiert: Das Homotopie-Axiom ist nun sehr einfach zu formulieren: Mit anderen Worten: Beim Übergang zur Homologie werden aus homotopen Abbildungen gleiche Homomorphismen. Das ist eine sehr angenehme Eigenschaft, da sie es uns erlaubt, komplizierte Räume in einfachere zu deformieren, ohne dass sich dabei die Homologie ändert. Man kann das Axiom auch umformulieren, sodass nur noch ein einziges Raumpaar und nur zwei ganz bestimmte Abbildungen darin vorkommen (was für einige Beweise dieser Eigenschaft einfacher ist): Die Äquivalenz dieser Formulierungen ist einfach einzusehen. Wenn die erste Variante gilt, so ist in der zweiten Variante f_t eine Homotopie von f_0 nach f_1, also gilt \(\.f_0\.\)_\*=\(\.f_1\.\)_\*. Ist umgekehrt die zweite Formulierung wahr und sind h_0, h_1: (X,A)\to\(Y,B) homotop, so wähle eine Homotopie h:(X\times\ I,A\times\ I)\to(Y,B). Es gilt dann h_t=h\circ\ f_t, d.h. \(\.h_t\.\)_\*=h_\* \circ\(\.f_t\.\)_\*. Da nun nach Voraussetzung \(\.f_0\.\)_\*=\(\.f_1\.\)_\* gilt, folgt \(\.h_0\.\)_\*=\(\.h_1\.\)_\*.

Das Ausschneidungsaxiom

Ein weiteres, sehr wichtiges Axiom ist das Ausschneidungsaxiom. Es lässt sich sehr einfach formulieren: Der Name ist mit dieser Beschreibung eigentlich selbsterklärend: Man kann aus X und A ein Stück U herausschneiden und ändert dabei nichts an den Homologien, sofern U genügend gutartig in A eingebettet liegt. Eine solche "gutartige" Einbettung ist im metrischen Fall z.B. dann gegeben, wenn U einen (beliebig kleinen) positiven Abstand vom Rand von A hat. Eine äquivalente Formulierung, die oft leichter zu beweisen und in einigen Anwendungen angenehmer zu verwenden ist, ist folgende: Man nennt ein Tripel (X, X_1, X_2), wobei X_1, X_2 Unterräume von X sind und obige Isomorphie gilt, auch eine array(exzisive Triade)____ \(von lat. "excidere" = "ausschneiden"\). Das Ausschneidungsaxiom sagt in dieser Sprache also, dass (X, X_1, X_2) eine exzisive Triade ist, falls X=X||array(\small\ opimg(\circ);1\normal)\union\ X||array(\small\ opimg(\circ);2\normal). Die Äquivalenz beider Beschreibungen sieht man wie folgt ein: Gilt die erste Version und ist (X, X_1, X_2) eine Triade mit X=X||array(\small\ opimg(\circ);1\normal)\union\ X||array(\small\ opimg(\circ);2\normal), so setze A:=X_2 und U:=X\\X_1. Es gilt dann X\\U=X\\(X\\X_1)=X_1 A\\U=A\cut(X\\U)=X_2\cut\ X_1=X_0 und U^-=(X\\X_1)^-=X\\X||array(\small\ opimg(\circ);1\normal)\subseteq\ X||array(\small\ opimg(\circ);2\normal) Die erste Version des Ausschneidungsaxioms impliziert also die zweite. Ist umgekehrt von der zweiten Version bekannt, dass sie gilt und U\subseteq\ U^-\subseteq\ A^opimg(\circ)\subseteq\ A\subseteq\ X gegeben, so setze analog X_1:=X\\U, X_2:=A. Man rechnet nun ebenso einfach nach, dass nun die erste Version des Ausschneidungsaxiom erfüllt wird.

Das Dimensionsaxiom

Das Dimensionsaxiom fordert nur eine kleine Einschränkung, die sozusagen zur "Normierung" der Homologietheorie dient. Man kann Homologien auch anders "normieren", als wir das getan haben. Hat man einen festgewählten R\-Modul G, so kann man beispielsweise H_n(menge(\*))=cases(G,n=0;0,sonst) fordern. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Homologie array(mit Koeffizienten in G)____. Das Dimensionsaxiom vereinfacht einiges, ist aber für die wenigsten Anwendungen tatsächlich notwendig. Die meisten Sätze kann man mit leichten Modifikationen auch ohne Dimensionsaxiom beweisen. In der Tat gibt es auch viele interessante (Ko)Homologien, wie etwa die K-Theorie oder (Co)Bordismustheorien, die dieses Axiom nicht erfüllen. Diese werden unter dem Namen "außergewöhnliche (Ko)Homologietheorien" (engl. extraordinary coholomogy theories) zusammengefasst.

