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Mathematik: Analysis I - §5 Reihen
Released by matroid on So. 13. Dezember 2009 13:06:00 [Statistics] [Comments]
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Analysis

\(\begingroup\) da_bounce und FlorianM schreiben:

§5 Reihen

Wir geben in diesem Kapitel nun eine Art Anwendung des Folgenbegriffs, indem wir Reihen untersuchen. Reihen sind nichts anderes als Folgen der Partialsummen. Um diesen Artikel zu verstehen, solltet ihr also wissen, was man unter einer Folge versteht. Des Weiteren werden wir vor allem Konvergenzkriterien für Reihen anführen, beweisen und mit Beispielen untermauern. Außerdem werden wir besondere Reihen darstellen, die man immer wieder zum Konvergenznachweis anderer Reihen verwenden kann, so z.B. die geometrische Reihe, die harmonische Reihe und viele mehr. Wir werden in diesem Kapitel mehr auf Beispiele Wert legen, da es von pendragon302 schon einen sehr schönen Artikel über die einzelnen Konvergenzkriterien gibt. Was dort leider fehlt, sind Beispiele und Aufgaben. Und wir hoffen, dass wir diese mit diesem Artikel nachliefern können. Wenn ihr also den Artikel von pendragon302 und unseren lest, solltet ihr bestens für Reihen vorbereitet sein. Wir wünschen, wie immer, viel Spaß beim Lesen und Durcharbeiten. Einen weiteren und umfassenderen Einblick in die Reihen gibt es in dem Buch
Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1


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§5 Reihen

 \grey\ \big\ Inhalt dieses Artikels: \darkblue\ \big\ 5. Reihen 5.1 Was ist eine Reihe? 5.2 Konvergenzkriterien 5.3 "Wichtige" Reihen 5.4 Beispiele 5.5 Lösungen zu den Übungsaufgaben
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5.1 Was ist eine Reihe? Die Folge ((S_n))_(n\el\ \IN_0) der Partialsummen \(Teilsummen) S_n:=sum(a_k,k=0,n) einer reellen Folge ((a_k))_(k\el\ \IN_0) heißt (Reihe)____: \big\ \darkblue\ Was heißt das konkret? Damit man eine Reihe überhaupt bilden kann, benötigt man zunächst eine Folge a_k. Hier bilden wir die Partialsummen: S_0=a_0=sum(a_k,k=0,0) S_1=a_0+a_1=sum(a_k,k=0,1) S_2=a_0+a_1+a_2=sum(a_k,k=0,2) ... S_n=a_0+a_1+...+a_n=sum(a_k,k=0,n) Und schon erhalten wir unsere Reihe. Wir haben also eine Folge a_k gegeben und summieren die Folgenglieder dieser Folge auf. Das ist alles. :) Konvergiert die Reihe für n->\inf, so bezeichnen wir den Grenzwert mit sum(a_k,k=1,\inf). Eine Reihe konvergiert also, wenn die Partialsummenfolge konvergiert, wenn also lim(n->\inf,S_n)=S ist. Damit hat sum(a_k,k=1,\inf) eine doppelte Bedeutung. Nämlich einmal die Folge der Partialsummen und einmal den Wert der Reihe. \big\ \darkblue\ Satz: Es seien sum(a_k,k=0,\inf) und sum(b_k,k=0,\inf) zwei konvergente Reihen und \lambda\el\ \IR. Dann ist auch die Reihe sum((a_k+\lambda*b_k),k=0,\inf) konvergent. \big\ Beweis: Der Satz folgt direkt aus den Grenzwertsätzen für die Folgen der Partialsummen, die wir in Kapitel 4 angeführt hatten. Auf die Folgen S_n=sum(a_k,k=0,\inf), T_n=sum(\lambda*b_k,k=0,\inf)=\lambda*sum(b_k,k=0,\inf) können wir nämlich die Grenzwertsätze anwenden, und wir sind fertig und haben die Behauptung bewiesen. Als Übung solltet ihr dies im Detail einmal ausführen. Wir sind an einem Punkt angelangt, an dem wir doch die ersten Beispiele anführen können. Richtig verstehen werdet ihr die Begründung aber erst, wenn wir die Konvergenzkriterien im nächsten Abschnitt eingeführt haben. (Beispiel 1:)__ Die Reihe sum(1/k,k=1,\inf) hat einen besonderen Namen. Man nennt sie die \darkblue\ harmonische Reihe. Es gilt sum(1/k,k=1,\inf)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+... Viele denken jetzt vielleicht, dass diese Reihe doch konvergieren muss, da man ja immer was Kleineres addiert. Aber weit gefehlt. Wir werden zeigen, dass diese Reihe divergiert. Dies ist gar nicht mal schlimm. Denn dieses Wissen werden wir vor allem beim Minorantenkriterium oft ausnutzen. D.h. wir werden mittels dieser harmonischen Reihe auf die Divergenz anderer Reihen schließen. Skizzieren wir also den Beweis, wie man zeigen kann, dass die harmonische Reihe divergent ist. Es gilt ja sum(1/k,k=1,\inf)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+... Jetzt klammern wir die einzelnen Summanden mal etwas anders: sum(1/k,k=1,\inf)=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8) +(1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16)+... In der ersten Klammer stehen 2^1=2 Summanden, in der zweiten 2^2=4 und in der dritten 2^3=8. So klammern wir jetzt weiter. Jetzt kann man zeigen, dass die Summe der Summanden in der jeweiligen Klammer immer größer als 1/2 ist \(für die erste Klammer gilt zum Beispiel 1/3+1/4=7/12>6/12=1/2\.). Daher addieren wir immer eine Zahl, die größer als 1/2 ist. Somit kann die Reihe gar nicht konvergieren. Für einen ausführlichen und ausformulierten Beweis verweisen wir auf einschlägige Literatur, z.B auf Analysis 1 von Otto Forster. (Beispiel 2:)__ Eine weitere wichtige Reihe erhalten wir für x\el\ \IR. Es ist die \darkblue\ geometrische Reihe sum(x^k,k=1,\inf). Wir werden zeigen, dass die Konvergenz der Reihe vom x abhängt. D.h. für gewisse x\el\ \IR konvergiert die Reihe, und für andere ist sie divergent. Also so ähnlich wie bei unserer Folge a_n:=x^n aus Kapitel 4. \stress\ Anmerkung: Oft ist es hilfreich, eine Indexverschiebung bei Reihen vorzunehmen. So stellen sum(a_k,k=m,n) und sum(a_(k-p),k=m+p,n+p) dieselben Reihen dar. Wir sehen hieran auch, dass der Laufindex k natürlich nicht immer bei k=0 beginnen muss, sondern bei jeder beliebigen ganzen Zahl anfangen kann.
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5.2 Konvergenzkriterien Es gibt eine Reihe wichtiger Konvergenzkriterien, mit denen wir die Konvergenz einer Reihe überprüfen können. Wir wollen hier die bekanntesten Verfahren anführen. Sollten wir eins vergessen haben, das ihr unbedingt in diesem Artikel haben wollt, dann schreibt uns einfache eine PM oder stellt einen entsprechenden Änderungsvorschlag. :)
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5.2.1 Das Trivialkriterium Nun zu einem notwendigen, aber nicht hinreichenden Kriterium für die Konvergenz einer Reihe. \darkblue\ \frame \big\ Das Trivialkriterium: Ist die Reihe sum(a_k,k=1,n) konvergent, so gilt lim(k->\inf,a_k)=0. Die Folge bildet also eine Nullfolge. \frameoff Mit diesem Kriterium haben wir schon mal ein gutes \(aber nicht allzu gutes) Kriterium für Reihenkonvergenz. Denn wenn die Summanden nicht gegen Null konvergieren, so kann die Reihe nicht konvergieren. Man kann mit diesem Kriterium aber nur die Divergenz und nicht die Konvergenz einer Reihe nachweisen, wie folgende Bemerkung zeigt: \big\ \red\ Wichtig: Die Umkehrung gilt natürlich nicht. Daher ist das Kriterium ja auch nur notwendig und nicht hinreichend. Als Gegenbeispiel können wir die eben betrachtete harmonische Reihe anführen. Die Folge a_k=1/k ist eine Nullfolge, wie wir in Kapitel 4 gesehen haben, aber die Reihe sum(1/k,k=1,n) ist divergent, wie wir eben gezeigt haben. Also ist etwas Vorsicht geboten: Nur wenn__ die Reihe konvergiert, so bilden die Summanden eine Nullfolge. \big\ Beweis des Trivialkriteriums: Voraussetzung: Die Reihe konvergiert, so konvergiert auch S_n=sum(a_k,k=0,n) Sei s:=lim(n->\inf,S_n). Offenbar gilt dann auch S_(n-1)->s. Wegen a_n=S_n-S_(n-1) haben wir a_n->s-s=0. Also ingesamt a_k->0. \bigbox \blue\ Zusammenfassung: Wenn eine Reihe sum(a_k,,) auf Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden soll, dann schaut zunächst, ob die Folge a_k eine Nullfolge bildet. Wenn das nicht der Fall ist, dann könnt ihr schon sagen, dass nach dem Trivialkriterium die Reihe sum(a_k,,) divergiert.
