Der Anfang ist gemacht. Nachdem ihr bis vergangenen Freitag nominieren konntet, hat die Jury aus den eingegangen Vorschlägen zehn Nominierungen ausgewählt. Siehe dazu auch die Ankündigung vom Januar.
Diese stehen nun zur allgemeinen Wahl und einer von ihnen wird der Satz des Jahres 2012 sein.
Die Abstimmung ist bis zum 14.03.2011 möglich.
Wählen können alle Besucher des Matheplaneten.
Man darf seine Stimme auch für mehrere Sätze abgeben.
In seiner einfachsten Form sagt der Darstellungssatz von Riesz, dass man jedes stetige, lineare Funktional auf einem Hilbertraum durch das Skalarprodukt mit einem festen Vektor ausdrücken kann. Er gibt damit eine vollständige und einfach zugängliche Charakterisierung des Dualraums eines Hilbertraums: Es ist im Wesentlichen der Hilbertraum selbst. Damit werden nicht nur fundamentale Aussagen in der Theorie der Hilberträumen wie Reflexivität garantiert, sondern praxisrelevante Aussagen bewiesen. So kann man mit dem Darstellungssatz von Riesz ganz die Existenz schwacher Lösungen einfacher PDEs beweisen. Dieses Ziel haben auch Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von Riesz wie etwa das Lemma von Lax-Milgram. Weitere Anwendungen in der Praxis erfährt der Darstellungssatz durch seine Verwendung in der Hilbertraum-Formalisierung der Quantenmechanik.
Das Halteproblem ist die Aufgabe, algorithmisch zu entscheiden, ob ein gegebener Algorithmus tatsächlich anhält oder sich in eine Endlosschleife begibt. Jeder, der schon einmal programmiert hat, würde liebend gerne die Suche nach solchen Programmierfehlern einem Automatismus überlassen. Es gibt jedoch beweisbar keinen Algorithmus, der das Halteproblem löst! Dieses Ergebnis selbst öffnet die Tür zu vielen weiteren Aussagen der Form "Das Entscheidungsproblem XYZ ist nicht algorithmisch lösbar" und hat somit die Berechenbarkeitstheorie begründet. Doch nicht nur in der theoretischen Informatik, auch in der Mathematik findet der Satz selbst und seine Beweisidee Anwendungen. Man kann etwa die Eigenschaften des Halteproblems nutzen, um einen berechenbarkeitstheoretischen Beweis des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes zu finden. Die Unentscheidbarkeit des Halteproblems ist auch deshalb in der engeren Auswahl, weil sich 2012 der Geburtstag von Alan Turing zum einhundersten Male jährt.
Lange Zeit war vermutet worden, dass Singularitäten der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wie die Schwarzschild-Metrik, die Kerr-Newmann-Metrik, und die Urknall-Singularität lediglich ein Artefakt der hochsymmetrischen Randbedingungen wären, welche man benutzt, um diese speziellen Lösungen der Gleichungen der ART zu erhalten. Man vermutete, sie seien physikalisch irrelevant, da in der Praxis unsymmetrische Randbedingungen nicht zu Singularitäten führen würden und da symmetrische Randbedingungen "einer Menge vom Maß Null" bezogen auf alle möglichen Randbedingungen entsprechen würden. Stephen Hawking und Roger Penrose konnten jedoch zeigen, dass die Dynamik der ART im wesentliche immer, d.h. unter sehr allgemeinen Bedingungen, zur Ausbildung von Singularitäten führt, d.h. dass die ART intrinsisch unvollständig ist. Die Annahme bestimmter Symmetrien spielt dabei keine Rolle.
