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 Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke bautAdjunktionen
In der reinen Mathematik sind universelle Eigenschaften allgegenwärtig. Sobald universelle Objekte über einer Kategorie "parametrisiert" werden können, entsteht eine Adjunktion: Zum Beispiel kann man jeder Menge die freie Gruppe mit der universellen Eigenschaft zuordnen. Es entsteht eine Adjunktion zwischen Gruppen und Mengen. Es ist kein Zufall, dass dies an die Definition des adjungierten Operators erinnert.
Dieses Konzept soll in diesem Artikel genauer beleuchtet werden. Meiner Meinung nach ist es eines der wichtigsten in der reinen Mathematik überhaupt. Mit Adjunktionen lassen sich Brücken zwischen Kategorien schlagen, auch wenn diese weit voneinander entfernt sind. Sie vertragen sich gut mit Limites und Kolimites. Außerdem ist eine Adjunktion oft nichts weiter als das Gerüst einer Äquivalenz zwischen gewissen Unterkategorien von "Fixpunkten"; diesen Aspekt werde ich besonders hervorheben. Beispiele dafür sind der Hauptsatz der Galoistheorie, Pontrjagin-Dualität sowie der Satz von Gelfand-Naimark.
1. Was ist eine Adjunktion?  Wir werden drei verschiedene Definitionen bzw. Sichtweisen für Adjunktionen geben und auch motivieren. Sie werden sich als äquivalent herausstellen.
1.1 Erste Definition und Beispiele Jede Menge können wir als Basis eines -Vektorraumes auffassen, nämlich . Unter dem Stichwort "lineare Fortsetzung" lernt man in der linearen Algebra, dass für alle -Vektorräume die kanonische Abbildung
bijektiv ist. Hierbei ist die unterliegende Menge von (die man oft aus Faulheit ebenfalls mit bezeichnet). Dies war auch das erste Beispiel im Artikel über universelle Eigenschaften. Was macht diese Bijektion kanonisch? Nun, sie ist kompatibel mit Abbildungen sowie mit linearen Abbildungen , d.h. das Diagramm
ist kommutativ, wie eine leichte Rechnung zeigt. Das zweite Beispiel besitzt dieselbe Natur: Jeder Menge können wir den Polynomring in der Unbestimmtenmenge zuordnen. Unter dem Stichwort "Einsetzungs-Homomorphismus" lernt man in der Algebra, dass für jede -Algebra die kanonische Abbildung
bijektiv ist. Auch hier ergeben sich kommutative Diagramme, wenn man an oder "wackelt". Tatsächlich tritt diese Sorte von natürlichen Bijektion dermaßen häufig auf, dass man ihr einen eigenen Namen geben sollte. Es folgt die erste Definition von Adjunktionen:
Definition (Hom-Mengen). Es seien zwei Funktoren gegeben. Wir nennen linksadjungiert zu (bzw. rechtsadjungiert zu ), wenn es eine natürliche Bijektion
gibt. Genauer gesagt bedeutet dies, dass ein Isomorphismus von Funktoren ist. Konkret also: Für alle Morphismen in und alle Morphismen soll das Diagramm
kommutieren. Das Tripel nennen wir eine Adjunktion.
Bemerkung. Dies erinnert sehr an die Definition von adjungierten Operatoren in der Funktionalanalysis. Man kann sich sogar als "inneres Produkt" auf der Kategorie vorstellen, wobei das Yoneda-Lemma gerade aussagt, dass dieses nicht-ausgeartet ist. Diese Analogie ist mehr als nur formal; siehe John Baez' 2-Hilberträume.
Eselsbrücke. Um die Definition von links- bzw. rechtsadjungiert auseinander zu halten: In der Bijektion steht der linksadjungierte Funktor links, und der rechtsadjungierte Funktor eben rechts.