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5.2.2 Konvergenzkriterium nach Cauchy Jetzt zu einem notwendigen und hinreichenden Kriterium für die Konvergenz einer Reihe. \darkblue\ \frame \big\ Das Cauchy-Kriterium: sum(a_k) konvergent <=> \forall \eps>0 \exists n_0 \forall m>=n>=n_0: abs(sum(a_k,k=n,m))<\eps \frameoff Mit Hilfe dieses Satzes können wir auch zeigen: Jede Cauchyfolge ist konvergent und jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Dies wäre also ein Alternativbeweis zu dem in Kapitel 4. \big\ Beweis des Cauchy-Kriteriums: Die Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert (nach Definition der Konvergenz einer Reihe) und dies ist nach Kapitel 4 genau dann der Fall, wenn die Folge S_n:=sum(a_k,k=0,n) eine Cauchy-Folge ist. Die Behauptung folgt dann sofort aus abs(S_n-S_(m-1))=abs(sum(a_k,k=m,n)) und n>=m.\bigbox
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5.2.3 Leibniz-Konvergenzkriterium \darkblue\ \frame \big\ Konvergenzkriterium nach Leibniz: Ist ((a_k))_(k\el\ \IN_0) eine monoton fallende Folge reeller Zahlen mit a_k>0 \forall\ k\el\ \IN_0 und ist lim(k->\inf,a_k)=0 (die Folge ist also eine Nullfolge), so konvergiert die Reihe sum((-1)^k*a_k,k=1,\inf) \(Dies ist eine alternierende Reihe, dessen Vorzeichen bei den Summanden immer zwischen + und - wechselt.\) \frameoff \big Beweis des Leibnizkriteriums: Für die Konvergenz ist zu zeigen: \forall \eps>0 \exists n_0 \forall m>n>=n_0: abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))<\eps Da a_k monoton fallend ist, gilt a_j-a_(j+1)>=0 für alle j, daraus folgt abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))=abs((-1)^n*a_n+(-1)^(n+1)*a_(n+1)+...) =abs((-1)^n*(a_n-a_(n+1)+a_(n+2)-+) =(a_n-a_(n+1))+(a_(n+2)-a_(n+3))+... =a_n-(a_(n+1)-a_(n+2))-(a_(n+3)-a_(n+4)-... <=a_n=abs(a_n) Sei \eps>0 beliebig. Wegen a_n->0 gibt es ein n_o, so dass abs(a_n)<\eps für alle n>=n_0 ist. Nach der obigen Abschätzung folgt: abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))<=abs(a_n)<=\eps für alle n>n_0 Nun können wir auch den Begriff der \big\ \darkblue\ absoluten Konvergenz einführen: Wir sagen eine Reihe sum(a_k,k=0,\inf ) (konvergiert absolut)____, wenn die Reihe der absoluten Beträge der Folge a_k, also sum(abs(a_k),k=0,\inf ) konvergiert. Jede absolut konvergente Reihe ist natürlich auch konvergent. Die absolute Konvergenz ist also eine stärkere Eigenschaft als die "normale" Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht__. Dazu betrachten wir die Folge sum((-1)^k*1/k,k=1,\inf). Diese Reihe ist nach dem Leibnizkriterium konvergent, denn a_k=1/k ist eine monoton fallende Nullfolge. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn: sum(abs((-1)^k*1/k),k=1,\inf)=sum(1/k,k=1,\inf). Wir erhalten damit die divergente harmonische Reihe. Merke also: Aus "normaler" Konvergenz kannst du niemals die absolute Konvergenz folgern. Aber: Aus absoluter Konvergenz folgt die "normale" Konvergenz. \blue\ Zusammenfassung des Leibniz-Kriteriums: Wenn eine alternierende Reihe der Art sum((-1)^k*a_k,,) gegeben ist, dann bietet sich dort fast immer das Leibnizkriterium an. Um die Konvergenz zu zeigen, müsst ihr nur zeigen, dass die Folge a_k eine monoton fallende Nullfolge ist.
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5.2.4 Majoranten- und Minorantenkriterium \darkblue\ \frame \big\ Das Majoranten- und Minorantenkriterium: 1. Gilt 0<=abs(a_k)<=b_k ab einem k_0 und ist die Majorante sum(b_k) konvergent, so konvergiert sum(a_k) absolut. 2. Gilt 0<=a_k<=b_k ab einem k_0 und ist die Minorante sum(a_k) divergent, so divergiert sum(b_k). \frameoff \big Beweis des Majoranten- und Minorantenkriteriums: Zu 1.): Da sum(b_k) konvergiert gilt \forall \eps>0 \exists k_0 \forall m>=n>=k_0: abs(sum(b_k,k=n,m))<\eps ab diesem k_0 gilt dann da ab hier 0<=abs(a_k)<=b_k sum(abs(a_k),k=n,m)<=sum(b_k,k=n,m)<\eps Zu 2.): Dies folgt sofort durch Kontraposition des Majorantenkriteriums. \blue\ Zusammenfassung der Vorgehensweise bei diesem Kriterium: \blue\ \squaredot Majorantenkriterium: Sei eine Reihe sum(a_k,,), die ihr auf Konvergenz__ untersuchen wollt. Um die Konvergenz der Reihe zu zeigen, müsst ihr abs(a_k) (nach oben)__ durch eine Folge b_k abschätzen. Wenn die Reihe sum(b_k,,) dann konvergiert, dann folgt nach dem Majorantenkriterium die absolute Konvergenz der Reihe sum(a_k,,). An den Beispielen in den folgenden Abschnitten wird dies deutlich werden, zumal es jetzt vielleicht im ersten Moment etwas kompliziert klingt. Es sollte aber klar sein, dass man mit dem Majorantenkriterium nur die Konvergenz einer Reihe zeigen kann. \blue\ \squaredot Minorantenkriterium: Sei eine Reihe sum(b_k,,), die ihr auf Divergenz__ untersuchen wollt. Um die Divergenz der Reihe zu zeigen, müsst ihr b_k (nach unten)__ durch eine Folge a_k abschätzen. Wenn die Reihe sum(a_k,,) dann divergiert, dann folgt nach dem Minorantenkriterium die Divergenz der Reihe sum(b_k,,). Mit dem Minorantenkriterium kann man nur__ die Divergenz, aber nicht die Konvergenz, einer Reihe zeigen.
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5.2.5 Quotientenkriterium \darkblue\ \frame \big\ Das Quotientenkriterium: Gegeben sei sum(a_k) mit a_k!=0 für k>=k_0 \el\ \IN Existiert ein 0<\Theta<1 mit limsup abs(a_(k+1)/a_k)<\Theta , so konvergiert die Reihe sum(a_k) absolut. Gilt limsup abs(a_(k+1)/a_k)>\Theta, so ist die Reihe divergent. Für Gleichheit liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. \frameoff \big\ Beweis des Quotientenkriteriums: Wegen limsup abs(a_(k+1)/a_k)<1 gibt es ein q\el\ (0,1) und N\el\ \IN abs(a_(k+1)/a_k)N es gilt also abs(a_k)=abs(a_k/a_(k-1))*abs(a_(k-1)/a_(k-2))...||abs(a_(N-1)/a_N)*abs(a_N)<=q^(k-N)*abs(a_N)=abs(a_N)/q^N*q^k Wieder haben wir eine konvergente Majorante sum(abs(a_N)/q^N*q^k). Für limsup abs(a_(k+1)/a_k)=1 ist wieder keine Aussage möglich. Für limsup abs(a_(k+1)/a_k)>1 gibt es ein N>=k_0 mit abs(a_k)>=abs(a_(k-1))>=...>=abs(a_N) \forall k>=N => a_k ist keine Nullfolge (Trivialkriterium) \blue\ Zusammenfassung: Sei sum(a_k,,) eine Reihe. Um die Konvergenz oder Divergenz mit dem Quotientenkriterium nachweisen zu können, müsst ihr limsup abs(a_(k+1)/a_k) berechnen. \blue\ \squaredot Wenn limsup abs(a_(k+1)/a_k)<1, dann konvergiert die Reihe. \blue\ \squaredot Wenn limsup abs(a_(k+1)/a_k)=1, dann liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. \blue\ \squaredot Wenn limsup abs(a_(k+1)/a_k)>1, dann divergiert die Reihe.
