Mathematik: Einführung in Mandelbrot- und Julia-Mengen
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Mathematik

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Es ist schon eine Weile her, dass ich mich im Zuge meiner Facharbeit mit Fraktalen beschäftigt habe: Folgender Artikel ist ein Auszug aus meiner Facharbeit, welche eine Einführung in die fraktale Geometrie mit Schwerpunkt auf Julia-Mengen und der Mandelbrotmenge auf Schulniveau bietet. Um das ganze etwas aufzulockern und interessanter zu gestalten sind die Lebensläufe von Julia und Mandelbrot enthalten.

Interessant ist natürlich auch die Koch-Kurve, sowie Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension aber es existeren dazu schon einige gute Artikel hier auf dem Planeten, auf die ich hier verweisen möchte.

Ich bin damals per Zufall auf die fraktale Geometrie gestoßen und sie hat mich seitdem mehr und mehr fasziniert und nicht mehr losgelassen und ich hoffe mit diesem Artikel auch einige Leser für dieses Thema zu begeistern.



Gliederung:

A. Lebenslauf von Julia und Mandelbrot

B. Motivation

C. Julia-Mengen
1. Die Iteration z_(n+1) = z_n^2
2. Die Iteration z_(n+1) = z_n^2 + c
3. Symetrie und Eigenschaften von Julia-Mengen
4. Fixpunkte einer Julia-Menge
5. Kritischer Punkt einer Julia-Menge

D. Mandelbrotmenge
1. Symetrie und Eigenschaften der Mandelbrotmenge


A. Lebenslauf von G. M. Julia und B. Mandelbrot



Gaston Maurice Julia war einer der ersten, der sich mit der mathematischen Beschreibung von Fraktalen, insbesondere mit der Iteration von reellen und komplexen Funktionen beschäftigte.
Julia wurde am 3. Februar 1893 im algerischen Sidi Bel Abbès geboren und kämpfte im ersten Weltkrieg auf französischer Seite, wo er ernsthaft verletzt wurde. Er verlor seine Nase und musste seit dem eine Prothese im Gesicht tragen. Zwischen den Operationen arbeitete er an seinen mathematischen Thesen und veröffentlichte 1918 sein 199-seitiges Werk „Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles“. Julia beschrieb darin die Iteration einer rationalen Funktion f . Er beschrieb eine Menge fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden welche für die n-te Iteration fed-Code einblenden für fed-Code einblenden gegen unendlich begrenzt bleibt – sprich die Funktion wächst nicht über alle Grenzen.
Diese Abhandlung gewann den Grand Prix der l'Académie des Sciences und machte Julia in Mathematikerkreisen berühmt, wodurch er später Professor an der École Polytechnique wurde. Trotz der relativen Bekanntheit in den 20er Jahren geriet seine Arbeit in Vergessenheit, bis sie durch die moderne Computertechnik und Benoît Mandelbrot wieder hervorgeholt wurde.

Benoît Mandelbrot wurde am 20. November 1924 in Warschau als Sohn einer jüdischen Familie geboren. 1936 wanderten die Mandelbrots nach Paris aus, wo sein Onkel Szolem Mandelbrojt, der Mathematikprofessor im Collège de France war, seine Ausbildung übernahm. Bedingt durch den zweiten Weltkrieg war es schwierig für Mandelbrot regelmäßig die Schule zu besuchen. Einen Großteil brachte er sich selbst bei – was ihm ein unkonventionelles Denken und freies Vorgehen erlaubte. Nach dem Studium ging Mandelbrot zum California Institute of Technology in den USA und anschließend zum Institute of Advanced Study nach Princeton, kam allerdings 1955 nach Frankreich zurück, wo er seine Frau Aillette Kagan kennenlernte. 1958 kehrte er Frankreich endgültig den Rücken und ging zu IBM in die USA. Der große wissenschaftliche Freiraum, der ihm dort eingeräumt wurde, ermöglichte es Benoît Mandelbrot seinen Ideen nachzugehen. Sein Onkel zeigte ihm 1945 die Arbeiten Julias, die ihn jedoch zu diesem Zeitpunkt noch nicht sonderlich interessierten. Er schlug seinen eigenen Weg ein, kam aber 1970 doch auf die Arbeiten Julias zurück. Bemerkenswert ist, dass er nicht nur neue mathematische Ideen entwickelte, sondern auch eines der ersten Computerprogramme erstellte, die Julia-Mengen darstellen konnten. Seine mathematischen Erfolge (er arbeitete unter anderem eine Zeit lang als Professor für Mathematik in Harvard) brachten ihm viele Preise ein, darunter 1999 die Ehrendoktorwürde der Universität in St. Andrews.