Das Additivitätsaxiom

Dieses Axiom wird nicht immer zu den Eilenberg-Steenrod-Axiomen gezählt. Es besagt, dass sich die Homologie eines Raumes, der die topologische Summe anderer Räume ist, aus den Homologien dieser Summanden berechnen lässt. Es zeigt sich, dass man aus dem Axiom der langen, exakten Sequenz und dem Ausschneidungsaxiom bereits die Aussage für endlich viele Räume herleiten kann. Das Additivitätsaxiom ist also nur dann wirklich interessant, wenn es um unendlich viele Räume geht. Es ist damit in gewisser Weise eine "Stetigkeitsforderung".

Zusammenfassung

Wir fassen die Definition zusammen: Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass das Konzept der (Ko)Homologie viel weiter reicht als hier bisher beschrieben. Viele andere Konstrukte sind unter dem Namen (Ko)Homologie in diversen Bereichen der Mathematik im Einsatz. Die Verallgemeinerungen und Abwandlungen der ursprünglichen Ideen sind so weitreichend, dass heutzutage etwas, das "(Ko)Homologie" heißt, nicht einmal einen Teil der hier vorgestellten Axiome erfüllen muss. Die Bordismus- und Kobordismustheorien sowie die K-Theorie verletzen z.B. das Dimensionsaxiom. Da sie alle anderen Axiome erfüllen, ist das jedoch nur eine kleine Unannehmlichkeit. Dagegen erfüllt die Čech-Kohomologie das Axiom von der langen, exakten Sequenz nur für bestimmte Räume, während das Axiom bei anderen Räumen verletzt sein kann. Die Borel-Homologie verletzt das Axiome von der Homotopie-Invarianz schon bei sehr gutartigen Räumen, so ist etwa die Borel-Homologie von \IR^n und dem Einpunktraum verschieden, obwohl die beiden Räume homotopieäquivalent sind. Schließlich gibt es Konzepte wie die Gruppen(ko)homologie, die komplett ohne topologische Räume definiert werden können, sodass die Axiome in diesem Kontext gar völlig bedeutungslos werden. (Es gibt allerdings eine enge Verbindung zu topologischen Räumen und deren "normaler" (Ko)Homologie)

II. Erste Anwendungen

makro(cat,\stress\big\ array(%1)\normal) Wir wollen den Rest des Artikels nutzen, um einige einfache Folgerungen aus diesen Axiomen zu beweisen und damit erste Resultate über Homologien bestimmter Räume erzielen. Wir werden dabei ab jetzt immer voraussetzen, dass (H_n, \partial_n) eine fest gewählte Homologietheorie cat(Top^2)\to\ cat(R\-Mod) in obigem Sinne ist. Ein fast schon triviales, aber immer wieder nützliches Resultat ist folgendes: \blue\ Beweis: Das Axiom über die lange exakte Sequenz sagt uns, wenn wir es auf das Raumpaar(X,X) anwenden, dass ...\to H_n(X)\to H_n(X)\to H_n(X,X)\to H_(n-1)(X)\to H_(n-1)(X) \to ... exakt ist. Dabei sind der linke und der rechte Pfeil von der Inklusion X\hookrightarrow\ X induziert, d.h. von der Identität. Da id_\*=id, sind diese beiden Pfeile Isomorphismen. Im ersten Artikel über die algebraischen Grundlagen der algebraischen Topologie haben wir uns überlegt, dass daraus folgt, dass der mittlere Term =0 ist. \blue\ q.e.d. Dieses Lemma wird in Verbindung mit vielen exakten Sequenzen sicher stellen, dass diverse Abbildungen Isomorphismen sind. Eine von diesen Sequenzen ist die nun folgende.