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5.2.6 Wurzelkriterium \darkblue\ \frame Das Wurzelkriterium: sum(a_k) ist absolut konvergent, wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))<1. Gilt limsup wurzel(k,abs(a_k))>1, so ist die Reihe divergent. Bei Gleichheit liefert das Wurzelkriterium keine Aussage. \frameoff \big Beweis des Wurzelkriteriums: limsup wurzel(k,abs(a_k))<1 => \exists q\el\ (0,1) und N \el\ \IN mit abs(a_k)=N Nach dem Majorantenkriterium konvergiert sum(a_k) absolut, weil die geometrische Reihe sum(q^k) konvergiert Falls limsup wurzel(k,abs(a_k))=1 ist keine Aussage möglich, den Fall limsup wurzel(k,a_k)>1 kann man wieder mit der geometrischen Reihe vergleichen und mit dem Minorantenkriterium die Divergenz beweisen. (Für eine genaue Ausführung der geometrischen Reihe, siehe den nächsten Abschnitt.) \blue\ Zusammenfassung: Sei sum(a_k,,) eine Reihe. Um die Konvergenz oder Divergenz mit dem Wurzelkriterium zu zeigen, müsst ihr limsup wurzel(k,abs(a_k)) berechnen. \blue\ \squaredot Wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))<1, dann konvergiert die Reihe. \blue\ \squaredot Wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))=1, dann liefert das Kriterium keine Entscheidung und versagt und muss ggf. durch ein anderes ersetzt werden. \blue\ \squaredot Wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))>1, dann divergiert die Reihe.
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5.2.7 Integralvergleichskriterium Hier benötigen wir eigentlich den Begriff des Integrals. Da dieser aber eigentlich aus der Schule her bekannt sein sollte und wir ihn sowieso in Kapitel 8 einführen werden, geben wir dieses Kriterium der Vollständigkeit halber dennoch schon an. Wenn ihr den genauen Begriff des Integrals noch nicht kennt, dann solltet ihr mit diesem Kriterium warten, bis Kapitel 8 veröffentlicht ist. :) \darkblue\ \frame Das Integralvergleichskriterium: Sei f:[1, \inf )->[0, \inf ) monoton fallend.- Dann konvergiert die Reihe sum(f(k),k=1,\inf ) genau dann, wenn das uneigentliche Integral int(f(x),x,1,\inf ) konvergiert. \frameoff \big\ Beweis des Integralvergleichskriteriums: Für k-1<=x<=k gilt: f(k)<=f(x)<=f(k-1) und somit auch: f(k)=int(f(k),x,k-1,k) <= int(f(x),x,k-1,k) <= int(f(k-1),x,k-1,k)=f(k-1). Durch Summation über k erhalten wir für alle n\el\ \IN die Abschätzung: sum(f(k),k=2,n)<=int(f(x),x,1,n)<=sum(f(k-1),k=2,n). Ist die Reihe sum(f(k),k=1,n) konvergent, so gilt 0<=int(f(x),x,1,\inf )<=sum(f(k),k=1,\inf )<\inf. Die Folge (int(f(x),x,1,n))_(n\el\ \IN) ist monoton wachsend und nach oben beschränkt und damit konvergent. Wenn int(f(x),x,1,\inf ), so gilt sum(f(k),k=1,\inf )=f(1)+sum(f(k),k=2,\inf )<=f(1)+int(f(x),x,1,\inf )<\inf Damit ist alles gezeigt. \bigbox \blue\ Zusammenfassung des Integralvergleichskriteriums: Sei sum(f(k),k=1,\inf ) eine Reihe. Um die Konvergenz der Reihe mit dem Integralvergleichskriterium nachzuweisen, zeigt ihr, dass das Integral int(f(x),x,1,\inf ) existiert. Existiert es nicht, so folgt damit die Divergenz der Reihe. Für weitere Konvergenzkriterien verweisen wir nun auf den Artikel von pendragon302, den wir schon am Anfang zitiert haben und von dem wir uns einige einfache und kurze Beweise "geklaut" haben. Wir wollen jetzt lieber zu den Beispielen kommen, da wir dort unser Augenmerk legen wollen.
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5.3 "Wichtige" Reihen Der Titel dieses Abschnitts mag etwas seltsam erscheinen, denn was sind unbedingt "wichtige" Reihen? Sind nicht alle Reihen wichtig? Na klar, aber es gibt zwei Reihen, die man zur Konvergenz- und Grenzwertuntersuchung immer wieder mal gebrauchen kann. Das ist die harmonische Reihe, deren Divergenz wir schon in Abschnitt 5.1 gezeigt haben und die geometrische Reihe, die wir nun anführen wollen. Mit Hilfe dieser Reihe ist es oftmals möglich, Grenzwerte von Reihen zu berechnen. Denn bedenkt: Mit den ganzen Konvergenzkriterien können wir nur zeigen, dass eine Reihe konvergiert, aber wir können nicht den Grenzwert der Reihe angeben. \big\ \darkblue\ Die harmonische Reihe Sie lautet sum(1/k,k=1,\inf ) und ist divergent (Beweis siehe Abschnitt 5.1). Damit ist sie sehr gut als divergente Minorante geeignet.
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\big\ \darkblue\ Die geometrische Reihe Die geometrische Reihe sum(x^k,k=0,\inf )=1+x+x^2+x^3+... konvergiert genau dann, wenn abs(x)<1 und in diesem Fall ist der Grenzwert sum(x^k,k=0,\inf )=1/(1-x). Bevor wir dies beweisen, betrachten wir zunächst einige andere Fälle: \squaredot x=1 Wenn x=1, dann erhalten wir sum(1^k,k=0,\inf )=sum(1,k=0,\inf )=1+1+... . Es ist klar, dass diese Reihe divergent ist, denn die Folge a_k=1 ist keine Nullfolge. Damit versagt das Trivialkriterium. \squaredot x=-1 Für x=-1 ergibt sich sum((-1)^k,k=0,\inf ). Auch hier liefert das Trivialkriterium die Divergenz der Reihe, denn a_k=(-1)^k ist keine Nullfolge und damit kann die Reihe sum((-1)^k,k=0,\inf ) nicht konvergieren. \squaredot abs(x)>1 Wenn abs(x)>1, dann bildet die Folge a_k ebenfalls keine Nullfolge und auch hier ist die Reihe divergent. Nun aber zum Fall: \squaredot abs(x)<1 Es gilt für S_n=sum(x^k,k=0,n) die Gleichung (x-1)*S_n=(x-1)*sum(x^k,k=0,n)=x*sum(x^k,k=0,n)-sum(x^k,k=0,n)=sum(x*x^k,k=0,n)-sum(x^k,k=0,n) =sum(x^(k+1),k=0,n)-sum(x^k,k=0,n)=sum(x^k,k=1,n+1)-sum(x^k,k=0,n)=x^(n+1)-x^0=x^(n+1)-1 Daraus ergibt sich nun: sum(x^k,k=0,n)=(1-x^(n+1))/(1-x). Wenn nun abs(x)<1 ist, so konvergiert x^(n+1) beim Grenzübergang n->\inf gegen 0. Damit ergibt sich insgesamt sum(x^k,k=0,n)=1/(1-x) .\bigbox \blue\ Vielleicht bedarf der Beweis für den einen oder anderen ein paar Erklärungen. Wir wollen noch ein paar Anmerkungen geben. Warum ist zum Beispiel sum(x^(k+1),k=0,n)-sum(x^k,k=0,n)=sum(x^k,k=1,n+1)-sum(x^k,k=0,n)? Hier haben wir einfach eine Indexverschiebung vorgenommen. \blue\ Wenn wir beide Reihen, also sum(x^(k+1),k=0,n) und sum(x^k,k=1,n+1) als Summanden ausschreiben, so stellen wir fest, dass sum(x^(k+1),k=0,n)=sum(x^k,k=1,n+1), denn: \blue\ sum(x^(k+1),k=0,n)=x^1+x^2+...+x^(n+1) \blue\ sum(x^k,k=1,n+1)=x^1+x^2+...+x^(n+1) \blue\ Ein weiter Punkt könnte euch aufgefallen sein. Und zwar, wieso sum(x^k,k=1,n+1)-sum(x^k,k=0,n)=x^(n+1)-x^0? \blue\ Hier spricht man von einer sogenannten (Teleskopsumme)__. \blue\ Wenn man es sich ausschreibt, dann sieht man das schon, dass einige Summanden wegfallen: \blue\ sum(x^k,k=1,n+1)-sum(x^k,k=0,n)=x^1+x^2+x^(n+1)-(x^0+x^1+...+x^n) \blue\ =x^1+x^2+x^(n+1)-x^0-x^1-...-x^n \blue\ =-x^0+(x^1-x^1)+(x^2-x^2)+...+(x^n-x^n)+x^(n+1) \blue\ =x^(n+1)-x^0=x^(n+1)-1 Alternativ kann man sum(x^k,k=0,n)=(1-x^(n+1))/(1-x) auch mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen. Als Übung solltet ihr dies nochmal tun. Betrachtet es einfach als \big\ \red\ Übungsaufgabe 1 und als Wiederholung des Kapitels 2. Die Lösugen, wie immer, am Ende des Kapitels.