B. Motivation



In der Schulmathematik ist das Ergebnis meistens absehbar und nur der Weg zur Lösung ist das Ziel. Sprich, man hat ein Ausgangsproblem und versucht dieses zu lösen. In der fraktalen Mathematik ist das Ergebnis meistens nicht absehbar und teilweise ohne rechnerische Unterstützung des Computers, aufgrund der mitunter immensen Anzahl an durchzuführenden Rechenschritten, nicht ersichtlich. Besonders bei den Julia-Mengen ist es ohne Hilfe des Computers unmöglich eine Julia-Menge darzustellen und optisch zu analysieren. Es gehört daher zu den großen Leistungen von G.M. Julia, die komplexen Zusammenhänge eines solchen Objektes ohne Unterstützung des Computers zu analysieren und zu interpretieren. Im Laufe der Zeit wurden immer mehr fraktale Objekte, nicht nur in der Mathematik, sondern unter anderem auch in der Chemie entdeckt: Bei einer Belousov-Zhabotinsky-Reaktion stellten sich fraktale Muster ein, die einer Julia-Menge ähneln.

Die Welt der Fraktale ist immens groß, aber es existieren Fraktale, die formenreicher und deswegen interessanter sind als andere. Hier liegt auch der große Reiz von Fraktalen: Aus einer mathematisch einfach zu formulierenden Voraussetzung entstehen unendlich komplexe Objekte, die gerade deswegen einen ästhetischen Reiz ausüben und öfters in der modernen Kunst aufgegriffen werden.

Mit der einfachen Darstellung durch den Computer begann das Zeitalter der Chaosforschung (ein Zweig der Mathematik, der sich unter anderem mit dynamischen und nichtlinearen Systemen befasst), da es nun möglich war, numerisch Ergebnisse zu berechnen.

Im folgenden werden nun einige ausgesuchte Fraktale behandelt, die einen relativ großen Bereich der Eigenschaften von fraktalen Objekten abdecken. Zuerst wird die Koch-Kurve als ein Beispiel für ein geometrisch konstruiertes Fraktal behandelt. Anschließend werden die Julia-Mengen intensiver behandelt, wobei sich ein großer Formenreichtum offenbart, nur übertroffen von der Mandelbrotmenge, die sich aus den Julia-Mengen ergibt und nach ihnen bearbeitet wird.

Um es mit den Worten von Henri Poincaré zu sagen:
„The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living“









C. Julia-Mengen



Julia-Mengen wurden nach Gaston Julia benannt, der sie als einer der ersten untersucht und mathematisch beschrieben hat. Bereits 1879 untersuchte Sir Arthur Cayley das von ihm „The Newton-Fourier Imaginary Problem“ betitelte Problem.
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C.1 - Die Iteration z_(n+1) = z_n^2



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C.2 - Die Iteration z_(n+1) = z_n^2 + c


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C.3 - Symetrie und Eigenschaften von Julia-Mengen


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(1) Alle Julia-Mengen sind punktsymetrisch zum Ursprung
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(2) Alle Julia-Mengen sind zur reellen Achse symetrisch, sofern der additive Faktor c keinen komplexen Faktor enthält
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(3) Verwendet man statt den Parameter c das konjuguert komplexe von c, so wird die zugeordnete Julia-Menge an der imaginären Achse gespiegelt
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C.4 - Fixpunkte einer Julia-Menge


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Ein anziehender Fixpunkt z von f ist kein Element der Julia-Menge
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C.5 - Kritischer Punkt einer Julia-Menge



Lässt man sich mal ein paar Julia-Mengen zu verschiedenen Parameter c zeichnen, stellt man fest, dass manche Gefangenenmengen zusammenhängen, während manche andere in viele Teile "zerbrechen", d.h. mit zunehmender Iterationszahl zerbricht die Gefangenenmenge in eine "Staubwolke".