Ein weiteres berühmtes Unmöglichkeitsresultat sind die beiden Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel, die in stark vereinfachter Form aussagen, dass ein für allgemeine Mathematik geeignetes Axiomensystem bestimmte Sätze nicht beweisen kann, unter anderem die Aussage, dass es selbst widerspruchsfrei ist (was jedes geeignete Axiomensystem sein sollte). Später wurden konkretere Beispiele für solche unentscheidbaren Aussagen gefunden, beispielsweise die Kontinuumshypothese. Damit hat Gödel das zweite Hilbertsche Problem, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen, in gewissem Sinne als prinzipiell unlösbar erkannt. Genau wie das Halteproblem (welche eine Möglichkeit, die Gödel'schen Sätze zu beweisen, liefert) so hat auch die Arbeit von Gödel den Grundstein gelegt für ein völlig neues und sehr erfolgreiches Forschungsgebiet der Logik und (die Existenz dieser Sätze) gehört deshalb unbedingt zum Allgemeinwissen des Mathematikers. Die Gödel'schen Sätze sind außerdem wegen ihrer engen Verbindungen zum ersten, zweiten und zehnten Hilbert'schen Problem sowie zum Halteproblem nominiert. 2012 jähren sich die Geburtstage von David Hilbert und Alan Turing zu 150. bzw. 100. Male.
Diophantische Gleichungen sind schon immer Gegenstand mathematischer Forschung gewesen. Man weiß, dass die Frage nach der Existenz und der Anzahl von Lösungen allgemeiner diophantischer Gleichungen nicht entschieden werden kann (zehntes Hilbert'sches Problem / Satz von Matyasevich). Man kann auf der anderen Seite sehr viel über Gleichungen kleinen Grades aussagen. Unter anderem stellt man häufig fest, dass die Lösungsmengen dieser Gleichungen eine "schöne" innere Struktur haben und z.B. über den komplexen Zahlen Mannigfaltigkeiten definieren, deren Geometrie man dann zur Untersuchung der Gleichung heranziehen kann. Besonders interessant sind die sogenannten elliptischen Kurven, deren Lösungsmengen über einem Körper nicht nur eine geometrische, sondern auch eine algebraische Struktur, nämlich die einer abelschen Gruppe tragen. Der Satz von Mordell-Weil liefert eine konkrete Beschreibung einer elliptischen Kurve, indem er die diese Gruppe als endlich erzeugt charakterisiert. Im Jahr 2012 jährt sich die Entdeckung des Satzes zum 90. Mal sowie der Todestag von Louis Mordell zum 50. Mal.
Der Nullstellensatz von Hilbert ist einer der Eckpfeiler der historischen, aber auch der modernen algebraischen Geometrie. In einer schwachen Variante ist er ein einfaches Kriterium für die Existenz von Lösungen polynomieller Gleichungssysteme über algebraisch abgeschlossenen Körpern, etwa den komplexen Zahlen. In einer allgemeineren Form charakterisiert der Nullstellensatz die Struktur von Lösungsmengen polynomieller Gleichungssysteme, indem er eine Korrespondenz mit der Idealstruktur des zugehörigen Polynomrings herstellt. Diese Korrespondenz zwischen den Idealen von Ringen und den Punkten eines geometrischen Raums ist das Grundprinzip, der Dreh- und Angelpunkt der algebraischen Geometrie. Der Nullstellensatz hat viele weitere, zum Teil sehr abstrakte Verallgemeinerungen, die die algebraische Geometrie tief beeinflusst haben und weitreichende Anwendungen auch außerhalb davon haben. Der Hilbert'sche Nullstellensatz ist außerdem nominiert, weil sich Hilberts Geburtstag 2012 zum 150.Male jährt.
Gemäß Emmy Noether gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine entsprechende Erhaltungsgröße. Das Noether-Theorem verknüpft damit physikalische Begriffe (Erhaltungsgrößen) wie Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung mit geometrischen Eigenschaften des Wirkungsintegrals (Invariant bzgl. einer Symmetrietransformation). Mittels des Wirkungsintegrals sowie der Symmetrietransformation ist umgekehrt auch eine explizite Konstruktion der Erhaltungsgrößen möglich. Eine enorme Bedeutung erlangt das Noether-Theorem, durch die Anwendung auf lokale Symmetrien, sogenannte lokale Eichsymmetrien, mathematisch realisiert durch eine Faserbündelstruktur. Diese lokalen Eichsymmetrien spielen eine prominente Rolle in der modernen Formulierung von Feldtheorien einschließlich der Gravitation. Das Noether-Theorem ist außerdem nominiert wegen des 130-jährigen Jubiläums von Emmy Noethers Geburtstag am 23.03.2012.