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\big\ \darkblue\ Die Exponentialreihe Da wir nun endlich Reihen definiert haben, können und wollen wir die Exponentialfunktion__ einführen und definieren. Es gibt mehrere Wege, diese einzuführen. Aber da wir uns in Kapitel 5 befinden, und dies den Namen "Reihen" trägt, versteht sich von selbst, welche Definition wir einschlagen wollen. \big\ Definition der Exponentialreihe: Unter der (Exponentialreihe)____ verstehen wir die Reihe exp(x):=sum((x^k)/(k!),k=0,\inf )=1+x+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)+.... Hierbei ist x\el\ \IR. Wir zeigen nun folgenden (Satz:)__ Die Exponentialreihe konvergiert für alle x\el\ \IR absolut und es gilt die Restgliedabschätzung exp(x)=sum((x^k)/(k!),k=1,n)+r_(n+1)(x), wobei abs(r_(n+1)(x))<=2*(abs(x)^(n+1))/((n+1)!) für alle abs(x) <=1*n/2. \stress\ Beweis: Die absolute Konvergenz der Exponentialreihe folgt direkt mit Hilfe des Quotientenkriteriums. Es gilt: abs(((x^(k+1))/((k+1)!))/((x^k)/(k!)))=abs((x^(k+1)*k!)/(x^k*(k+1)!)) =abs(x/(k+1)) <=1/2 <1 \forall\ k>=2*abs(x) Anmerkung: Man kann hier natürlich auch mit dem Limes für k->\inf arbeiten. Für den Beweis des zweiten Teils (also die Restgliedabschätzung) benutzt man die geometrische Reihe: \blue\ Vielleicht noch erstmal einen Satz zur Restgliedabschätzung. Was nützt das einem eigentlich? Das ist gar nicht schwer einzusehen. Diese kann man sehr gut bei Abschätzungen benutzen. So lässt man die Exponentialreihe nur bis zu einem bestimmten Glied n laufen und kann den Rest dann mit Hilfe dieser Abschätzung abschätzen. Ein genaues Beispiel hierfür werden wir im Laufe der Vorlesung noch kennenlernen. Nun aber zum Beweis des zweiten Teils: Wir setzen mit exp(x)=sum(x^k/k!,k=n+1,\inf ) an. Beachte hierbei, dass der Laufindex bei k=n+1 beginnt. Da soll ja genau das Restglied rauskommen. Also: exp(x)=sum(x^k/k!,k=n+1,\inf ) <= (\*) sum((abs(x^k))/(k!),k=n+1,\inf )=abs(x^(n+1))/((n+1)!) *(1+abs(x)/(n+2)+...+(abs(x)^j)/((n+2)-(n+j+1))+...) <=(abs(x)^(n+1))/((n+1)!) sum(((abs(x))/((n+2)))^k,k=n+1,\inf ) Die Behauptung folgt für abs(x)/(n+2)<1/2<1, denn dann ist: (abs(x)^(n+1))/((n+1)!) sum(((abs(x))/((n+2)))^k,k=n+1,\inf )<=(abs(x)^(n+1))/((n+1)!) sum((1/2)^k,k=n+1,\inf )=(abs(x)^(n+1))/((n+1)!)* 1/(1-1/2)=2*(abs(x)^(n+1))/((n+1)!). Genau das war zu zeigen. \stress\ In dem Schritt (\*) haben wir die Dreiecksungleichung ausgenutzt.
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Die Funktion exp(x): \IR->\IR, x|->exp(x) heißt (Exponentialfunktion)____. Es gibt eine wichtige \big\ \darkblue\ Funktionalgleichung der Exponentialfunktion: Ihr kennt ja alle die Potenzrechengesetze aus der Schule, hier galt ja z.B. 2^3*2^4=2^(3+4)=2^7. Potenzen gleicher Basen wurden also multipliziert, indem man ihre Exponenten addierte. Es gilt nun: \big\ exp(x+y)=exp(x)*exp(y) \forall\ x, y \el\ \IR. Um dies zu beweisen, müssten wir ja exp(x)*exp(y)=sum(x^k/k!,k=0,\inf )*sum(y^k/k!,k=0,\inf ) berechnen. Wir müssten also zwei Reihen mit einander multiplizieren. Dazu müssen wir zunächst einen Satz einführen und zwar den \big\ Cauchy-Produktsatz: Seien sum(a_k,k=0,\inf ) und sum(b_k,k=0,\inf ) zwei absolut konvergente Reihen. Für n\el\ \IN setzen wir c_n:=sum(a_(n-k)*b_k,k=0,n). Dann konvergiert die Reihe sum(c_k,k=0,\inf ) absolut und es gilt sum(c_k,k=0,\inf )=(sum(a_k,k=0,\inf ))(sum(b_k,k=0,\inf )). Für den Beweis verweisen wir auf Analysis 1 von Otto Forster. \blue\ Dennoch sei uns eine kleine Anmerkung gegönnt. Es ist schon wichtig, dass die beiden Reihen sum(a_k,k=0,\inf ) oder sum(b_k,k=0,\inf ) absolut konvergieren, damit die Reihe sum(c_k,k=0,\inf ) dann auch absolut konvergiert. Es reicht aber für die Konvergenz des Cauchy-Produkts aus, dass eine der beiden beteiligten Reihen absolut konvergieren. Es reicht aber nicht die normale Konvergenz aus, wie ihr in der folgenden Zusatz-Übungsaufgabe zeigen sollt: \blue\ \big\ \red\ Zusatz-Übungsaufgabe: \blue\ Für n \el\ \IN sei a_n:=b_n:=(-1)^n/sqrt(n+1). Man zeige die Konvergenz der Reihe sum(a_n,n=1,\inf ), berechne das Cauchy-Produkt sum(a_n,n=1,\inf )*sum(b_n,n=1,\inf ) und zeige, dass dieses nicht konvergiert. Nun aber zurück zu unserem eigentlichen Problem. Wir wollten \big\ exp(x+y)=exp(x)*exp(y) \forall\ x, y \el\ \IR zeigen. Wir berechnen mit Hilfe des Cauchy-Produkts also exp(x)*exp(y)=sum(x^k/k!,k=0,\inf )*sum(y^k/k!,k=0,\inf ): Da die Exponentialreihe absolut konvergent ist, gilt zunächst einmal exp(x)*exp(y)=c_k mit c_k=sum((x^(n-k))/((n-k)!)*(y^k)/(k!),k=0,n). Im Folgenden wenden wir den Binomischen Lehrsatz an, den wir in Kapitel 2 unter Beispiel 8 beim Abschnitt 2.4 bewiesen haben. sum((x^(n-k))/((n-k)!)*(y^k)/(k!),k=0,n)=1/n! *sum((n!*x^(n-k)*y^k)/((n-k)!*k!),k=0,n) \blue\ Hier haben wir einfach mit n! erweitert, um den binomischen Lehrsatz anwenden zu können. Weiter geht es: =1/n! *sum((n;k)*x^(n-k)*y^k,k=0,n)=1/n! * (x+y)^n=c_k. Nun folgt also: sum(c_k,n=0,\inf )=sum(1/n! * (x+y)^n,n=0,\inf )=sum(((x+y)^n)/n!,n=0,\inf )=exp(x+y). Und genau das hatten wir zu zeigen. Fertig sind wir. Es ist noch Platz für eine (Definition:)__ Die Zahl e:=exp(1)=sum(1/k!,k=0,n) heißt (Eulersche Zahl)____. Man kann die Eulersche Zahl auch als einen Grenzwert e:=lim(n->\inf,(1+1/n)^n) definieren. Wir kommen darauf in Kapitel 6 nochmals zu sprechen.
