Mathematik: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
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Mathematik

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Algebraische Grundlagen 2 - Kettenkomplexe und Homologie

Im vorangegangen Artikel haben wir uns mit exakten Sequenzen beschäftigt. In diesem Artikel soll es um Kettenkomplexe und deren Homologien gehen, die uns dabei helfen werden, den topologischen Homologiebegriff mit Leben zu füllen. Die technischen Grundlagen für die nun anstehende Konstruktion einer konkreten Homologietheorie werden aus diesem Artikel kommen. Im Wesentlichen wird dieser Artikel formalisieren, was wir bereits in den Artikeln zur algebraischen Topologie erlebt haben. Alle Definitionen und Sätze sind deutlich erkennbar von ihren Gegenstücken für die (Ko)Homologie topologischer Räume inspiriert. Weil Kettenkomplexe und (Ko)Homologien aber auch in anderen Bereichen der Mathematik auftreten, ist es sinnvoll, einen abstrakten, axiomatischen Standpunkt zu diesem Thema einzunehmen, um die Sätze in den verschiedenen Kontexten wieder verwenden zu können. Genau das werden wir in diesem Artikel tun.


Inhalt


Kettenkomplexe

Untersuchungsgegenstand dieses Artikels sind so genannte Kettenkomplexe. Schauen wir uns zunächst an, wie sie definiert sind:
makro(cat,\stress\big\ array(%1)\normal) define(labelC0,C_(n+1)) define(labelC1,C_n) define(labelC2,C_(n-1)) define(labeld0,\small\ d_(n+1)) define(labeld1,\small\ d_n) define(labelC0p,C'_(n+1)) define(labelC1p,C'_n) define(labelC2p,C'_(n-1)) define(labeld0p,\small\ d'_(n+1)) define(labeld1p,\small\ d'_n) define(labelf0,\small\ f_(n+1)) define(labelf1,\small\ f_n) define(labelf2,\small\ f_(n-1)) define(labeldots,\cdots) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.25) konst(dy,0.20) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,4.25) y(-0.5,1.5) ebene(450,200) noaxis() nolabel() punktform(.) node(0,1,dots1) node(1,1,A0) node(2,1,A1) node(3,1,A2) node(4,1,dots2) node(0,0,dots3) node(1,0,B0) node(2,0,B1) node(3,0,B2) node(4,0,dots4) arrow(dots1.E,A0.W,ar1) arrow(A0.E,A1.W,ar2) arrow(A1.E,A2.W,ar3) arrow(A2.E,dots2.W,ar4) arrow(dots3.E,B0.W,ar5) arrow(B0.E,B1.W,ar6) arrow(B1.E,B2.W,ar7) arrow(B2.E,dots4.W,ar8) arrow(A0.S,B0.N,ar9) arrow(A1.S,B1.N,ar10) arrow(A2.S,B2.N,ar11) print(\labeldots,-0.1,0.075) print(\labelC0p, 0.8,0.075) print(\labelC1p, 1.9,0.075) print(\labelC2p, 2.8,0.075) print(\labeldots, 3.9,0.075) print(\labeldots,-0.1,1.075) print(\labelC0, 0.8,1.075) print(\labelC1, 1.9,1.075) print(\labelC2, 2.8,1.075) print(\labeldots, 3.9,1.075) print(\labeld0p,1.3,0.2) print(\labeld1p,2.4,0.2) print(\labeld0, 1.3,1.2) print(\labeld1, 2.4,1.2) print(\labelf0, 1.1,0.6) print(\labelf1, 2.1,0.6) print(\labelf2, 3.1,0.6) \geooff Ein Kettenkomplex____ \(über R\) ist eine Sequenz von R\-Moduln geoprint(,,-0.25,0.75,4.25,1.25) sodass d_n\circ\ d_(n+1)=0 ist. Die Elemente von C_n werden traditionell n\-Ketten____ und die d_n Randoperatoren____ oder Differentiale____ genannt. Sind (C_n, d_n) und (C'_n, d'_n) Kettenkomplexe über R, so heißt eine Folge f=\(f_n: C_n\to\ C'_n\.\)_array(n\in\IZ) von Homomorphismen Kettenabbildung____, falls f mit den Randoperatoren vertauscht, d.h. falls d'_n\circ\ f_n=f_(n-1)\circ\ d_n gilt. Das Diagramm geoprint(,,-0.25,-0.25,4.25,1.25) muss also kommutieren. Die Kettenkomplexe über R bilden mit den Kettenabbildungen zusammen eine Kategorie, für die es keine einheitliche Bezeichnung gibt, die wir hier aber mit cat(Kom(R)) bezeichnen wollen.