Der Satz von Liouville ist einer von vielen Sätzen aus der Funktionentheorie, die eindrucksvoll demonstrieren, dass holomorphe Funktionen viel rigider sind als beispielsweise reelle, unendlich oft differenzierbare Funktionen. Seine Aussage ist so einfach wie verblüffend: Bis auf die konstanten gibt es keine beschränkten holomorphen Funktionen, die auf der kompletten komplexen Ebene definiert sind. Nicht nur die Aussage selbst, auch der Beweis des Satzes von Liouville ist verblüffend einfach und trotzdem sind seine Anwendungen so vielseitig wie die Funktionentheorie selbst. Neben den selbstverständlichen Anwendungen innerhalb der Funktionentheorie basieren z.B. auch viele Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra auf diesem Satz. Er findet auch Anwendungen etwa in der Funktionalanalysis, um zu zeigen, dass das Spektrum von Operatoren stets nichtleer ist.
... aka "SAT ist NP-vollständig". In der Komplexitätstheorie unterscheidet man eine Vielzahl von Problemklassen. Die beiden bekanntesten sind sicherlich P und NP. Während P die Klasse von Entscheidungsproblemen ist, die man "direkt und einfach" beantworten kann, ist NP die Klasse derjenigen Probleme, die sich zumindest dann einfach lösen lassen, wenn man Zwischenergebnisse "auswürfeln" darf. NP-Problem sind oft solche, bei denen man einem Lösungsvorschlag sehr einfach ansehen kann, ob er richtig ist oder nicht, während man sich sehr schwer damit tut, eine Lösung auf direktem Wege zu konstruieren. Ein Problem aus NP ist NP-vollständig, wenn es (in einem gewissen Sinne) mindestens so schwer ist, wie alle anderen Probleme aus NP. Das heißt, wenn man nachweisen könnte, dass nur ein einziges dieser NP-vollständigen Probleme in P liegt, dann liegen auch alle anderen Probleme aus NP in P und die berühmte Frage nach "P=NP" wäre beantwortet. Das historisch gesehen erste Beispiel für so ein Problem ist der Satz von Cook-Levin: "Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) ist NP-vollständig.". Auf diesem Resultat bauen direkt oder indirekt alle anderen Resultate zur NP-Vollständigkeit auf.
Obwohl es nur ein Lemma mit einem sehr kurzen und einfachen Beweis ist, hat das Yoneda-Lemma eine herausragende Bedeutung in der Kategorientheorie, algebraischen Geometrie, algebraischen Topologie und der Darstellungstheorie. Es gibt zahlreiche Interpretationsmöglichkeiten, konkrete Beispiele und Anwendungen des Yoneda-Lemmas. Eine mögliche Interpretation ist etwa, dass das Yoneda-Lemma die Erkenntnis formalisiert: Ein Objekt X versteht man durch das Studium der Objekte über X. Dieses Motiv findet sich überall in der Mathematik wieder: Einen Ring versteht man durch seine Moduln, eine Gruppe durch ihre Darstellungen, eine Mannigfaltigkeit durch ihre Vektorbündeln etc. Eine wichtige Folgerung aus dem Yoneda-Lemma ist die Yoneda-Einbettung, welche man sich als Vervollständigung vorstellen kann und in der Tat mit geeigneten Modifikationen als Spezialfall die Vervollständigung eines metrischen Raumes liefert. Aber auch in ganz anderen Situationen lässt sich damit eine Kategorie in eine Kategorie mit einem größeren Spielraum einbetten - diese Sichtweise hat die algebraische Geometrie revolutioniert. Das Yoneda-Lemma ist für sich gesehen kein spektakulärer Satz, aber es findet sich überall in der reinen Mathematik wieder, auch außerhalb der Kategorientheorie. Ein tiefes Verständnis dafür zahlt sich also aus.
Zur Erläuterung: Es können Mitglieder und anonyme Besucher wählen.
Wer möchte, kann auch mehreren Sätzen jeweils eine Stimme geben.