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Es gibt nun einige Eigenschaften der Exponentialfunktion, die wir unter anderem mit Hilfe der Reihendarstellung der Expontentialfunktion beweisen können. a) exp(-x)=1/exp(x) b) Insbesondere ist exp(x): \IR->\IR_(>0) (wobei \IR_(>0):={x\el\ \IR: x>0} c) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend. d) Die Exponentialfunktion ist überall stetig (Beweis in Kapitel 6). \stress\ Beweis: Zu a): \forall\ x\el\ \IR gilt: exp(0)=1, denn exp(0)=sum(x^k/k!,k=0,\inf )=1+0^2/2!+0^3/3!+... =1 Es gilt entsprechend exp(0)=exp(x+(-x)) und nach der Funktionalgleichung: 1=exp(0)=exp(x+(-x))=exp(x)*exp(-x) <=> exp(-x)=1/exp(x). Daraus folgt also die Behauptung. Zu b): Man müsste erstmal zeigen, dass exp(x)>0 \forall\ x>=0 (Dies folgt aber direkt aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, macht euch klar, warum das so leicht folgt!) Nach a) gilt exp(-x)=1/exp(x) bzw. exp(x)=1/exp(-x) >0 \forall\ x<0 folgt exp(x)>0 \forall\ x\el\ \IR. Damit ist alles gezeigt. Zu c): Es seien x_1, x_2 \IR und weiterhin x_1 < x_2. Wir müssen zeigen, dass exp(x_1) exp(x_1)-exp(x_2)<0 folgt: exp(x_1)-exp(x_2)=exp(x_1)*(1-exp(x_2)/exp(x_1))=exp(x_1)*(1-exp(x_2+(-x_1)))=exp(x_1)*(1-exp(x_2-x_1)). Nun ist exp(x_1)>0, exp(x_2-x_1)<0, da x_1
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Die Exponentialfunktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion, das ist die (Logarithmusfunktion)____. Es gilt ln(x): \IR_(>0) -> \IR. Diese ist ebenfalls streng monoton wachsend. Auch die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion besitzt, eine schöne \big\ \darkblue\ Funktionalgleichung ln(xy)=ln(x)+ln(y). Wie zeigt man dies? Ganz einfach, schaut euch die folgende Argumentation an: ln(xy)=ln(exp(ln(x))*exp(ln(y)))=ln(exp(ln(x)+ln(y)))=ln(x)+ln(y). \bigbox Auch für die Logarithmusfunktion gibt es eine Reihenentwicklung. Wir werden darauf noch im Laufe der Vorlesung drauf stoßen. :)
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5.4 Beispiele Nun zum zentralen Abschnitt dieses Kapitels. Wir wollen eine Menge an Beispielen geben, um die Konvergenzkriterien einzuüben. \big\ \darkblue\ Beispiel 1: Wir behaupten, dass die Reihe sum(1/n^k,n=1,\inf ) für k>1 konvergent ist. Der Fall k=1 führt auf die divergente harmonische Reihe. \big\ 1. Möglichkeit: Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums: FÜr k>1 und n>=1 gilt die folgende Abschätzung: 1/n^k<=1/n^2<=2/(n(n+1)), wie man sich mittels unseres Abschätzungskatalogs aus Kapitel 4 sehr gut deutlich machen kann. Nun weiß man, dass die Reihe sum(1/(n(n+1)),n=1,\inf) konvergiert (Übungsaufgabe!). Damit konvergiert auch die Reihe sum(2/(n(n+1)),n=1,\inf). Und folglich haben wir eine konvergente Majorante gefunden. Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz der Reihe sum(1/n^k,n=1,\inf ) für k>1. Beim Majorantenkriterium schätzen wir also nach oben durch eine konvergente Reihe (Majorante) ab. Wie sieht es beim Minorantenkriterium aus? Dazu betrachte Beispiel 2. Erstmal eine Alternative, wie man die Aufgabe ebenfalls lösen könnte. \big\ 2. Möglichkeit: Integralvergleichskriterium Man zeigt mit dem Integralvergleichskriterium auch noch sehr leicht, dass die harmonische Reihe divergiert, da das uneigentliche Integral int(1/x,x,1,\inf ) nicht exisitert. Weiterhin zeigt man sehr leicht, dass die uneigentlichen Integrale int(1/x^k,x,1,\inf ) für k>1 sehr wohl existieren. Und daraus folgt dann die Konvergenz der Reihe sum(1/n^k,n=1,\inf ) für k>1. Anmerkung: Hier bekommt man die Konvergenz sogar für reelle__ k>1 Dazu aber in Kapitel 8 mehr.
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\big\ \darkblue\ Beispiel 2: Konvergiert die Reihe sum(1/(sqrt(k(k+1))),k=1,\inf )? Wir schätzen 1/(sqrt(k(k+1))) wie folgt ab: 1/(sqrt(k(k+1)))>1/(sqrt((k+1)(k+1)))=1/(k+1) Und die Reihe sum(1/(k+1),k=1,\inf ) ist divergent (da harmonische Reihe). Wir haben also eine divergente Reihe (Minorante) gefunden. Beim Minorantenkriterium schätzen wir die Reihe also gegen eine divergente Minorante nach unten ab.
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\big\ \darkblue\ Beispiel 3: Zeige die Konvergenz der Reihe sum(k^2/2^k,k=0,\inf ). Hier bietet sich zum Beispiel das Quotientenkriterium an. Dafür berechnet man für die Folge a_k:=k^2/2^k den Grenzwert limsup(k->\inf,abs((a_(k+1))/(a_k))). Es gilt (a_(k+1))/(a_k)=abs((((k+1)^2)/(2^(k+1)))/(k^2/2^k))=abs(((k+1)^2*2^k)/(k^2*2^(k+1)))=abs((k+1)^2/k^2 *2^k/2^(k+1)) =1/2 *abs(((k+1)/k)^2)=1/2 *abs((1+1/k)^2) -> 1/2, wenn k->\inf . Und 1/2<1. Damit ist die Bedingung für das Quotientenkriterium erfüllt und die Reihe damit konvergent. Den Grenzwert können wir mit den Konvergenzkriterien natürlich nicht so leicht ausrechnen. Diese weisen wirklich nur die Konvergenz der Reihe nach. \big\ \red\ Musterbeispiel: Zeige die Konvergenz der Reihe sum(k^3/3^k,k=0,\inf ). \big\ \red\ Lösung der Musteraufgabe: Zeige die Konvergenz der Reihe sum(k^3/3^k,k=0,\inf ). Dies zeigen wir mittels des Quotientenkriteriums. Dabei gehen wir analog wie in Beispiel 2 des Abschnitts 5.4 vor. Es gilt (a_(k+1))/(a_k)=abs((((k+1)^3)/(3^(k+1)))/(k^3/3^k))=abs(((k+1)^3*3^k)/(k^3*3^(k+1)))=abs((k+1)^3/k^3 *3^k/3^(k+1)) =1/3 *abs(((k+1)/k)^3)=1/3 *abs((1+1/k)^3) -> 1/3, für k->\inf da lim(k->\inf,1/k)=0 gilt (Nullfolge) Und 0<1/3<1. Damit ist die Bedingung für das Quotientenkriterium erfüllt und die Reihe damit konvergent. Eigentlich wird beim Quotientenkriterium immer diese Methode verwendet. Wenn Fakultäten auftreten wird es ein wenig mehr Rechenarbeit aber sonst bleibt es eigentlich gleich. \big\ \red\ Aufgabe 2: Zeige die Konvergenz der Reihen: (a): sum(1/((3k-2)(3k+1)),k=1,\infty) (b): sum(2^(k+1)/(5*3^k),k=1,\infty) (c): sum(k/3^k,k=1,\infty) (d): sum((2k)!/(2k)^k,k=1,\infty) (e): sum(k^5/k!,k=1,\infty) (f): sum(((k+4)/(4k+1))^k ,k=1,\infty) (g): sum((root(k,k)-1)(-1)^k,k=1,\infty)
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\big\ \darkblue\ Beispiel 4: Wie zeigt man, dass die Reihe sum((2+1/k)^k,k=1,\inf) konvergiert oder divergiert? Hier bietet sich das Wurzelkriterium geradezu an. Es gilt: wurzel(k,abs(a_k))=wurzel(k,(2+1/k)^k)=2+1/k -> 2 für k->\inf . Daraus folgt die Divergenz der Reihe.
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\big\ \darkblue\ Beispiel 5: Zeige die Konvergenz der Reihe sum(((-1)^k*k)/(k^3+1),k=1,\inf ). Eigentlich sollten bei euch die Alarmglocken angehen, wenn ihr sowas wie (-1)^k in einer Reihe seht. Denn das deutet desöftern auf das Leibnizkriterium hin. Wir wollen dies hier auch anwenden, aber auch die Konvergenz mit dem Majorantenkriterium zeigen. \big\ 1. Möglichkeit: Beweis mit Majorantenkriterium. Wir schätzen ((-1)^k*k)/(k^3+1) wie folgt ab: abs(((-1)^k*k)/(k^3+1))=k/(k^3+1)0 für k->\inf Dies folgt sofort aus den Grenzwertsätzen. Man kann es aber auch mit Hilfe eines \epsilon-n_0-Beweises ohne Probleme zeigen. (Tut dies!) \squaredot Monotonie Die Folge a_k ist monoton fallend, denn es gilt a_(k+1)
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\big\ \darkblue\ Beispiel 6: Konvergiert die Reihe sum((-1)^k,k=0,\inf )? Nein, natürlich nicht, denn das Trivialkriterium ist gar nicht erfüllt. Denn die Folge a_k:=(-1)^k ist alles andere als eine Nullfolge. Daraus folgt sofort die Divergenz der Reihe.