makro(cat,\stress\big\ array(%1)\normal) Mit diesen Definitionen und der Beobachtung, dass cat(Kom(R)) eine Kategorie ist, stehen uns all die üblichen Begriffe der Kategorientheorie zur Verfügung. So können wir nun davon sprechen, wann zwei Kettenkomplexe isomorph sind etc. Wenn man sich diese Kategorie genauer ansieht, stellt man fest, dass sie sehr angenehme Eigenschaften hat. Insbesondere ist sie eine so genannte "abelsche" Kategorie. Wir werden nicht definieren, was das ist, oder gar beweisen, dass cat(Kom(R)) eine ist. Wir werden aber die Begrifflichkeiten nutzen, die sich daraus ergeben. So hat z.B. jede Kettenabbildung einen Kern____ und ein Bild____, die wiederum Kettenkomplexe sind. Explizit sind ker(f) und im(f) für eine Kettenabbildung f:C\to\ C' "komponentenweise" gegeben, d.h. ker(f) besteht aus der Folge \(ker(f_n)\.\)_array(n\in\IZ) und analog besteht im(f) aus der Folge \(im(f_n)\.\)_array(n\in\IZ). Die Randoperatoren dieser Kettenkomplexe sind jeweils die eingeschränkten Randoperatoren von C bzw. C'. Man rechnet leicht nach, dass das wieder wohldefinierte Randoperatoren ergibt. Man kann sich ebenso leicht davon überzeugen, dass die meisten anderen kategorientheoretischen Begriffe wie Produkt, Koprodukt und Quotient in cat(Kom(R)) einfach durch die naheliegenden komponentenweisen Übertragungen der entsprechenden Begriffe für R\-Moduln gegeben sind. Wenn wir von Kernen und Bildern sprechen können, so können \(und werden\) wir genau wie für Moduln natürlich auch von exakten Sequenzen sprechen. Sie sind völlig analog dadurch definiert, dass an den entsprechenden Stellen einer Sequenz ker(f_2)=im(f_1) gelten muss, nur dass jetzt eben f_1 und f_2 Kettenabbildungen sind. Bevor wir in die Theorie der Kettenkomplexe einsteigen, noch zwei Bemerkungen zur Indizierung: Es ist auch üblich, Kettenkomplexe zu betrachten, die nicht mit \IZ, sondern nur mit \IZ_array(>=n), \IZ_array(<=m) oder nur menge(n,n+1,...,m-1,m) indiziert sind. Gegebenenfalls nennt man solche Komplexe array(nach unten beschränkt)____, array(nach oben beschränkt)____ bzw. einfach nur beschränkt____. Wir können solche Komplexe zu Kettenkomplexen in unserem Sinne machen, indem wir C_n:=0 für die fehlenden n setzen. Wir werden daher solche abgeschnittenen Komplexe als Spezialfälle unserer Definition betrachten. Es ist in der Tat so, dass viele Kettenkomplexe aus der Praxis wenig oder gar keine nichttrivialen Moduln im negativen Bereich haben. Unsere Definition mit \IZ\-indizierten Folgen sorgt aber dafür, dass man den Übergangspunkt nicht über Gebühr mit Fallunterscheidungen betrachten muss. Wie so oft gibt es auch von den Kettenkomplexen eine duale Variante. Es ist in einigen Anwendungen natürlicher, die Randoperatoren in der anderen Richtung laufen zu lassen (im ersten Artikel zur algebraischen Topologie wurde mit dem Komplex der Differentialformen auf einer Mannigfaltigkeit bereits ein Beispiel dafür gegeben). Statt eines Kettenkomplexes \cdots\textrightarrow C_(n+1) \textrightarrow C_n \textrightarrow C_(n-1) \textrightarrow\cdots erhält man so den Begriff des Kokettenkomplex____es \cdots\textleftarrow C^(n+1) \textleftarrow C^n \textleftarrow C^(n-1) \textleftarrow\cdots Die Elemente von C^n werden entsprechend auch als n\-Koketten bezeichnet. Es ist in diesem Artikel erstmal nur eine Bezeichnungs-, aber keine inhaltliche Frage, ob man nun Kettenkomplexe oder Kokettenkomplexe betrachtet. Durch eine Umindizierung kann man stets einen Kettenkomplex in einen Kokettenkomplex überführen und umgekehrt: Man braucht nur alle Indizes durch ihr Negatives zu ersetzen. Alle Resultate, die wir beweisen werden, gelten somit automatisch für beide Varianten. Wir werden daher darauf verzichten, alles doppelt aufzuschreiben und nur mit Kettenkomplexen arbeiten.