Man kann zeigen, dass man dieses Verhalten vollständig in den Griff bekommen kann. Der Beweis ist etwas komplexer und übertrifft das anvisierte Niveau, der Vollständigkeit möchte ich zumindest das Ergebnis angeben. Für einen Beweis siehe Fractals for the Classroom – Part 2: Complex Systems and Mandelbrot Set von Heinz-Otto Peitgen, Hartmund Jürgens und Dietmar Saupe.

Für eine Julia-Menge gilt:
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D. Mandelbrotmenge


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D.1 - Symetrie und Eigenschaften der Mandelbrotmenge



Auch hier lässt sich eine gewisse Symetrie feststellen:

Die Mandelbrotmenge ist symetrisch zu reellen Achse
Der Beweis läuft analog zu den Symetriebeweisen der Julia-Mengen.



Es zeigt sich, dass sich Julia-Mengen innerhalb der Mandelbrotmenge in der unmittelbaren Umgebung ihres Parameters c wiederfinden. Dadurch ergibt sich ein unglaublich großer Formenreichtum innerhalb der Mandelbrotmenge, denn alle Julia-Mengen finden sich in ihr wieder. Auch die Mandelbrotmenge selbst findet sich in ihr wieder. Sie ist also selbstähnlich, aber es existieren keine zwei Gebiete, die sich genau gleichen. Die Mandelbrotmenge an sich ist unterteilt in verschieden große kreisähnliche Segmente, an die die sogenannten Satelliten angrenzen. Die Mandelbrotmenge hat keine festen Grenzen, ist aber begrenzt von unzähligen verschiedenen Figuren. Sie wird auch als das formenreichste und komplexeste Objekt, das innerhalb der Mathematik exisiert beschrieben und erreichte durch ihre komplexen, aber trotzdem faszinierenden Strukturen eine relative Berühmtheit. Bekannt ist sie vor allem unter dem Namen „Apfelmännchen“, was von ihrer typischen Struktur herrührt.







Ein wesentlicher Punkt fehlt natürlich in diesem Artikel: Schöne Bilder! Zu diesem Thema kann man unendlich viele tolle Bilder sich berechnen lassen, die teilweise richtig gut aussehen. Es gibt auch schon Bücher die sich ausschließlich mit dem Thema Mathematik und Kunst beschäftigen, aber das ist ein anderes Thema.
Ich hoffe trotz dieser "bildfreien" Einführung in Julia-Mengen, dass sich ein paar Leute intensiver damit beschäftigen, oder das sie zumindest eine unterhaltsame Zeit hatten diesen Artikel zu lesen.

Carmageddon
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Einführung in Mandelbrot- und Julia-Mengen [von Carmageddon]  
Es ist schon eine Weile her, dass ich mich im Zuge meiner Facharbeit mit Fraktalen beschäftigt habe: Folgender Artikel ist ein Auszug aus meiner Facharbeit, welche eine Einführung in die fraktale Geometrie mit Schwerpunkt auf Julia-Mengen und der Mandelbrotmenge auf Schulniveau bietet. Um das ganze
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"Mathematik: Einführung in Mandelbrot- und Julia-Mengen" | 1 Comment
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Re: Einführung in Mandelbrot- und Julia-Mengen
von: matroid am: So. 06. März 2011 11:06:52
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Ich habe nun alle bisherigen Kommentare gelöscht, nicht weil das angesprochene Thema "Für wen schreiben Schüler ihre Facharbeit?" uninteressant ist, aber weil die Art, in der die Diskussion verläuft, unangenehm ist. Wer möchte, kann zur Sache gern beitragen und auch kritisch, aber bitte, ohne anderen dauernd etwas zu unterstellen.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

 
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