Zwei Beispiele. Wir haben bereits zwei Beispiele gesehen: Der Vergissfunktor hat einen linksadjungierten Funktor, nämlich . Der Vergissfunktor besitzt einen linksadjungierten Funktor, nämlich . Ganz ähnlich: Der Vergissfunktor besitzt einen linksadjungierten Funktor; er ordnet einer Menge die freie Gruppe auf zu. Dies ist nichts weiter als die universelle Eigenschaft der freien Gruppe auf variierenden Mengen.
Freie Strukturen. Es ist tatsächlich so, dass sämtliche Vergissfunktoren zwischen Kategorien algebraischer Strukturen einen linksadjungierten Funktor besitzen (s. Abschnitt 2). Es besteht grob gesagt aus den Wörtern, die sich aus zusammenbauen lassen, modulo den Relationen, die durch die algebraische Struktur vorgegeben sind. Weil man keine nichttrivialen Relationen dazutut, nennt man das freie Objekt über . Das stellt gerade sicher, dass für jede Abbildung in die unterliegende Menge einer algebraischen Struktur tatsächlich eine eindeutige Fortsetzung zu einem Homomorphismus existiert, man also in der Tat erhält.
Freie Monoide. Wenn man den linksadjungierten zum Vergissfunktor konstruieren möchte, also das freie Monoid auf einer beliebigen Menge , so nimmt man einfach formale Produkte von Elementen aus . Für entsteht das leere Produkt , welches als neutrales Element dient. Die Verknüpfung ist einfach die Verkettung. Formal ist . Jede Abbildung induziert eine Abbildung , nämlich . Man rechnet leicht nach, dass dies ein Homomorphismus von Monoiden ist. Und tatsächlich erhalten wir einen Funktor .
Weisen wir zur Übung nach, dass dieser tatsächlich linksadjungiert zum Vergissfunktor ist: Wir können als Teilmenge von auffassen. Das liefert für jedes Monoid eine Abbildung
Zum Nachweis der Bijektivität gibt man explizit eine Umkehrabbildung an: Für eine Abbildung sei durch definiert. Das ist ein Homomorphismus, denn: und
Der Leser kann sich überlegen, warum die beiden so konstruierten Abbildungen tatsächlich zueinander invers sind. Außerdem ist die Bijektion natürlich in sowie .
Topologisches Beispiel. Der Vergissfunktor besitzt sowohl einen links- als auch rechtsadjungierten Funktor. Eine Menge lässt sich auf zwei einfache Weisen mit einer Topologie versehen: Mit der diskreten und der indiskreten Topologie; schreiben wir dafür bzw. . Bei haben wir so wenig "Relationen" wie nur möglich hinzugefügt (alle Punkte sind isoliert); insofern sagt uns unsere bereits aus der Algebra gewonne Intuition, dass dies linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Das ist tatsächlich so, und reduziert sich auf die triviale Aussage, dass für jeden Raum , jede Abbildung bereits stetig ist, d.h. einem Morphismus entspricht. Für die indiskrete Topologie gilt hingegen: Jede Abbildung ist bereits stetig, liefert also einen Morphismus . Daher ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor.
Die Hom-Tensor Adjunktion. Dies ist eine der wichtigsten Adjunktionen schlechthin. Ist eine feste Menge, so gibt es für alle Mengen eine natürliche Bijektion
In der Informatik ist das als Currying bekannt. Wir formulieren es so: ist linksadjungiert zu . Eine ähnliche Adjunktion gibt es auch für (kompakt-erzeugte) topologische Räume (siehe hier); für ergibt sich dann die wichtige Adjunktion zwischen der Einhängung und dem Schleifenraum. Für -Moduln nimmt man anstelle des kartesischen Produktes das Tensorprodukt:
In der Tat, die rechte Seite identifiziert sich mit der Menge der bilinearen Abbildungen , sodass wir die definierende universelle Eigenschaft des Tensorproduktes wiedererkennen. Aus dieser Adjunktion ergeben sich sämtliche Rechenregeln mit Tensorprodukten (siehe hier, Thema A).