Homologie von Kettenkomplexen

Bis hierhin sind Kettenkomplexe erst einmal unspannend. Interessant ist jedoch die Beobachtung, dass aufgrund der Forderung d_(n-1)\circ\ d_n=0 stets im(d_n)\subseteq\ ker(d_(n-1)) gilt. Diese Gruppen spielen eine besondere Rolle. Daher definieren wir...
Ist C=(C_n, d_n) ein Kettenkomplex, so definieren wir B_n:=B_n(C):=im(d_(n+1)), Z_n:=Z_n(C):=ker(d_n) und H_n(C):=Z_n(C)|\/|B_n(C). Die Elemente von B_n heißen Ränder____, die von Z_n Zyklen____. Die Folge H_\*(C)=\(H_n(C)\)_array(n\in\IZ) heißt Homologie____ von C, die einzelnen H_n heißen auch Homologiegruppen____ von C \(auch wenn es eigentlich mehr als Gruppen, nämlich R\-Moduln sind\).
Wieso interessiert man sich für die Homologie? Wieso interessiert man sich überhaupt für Kettenkomplexe? Ein Kettenkomplex ist ja eine Sequenz, in der d_(n-1)\circ\ d_n=0 ist, d.h. im(d_n)\subseteq\ ker(d_(n-1)). Es liegt, wenn man exakte Sequenzen kennt, nun nahe, sich zu fragen, ob für einen, mehreren oder gar allen Indizes in dieser Inklusion Gleichheit gilt. Das muss natürlich nicht der Fall sein. Es ist aber genau dann der Fall an Position n, wenn H_n=0 ist. Die Homologie H_n "misst" somit in gewisser Weise, "wie stark" die Sequenz davon entfernt ist, an der Stelle n exakt zu sein. H_\*(C)=0 ist äquivalent dazu, dass der Kettenkomplex C eine exakte Sequenz ist. Aus Sicht der algebraischen Topologie ist es sinnvoll, sich mit Kettenkomplexen zu beschäftigen, weil diese in natürlicher Weise auftreten, wenn man versucht, diverse geometrische Eigenschaften zu erfassen. Wir haben Beispiele im einführenden Artikel zur algebraischen Topologie gesehen. Dort wurde z.B. bereits die Konstruktion der deRham-Kohomologie als Kohomologie des Kokettenkomplexes der Differentialformen durchgeführt. Es wurde dabei auch angedeutet, dass die so erhaltenen Kohomologiegruppen der Mannigfaltigkeit topologische Einschränkungen an das analytisches Ausgangsproblem zu entscheiden, ob geschlossene k-Formen stets exakt sind, beschreiben. Weitere Beispiele: \ll(a)Ist A irgendein R\-Modul, so kann man den Kettenkomplex \ll()C_array(A\,k):=\cdots\to\ 0\to\ 0\to\ A\to\ 0\to\ 0\to\cdots \ll()betrachten, wobei A im Index k steht. Da alle Abbildungen die Nullabbildungen sind, ist ker(A\to\ 0)=A und im(0\to\ A)=0, also H_k(C_array(A\,k))=A. Alle anderen Homologiegruppen sind 0. \ll(b)Sind allgemeiner irgendwelche R\-Moduln \(A_n\.\)_array(n\in\IZ) gegeben, so kann man den zugehörigen trivialen Kettenkomplex \ll()A_triv:=\cdots \textrightarrow A_(n+1) array(\small\ 0;\normal\textrightarrow;\small\ $\normal) A_n array(\small\ 0;\normal\textrightarrow;\small\ $\normal) A_(n-1) \textrightarrow \cdots \ll()betrachten. Da wieder alle Abbildungen 0 sind, berechnen sich die Homologien einfach zu H_n(A_triv)=A_n. Wenn das auch wenig spannend ist, so zeigt es zumindest, dass jede Folge von Moduln als Homologie vorkommt. \ll(c)Sind A und B R\-Moduln und f:A\to\ B ein Homomorphismus, so kann man den Kettenkomplex betrachten, der durch triviale Ausdehnung entsteht \ll()C_array(f\,k):=\cdots \textrightarrow 0 \textrightarrow 0 \textrightarrow A array(\small\ f;\normal\textrightarrow;\small\ $\normal) B \textrightarrow 0 \textrightarrow 0 \textrightarrow \cdots \ll()wobei A im Index k steht. Es ist wieder H_n(C_array(f\,k))=0 falls n!=k und n!=k-1 ist. Die nichttrivialen Homologien hängen direkt mit f zusammen: Es ist im(0\to\ A)=0, d.h. H_k(C_array(f\,k))=ker(f)\/0=ker(f), sowie ker(B\to\ 0)=B, d.h. H_(k-1)(C_array(f\,k))=B\/im(f)=coker(f). Die Beobachtung, dass die n\-te Homologiegruppe eines Kettenkomplexes genau dann Null ist, wenn der Komplex an der n\-ten Stelle exakt ist, liefert uns die aus dem vorangegangen Artikel bereits bekannten Eigenschaften \ll()0\textrightarrow A array(\small\ f;\normal\textrightarrow;\small\ $\normal) B exakt <=> f injektiv \ll()A array(\small\ f;\normal\textrightarrow;\small\ $\normal) B \textrightarrow 0 exakt <=> f surjektiv Oft sind die eigentlich interessanten Eigenschaften in der Homologie des entsprechenden Kettenkomplexes kodiert oder die Homologie schlicht der am einfachsten zugängliche Part der Informationen. So wird beispielsweise der Kettenkomplex selbst oft aus Moduln bestehen, die nicht endlich erzeugt sind. Die Homologien können das jedoch durchaus sein, sodass sie einer Analyse mit Mitteln etwa aus der linearen Algebra besser zugänglich sind. Eine interessante Beobachtung an der Homologie ist folgende: Wenn C und C' zwei Kettenkomplexe sind und f:C\to\ C' eine Kettenabbildung zwischen ihnen, dann gilt aufgrund der Verträglichkeit von f mit den Randoperatoren: c_n\in\ Z_n(C) => d_n(c_n)=0 => d'_n(f_n(c_n))=f_(n-1)(d_n(c_n))=f_(n-1)(0)=0 => f_n(c_n)\in\ Z_n(C') sowie c_n=d_(n+1)(c_(n+1)) => f_n(c_n)=f_n(d_(n+1)(c_(n+1)))=d'_(n+1)(f_(n+1)(c_(n+1)) => f_n(c_n)\in\ B_n(C') Also bildet f_n sowohl Z_n(C) nach Z_n(C') als auch B_n(C) nach B_n(C') ab. Damit gibt es insbesondere auch eine induzierte Abbildung Z_n(C)\.\/B_n(C)\to Z_n(C')\.\/B_n(C'), d.h. H_n(C)\to H_n(C'). Präzise ist die Abbildung also durch [](z_n)\mapsto[](f_n(z_n)) gegeben. Wir vergeben für die Abbildung nun einen eigenen Namen:
Sei f:C\to\ C' eine Kettenabbildung. Der array(induzierte Homomorphismus)____ H_n(C)\to\ H_n(C') wird mit H_n(f) bezeichnet. Die Folge aller H_n(f) wird manchmal mit H_\*(f) bezeichnet. Es auch üblich H_n(f) oder ganz H_\*(f) einfach mit f_\* zu bezeichnen, da sich die Indizes meist aus dem Kontext ergeben oder sowieso unerheblich sind, wenn es etwa um Aussagen für alle Indizes geht.
makro(cat,\stress\big\ array(%1)\normal) Mit dieser Definition kann man sich leicht davon überzeugen, dass die H_n und H_\* Funktoren cat(Kom(R))\to\ cat(R\-Mod) bzw. von cat(Kom(R)) in die Kategorie der Folgen von R\-Moduln sind. Insbesondere ist die Homologie eine Isomorphie\-Invariante des Kettenkomplexes. Die Homologien, die ihren Ursprung in der algebraischen Topologie haben, sind sogar oft rein topologische Invarianten, auch wenn der Kettenkomplex noch von einer speziellen Zusatzstruktur wie einer CW\-Struktur oder einer Triangulierung des Raumes abhing.

