Mathematik: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
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Title Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
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Section -1
Title Inhalt
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Section 1
Title Kettenkomplexe
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Section 2
Title Homologie
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Section 3
Title Homologie-LES
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Section 4
Title Kettenhomotopie
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Section 100
Title Abschluss
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: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Algebra :: Homologie und Kohomologie :: Reine Mathematik :
Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie [von Gockel]  
In diesem Artikel geht es um Kettenkomplexe und deren Homologien.
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"Mathematik: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie" | 3 Comments
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Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Curufin am: Mi. 03. März 2010 22:46:30
\(\begingroup\)Hallo allerseits, netter Artikel, Gockel. Eine kleine Anmerkung meinerseits: Ein weiterer Grund, wieso Homologie so eine erfolgreiche "Theorie" ist, ist, dass sie einerseits starke theoretische Resultate hervorbringt, aber auf der anderen Seite in vielen Fällen eben auch berechenbar ist, so dass man sie auch in praktischen Fällen anwenden kann. Salopp: Was nützt mir eine Theorie, wenn ich ein konkretes Objekt habe, für das ich die Theorie nicht vernünftig anwenden kann. Konkreteres Beispiel: Sicherlich ist der singuläre Kettenkomplex ebenso wie die singulären Homologiegruppen eine topoligische Invariante. Nur wird es selbst für sehr einfache Räume kaum möglich sein alle stetigen Abbildungen vom n-Simplex in diesen Raum vernünftig zu beschreiben. Aber am Beispiel der Sphären sieht man sehr schön, dass beim Übergang zur Homologie zwar viel Information wegfällt, dadurch aber das Wesentliche deutlicher hervorkommt als zuvor. Denkt man jetzt an ein anderes großes Feld, nämlich die Gruppenkohomologie, so sieht es dort ähnlich aus. Man hat konstruktive Verfahren, mit denen man Invarianten einer Gruppe oder eines bestimmten Gruppentypus ganz konkret angeben kann, was häufig zu sehr starken Resultaten führt. Viele Grüße Curufin\(\endgroup\)
 

Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Dune am: Do. 31. Januar 2013 11:39:45
\(\begingroup\)Toller Artikel, Gockel! 😄 Ich wollte nur anmerken, dass man die Existenz der langen exakten Homologie-Sequenz auch völlig ohne Rechnerei beweisen kann, indem man das Schlangen-Lemma zwei mal anwendet. Siehe etwa hier. Viele Grüße, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Mehr algebraische Grundlagen für die algebraische Topologie
von: Gockel am: Do. 31. Januar 2013 16:05:58
\(\begingroup\)Oh, das ist natürlich noch schicker. Danke für den Hinweis. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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