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\big\ \darkblue\ Beispiel 7: Konvergiert die Reihe sum((-1)^k/k^2,k=1,\inf )? Ja, dies folgt sofort aus dem Leibnizkriterium. Denn die Folge a_k:=1/k^2 ist eine monoton fallende Nullfolge, wie man sich leicht überzeugt.
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\big\ \darkblue\ Beispiel 8: Zeige die Konvergenz der Reihe sum((2/3)^k,k=0,\inf ). Was steckt hier hinter? Klar, die geometrische Reihe. Die Konvergenz folgt, da 0<2/3<1. Es gilt demnach sum((2/3)^k,k=0,\inf )=1/(1-2/3)=1/(1/3)=3. Hier ist es also sogar möglich, den Grenzwert der Reihe direkt anzugeben. Der geometrischen Reihe sei Dank. Noch ein \big\ \darkblue\ umfassendes Beispiel: Man bestimme alle x\el\ \IR, für die die Reihe sum((x^k)/(sqrt(k+2)),k=1,\inf ) konvergiert und alle x\el\ \IR, für die diese Reihe divergiert. \squaredot \big\ x=(-1): Wenn x=-1, dann erhalten wir die Reihe sum(((-1)^k)/(sqrt(k+2)),k=1,\inf ) Diese Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium. Was müssen wir also tun? Wir müssen nur zeigen, dass die Folge a_k:=1/sqrt(k+2) eine monoton fallende Nullfolge ist. \stress\ Nachweis der Monotonie: Wir müssen zeigen, dass a_(k+1)1/(k+2) und wir wissen, dass die Reihe sum(1/(k+2),k=0,\inf ) divergiert, denn es handelt sich hier um eine harmonische Reihe. Wir haben also eine divergente Minorante gefunden und die Reihe sum(1/(sqrt(k+2)),k=1,\inf ) divergiert also. \squaredot \big\ abs(x)>1 Wenn abs(x)>1, dann divergiert die Reihe, denn die Folge a_k:=(x^k)/(sqrt(k+2)) bildet dann keine Nullfolge mehr und damit ist das Trivialkriterium (ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe) verletzt. \squaredot \big\ abs(x)<1 Wenn abs(x)<1, konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium, denn wir schätzen wie folgt ab: abs(x^k/sqrt(k+2))<=abs(x)^k. Und sum(abs(x^k),k=0,\inf ) stellt, da wir ja abs(x)<1 gewählt haben, die konvergente geometrische Reihe dar. Wir haben also eine konvergente Majorante gefunden und damit folgt die Konvergenz. Mehr Fälle haben wir nicht zu beachten. :) Damit wollen wir die Beispiele erstmal abschließen und ein paar Übungsaufgaben geben. Uns ist auch klar, dass wir hier wirklich sehr einfache Beispiele aufgeführt haben; wir hoffen, dass die Übungsaufgaben für den ein oder anderen doch schon etwas schwerer sein werden. Weiterhin müssen wir darauf hinweisen., dass man in Sachen Konvergenz bei Reihen selbstverständlich nur durch Fleiß und Übung sicher wird. Dann erkennt man sofort, dass eine geometrische Reihe oder ähnliches dahinter steckt. Also üben, üben, üben!
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\big\ \red\ Aufgabe 3: Begründe, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren. a) Seien a_n>0. Konvergiert die Reihe sum((a_n)/(1+k^2*a_n),k=1,\inf )? b) Für welche p\el\ \IR konvergiert die Reihe sum(((k!)^p)/((3k)!),k=1,\inf ) c) Konvergiert die Reihe sum((sqrt(n)*cos(n*\pi))/(n-1),n=1,\inf )? d) Man prüfe auf Konvergenz: sum(2^(-k)+3^(-k),k=1,\inf ). e) Man prüfe auf Konvergenz: sum(((k!)^2)/((2k)!),k=1,\inf ). f) Man prüfe auf Konvergenz: sum(1/k^n *(3n;n),n=1,\inf ), k\el\ \IN. g) Ist die Reihe sum((-1)^k/(sqrt(k+1)),k=1,\inf )? Prüfe auch auf absolute Konvergenz.
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5.5 Lösungen zu den Übungsaufgaben \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 1: Wir zeigen mit vollständiger Induktion, dass sum(x^k,k=0,n)=(1-x^(n+1))/(1-x) \forall\ n\el\ \IN. \light\ Induktionsanfang: Für n=0 ergibt sich: sum(x^k,k=0,0)=x^0=1=(1-x^(0+1))/(1-x)=(1-x)/(1-x)=1 Damit ist der Induktionsanfang erbracht. \light\ Induktionsschritt: Wir müssen zeigen, dass sum(x^k,k=0,n+1)=(1-x^(n+2))/(1-x) und zwar unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass sum(x^k,k=0,n)=(1-x^(n+1))/(1-x) für ein n schon bewiesen ist. sum(x^k,k=0,n+1)=sum(x^k,k=0,n)+x^(n+1) Mit der Induktionsvoraussetzung folgt: (1-x^(n+1))/(1-x)+x^(n+1)=(1-x^(n+1)+x^(n+1)*(1-x))/(1-x) =(1-x^(n+1)+x^(n+1)-x^(n+2))/(1-x)=(1-x^(n+2))/(1-x). Damit ist alles gezeigt.
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\big\ \red\ Lösung Aufgabe 2: Zeige die Konvergenz der Reihen (a)-(f) (a): sum(1/((3k-2)(3k+1)),k=1,\infty) Es gilt: sum(1/((3k-2)(3k+1)),k=1,\infty)=sum(1/3*(1/(3(k-1)+1)-1/(3k+1)),k=1,n) =1/3*(1-1/(3n+1))=1/3 für n -> \inf (b): sum(2^(k+1)/(5*3^k),k=1,\infty) Das ist ein typisches Beispiel wo man die Formel für die geometrische Reihe anwendet! Es gilt nach dieser Formel: sum(2^(k+1)/(5*3^k),k=1,\infty)=2/5*sum((2/3)^k,k=0,\inf)=2/5*1/(1-2/3) =2/5*1/(1/3)=6/5 (c): sum(k/3^k,k=1,\infty) Wir nehmen das Quotientenkriterium Da wir es oben schon sehr ausführlich geschrieben haben, nun mal in Kurzform. Es gilt: ((k+1)/3^(k+1))/(k/3^k)= ((k+1)/3^(k+1) *3^k/k)=((k+1)/(3^k*3)*3^k/k) Nun kürzen wir und erhalten: =((k+1)/3k)=1/3*((k+1)/k)=1/3*(1+1/k)=1/3 für k->\inf => sum(k/3^k,k=1,\infty)=1/3 < 1 => die Reihe ist absolut konvergent (d): sum((2k)!/(2k)^k,k=1,\infty) auch hier bietet sich das Quotientenkriterium an. Nun fragen wir euch, geht auch das Wurzelkriterium ? Es gilt: a_(k+1)/a_k=(2(k+1))!/(2(k+1))^(k+1)*(2k)^k/(2k)! =(2k+2)!/(2k+2)^(k+1)*(2k)^k/(2k)! \blue\ ok nun muessst ihr euer Wissen über Fakultäten rauskramen. =((2k+2)*(2k+1)*(2k)!*(2k)^k)/((2k+2)^(k+1)*(2k)!)=((2k+2)*(2k+1)*(2k)^k)/((2k+2)*(2k+2)^k) jetzt kann man ((2k+2) kürzen und erhält: ((2k+1)*(2k)^k)/(2k+2)^k=(2k+1)*(k^k/(k+1)^k)=(2k+1)*(k/(k+1))^k \blue\ weiter vereinfachen =(2k+1)*(1/(1+1/k))^k=(2k+1)*(1^k/(1+1/k)^k)=(2k+1)*1/e \blue\ da lim(k->\inf,(1+1/k)^k=e) => lim(k->\inf,(2k+1)*1/e)=\inf/e = \inf Das Quotientenkriteirum gibt eine falsche Aussage und damit ist die Reihe divergent (e): sum(((k+4)/(4k+1))^k ,k=1,\infty) Wir nehmen das Wurzelkriterium, weil dann das k wegfällt. \blue\ sum(a_k) ist absolut konvergent, wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))<1 wurzel(k,abs(a_k))=wurzel(k,(k+4)/(4k+1))^k=((k+4)/(4k+1)) \blue\ nun machen wir den gleichen Trick,den wir auch bei Folgen schon gezeigt haben. =((k+4)/(4k+1))=(1+4/k)/(4+1/k)=1/4 \blue\ da, 1/k und 4/k Nullfolgen sind =>sum(((k+4)/(4k+1))^k ,k=1,\infty)=1/4 < 1 Das Kriterium ist erfüllt also ist die Reihe absolut konvergent. (f): sum((root(k,k)-1)(-1)^k,k=1,\infty) Hier nehmen wir das Leibniz-Kriterium Sei a_k=(root(k,k)-1) wir muessen also zeigen, das a_k eine monoton fallende Nullfolge ist. Wenn das stimmt, dann wissen wir auch das die Reihe sum((root(k,k)-1)(-1)^k,k=1,\infty) konvergiert Nun gut wir wissen bereits das hier: lim(k->\inf,root(k,k)=1) => a_k ist mit Sicherheit schon mal eine Nullfolge, denn lim(k->\inf,(root(k,k)-1)=(1-1)=0) Es bleibt also nur noch die Monotonie dieser Folge(fallend) zu zeigen. Dazu überprüfen wir die Ungleichung a_k-a_(k+1)>=0 a_k-a_(k+1)>=0 <=> (root(k,k)-1)-(root(k+1,k+1)-1)>=0 <=> root(k,k)-root(k+1,k+1)>=0 <=> 1-1 >=0 damit ist auch gezeigt,dass die Folge monton fallend ist. Da wir beide Sachen bewiesen haben, konvergiert die Reihe nachdem Leibniz-Kriterium.