Die lange, exakte Homologie-Sequenz

Die wohl wichtigste Eigenschaft der Homologie von Kettenkomplexen ist die folgende:
define(label0,0) define(labelC1,C^1) define(labelC2,C^2) define(labelC3,C^3) define(labelH1,\cdots) define(labelH2,H_n(C^2)) define(labelH3,H_n(C^3)) define(labelH1m,H_n\-1(C^1)) define(labelH2m,H_n\-1(C^2)) define(labelH3m,\cdots) define(labela,\small\alpha) define(labelb,\small\beta) define(labelas,\small\alpha_\*) define(labelbs,\small\beta_\*) define(labeld,\small\partial_n) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.2) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.15,6.45) y(-0.25,1.25) noaxis() ebene(660,150) punktform(.) nolabel() konst(dx,0.3) node(0.0,0,Z1) node(1.2,0,Z2) node(2.4,0,Z3) konst(dx,0.4) node(3.7,0,H1) node(5.1,0,H2) node(6.5,0,H3) konst(dx,0.10) node(0,1,N1) node(4,1,N2) konst(dx,0.15) node(1,1,C1) node(2,1,C2) node(3,1,C3) arrow(Z1.E,Z2.W,ar1) arrow(Z2.E,Z3.W,ar2) arrow(Z3.E,H1.W,ar3) arrow(H1.E,H2.W,ar4) arrow(H2.E,H3.W,ar5) arrow(N1.E,C1.W,ar6) arrow(C1.E,C2.W,ar7) arrow(C2.E,C3.W,ar8) arrow(C3.E,N2.W,ar9) print(\labelH1,-0.05,0.075) print(\labelH2, 0.95,0.125) print(\labelH3, 2.15,0.125) print(\labelH1m,3.35,0.125) print(\labelH2m,4.75,0.125) print(\labelH3m,6.20,0.075) print(\labelas, 0.50,0.15) print(\labelbs, 1.70,0.15) print(\labeld, 2.90,0.15) print(\labelas, 4.30,0.15) print(\labelbs, 5.70,0.15) print(\label0 ,-0.05,1.075) print(\labelC1, 0.9, 1.125) print(\labelC2, 1.9, 1.125) print(\labelC3, 2.9, 1.125) print(\label0 , 3.95,1.075) print(\labela, 1.4, 1.15) print(\labelb, 2.4, 1.15) \geooff Ist geoprint(,,-0.15,0.75,4.25,1.25) eine kurze, exakte Sequenz von Kettenkomplexen, so gibt es einen natürlichen Homomorphismus \partial_n: H_n(C^3)\to H_(n-1)(C^1), sodass geoprint(,,-0.15,-0.25,6.45,0.25) eine lange, exakte Sequenz ist.
Man erkennt die lange exakte Sequenz für Homologien topologischer Räume wieder. In der Tat werden wir sehen, dass beispielsweise für die singuläre Homologie das obige Lemma der Grund für die Gültigkeit des Axioms von der langen, exakten Sequenz ist. Um den Satz nun beweisen zu können, benutzen wir das Schlangenlemma aus dem letzten Artikel: define(label0,0) define(labelC1,C^1) define(labelC2,C^2) define(labelC3,C^3) define(labelZ1,Z_n\-1(C^1)) define(labelZ2,Z_n\-1(C^2)) define(labelZ3,Z_n\-1(C^3)) define(labeld1,\small\ d^1) define(labeld2,\small\ d^2) define(labeld3,\small\ d^3) define(labelap,\small\alpha_n\+1) define(labelbp,\small\beta_n\+1) define(labela,\small\alpha_n) define(labelb,\small\beta_n) define(labelam,\small\alpha_n\-1) define(labelbm,\small\beta_n\-1) define(tricknG,$_n) define(tricknpG,$_n\+1) define(tricknK,\small\ $_n) define(tricknpK,\small\ $_n\+1) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.2) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,5.25) y(-0.25,2.25) noaxis() ebene(550,250) punktform(.) nolabel() node(0,2,N1) node(5,2,N4) node(0,1,N2) node(5,1,N5) node(0,0,N3) #node(5,0,N6) konst(dx,0.20) konst(dy,0.20) node(1,2,B1) node(2.5,2,B2) node(4,2,B3) konst(dx,0.15) konst(dy,0.20) node(1,1,C1) node(2.5,1,C2) node(4,1,C3) konst(dx,0.35) konst(dy,0.15) node(1,0,Z1) node(2.5,0,Z2) node(4,0,Z3) arrow(N1.E,B1.W,ar1) arrow(B1.E,B2.W,ar4) arrow(B2.E,B3.W,ar7) arrow(B3.E,N4.W,ar10) arrow(N2.E,C1.W,ar2) arrow(C1.E,C2.W,ar5) arrow(C2.E,C3.W,ar8) arrow(C3.E,N5.W,ar11) arrow(N3.E,Z1.W,ar3) arrow(Z1.E,Z2.W,ar6) arrow(Z2.E,Z3.W,ar9) #arrow(Z3.E,N6.W,ar12) arrow(B1.S,C1.N,ar13) arrow(B2.S,C2.N,ar15) arrow(B3.S,C3.N,ar17) arrow(C1.S,Z1.N,ar14) arrow(C2.S,Z2.N,ar16) arrow(C3.S,Z3.N,ar18) print(\label0,-0.03,0.075) print(\label0,-0.03,1.075) print(\label0,-0.03,2.075) print(\label0, 