Das hier unterliegende Konzept führt zu geschlossenen monoidalen Kategorien. Viele Adjunktionen kann man sich als eine Hom-Tensor-Adjunktion vorstellen; ein Indiz dafür ist der Satz von Eilenberg-Watts sowie gewisse Resultate über Kovervollständigungen, die eventuell in einem nächsten Artikel besprochen werden.
1.2 Zweite Definition Wir kommen nun zu der Sichtweise von Adjunktionen, dass diese nichts weiter als "parametrisierte" universelle Eigenschaften sind.
Definition (parametrisch). Sei ein Funktor. Wir nennen linksadjungiert, wenn für alle der Funktor darstellbar ist.
Der "Parameter" ist . Warum ist dies dasselbe wie vorher? Nun, wenn man eine Adjunktion hat, so zeigt gerade die Darstellbarkeit des fraglichen Funktors. Umgekehrt sei für alle eine Darstellung des Funktors gegeben, d.h. ein darstellendes Objekt, welches wir nennen, sowie ein Isomorphismus . Für entspricht die induzierte natürliche Transformation nach dem Yoneda-Lemma 1:1 einem Morphismus , und zwar genau so, dass das Diagramm
kommutiert. Aus der Eindeutigkeit folgt leicht, dass sowie , dass also ein Funktor ist. Nach Konstruktion ist linksadjungiert zu .
Fazit: Einen rechtsadjungierten Funktor muss man lediglich punktweise definieren! Dieselbe Aussage gilt via Dualität ebenfalls für linksadjungierte Funktoren. Zum Beispiel hätten wir uns oben beim Nachweis von freien Monoiden den Beweis sparen können, dass es sich dabei überhaupt um einen Funktor handelt. Das folgt nämlich bereits aus der universellen Eigenschaft.
Zweites Fazit: Adjungierte Funktoren sind stets eindeutig bis auf kanonische Isomorphie. Dies wissen wir nämlich bereits für Darstellungen von Funktoren (Yoneda-Lemma). Man spricht daher auch oft von "dem linksadjungierten Funktor" eines Funktors, obwohl es natürlich mehrere gibt. Bloß die Wahl ist irrelevant.
1.3 Dritte Definition Wir kommen nun zu einer dritten Sichtweise von Adjunktionen. Sie ist zwar abstrakt, eignet sich aber gerade deshalb für Verallgemeinerungen im Rahmen der höheren Kategorientheorie und hat entsprechend auch etwas mit Homotopietheorie zu tun. Leser ohne Vorwissen darüber können diese Andeutungen aber ohne Verluste überlesen.
Es seien zwei Funktoren gegeben. Diese sollen uns helfen, miteinander zu vergleichen. Wenn wir mit einem Objekt starten, so wäre es wünschenswert, dass das Ergebnis den Hin- und Zurück-Abbildens noch etwas mit zu tun hat. Zwar ist meistens zu viel verlangt, aber wir können einen Morphismus erwarten, der uns sozusagen einen "Weg" von nach liefert. Diese Wege sollten "stetig" in sein, also zu einer natürlichen Transformation von Funktoren Anlass geben. Wir können uns diese als " Homotopie" vorstellen. Diese topologischen Begriffe sind nicht nur eine Metapher: Der Nerv stellt eine großartige Verbindung zwischen Kategorientheorie und Topologie her.