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\big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 3: a) Seien a_n>0. Konvergiert die Reihe sum((a_n)/(1+k^2*a_n),k=1,\inf )? Die Reihe konvergiert. Dies können wir mit Hilfe des Majorantenkriteriums sehr leicht zeigen. Für a_n>0 gilt: 0<(a_n)/(1+k^2*a_n)=1/(1/a_n +k^2)<1/k^2 und die Reihe sum(1/k^2,k=1,\inf ) konvergiert. Damit ist eine konvergente Majorante gefunden und die Konvergenz gezeigt. b) Für welche p\el\ \IR konvergiert die Reihe sum(((k!)^p)/((3k)!),k=1,\inf ). Hier wenden wir das Quotientenkriterium an: abs((a_(k+1))/(a_k))=abs((((k+1)!^p)/((3*(k+1))!))/((k!)^p/((3k)!)))=abs(((k+1)!^p*(3k)!)/((3*(k+1))!*(k!)^p)) =abs(((k+1)!^p)/((k!)^p) *((3k)!)/((3k+3)!))=abs((((k+1)!)/(k!))^p *((3k)!)/((3k+3)*(3k+2)*(3k+1)*(3k)!)) =abs((((k+1)*k!)/(k!))^p *(1)/((3k+3)(3k+2)(3k+1))) =abs(((k+1)^p)/((3k+3)(3k+2)(3k+1))) Nun müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen. Es gilt: ((k+1)^p)/((3k+3)(3k+2)(3k+1))-> cases(0,p<3;1/27,p=3;\inf,p>3) c) Konvergiert die Reihe sum((sqrt(n)*cos(n*\pi))/(n-1),n=1,\inf )? Ja, die Reihe konvergiert und zwar nach dem Leibnizkriterium. Ihr denkt jetzt bestimmt: "Spinnen die? Wo steht denn sowas wie (-1)^n ?" Tja... das steht nur indirekt da. Mnn muss nämlich den Kosinus kennen. Bei Vielfachen von \pi wird dieser entsprechend 1 oder -1. Es gilt nämlich cos(n*\pi)=(-1)^n. Die Reihe ist also alternierend. Es gilt sum((sqrt(n)*cos(n*\pi))/(n-1),n=1,\inf )=sum(((-1)^n*sqrt(n))/(n-1),n=1,\inf )und wir können das Leibnizkriterium anwenden. Dazu müssen wir zeigen, dass a_n:=(sqrt(n))/(n-1) eine monoton fallende Nullfolge ist. \squaredot Nullfolge Dies ist aber trivialerweise erfüllt, es gilt (sqrt(n))/(n-1)->0 für n->\inf . Als Übung könnt ihr das Ganze mit einem \epsilon-n_0-Beweis nochmals verdeutlichen. \squaredot Monotonie Wir müssen zeigen, dass a_n monoton fallend ist, also a_(n+1)(sqrt(n+1))/(n) <=> n*sqrt(n)>(n-1)*sqrt(n+1) <=> n^2*n>(n-1)^2*(n+1) <=> n^3>(n-1)*(n^2-1)=n^3-n^2-n+1 Dies ist offensichtlich erfüllt. Nach Leibniz ist die Reihe sum((sqrt(n)*cos(n*\pi))/(n-1),n=1,\inf ) also konvergent. d) Man prüfe auf Konvergenz: sum(2^(-k)+3^(-k),k=1,\inf ). Hier kann man sofort die geometrische Reihe anwenden. Es gilt: sum(2^(-k)+3^(-k),k=1,\inf )=sum(2^(-k),k=1,\inf )+sum(3^(-k),k=1,\inf ) =sum((1/2)^k,k=1,\inf )+sum((1/3)^k,k=1,\inf ) \big\ \red\ Achtung: Wir müssen jetzt bedenken, dass k=1 und nicht k=0. Es gilt damit: =1/(1-1/2)+1/(1-1/3)-1-1=2+(3/2)-1-1=(3/2) e) Man prüfe auf Konvergenz: sum(((k!)^2)/((2k)!),k=1,\inf ). Hier wenden wir ganz strikt das Quotientenkriterium an: abs((a_(k+1))/(a_k))=abs((((k+1)!^2)/((2*(k+1))!))/(((k!)^2)/((2k)!)))=abs(((k+1)!^2*(2k)!)/((2k+2)!*(k!)^2)) =abs((((k+1)!)/(k!))^2 *((2k)!)/((2k+2)!))=abs((k+1)^2 *1/((2k+2)(2k+1))) =abs((k^2+2*k+1)/(4*k^2+6*k+2))=abs((k^2*(1+2/k+1/k^2))/(k^2*(4+6/k+2/k^2))) =abs((1+2/k+1/k^2)/(4+6/k+1/k^2))=(1+2/k+1/k^2)/(4+6/k+1/k^2) ->1/4 für k->\inf . Und da 0<1/4<1, konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium. f) Man prüfe auf Konvergenz: sum(1/k^n *(3n;n),n=1,\inf ), k\el\ \IN. Auch hier packen wir die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium wieder an, da wir so den Umgang mit den Fakultäten nochmals üben können. Wir setzen also wieder an: abs((1/k^(n+1)*(3n+3;n+1))/(1/k^n*(3n;n)))=abs(k^n/k^(n+1) *(((3n+3)!)/((2n+2)!*(n+1)!))/(((3n)!)/((2n)!*n!))) =abs(1/k *((3n+3)!*(2n)!*n!)/((3n)!*(2n+2)!*(n+1)!)) =abs(1/k *((3n+3)(3n+2)(3n+1)*(3n)!*(2n)!*n!)/((3n)!*(2n+2)(2n+1)*(2n)!*(n+1)*n!)) =abs(1/k *((3n+3)(3n+2)(3n+1))/((2n+2)*(2n+1)*(n+1))) =1/k *((9n^2+11n+6)*(3n+1))/((4n^2+6n+2)*(n+1)) =1/k *(27*n^3+33n^2+18n+9n^2+11n+6)/(4n^3+6n^2+2n+4n^2+6n+2) =1/k *(27*n^3+42n^2+29n+6)/(4*n^3+10n^2+8n+2) =1/k *(n^3*(27+42/n+29/n^2+6/n^3))/(n^3*(4+10/n+8/n^2+2/n^3)) =1/k *(27+42/n+29/n^2+6/n^3)/(4+10/n+8/n^2+2/n^3) ->1/k *27/4 für k->\inf D.h. wenn k>27/4, dann divergiert die Reihe. Wenn k=27/4, dann liefert das Quotientenkriterium keine Entscheidung Wenn k<27/4, dann konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium. g) Ist die Reihe sum((-1)^k/(sqrt(k+1)),k=1,\inf )? Prüfe auch auf absolute Konvergenz. Diese Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium, denn a_k:=1/sqrt(k+1) ist eine monoton fallende Nullfolge. Die Reihe ist aber nicht absolut konvergent, denn: sum(abs((-1)^k/(sqrt(k+1))),k=1,\inf )=sum(1/(sqrt(k+1)),k=1,\inf ) Es gilt jetzt nun 1/sqrt(k+1)>1/(k+1) und die Reihe sum(1/(k+1),k=1,\inf ) divergiert. Wir haben also eine divergente Minorante, die harmonische Reihe, gefunden und nach dem Minorantenkriterium ist die Reihe also nicht absolut konvergent. Dies zeigt auch nochmal, dass "normale" Konvergenz niemals absolute Konvergenz impliziert. \big\ \red\ Lösung zu der Zusatz-Übungsaufgabe: Hier nochmals die Aufgabe: Für n \el\ \IN sei a_n:=b_n:=(-1)^n/sqrt(n+1). Man zeige die Konvergenz der Reihe sum(a_n,n=1,\inf ), berechne das Cauchy-Produkt sum(a_n,n=1,\inf )*sum(b_n,n=1,\inf ) und zeige, dass dieses nicht konvergiert. Die Reihe sum(a_n,n=1,\inf ) konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, denn die Folge c_n:=1/sqrt(n+1) ist eine monoton fallende Nullfolge, wie man sehr leicht nachprüft. Wir berechnen nun das Cauchy-Produkt: sum(a_n,n=1,\inf )*sum(b_n,n=1,\inf ) mit Hilfe des in 5.3 eingeführten Cauchy-Produktes. (sum(((-1)^(n+1))/(sqrt(n)),n=1,\inf ))^2 => sum((sum(((-1)^(k+1))/(sqrt(k)) *((-1)^(n-k+1))/(sqrt(n-k)),k=1,n-1)),n=1,\inf ) =sum((-1)^n,n=1,\inf ) sum(1/(sqrt(k)*sqrt(n-k)),k=1,n-1) Wegen sum(1/(sqrt(k)*sqrt(n-k)),k=1,n-1) >= sum(1/(sqrt(n-1)*sqrt(n-1)),k=1,n-1)=sum(1/(n-1),k=1,n-1)=1 ist die Reihe divergent, denn die Koeffizienten bilden keine Nullfolge. Also ist das Cauchy-Produkt nicht konvergent. Wir sehen also, dass die absolute Konvergenz einer der beiden Reihen schon wichtig ist.