4.97,1.075) print(\label0, 4.97,2.075) print(\labelC1, 0.85,2.125) print(\tricknpG,0.86,2.075) print(\labelC2, 2.35,2.125) print(\tricknpG,2.36,2.075) print(\labelC3, 3.85,2.125) print(\tricknpG,3.86,2.075) print(\labelC1, 0.90,1.125) print(\tricknG, 0.91,1.075) print(\labelC2, 2.40,1.125) print(\tricknG, 2.41,1.075) print(\labelC3, 3.90,1.125) print(\tricknG, 3.91,1.075) print(\labelZ1, 0.70,0.125) print(\labelZ2, 2.20,0.125) print(\labelZ3, 3.70,0.125) print(\labelap,1.65,2.15) print(\labelbp, 3.15,2.15) print(\labela, 1.70,1.15) print(\labelb, 3.20,1.15) print(\labelam,1.65,0.20) print(\labelbm, 3.15,0.20) print(\labeld1, 1.1,1.6) print(\tricknpK,1.11,1.55) print(\labeld2, 2.6,1.6) print(\tricknpK,2.61,1.55) print(\labeld3, 4.1,1.6) print(\tricknpK,4.11,1.55) print(\labeld1, 1.1,0.6) print(\tricknK, 1.11,0.55) print(\labeld2, 2.6,0.6) print(\tricknK, 2.61,0.55) print(\labeld3, 4.1,0.6) print(\tricknK, 4.11,0.55) \geooff \blue\ Beweis: Wir orientieren uns an diesem Diagramm, welches kommutativ ist, da \alpha und \beta Kettenabbildungen sind: geoprint() Da wir Kern und Bild für Kettenkomplexe komponentenweise definiert haben, übersetzt die Exaktheit einer Sequenz von Kettenkomplexen einfach in die Exaktheit der Sequenzen in den einzelnen Komponenten: Die mittlere Zeile geoprint(,,-0.25,0.8,5.25,1.14) ist exakt für alle n\in\IZ. Es ist aber auch die Zeile darunter exakt \(Ja, dass da keine 0 am Ende steht, ist beabsichtigt\). Dass die erste Abbildung injektiv ist, ist klar, weil es die Einschränkung einer injektiven Abbildung ist. Bleibt also nur die Exaktheit bei Z_n(C^2) für alle n\in\IZ zu zeigen: Ist c||array(\small\ 2;n\normal)\in ker(\beta_n)\cut\ Z_n(C^2) so gibt es aufgrund der Exaktheit bei C||array(\small\ 2;n\normal) ein c||array(\small\ 1;n\normal) mit \alpha_n(c||array(\small\ 1;n\normal))=c||array(\small\ 2;n\normal). 0=d||array(\small\ 2;n\normal)(\alpha_n(c||array(\small\ 1;n\normal)))=\alpha_n\-1(d||array(\small\ 1;n\normal)(c||array(\small\ 1;n\normal))) \lr(Kommutativität) => 0=d||array(\small\ 1;n\normal)(c||array(\small\ 1;n\normal)) \lr(Injektivität) => c||array(\small\ 1;n\normal)\in\ Z_n(A) Also ist tatsächlich im(\(\alpha_n\.\)_array(\|Z_n(C^1)))=ker(\(\beta_n\.\)_array(\|Z_n(C^2))). Damit haben wir die Voraussetzungen des Schlangenlemmas für die unterste Zeile in obigem Diagramm nachgeprüft. Wir könnten es jetzt direkt auf die unteren beiden Zeilen anwenden. Dann erhielten wir jedoch eine exakte Sequenz Z_n(C^1)\to\ Z_n(C^2)\to\ Z_n(C^3)\to\ H_(n-1)(C^1)\to\ H_(n-1)(C^2)\to\ H_(n-1)(C^3) Das ist also nocht nicht ganz, was wir haben wollen. Nun bilden die ersten beiden Pfeile aber B_n(C^1) nach B_n(C^2) nach B_n(C^3) ab, d.h. die induzierte Sequenz