Die Überprüfung, ob man bereits für einen Satz abgestimmt hat, erfolgt bei Mitgliedern anhand der Identifikationsnummer des Benutzeraccounts des Mitglieds, die zu diesem Zweck bei der Stimmabgabe in der Datenbank gespeichert wird. Außerdem wird die IP-Adresse bei jeder Stimmabgabe gespeichert. Anonyme Besucher können einen Satz nicht mehr wählen, wenn von der gleichen IP-Adresse bereits eine anonyme Stimme für den Satz abgegeben worden ist.
\(\begingroup\)Auch in diesem Artikel haben die listigen Autoren ein Wort ausgelassen. Der Begriff "beschränkten" muss an einer passenden Stelle eingefügt werden. Weißt du wo?
Antworten werden bis zum 14.02.2012 angenommen.
\(\endgroup\)
von: Peregrin_Tooc am: Mi. 15. Februar 2012 13:23:36
\(\begingroup\)Klingt jetzt vermutlich pissig, ist aber nicht so gemeint 😉
Gibts nen Grund außer "10 andere erschienen noch besser", warum das
AF+BG-Theorem nicht zur Wahl steht? \(\endgroup\)
\(\begingroup\)*lach* Du meinst, weil Bilbos Vorschlag angenommen wurde, sind Vorschläge von anderen Hobbits nicht mehr möglich? Das wäre so herrlich willkürlich. 😁\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Das ist die eine Deutungsweise (die mir -ehrlich gesagt- nicht aufgefallen ist :D), die andere ist, dass das AB+FG-Theorem von Max Noether, also dem Vater von Emmy Noether, die schon oben vertreten ist, bewiesen wurde.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Nach einem guten Start verharrt die Wahlbeteiligung seit einer Woche auf einem sehr niedrigen Niveau. Es wird Zeit, die Werbetrommel für diese Abstimmunmg zu rühren.
Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Rebecca!
Nachdem ich zwei angekreuzt habe, möchte ich natürlich nicht noch mehrere andere auswählen und rufe das Formular auch nicht mehr auf.
Das ist anders, als bei der Award-Wahl, wo man immer noch einen dazunehmen kann. Und auch denselben mehrmals wählen kann - in verschiedenen Kategorien. Da war ich dann auch mehrmals dabei.
Sind es denn diesmal viel weniger Leute als beim letzen Mal?
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Vor einem Jahr waren es nach 14 Tagen 994 Stimmen gegenüber 985 Stimmen in diesem Jahr. Dabei ist zu beachten, dass die Besucherzahlen gegenüber dem letzten Jahr um gut ein Viertel gestiegen sind.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)In vier Stunden wird das Wahllokal geschlossen. Es fehlen jetzt nur noch 21 Stimmen, um wenigstens die Vorjahresbeteiligung an der Wahl zu erreichen. Also Leute, stürmt das Wahllokal.
Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Rebecca!
Lassen sich auch Zwischenergebnisse rekonstruieren?
Mich würde interessieren, ob das Noether-Theorem eine Woche vor "Ladenschluß", also z.B. am 8.3. ebenfalls soweit vorne stand, oder ob das eher eine "last-minute-Entscheidung" war.
Auch würde ich gerne wissen, wie die kurzentschlossenen und sicheren Wähler votiert haben. Wie also das Ergebnis nach der ersten Wahlwoche ausgesehen hat (am 23.2.)?
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Bernhard,
mir stehen die von dir gewünschten Daten nicht zur Verfügung, da ich auch nicht mehr über die Wahl weiß als jeder Besucher des Matheplaneten.
Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Bernhard:
Das Noether-Theorem und die Unvollständigkeitssätze waren von Anfang an auf Platz eins bzw. zwei. Richtig aufgeholt hat allerdings der Darstellungssatz von Riesz zum Ende hin.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Curufin.
Danach sieht es im Moment nicht aus. Es ist allerdings ein Ersatz in Arbeit, nämlich ein Artikel über den zweitplatzierten, die Unvollständigkeitssätze.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Woher kommen denn all die Noether-Fans, wenn jetzt keiner davon bereit ist, darüber was zu schreiben?
Da haben 294 beim Preisausschreiben 'nen Porsche gewonnen und keiner kann autofahren! ☹️
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ja, das ist eine gute Frage.