Mayer-Vietoris

Ein sehr mächtiges Werkzeug ist die Mayer-Vietoris-Sequenz. Sie folgt aus dem Axiom über die lange exakte Sequenz und dem Ausschneidungsaxiom. Das ist ein sehr nützliches Tool, da es uns auf eine gewisse Weise erlaubt, den Raum, dessen Homologie wir haben wollen, in Teilräume zu zerlegen. Durch die Mayer-Vietoris-Sequenz werden dann die Homologien des großen und der kleinen Räume miteinander in Verbindung gesetzt. define(labelX0A,H_n(X_0,A)) define(labelX1A,H_n(X_1,A)) define(labelX1X0,H_n(X_1,X_0)) define(labelX0Am,H_n\-1(X_0,A)) define(labelX2A,H_n(X_2,A)) define(labelXA,H_n(X,A)) define(labelXX2,H_n(X,X_2)) define(labelX2Am,H_n\-1(X_2,A)) define(inkl,\small\ opimg(\subseteq)_\*) define(pd,\small\partial_\*) define(iso,opimg(~=)) \geo konst(dx,0.42) konst(dy,0.15) makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,7.0) y(-0.25,1.25) ebene(725,150) noaxis() nolabel() punktform(.) node(-0.2,1,dd1a) node(1.0,1,X0A) node(2.5,1,X1A) node(4.0,1,X1X0) node(5.5,1,X0Am) node(6.7,1,dd1b) node(-0.2,0,dd0a) node(1.0,0,X2A) node(2.5,0,XA) node(4.0,0,XX2) node(5.5,0,X2Am) node(6.7,0,dd0b) arrow(dd1a.E,X0A.W,a11) arrow(X0A.E,X1A.W,a21) arrow(X1A.E,X1X0.W,a31) arrow(X1X0.E,X0Am.W,a41) arrow(X0Am.E,dd1b.W,a51) arrow(dd0a.E,X2A.W,a10) arrow(X2A.E,XA.W,a20) arrow(XA.E,XX2.W,a30) arrow(XX2.E,X2Am.W,a40) arrow(X2Am.E,dd0b.W,a50) arrow(X0A.S,X2A.N,s1) arrow(X1A.S,XA.N,s2) arrow(X1X0.S,XX2.N,s3) arrow(X0Am.S,X2Am.N,s4) print(\cdots, -0.1 ,1.075) print(\labelX0A, 0.65,1.075) print(\labelX1A, 2.15,1.075) print(\labelX1X0,3.6 ,1.075) print(\labelX0Am,5.1 ,1.075) print(\cdots, 6.6 ,1.075) print(\cdots, -0.1 ,0.075) print(\labelX2A, 0.65,0.075) print(\labelXA, 2.15,0.075) print(\labelXX2, 3.6 ,0.075) print(\labelX2Am,5.1 ,0.075) print(\cdots, 6.6 ,0.075) print(\inkl, 1.7, 1.2) print(\inkl, 3.2, 1.2) print(\pd, 4.7, 1.2) print(\inkl, 1.7,-0.1) print(\inkl, 3.2,-0.1) print(\pd, 4.7,-0.1) print(\inkl, 1.1, 0.55) print(\inkl, 2.6, 0.55) print(\inkl, 4.1, 0.55) print(\inkl, 5.6, 0.55) print(\iso,3.8,0.55) \geooff \blue\ Beweis: geoprint() Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd in dieser kommutativen Leiter und ist im Artikel Algebraische Grundlagen 1 aufgeführt. \blue\ q.e.d. Eine interessante Konsequenz dieser Sequenz ist, dass das Additivitätsaxiom sich für endlich viele Summanden aus ihr herleiten lässt (und damit aus dem Ausschneidungsaxiom und dem Axiom der langen, exakten Sequenz). Das Additivitätsaxiom ist also tatsächlich nur für unendlich viele Summanden eine zusätzliche Forderung. define(labeldots,\cdots) define(labelHnAA,H_n(A,A)) define(labelHnSum,H_n(Y_1,A)\oplus\ H_n(Y_2,A)) define(labelHnXA,H_n(X,A)) define(labelHmAA,H_n\-1(A,A)) define(labelg12,\small\(\.g_1\.