Genauso sollte es in der anderen Richtung sein: Wir wollen eine natürliche Transformation haben. Ein generelles Motto der Kategorientheorie lautet: Mache alles miteinander kompatibel! Wie kann man das mit und erreichen? Nun, wir können ja einmal auf anwenden und erhalten . Das können wir mittels verketten und erhalten so einen Endomorphismus von . Das sollte nicht irgendein Morphismus sein, sondern der einzige, der überhaupt in Frage kommt: Die Identität. Genauso sollte für alle die Komposition von mit die Identität von sein. In diesem Sinne seien und kompatibel. Das führt uns zu:
Definition (abstrakt). Eine Adjunktion besteht aus
- einem Funktor ,
- einem Funktor ,
- einer natürlichen Transformation , der Einheit und
- einer natürlichen Transformation , der Koeinheit.
Dabei sollen die folgenden beiden Dreiecke von natürlichen Transformationen kommutieren:
Dies ist das kategorielle Analogon zu einer Homotopieäquivalenz! Eine schöne Veranschaulichung der Dreiecksrelationen bieten sog. String-Diagramme (siehe z.B. John Baez' 2-Groups, Abschnitt 4).
Machen wir uns klar, dass dies mit unserer ersten Definition übereinstimmt: Sei eine Adjunktion. Lassen wir einmal fest und lassen laufen, so ergibt sich ein Isomorphismus . Das Yoneda-Lemma besagt, dass ein solcher Isomorphismus bereits vollständig durch das Bild der Identität gegeben ist, welches dann ein Morphismus ist. Die Natürlichkeit ergibt sich, wie sollte es anders sein, aus der Natürlichkeit von . Wir erhalten also unsere Einheit . Lassen wir hingegen fest und lassen laufen, so erhalten wir einen Isomorphismus . Das Yoneda-Lemma sagt uns wieder, dass dieser vollständig durch das Bild der Identität festgelegt ist. Das ist ein Morphismus . So erhalten wir unsere Koeinheit . Bisher haben wir lediglich die Daten mit Hilfe des Yoneda-Lemmas äquivalent umformuliert. Wir müssen nur noch mit Hilfe von und ausdrücken, dass die daraus konstruierten Abbildungen
zueinander invers sind. Der Leser wird herausfinden, dass sich dies aber genau in den beiden kommutativen Dreiecken äußert. Damit ist die Äquivalenz der beiden Definitionen bewiesen. Ein genauer Blick zeigt außerdem, dass die Koeinheit durch die Einheit bereits eindeutig bestimmt ist, weil nämlich bereits durch eindeutig bestimmt ist. Entsprechend ist auch schon durch bestimmt.
Beispiel. Schauen wir uns aus dieser Sichtweise die Adjunktion der freien Gruppe noch einmal an. Für haben wir links die Identität . Diese wird auf die Inklusion der Basis abgebildet, die wir einmal mit bezeichnen. Das ist unsere Einheit ; ganz konkret. Um die Koeinheit zu finden, setze man und finde das Urbild der Identität . Dies ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus , der auf der Basis die Identität fortsetzt. Benutzen wir die Beschreibung der Elemente der freien Gruppe durch Wörter, so gilt , wobei links das formale Produkt in der freien Gruppe steht, und rechts das Produkt in der Gruppe . Diese Abbildung ist zwar surjektiv, aber nicht injektiv. In der Tat, der Kern wird als Normalteiler von und den Elementen des Typs erzeugt.
1.4 Übungsaufgaben
- Sei ein Ring. Dann hat man einen Vergissfunktor . Konstruiere einen dazu linksadjungierten Funktor. Gibt es auch einen rechtsadjungierten?
- Finde einen zu (diskrete Topologie) linksadjungierten Funktor .
- Für adjungierte Operatoren weiß man aus der Analysis . Was ist eine entsprechende Aussage in der Kategorientheorie?
- Zeige, dass der Vergissfunktor einen rechtsadjungierten Funktor besitzt.
- Wie sehen Einheit und Koeinheit für die Adjunktion aus?
- Ist ein fester Ring, so kann man jedem Monoid den Monoidring zuordnen; Elemente sind endliche formale Summen mit . Interpretiere diese Konstruktion als linksadjungierten Funktor.