Wir haben das Noether-Theorem als Sieger. Aber keiner, der jetzt sich darum sorgt, ist fachlich in der Lage, die Laudatio dazu zu schreiben.
Wir waren da nicht leichtfertig. Wir hatten jemanden, der, im Falle, dass das Noether-Theorem gewinnen sollte, bereit war, die Laudation zu schreiben. Nur, als es dann gewonnen hatte, haben wir festgestellt, dass es nichts wird. Das ist sehr bedauerlich.
Was können wir tun?
A. Jemand (den wir noch nicht kennen) kann einspringen. Bisher war derjenige aber nicht zu finden. Wir haben hier viele Mathematiker, aber um das Noether-Theorem zu erklären, fühlen die Mathematiker, dass ein Physiker erforderlich wäre.
Meine Schlussfolgerung ist: Niemals mehr wird beim Satz des Jahres ein Satz mit alleinigem physikalischen Bedeutungshintergrund nominiert.
B: Wir, die lieben Mathematiker, haben uns entschlossen, statt des Noether-Theorems den zweiten Sieger, die Unvollständigkeitssätze, zu erklären. Konkret hat Gockel sich an vor ein paar Tagen die Arbeit gemacht. Ihm ist dafür sehr zu danken.
Es ist schade, dass das diesmals nicht so gut geklappt hat. Aber wir wollen a. daraus lernen für die Zukunft, b. es mit unseren Mitteln etwas wieder gut machen.
Viele Grüße
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Martin!
\quoteonMeine Schlussfolgerung ist: Niemals mehr wird beim Satz des Jahres ein Satz mit alleinigem physikalischen Bedeutungshintergrund nominiert.
\quoteoff
Ich würde wegen diesem einen Mal nicht einfach die Physiker ausschließen. Bei mathematischen Sätzen hätte das auch passieren können.
Ich hätte folgende Idee:
Nächstes Mal gibt es beim Wahlformular (oder schon bei der Nominierung) noch ein Kästchen zum Ankreuzen: "Ich wäre bereit, eine Laudatio zu schreiben."
Und unter dem zu wählenden Sätzen stünde eine warnende Angabe "Es haben sich noch nicht genügend Laudoren gemeldet!" bis dort z.B. dreimal ein Kreuz gesetzt worden ist.
Ansonsten fällt der Satz am Ende raus - wie jetzt geschehen.
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Drei? Wo sollen denn so viele Leute herkommen? Beispielsweise für die Sätze von Gödel braucht man ja nun wirklich Wissen, dass es nicht an jeder Ecke gibt. Wir waren froh, dass sich einer bereit erklärt hatte, etwas zu schreiben, auf drei Laudatoren wären wir wahrscheinlich gar nicht gekommen. Letztes Jahr hätte ich z.B. auch dankend abgelehnt und dieses Jahr ist Bilbo wahrscheinlich allzu froh, dass er nur Korrektur liest und nicht selbst schreiben musste.
Wenn du drei Laudatoren für jeden Vorschlag haben willst, muss damit gerechnet werden, dass überhaupt keine zehn Vorschläge mehr zusammenkommen und dass die, die dann zusammenkommen, solche Allerweltssätze sind, dass sie zu wählen völlig langweilig wäre.
Ich denke, die Variante, die wir dieses Jahr hatten, war schon gut genug. Dass wir gerade damit auch gleich beim ersten Versuch Pech hatten, ist schade, aber eben nicht zu ändern. Deshalb ist das System nicht zwangsläufig schlecht gewesen. Vielleicht wird's die nächsten zehn Jahre ja reibungslos funktionieren.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel!
Stimmt, es leuchtet ein, daß wenn man bereits zur Nominierung oder Wählbarkeit die freiwilligen Laudatoren als Vorbedingung nimmt.
Dan wäre die Gefahr zur Beschränkung auf "Allerweltssätze", wie Du sie nennst, wirklich gegeben. Daran hatte ich nicht gedacht.
Aber ich würde trotzdem nicht - wie Martin es vorgeschlagen hatte - nur weil es diesmal nicht geklappt hat, ab jetzt von vornherein Sätze mit physikalischem Hintergrund ausschließen.
Bernhard\(\endgroup\)
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Gruß
Rebecca