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Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der Betrachtung der Fourierreihen ab. Hier wird ein anderer Zugang gewählt.
Die Zeta-Funktion sei definiert durch
\zeta(z) = sum(1/n^z,n=1,\inf ).
Die Konvergenz dieser Reihe für reelle z>1 folgt aus dem Integralkriterium für Reihen. (Auf dem MP stehen gute Artikel über die Zeta-Funktion und die Riemannsche Vermutung für Interessierte bereit!)
Es werden die Werte \zeta(2) und \zeta(4) berechnet!
Der erste Beweis der unten aufgeführten Beweise stammt von E. Calabi, der zweite geht auf die Theorie der Eisensteinschen Formen zurück und stammt von Don Zagier. Ohne die genannte Theorie käme man im zweiten Beweis wohl nicht auf die wesentliche Idee, mit dieser Theorie aber kann man dieses Verfahren (mit wachsendem Aufwand) auch für \zeta(6) , \zeta(8) , ... fortsetzen.
\big\zeta(2):
Zunächst also die einfache Herleitung von
\zeta(2):=sum(1/n^2,n=1,\inf)=\pi^2/6
Wegen der absoluten Konvergenz aller beteiligten Reihen ist
\zeta(2)=sum(1/(2n-1)^2,n=1,\inf)+sum(1/(2n)^2,n=1,\inf)
=sum(1/(2n-1)^2,n=1,\inf)+1/4 sum(1/n^2,n=1,\inf)=sum(1/(2n-1)^2,n=1,\inf)+1/4 \zeta(2)
Damit folgt:
3/4 \zeta(2) = =sum(1/(2n-1)^2,n=1,\inf)=sum(1/(2n+1)^2,n=0,\inf)
Um nun diese letzte Reihe auszuwerten, bedienen wir uns der Integralrechnung und benutzen
int(x^2n,x,0,1)=1/(2n+1)
Damit schreiben wir
3/4 \zeta(2) = sum((int(x^2n,x,0,1))^2,n=0,\inf)=sum(int(x^2n,x,0,1) int(y^2n,y,0,1),n=0,\inf)
=sum(int(int((x^2 y^2)^n,x,0,1),y,0,1),n=0,\inf)
Soweit ist alles recht trivial. ... Mit diversen Argumentationen (z.B. dem Satz über die monotone Konvergenz) können wir die Summation mit den Integrationen vertauschen und erhalten durch Anwendung der geometrischen Reihe
sum(q^n,n=0,\inf ) = 1/(1-q) für abs(q)<1
nun
3/4 \zeta(2) = int(int(sum((x^2 y^2)^n,n=0,\inf),x,0,1),y,0,1) = int(int(1/(1-x^2 y^2),x,0,1),y,0,1)
Die Auswertung dieses Integrals geschieht am leichtesten durch eine geschickte Substitution der Variablen:
x=sin(u)/cos(v), y=sin(v)/cos(u)
Man rechnet leicht nach, dass
\Phi: menge((u,v)|u,v>0\and\ u+v>\pi/2)->menge((x,y)|0 \big\zeta(4) :
Um \zeta(4) := sum(1/n^4,n=1,\inf) = \pi^4 /90
nachzuweisen, ist nur zu zeigen, dass
\zeta(4) = 2/5 \zeta(2)^2.
Es ist erstaunlich, dass sich dies sehr einfach nachrechnen lässt. Es geschieht durch einen Ansatz, auf den man wohl nur mithilfe der höheren Zahlentheorie - der Theorie der Modulformen - kommt:
f: \IN^2 -> \IQ
f(m,n):= 2/(m^3 n) + 1/(m^2 n^2) + 2/(m n^3)
Dann folgt durch elementares Nachrechnen, dass für alle natürlichen Zahlen m und n gilt:
f(m,n) - f(m+n,n) - f(m,m+n) = 2/(m^2 n^2)
Damit folgt:
sum(f(m,n),m=n>0)=sum(f(m,n),m;n>0)-sum(f(m,n),m>n>0)-sum(f(m,n),n>m>0) = sum(2/(m^2 n^2),m;n>0)
Nach der Definition von f gilt für den ersten Term dieser Gleichungskette
sum(f(m,n),m=n>0)=sum(5/n^4,n=1,\inf)=5 \zeta(4)
und für den letzten Term
sum(2/(m^2 n^2),m;n>0)= 2 (sum(1/m^2,m=1,\inf)) (sum(1/n^2,n=1,\inf)) = 2 (\zeta(2))^2
Damit folgt:
5 \zeta(4) = 2 (\zeta(2))^2
Also:
\zeta(4) = 2/5 (\zeta(2))^2 = 2/5 (\pi^2 /6)^2 = 2/(5* 6^2) \pi^4 = \pi^4 /90
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Mathematik: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
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