2. Existenzsätze In diesem Abschnitt beweisen wir einen Satz, der auf Peter Freyd zurückgeht, einem der Pioniere der Kategorientheorie. Mit ihm kann man recht allgemein testen, ob ein Funktor einen linksadjungierten Funktor besitzt. Das wird anhand von einigen Beispielen illustriert.
2.1 Vorbemerkungen Für Grundbegriffe zu Limites und Kolimites verweisen wir auf diesen Artikel. Eine Kategorie heißt (ko)vollständig, wenn in ihr alle (Ko)Limites existieren; diese bauen sich immer aus (Ko)Produkten und Differenz(ko)kernen zusammen. Ein Funktor heißt stetig, wenn für alle Diagramme gilt, dass der kanonische Morphismus ein Isomorphismus. Entsprechend wird Kostetigkeit definiert. Man beobachte die Analogie zur Analysis.
Beobachtung. Ein rechtsadjungierter Funktor erhält alle Limites: Wählen wir nämlich einen Funktor , der linksadjungiert zu ist, so gilt für alle
Man sieht leicht, dass dies tatsächlich vom kanonischen Morphismus induziert wird; nach dem Yoneda-Lemma ist dieser dann aber ein Isomorphismus. Genauso beweist man (bzw. leitet sich aus dem Dualitätsprinzip ab): Ein linksadjungierter Funktor erhält alle Kolimites. Der Satz von Freyd sagt mehr oder weniger: Bis auf mengentheoretische Grenzen gilt ebenfalls die Umkehrung!
Diese Beobachtung ist übrigens das Mittel schlechthin, um die Existenz von adjungierten Funktoren zu widerlegen.
2.2 Freyds Kriterium zur Darstellbarkeit Lemma 1. Eine Kategorie mit Differenzkernen für beliebige Familien von Morphismen, die ein schwach-initiales Objekt besitzt, hat bereits ein initiales Objekt.
Hierbei heißt ein Objekt schwach-initial, wenn es für jedes Objekt einen Morphismus gibt. Der Unterschied zu einem initialen Objekt ist also die fehlende Eindeutigkeit.
Wenn wir nun ein initiales Objekt suchen, so wird es zusammen mit einem eindeutigen Morphismus kommen. Das bedeutet insbesondere, dass für alle Endomorphismen gilt, dass mit übereinstimmt. Das motiviert den folgenden Beweis:
Beweis von Lemma 1: Es sei sei der Differenzkern aller Endomorphismen von . Offensichtlich ist dann schwach-initial. Lemma 2 unten sagt uns, dass wir nur noch zeigen müssen, dass jeder Monomorphismus ein Isomorphismus ist. Wähle einen Morphismus . Es ist ein Endomorphismus von . Nach Annahme wird von ihm gleichgemacht, d.h. . Weil als Differenzkern ein Monomorphismus ist, bedeutet dies: . Es ist also eine Retraktion, aber auch ein Mono, also Iso. QED
Lemma 2. Für ein schwach-initiales Objekt gilt: Wenn initial ist, dann ist jeder Monomorphismus ein Isomorphismus. Wenn Differenzkerne existieren, gilt auch die Umkehrung.
Beweis: " " Ist ein Monomorphismus, so gilt für den eindeutigen Morphismus , dass die Identität ist. Also ist eine Retraktion und ein Monomorphismus, also ein Isomorphismus. " " Sind zwei Morphismen gegeben, so ist ihr Differenzkern ein Monomorphismus , nach Annahme also ein Isomorphismus. Die beiden Morphismen sind daher gleich. QED
Aus Lemma 1 folgt:
Lemma 3. Eine vollständige Kategorie, die eine schwach-initiale Menge besitzt, hat bereits ein initiales Objekt.