der Quotienten H_n(C^1)\to\ H_n(C^2)\to\ H_n(C^3) ist auch exakt. Es bleibt die Frage zu klären, ob auch die Gesamtsequenz exakt ist. Zunächst stellt sich da die Frage, ob es überhaupt eine induzierte Abbildung H_n(C^3)\to H_(n-1)(C^1) gibt, d.h. ob B_n(C^3) im Kern der vom Schlangenlemma gelieferte Abbildung \partial_n liegt. Wir erinnern uns, wie \partial_n funktioniert: Zu einem gegebenen c||array(\small\ 3;n\normal) wählen ein Urbild unter \beta_n und wenden darauf d||array(\small\ 2;n\normal) und \alpha||array(\small\ -1;n\-1\normal) an. Ist nun c||array(\small\ 3;n\normal)\in\ B_n(C^3), so gibt es ein c||array(\small\ 3;n\+1\normal) mit d||array(\small\ 3;n\+1\normal)(c||array(\small\ 3;n\+1\normal))=c||array(\small\ 3;n\normal). => \exists\ c||array(\small\ 2;n\+1\normal): \beta_(n+1)(c||array(\small\ 2;n\+1\normal))=c||array(\small\ 3;n\+1\normal) \lr(Surjektivität) => c||array(\small\ 3;n\normal)=d||array(\small\ 3;n\+1\normal)(\beta_(n+1)(c||array(\small\ 2;n\+1\normal)))=\beta_n(d||array(\small\ 2;n\+1\normal)(c||array(\small\ 2;n\+1\normal))) \lr(Kommutativität) => d||array(\small\ 2;n\+1\normal)(c||array(\small\ 2;n\+1\normal)) ist Urbild von c||array(\small\ 3;n\normal) unter \beta_n. Wenden wir darauf d||array(\small\ 2;n\normal) an, ergibt sich 0 wegen d||array(\small\ 2;n\normal)\circ\ d||array(\small\ 2;n\+1\normal)=0. Die Anwendung von \alpha||array(\small\ -1;n\-1\normal) ändert daran nichts mehr, d.h. \partial_n(c||array(\small\ 3;n\normal))=0 für alle c||array(\small\ 3;n\normal)\in\ B_n(C^3). define(label0,0) define(labelH1m,H_n\-1(C^1)) define(labelH2m,H_n\-1(C^2)) define(labelH3m,H_n\-1(C^3)) define(labelH1,H_n(C^1)) define(labelH2,H_n(C^2)) define(labelH3,H_n(C^3)) define(labela,\small\alpha_\*) define(labelb,\small\beta_\*) define(labeld,\small\partial_n) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.2) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) x(-0.25,6.85) y(-0.50,0.50) noaxis() ebene(710,100) punktform(.) nolabel() konst(dx,0.3) node(0.0,0,Z1) node(1.2,0,Z2) node(2.4,0,Z3) konst(dx,0.4) node(3.7,0,H1) node(5.1,0,H2) node(6.5,0,H3) arrow(Z1.E,Z2.W,ar1) arrow(Z2.E,Z3.W,ar2) arrow(Z3.E,H1.W,ar3) arrow(H1.E,H2.W,ar4) arrow(H2.E,H3.W,ar5) print(\labelH1,-0.25,0.125) print(\labelH2, 0.95,0.125) print(\labelH3, 2.15,0.125) print(\labelH1m,3.35,0.125) print(\labelH2m,4.75,0.125) print(\labelH3m,6.15,0.125) print(\labela, 0.50,0.15) print(\labelb, 1.70,0.15) print(\labeld, 2.90,0.15) print(\labela, 4.30,0.15) print(\labelb, 5.70,0.15) \geooff Das klärt aber die Frage nach der Exaktheit noch nicht ganz. Die Gesamtsequenz geoprint(,,-0.25,-0.25,6.85,0.25) ist wohldefininiert und mindestens exakt bei H_n(C^2) und H_(n-1)(C^2). Da sich das Bild von \partial_n: Z_n(C^3)\to\ H_(n-1)(C^1) nicht verändert, wenn wir zu induzierten Abbildung H_n(C^3)\to\ H_(n-1)(C^1) übergehen, ist die Sequenz auch exakt bei H_(n-1)(C^1). Das Bild von \beta_\* in H_n(C^3) ist genau im(\beta_n)\/B_n(C^3)=ker(\partial_n)\/B_n(C^3), d.h. die Sequenz ist auch exakt bei H_n(C^3). Da das nun für alle n\in\IZ gilt, brauchen wir diese Teilsequenzen nur zusammenzusetzen und haben unsere lange, exakte Homologiesequenz. \blue\ q.e.d.