\)_\*-\(\.g_2\.\)_\*) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.4) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,8.25) y(-0.5,0.5) ebene(850,100) noaxis() nolabel() punktform(.) konst(dx,0.2) node(0,0,dots1) node(7.6,0,dots2) konst(dx,0.4) node(0.9,0,HnAA) konst(dx,0.95) node(2.8,0,HnSum) konst(dx,0.4) node(5.3,0,HnXA) konst(dx,0.45) node(6.7,0,HmAA) arrow(dots1.E,HnAA.W,ar1) arrow(HnAA.E,HnSum.W,ar2) arrow(HnSum.E,HnXA.W,ar3) arrow(HnXA.E,HmAA.W,ar4) arrow(HmAA.E,dots2.W,ar5) print(\labeldots,-0.1,0.075) print(\labeldots, 7.5,0.075) print(\labelHnAA, 0.55,0.075) print(\labelHnSum,1.9 ,0.075) print(\labelHnXA, 4.95,0.075) print(\labelHmAA, 6.3 ,0.075) print(\labelg12,3.9,0.2) \geooff \blue\ Beweis: Offenbar genügt es, die Aussage für n=2 zu zeigen, weil die allgemeine Aussage per Induktion folgt. Wir setzen Y_1:=X_1\union\ A_2, Y_2:=A_1\union\ X_2. Es gilt dann Y_1\cut\ Y_2=A_1\union A_2=A sowie Y||array(\small\ opimg(\circ);1\normal)\union\ Y||array(\small\ opimg(\circ);2\normal)=X_1\union X_2=X, d.h. wir können die Mayer\-Vietoris\-Sequenz auf X, Y_1, Y_2 und A anwenden. Bezeichnen wir die Inklusionen (Y_i\.,\.A)\to\ (X,A) mit g_i, so erhalten wir: geoprint(,,-0.25,-0.25,7.75,0.25) Da H_\*(Y_1\cut\ Y_2,A)=H_\*(A,A)=0 ist, ergibt sich, dass die Abbildung \(\.g_1\.\)_\*-\(\.g_2\.\)_\* ein Isomorphismus sein muss. Das ist nun noch nicht ganz die von uns gewünschte Abbildung. Indem wir diesen aber mit dem Isomorpismus cases(H_\*(Y_2,A),opimg(\to),H_\*(Y_2,A);\ x,opimg(\mapsto),-x) verknüpfen, erhalten wir jedoch den Isomorphismus \(\.g_1\.\)_\*+\(\.g_2\.\)_\*: H_\*(Y_1,A)\oplus\ H_\*(Y_2,A)\to\ H_\*(X,A). Wir zeigen nun noch, dass die Inklusionen (X_i, A_i)\to(Y_i, A) Isomorphismen der Homologien H_\*(X_i,A_i)\to\H_\*(Y_i,A) induzieren. Dazu benutzen wir das Ausschneidungsaxiom. Es gilt X_1=Y_1\.\\A_2, A_1=A\.\\A_2 und (A_2)^-=A_2\subseteq\ A||array(\small\ opimg(\circ);1\normal)\union\ A_2=A^opimg(\circ) bzw. umgekehrt X_2=Y_2\.\\A_1, A_2=A\\A_1 und (A_1)^-\subseteq\ A^opimg(\circ), d.h. das Ausschneidungsaxiom ist anwendbar. \(Man beachte, dass wir Abschluss und Inneres bzgl. Y_i gebildet haben\) Packen wir alle diese Isomorphismen zusammen, bekommen wir die gewünschte Aussage. \blue\ q.e.d.

