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\big\ Rotationskörper und uneigentliche Integrale:
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Das folgende einfache Beispiel für die Berechnung eines Rotationskörpers finde ich auch beim (n+1)-ten Draufschauen immer noch schön:
Wiederholt werden darin
1. die Berechnung uneigentlicher Integrale (erster Art) und deren Konvergenz,
2. die Berechnung von Rotationskörpern.
Zudem ist das Beispiel absolut elementar und gleichzeitig muss der Lernende sich Gedanken über die Frage machen, ob es die richtige Anschauung ist, wenn er/sie sich vorstellt, dass eine Fläche mit 'Maßzahl' 'unendlich' rotiert und einen Rotationskörper mit endlichem Volumen liefert.
Betrachte zu \alpha\el\IR^(>0) die Funktionenschar f_\alpha: \IR \\ menge(0)->\IR mit f_\alpha\.(x):=1/x^\alpha\..
Zur Veranschaulichung sei eine Zeichnung der Graphen für
\alpha= \black\ 1/2; \green\ 1 \black\ ; \red\ 2 \black\ und \blue\ 3 \black\ eingefügt:
\geo
x(0,4)
name(Hyperbeln)
c(black)plot(1/sqrt(x))
c(green)plot(1/x)
c(red)plot(1/x^2)
c(blue)plot(1/x^3)
\geooff
geoprint(Hyperbeln)
I_\alpha:=int(f_\alpha,x,1,\inf)=cases(stammf(1/(-\alpha+1) x^(-\alpha+1),1,\inf), für \alpha!=1;stammf(ln(x),1,\inf), für \alpha=1)
=lim(g->\inf,cases(stammf(1/(-\alpha+1) x^(-\alpha+1),1,g), für \alpha!=1;stammf(ln(x),1,g), für \alpha=1)
=cases(\inf, für \alpha<=1;1/(\alpha-1), für \alpha>1)
Betrachte nun die zugehörigen Volumenintegrale über demselben Intervall:
V_\alpha:=\pi int(f_\alpha^2,x,1,\inf)=\pi int(f_(2\alpha),x,1,\inf)=\pi I_(2\alpha)
=cases(\inf, für 2\alpha<=1;\pi/(2\alpha-1), für 2\alpha>1)=cases(\inf, für \alpha<=1/2;\pi/(2\alpha-1), für \alpha>1/2)
Betrachte nun die Fälle mit 1/2<\alpha<=1, also zum Beispiel die Fälle
a. \alpha=1:
I_1=\inf und V_1=\pi (<\inf)
oder
b. \alpha=3/4:
I_(3\/4)=\inf und V_(3\/4)=2\pi (<\inf).
Für 1/2<\alpha<=1 ergibt sich eine unendliche Flächenmaßzahl über dem Intervall intervallgo(1,\inf), aber ein endlicher Wert für das zugehörige Rotationsvolumen.
\(\begingroup\)Hallo mathema,
sehr schön, dass es mal wieder Fachartikel gibt, und dann auch gleich in dieser Fülle! Dieser hier gefällt mir aus schulmathematischer Sicht sehr gut, ich habe ihn auch sofort in das Notizbuch der AG Schulmathematik aufgenommen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
\(\begingroup\) \
Für 1/2 < \a < 1 hat das folgende witzige \(und natürlich falsche\) Interpretation:
So einen Körper kann man nicht von außen streichen, da die Oberfläche unendlich groß ist.
Aber von innen geht es, wenn man endlich viel Farbe einfüllt.
Wally
\(\endgroup\)
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