Kettenhomotopien

Ein wichtiges Konzept für den Umgang mit Kettenkomplexen und deren Homologien ist das Konzept der Homotopie von Kettenabbildungen. Die wesentliche Eigenschaft, die dabei interessant ist, ist dass die Homologie nicht zwischen homotopen Kettenabbildungen unterscheiden kann.
Definition: Kettenhomotopie
define(labeldots,\cdots) define(labelA0,A_n\+1) define(labelB0,A_n) define(labelC0,A_n\-1) define(labelA1,B_n\+1) define(labelB1,B_n) define(labelC1,B_n\-1) define(labeld1,\small\ d_\*) define(labeld0,\small\delta_\*) define(labelfp,\small\ f_n\+1) define(labelf,\small\ f_n) define(labelfm,\small\ f_n\-1) define(labelgp,\small\ g_n\+1) define(labelg,\small\ g_n) define(labelgm,\small\ g_n\-1) define(labels,\small\ h_n) define(labelsm,\small\ h_n\-1) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.15) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) makro(mklabel,\ kreis(%1.mid,0.1,%1.K,hide) fill(%1.K,ffffff,top) \ ) x(-0.25,5.25) y(-0.25,1.75) ebene(550,200) noaxis() punktform(.) nolabel() replace() konst(dx,0.20) konst(dy,0.20) node(0,1.5,dots1w) node(1,1.5,A1) node(2.5,1.5,B1) node(4,1.5,C1) node(5,1.5,dots1e) node(0,0.0,dots0w) node(1,0.0,A0) node(2.5,0.0,B0) node(4,0.0,C0) node(5,0.0,dots0e) arrow(dots1w.E,A1.W,ar) arrow(A1.E,B1.W,arA1B1) arrow(B1.E,C1.W,arB1C1) arrow(C1.E,dots1e.W,ar) arrow(dots0w.E,A0.W,ar) arrow(A0.E,B0.W,arA0B0) arrow(B0.E,C0.W,arB1C1) arrow(C0.E,dots0e.W,ar) arrow(B1.SW,A0.NE,arB1A0) arrow(C1.SW,B0.NE,arC1B0) replace() konst(dx,0.05) node(0,1.5,N1) node(1,1.5,A1) node(2.5,1.5,B1) node(4,1.5,C1) node(5,1.5,N2) node(0,0.0,N3) node(1,0.0,A0) node(2.5,0.0,B0) node(4,0.0,C0) node(5,0.0,N4) arrow(A1.SE,A0.NE,arAf) arrow(A1.SW,A0.NW,arAg) arrow(B1.SE,B0.NE,arBf) arrow(B1.SW,B0.NW,arBg) arrow(C1.SE,C0.NE,arCf) arrow(C1.SW,C0.NW,arCg) print(\labeldots,-0.05,0.075) print(\labeldots, 4.95,0.075) print(\labeldots,-0.05,1.575) print(\labeldots, 4.95,1.575) print(\labelA0,0.85,1.575) print(\labelB0,2.45,1.575) print(\labelC0,3.85,1.575) print(\labelA1,0.85,0.075) print(\labelB1,2.45,0.075) print(\labelC1,3.85,0.075) print(\labeld1,1.70, 1.7) print(\labeld1,3.20, 1.7) print(\labeld0,1.70,-0.1) print(\labeld0,3.20,-0.1) print(\labelfp,0.70,0.85) print(\labelf, 2.30,0.85) print(\labelfm,3.70,0.85) print(\labelgp,1.10,0.85) print(\labelg, 2.60,0.85) print(\labelgm,4.10,0.85) mklabel(arB1A0) print(\labels, 1.70,0.85) mklabel(arC1B0) print(\labelsm,3.15,0.85) \geooff \geoprint() Sind A,B Kettenkomplexe und f,g:A\to\ B Kettenabbildungen, so nennt man f und g homotop____ und schreibt f ~- g, falls es eine Folge h=(h_n: A_n\to\ B_(n+1))_array(n\in\IZ) von Homomorphismen gibt, sodass f_n-g_n=h_(n-1)\circ\ d_n+\delta_(n+1)\circ\ h_n h heißt ggf. eine Homotopie____ zwischen f und g. f heißt eine Homotopieäquivalenz____ von A und B, falls es eine Kettenabbildung f': B\to\ A gibt, sodass f\circ\ f' ~- id_B und f'\circ\ f ~- id_A ist.
Man überzeugt sich leicht davon, dass dieser Begriff erstens eine Äquivalenzrelation definiert und sich zweitens gut mit der umgebenden Algebra verträgt: Wenn f~-f', g~-g', dann ist \- sofern definiert \- auch f+-g~-f'+-g' und f\circ\ g~-f'\circ\ g'. Die Namensgebung legt nahe \(und es ist auch tatsächlich so\), dass Kettenhomotopien etwas mit der topologischen Homotopie zu tun haben. Es wird sich herausstellen, dass in der singulären Homologie zwei homotope Abbildungen f,g: (X,A)\to\ (Y,B) kettenhomotope Abbildungen zwischen den singulären Kettenkomplexen induzieren. Das zu zeigen, ist der entscheidende Schritt, um das Homotopie\-Axiom für die singuläre Homologie zu beweisen. Hat man das nämlich erstmal geschafft, so lässt sich die Aussage des Homotopie\-Axioms aus folgender Eigenschaft von Kettenhomotopien folgern:
Sind (A,d),(B,\delta) Kettenkomplexe und f,g: A\to\ B zwei homotope Kettenabbildungen, so sind die induzierten Homomorphismen f_\*, g_\*: H_\*(A)\to\ H_\*(B) dieselben.
\blue\ Beweis: Sei \(h_n\.\) eine Homotopie zwischen f und g. Sei weiter z^-\in\ H_n(A) beliebig. Es gilt dann: f_n(z)-g_n(z)=h_(n-1)(d_n(z))+\delta_(n+1)(h_n(z))=0+\delta_(n+1)(h_n(z))) da z\in\ Z_n(A). Daraus folgt f_\*(z^-)=(f_n(z))^-=(g_n(z))^-=g_\*(z^-), d.h. die Abbildungen f_\*, g_\*: H_n(A)\to\ H_n(B) sind gleich. \blue\ q.e.d. Das Lemma kommt unscheinbar daher, wird aber immer wieder gerne eingesetzt. So ist es nicht nur für den Beweis des Homotopie\-Axioms für singuläre Homologie von entscheidender Bedeutung, sondern z.B. auch für den Nachweis des Ausschneidungsaxioms und viele andere Anwendungen. Eine weitere, nützliche Variante, das Lemma zu benutzen, ist folgende: Ist id_A~-0, d.h. wenn eine Folge \(h_n: A_n\to\ A_(n+1)\.\) existiert mit id_A_n=h_(n-1)\circ\ d_n+d_(n+1)\circ\ h_n, dann gilt id_array(H_\*(A))=id_\*=0_\*=0. Der einzige Modul, der id=0 erfüllt, ist der Nullmodul, d.h. es folgt H_\*(A)=0. Damit hat man ein hinreichendes Kriterium für die Exaktheit von A gefunden. Unter bestimmten Zusatzvoraussetzungen an A gilt sogar die Umkehrung. Man nennt Kettenkomplexe, die id_A~-0 erfüllen, auch kontrahierbar____. Dieser Begriff ist offenbar ebenfalls von seinem topologischem Äquivalent inspiriert. Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar, wenn id_X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Kettenhomotope Abbildungen sind auch oft ein wesentlicher Beweisbestandteil, wenn man demonstrieren will, dass die Homologien zweier Kettenhomplexe isomorph sind. Dann erlaubt einem das obige Lemma dies zu tun, indem man auf der Ebene der Kettenkomplexe eine Homotopieäquivalenz konstruiert, statt sich direkt einen Isomorphismus auf Homologieebene zu beschaffen. Interessant wird das Ganze dadurch, dass es Sätze gibt, die einem die Konstruktion von Kettenhomotopien sehr erleichtern. Es sei z.B. das Azyklische-Modelle-Theorem genannt. Mit diesem ist es z.B. sehr einfach möglich, zu beweisen, dass verschiedene Homologienspielarten, die man für topologische Räume definieren kann, zueinander isomorph sind. Das ad hoc zu beweisen ist oftmals aufwändig. Mit dem Azyklische-Modelle-Theorem ist es (in den Fällen, wo es anwendbar ist) ein Kinderspiel.