Homologie von Sphären

Eine sehr direkte Folgerung aus den Axiomen ist: Der Beweis schreibt sich von selbst. Wenn (X,A) homotopieäquivalent zu (Y,B) ist, dann gibt es stetige Abbildungen f:(X,A)\to(Y,B) und g:(Y,B)\to(X,A) mit f\circ\ g~-id_(X,A) und g\circ\ f~-id_(Y,B). Da die Homologie nun ein Funktor ist und homotope Abbildungen nicht unterscheidet, gilt: f_\*\circ\ g_\*=\(f\circ\ g\)_\*=\(id_(X,A)\.\)_\*=id_array(H_\*(X,A)) und ebenso g_\*\circ\ f_\*=id_array(H_\*(Y,B)) Also sind f_\* und g_\* zueinander inverse Isomorphismen zwischen den Homologien. \blue\ q.e.d. Eine einfache und beliebte Möglichkeit, dieses Lemma anzuwenden, sind Deformationsretrakte: Die Definition beschreibt ein sehr anschauliches Konzept: Y ist Deformationsretrakt von X, wenn man X stetig auf Y "deformieren" kann. Diese "Deformation" ist dabei durch die Homotopie f_t gegeben, die abhängig vom "Zeit"parameter t beschreibt, wie sich X Stück für Stück in Y deformiert. Man kann zeigen, dass zwei topologische Räume X und Y genau dann homotopieäquivalent gibt, wenn es einen gemeinsamen Oberraum Z gibt, von dem sowohl X als auch Y ein Deformationsretrakt ist. \(siehe z.B. Hatcher für einen Beweis\) In der Situation der Definition sind (X,A) und (Y,A) für alle A\subseteq\ Y homotopieäquivalent. Als Homotopieäquivalenz kann man die Inklusion i:(Y,A)\hookrightarrow(X,A) bzw. f_1: (X,A)\to(Y,A) nehmen. Aus der Definition ergibt sich dann f_1\circ\ i=id_(Y,A) und i\circ\ f_1=f_1~-f_0=id_(X,A) wie gewünscht. Wir werden vor allem die Information H_\*(X,A)=H_\*(Y,A) benutzen. Beispiele: \ll(1)Sei X\subseteq\IR^n sternförmig bzgl. a\in\ X \(z.B. X konvex und a beliebig\). Dann ist menge(a) ein Deformationsretrakt von X. Die Homotopie ist durch f_t(x):=ta+(1-t)x gegeben. \ll()X hat also insbesondere die Homologie des Einpunktraums für alle n. Das ist ein bisschen ernüchternd, da wir ja gehofft hatten, mit Hilfe der Homologie Sätze wie den über die Invarianz der Dimension beweisen zu können. Die Homologie von \IR^n alleine bringt uns aber erstmal nicht weiter. Es hilft jedoch ein Trick: \ll(2)(x,t)\mapsto\ f_t(x):=norm(x)^(-t)*x ist eine Deformationsretraktion \IR^n\.\\\{0\}\to S^(n-1). \ll()Das wird uns den Satz über die Invarianz der Dimension beweisen helfen, denn die Homologien von S^n können wir wirklich zur Unterscheidung dieser Räume heranziehen. \blue\ Beweis: Wir zeigen die Aussage per Induktion nach n. Für n=0 ist S^0=\{\+1\}\union\{\-1\}, d.h. eine disjunkte Vereinigung von Einpunkträumen. Die endliche Additivität liefert H_k(S^0,P)=H_k(menge(\+1)\union\ menge(\-1),menge(\+1)) | | =H_k(menge(\+1),menge(\+1))\oplus\ H_k(menge(\-1),\emptyset) | | =0\oplus\ H_k(menge(\-1)) Das Dimensionsaxiom besagt gerade, dass H_k(menge(-1))=R genau für k=0 ist und sonst 0. Das zeigt unsere Behauptung für n=0. Wir betrachten für den Induktionsschritt eine Zerlegung von S^n: A:=menge((x_0, ...,x_n)\in\ S^n | x_n>-1)=S^n \\ menge((0,0,...,0,\-1)) B:=menge((x_0, ...,x_n)\in\ S^n | x_n<+1)=S^n \\ menge((0,0,...,0,\+1)) A und B sind offene Teilmengen von S^n mit S^n=A\union B. Der Durchschnitt A\cut\ B=menge(x | -1 Sei n\in\IN beliebig. D^n sei die abgeschlossene Kreisscheibe menge(x\in\IR^n | norm(x)<=1). Es gilt für alle p\in\ S^n und k\in\IN: H_(k+1)(D^(n+1),S^n)~=H_k(S^n,menge(p))=cases(R,k=n;0,sonst)