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Abschluss und Literatur Wieder mal, ein etwas längeres Kapitel. Aber wir hoffen, ihr hattet Spaß und an einigen Stellen auch einen AHA-Effekt erlebt. :-) Vielen lieben Dank an unsere Testleser fru, Wauzi und Wally, die uns auf einige Unstimmigkeiten hingewiesen und viele Tipps gegeben haben. Geben wir noch einen Ausblick auf das nächste Kapitel 6: Dort wird es um Stetigkeit gehen. Wir werden also jetzt das erste Mal Funktionen betrachten, untersuchen, was Stetigkeit genau bedeutet, was gleichmäßige Stetigkeit ist und wie man sich dies veranschaulichen kann. Des Weiteren werden wir auch "exotische" Stetigkeitsbegriffe, wie Alpa-Hölder-Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit zeigen und wir werden euch erklären, wie diese Stetigkeitsbegriffe mit einander zusammenhängen. Also freut euch! Einen weiteren und umfassenderen Einblick in die Reihen gibt es in dem Buch
Tutorium Analysis 1 und Lineare Algera 1

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Trennlinie

-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
->§5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Analysis I - §5 Reihen [von FlorianM]  
da_bounce und FlorianM schreiben: §5 Reihen Wir geben in diesem Kapitel nun eine Art Anwendung des Folgenbegriffs, indem wir Reihen untersuchen. Reihen sind nichts anderes als Folgen der Partialsummen. Um diesen Artikel zu verstehen, solltet ihr also wissen, was man unter einer Fol
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"Mathematik: Analysis I - §5 Reihen" | 4 Comments
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Re: Analysis I - §5 Reihen
von: Martin_Infinite am: So. 13. Dezember 2009 13:11:34
\(\begingroup\)gute reaktion auf realshaggys kommentar.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §5 Reihen
von: gaussmath am: So. 13. Dezember 2009 14:04:02
\(\begingroup\)\quoteon(Martin_Infinite) gute reaktion auf realshaggys kommentar \quoteoff Genau so ist es! Hätte ich auch so gemacht.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §5 Reihen
von: Yves am: So. 13. Dezember 2009 14:06:51
\(\begingroup\) \ Hi Ich hab das meiste nur überflogen, aber lest den Artikel doch bitte noch einmal Korrektur: z.B. definiert ihr was man unter einer Reihe sum(a_k,k=0,\inf) und deren Konvergenz versteht. Dann sagt ihr aber, dass man den Grenzwert mit sum(a_k,k=1,\inf) bezeichnet. Auch bei der geometrischen Reihe sprecht ihr einmal von sum(x^k,k=1,\inf) und einmal von sum(x^k,k=0,\inf). Als Anfänger würde ich diese Inkonsistenz als verwirrend empfinden, ebenso wie Reihen, die nur durch ein Summensymbol ohne Laufindex dargestellt werden. Außerdem weiß ich nicht, ob man Neulingen mit dem formalen Ausdruck \inf/e einen Gefallen tut. Ich persönlich würde da etwas mehr Präzision gut finden, aber das ist nur ein kleiner subjektiver Eindruck. Bei sum(1/k^n *(3n;n),n=1,\inf ), k\el\ \IN verwirrt ihr euch selbst, weil ihr in euren Beispielen zwischen k und n als Laufindex wechselt. Es muss dort an einer Stelle " für n -> \inf " heißen. Bei (2k+1)*(1^k/(1+1/k)^k)=(2k+1)*1/e ist auch was gravierendes schief gegangen. Auch z.B. bei => sum(k/3^k,k=1,\infty)=1/3 < 1 sollte man nochmal genauere Forschungen anstellen, was der Reihenwert mit dem Quotientenkriterium zu tun hat (und ich bin jetzt nur punktuell über den Artikel geflogen). Gruß Yves \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §5 Reihen
von: Curufin am: So. 13. Dezember 2009 16:22:35
\(\begingroup\)Hallo, das Quotientenkriterium gilt nicht in der Form mit dem Limes superior. Das typische Beispiel ist: sum(a_k,k=1,\inf) mit a_k= fdef(2^(-k), k ungerade;3^(-k), k gerade) Das Wurzelkriterium liefert unmittelbar limsup(root(k, abs(a_k)))=1/2, weshalb die Reihe konvergiert. Man kann auch das Majorantenkriterium anwenden mit Majorante die geometrische Reihe sum(2^(-k),k=1,\inf)=1. Wenden wir hingegen das Quotientenkriterium in der Form an, wie ihr es aufgeschrieben habt, dann gilt: Die Folge a_(k+1)/a_k hat offenbar die Darstellung a_(k+1)/a_k= fdef(3^(-k-1)/2^(-k), k ungerade;2^(-k-1)/3^(-k), k gerade) Betrachten wir nur die Teilfolge der geraden k. Dann ist der Quotient 2^(-k-1)/3^(-k)=3^k/2^(k+1)=1/2*(3/2)^k->\inf. Daher limsup(abs(a_(k+1)/a_k))=\inf. Übrigens zeigt das Beispiel auch, an welcher Stelle eure Argumentation schief läuft. Denn offenbar gilt \quoteon Für limsup abs(a_(k+1)/a_k)>1 gibt es ein N>=k_0 mit abs(a_k)>=abs(a_(k-1))>=...>=abs(a_N) \forall k>=N => a_k ist keine Nullfolge (Trivialkriterium \quoteoff nicht. Das Quotientenkriterium müsste also lauten, dass Konvergenz der Reihe vorliegt, wenn der Limes der auf einander folgenden Folgenglieder existiert und echt kleiner 1 ist. Existiert der Grenzwert und ist größer als 1, dann divergiert die Reihe. In allen anderen Fällen ist keine Aussage möglich. Noch eine Anmerkung: Es fehlt noch ein wichtiges und in manchen Situationen äußerst nütliches Kriterium, nämlich das Verdichtungskriterium, das in gewisser Weise aus einer Analyse des Divergenzbeweises der harmonischen Reihe resultiert. Es lautet: Es sei \(a_k\.\)_(k\in\IN) eine monotone Nullfolge, dann ist die Reihe sum(a_k,k=1,\inf) genau dann konvergent, wenn für c\in\IN\\{1} die Reihe sum(c^k\.a_(c^k),k=1,\inf) konvergiert. Viele Grüße Curufin \(\endgroup\)
 

 
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