Abschluss

Mit den Kettenkomplexen und deren Homologien hat man den ersten Schritt getan hin zum Gebiet der homologischen Algebra, das aus der Untersuchung solcher Kettenkomplexe und ähnlicher algebraischer Gebilde hervorgegangen ist. Mit vielfältigen Anwendungen in der Algebraischen Geometrie, der Gruppen-, Ring- und Darstellungstheorie ist die homologische Algebra längst ein eigenständiges Gebiet, das nicht länger auf ihre Ursprünge in der algebraischen Topologie beschränkt ist. Es gibt viel zu entdecken (Wer will, dem sei Rotman empfohlen), uns soll jedoch vorerst dieser Crashkurs über Kettenkomplexe reichen, denn mehr werden wir für den nächsten Artikel aus der Reihe "Algebraische Topologie" nicht brauchen. \cdots\to\H_(n+1)(mfg)\to\ H_(n+1)(Goc)\to\ H_n(kel)\to\ H_n(mfg)\to H_n(Goc)\to H_(n-1)(kel)\to\cdots

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Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie [von Gockel]  
In diesem Artikel geht es um Kettenkomplexe und deren Homologien.
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"Mathematik: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie" | 3 Comments
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Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Curufin am: Mi. 03. März 2010 22:46:30
\(\begingroup\)Hallo allerseits, netter Artikel, Gockel. Eine kleine Anmerkung meinerseits: Ein weiterer Grund, wieso Homologie so eine erfolgreiche "Theorie" ist, ist, dass sie einerseits starke theoretische Resultate hervorbringt, aber auf der anderen Seite in vielen Fällen eben auch berechenbar ist, so dass man sie auch in praktischen Fällen anwenden kann. Salopp: Was nützt mir eine Theorie, wenn ich ein konkretes Objekt habe, für das ich die Theorie nicht vernünftig anwenden kann. Konkreteres Beispiel: Sicherlich ist der singuläre Kettenkomplex ebenso wie die singulären Homologiegruppen eine topoligische Invariante. Nur wird es selbst für sehr einfache Räume kaum möglich sein alle stetigen Abbildungen vom n-Simplex in diesen Raum vernünftig zu beschreiben. Aber am Beispiel der Sphären sieht man sehr schön, dass beim Übergang zur Homologie zwar viel Information wegfällt, dadurch aber das Wesentliche deutlicher hervorkommt als zuvor. Denkt man jetzt an ein anderes großes Feld, nämlich die Gruppenkohomologie, so sieht es dort ähnlich aus. Man hat konstruktive Verfahren, mit denen man Invarianten einer Gruppe oder eines bestimmten Gruppentypus ganz konkret angeben kann, was häufig zu sehr starken Resultaten führt. Viele Grüße Curufin\(\endgroup\)
 

Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Dune am: Do. 31. Januar 2013 11:39:45
\(\begingroup\)Toller Artikel, Gockel! 😄 Ich wollte nur anmerken, dass man die Existenz der langen exakten Homologie-Sequenz auch völlig ohne Rechnerei beweisen kann, indem man das Schlangen-Lemma zwei mal anwendet. Siehe etwa hier. Viele Grüße, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Gockel am: Do. 31. Januar 2013 16:05:58
\(\begingroup\)Oh, das ist natürlich noch schicker. Danke für den Hinweis. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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