Invarianz der Dimension

Jetzt haben wir das nötige Werkzeug, um den Satz über die Invarianz der Dimension beweisen zu können: \blue\ Beweis: "<==" ist klar. Sei also für die Umkehrung f:\IR^n\to\IR^m ein Homöomorphismus. Indem wir f ggf. durch f-f(0) ersetzen, können wir f(0)=0 annehmen. Sei dann 0!=a\in\IR^n beliebig, aber fest und b:=f(a)\in\IR^m. Wegen der Bijektivität ist dann b!=0. Indem wir ggf. nochmal reskalieren, nehmen wir außerdem norm(a)=norm(b)=1 an. f induziert nun einen Homöomorphismus (\IR^n \\ menge(0), menge(a))\to(\IR^m \\ menge(0), menge(b)). Aufgrund der Funktorialität der Homologie wird das zu einem Isomorphismus f_\*: H_\*(\IR^n \\ menge(0),menge(a)) \to H_\*(\IR^m \\ menge(0),menge(b)) Da S^(n-1) ein Deformationsretrakt von \IR^n \\ menge(0) ist, ergibt das einen Isomorphismus H_\*(S^(n-1),menge(a)) \to H_\*(S^(m-1),menge(b)) Nun ist H_k(S^(n-1),menge(a)) genau dann ungleich 0, wenn k=n-1, und H_k(S^(m-1),menge(b)) genau dann ungleich 0, wenn k=m-1. Da beide Homologien isomorph sind, muss also n-1=m-1, d.h. n=m sein. \blue\ q.e.d. Wir können den Satz noch etwas verschärfen, indem wir eine Variante für alle offenen Mengen beweisen. Dazu brauchen wir folgendes Lemma: \blue\ Beweis: Das folgt sofort aus dem Ausschneidungsaxiom, denn es gilt U=X \\ (X\\U), U \\ menge(x) = (X \\ menge(x)) \\ (X\\U) und X\\U^-=X\\U^opimg(\circ)\subseteq\ X \\ menge(x)=X \\ menge(x)^- = (X \\ menge(x))^opimg(\circ). \blue\ q.e.d. Die Gruppen H_\*(X,X \\ menge(x)) heißen auch manchmal array(lokale Homologiegruppen)____ von x. Wir werden sie nutzen, um den allgemeinen Satz von der Invarianz der Dimension zu beweisen: \blue\ Beweis: Ist f:N\to\ M ein Homöomorphismus, so induziert f für alle x\in\ N einen Isomorphismus \lr(1)f_\*: H_\*(N,N\\\{x\})\to\ H_\*(M,M\\\{f(x)\}) \(man beachte: N und M sind Hausdorff, d.h. alle Einpunktmengen sind abgeschlossen\) Da N eine Mannigfaltigkeit ist, gibt es eine Umgebung U von x, die zu D^n homöomorph ist. Wir untersuchen die Homologiegruppen \lr(2)H_\*(X,X\\\{x\})~=H_\*(U,U\\\{x\})~=H_\*(D^n,D^n\.\\\{0\}) genauer. Die Abbildung h_t(x):=norm(x)^(-t)*x ist ein Deformationsretrakt D^n\.\\\{0\}\to\ S^(n-1), es gilt also H_\*(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))~=H_\*(S^(n-1),S^(n-1))=0. Wenn wir nun die lange, exakte Sequenz des Tripels (S^(n-1), D^n\.\\\{0\}, D^n) betrachten, erhalten wir: \cdots\to H_k(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))\to\ H_k(D^n,S^(n-1))\to\ H_k(D^n,D^n\.\\\{0\})\to\ H_(k-1)(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))\to\cdots was wegen H_\*(D^n\.\\\{0\},S^(n-1))=0 bedeutet, dass \lr(3)H_k(D^n, S^(n-1))\to\ H_k(D^n,D^n\.\\\{0\}) ein Isomorphismus ist. Wenn wir alle Isomorphismen, die wir bisher hatten, zusammensetzen, erhalten wir: H_k(D^n,S^(n-1))~=H_k(D^n,D^n\.\\\{0\}) | | wegen \ref(3) | | \void~=H_k(N,N\\\{x\}) | | wegen \ref(2) | | \void~=H_k(M,M\\\{f(x)\}) | | wegen \ref(1) | | \void~=H_k(D^m,D^m\.\\\{0\}) | | wegen \ref(2) | | \void~=H_k(D^m,S^(m-1)) | | wegen \ref(3) Die Homologien H_k(D^n,S^(n-1)) kennen wir aber. Sie sind genau dann ungleich 0, wenn k=n ist. Wegen der Isomorphie muss also n=m sein. \blue\ q.e.d.

Abschluss

Mit dem Satz über die Invarianz der Dimension haben wir eine der historischen Wurzeln der algebraischen Topologie erreicht. Brouwers Beweise dieses und anderer Sätze haben wesentlich zur Entwicklung dieses Gebiets beigetragen. Wir werden mit Hilfe der Eilenberg-Steenrod-Axiome im nächsten Artikel neue Techniken kennenlernen und weitere bekannte Sätze beweisen. Im darauf folgenden Artikel werden wir endlich die Lücke schließen, die sich bisher trotz aller Erfolge noch auftut: Gibt es überhaupt eine Homologietheorie, die die Eilenberg-Steenrod-Axiome erfüllt? Wir werden mit der singulären Homologie eine positive Antwort geben können, auch wenn die komplizierten Nachweise der Axiome hier nur gekürzt wiedergegeben werden können. H_k(mf,g)=cases(Gockel,k=0;0,sonst)

Die Reihe "Algebraische Topologie"

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