Hierbei heißt eine Menge von Objekten schwach-initial, wenn es für jedes Objekt ein mit einem Morphismus gibt. Wenn Produkte existieren, bedeutet dies gerade, dass schwach-initial ist. Daher folgt Lemma 3 tatsächlich aus Lemma 1. Daraus ergibt sich nun leicht:
Freyds Kriterium für Darstellbarkeit. Sei eine vollständige Kategorie ein Funktor. Genau dann ist darstellbar, wenn stetig ist und die folgende Lösungsmengenbedingung erfüllt ist:
Es gibt eine Menge von Objekten , sodass es für jedes Objekt und jedes Element ein Objekt sowie einen Morphismus gibt, sodass im Bild von liegt.
Beweisskizze: Die Richtung " " ist klar. Zur Richtung " " sei also stetig und erfülle die Lösungsmengenbedingung. Wir wenden Lemma 3 auf die sogenannte Kategorie der Elemente von an: Objekte sind hier Paare , bestehend aus einem Objekt und einem Element . Morphismen sind naheliegend definiert. Die Lösungsmengenbedingung sagt aus, dass eine schwach-initiale Menge besitzt. Aus der Stetigkeit von folgt leicht, dass der Vergissfunktor Limites erzeugt und daher vollständig ist. Nach Lemma 3 hat ein initiales Objekt; das ist aber dasselbe wie eine Darstellung von . QED
Dieses Kriterium besitzt unzählige konkrete Anwendungen. Bei der Anwendung liefert es normalerweise kein konkret anzugebendes darstellendes Objekt des Funktors. Von vielen wird das Kriterium entsprechend als reine Existenzaussage angesehen. Trotzdem lässt sich die folgende Konstruktion angeben:
Konstruktion. Sei ein stetiger Funktor, der die Lösungsmengenbedingung erfüllt. Dann ist ein darstellendes Objekt von wie folgt gegeben:
Sei eine Lösungsmenge. Füge nun zu jedem alle Elemente von hinzu, und erhalte damit eine schwach-initiale Menge von . Ist , so liften die zu einem und ist ein schwach-initiales Objekt. Das initiale Objekt ist der Differenzkern aller Morphismen . Das heißt ist der Differenzkern aller Morphismen , sodass das fixiert, und ist der eindeutige Lift von .
Manchmal lässt sich diese Konstruktion wirklich nutzen (siehe etwa der Beitrag von Bjorn Poonen in MO/14501).
Anwendung 1. Tensorprodukte.
Seien zwei -Moduln. Betrachte den Funktor , der einen -Modul auf die Menge aller bilinearen Abbildungen schickt. Bekanntlich ist das Tensorprodukt als darstellendes Objekt dieses Funktors definiert. Wir können die Existenz mit Freyds Kriterium für Darstellbarkeit zeigen:
Die Stetigkeit folgt daraus, dass eine Abbildung genau dann bilinear ist, wenn jede projezierte Abbildung bilinear ist. Das interessante ist die Lösungsmengenbedingung: Nehmen wir dazu uns eine bilineare Abbildung her. Ist der vom Bild erzeugte Untermodul, so faktorisiert als für eine bilineare Abbildung . Es reicht nun zu zeigen, dass für bis auf Isomorphie nur eine Menge von Moduln in Frage kommen; das wird dann unsere Lösungsmenge sein.
Es gilt aber , weil jedes Element die Form besitzt. Die Kardinalzahl hängt nicht mehr von ab. Die Abschätzung zeigt, dass isomorph zu einem Modul ist, dessen Trägermenge eine Teilmenge von ist; diese bilden aber eine Menge. QED
Anwendung 2. Freie Gruppen
Sei eine Menge. Die freie Gruppe ist per Definition ein darstellendes Objekt des Funktors , wobei die Trägermenge von bezeichnet. Wir können wieder die Existenz mit Hilfe von Freyds Kriterium zeigen.
Weil man fast genauso wie bei Tensorprodukten vorgeht, fassen wir uns kürzer: Die Stetigkeit ist klar, und für die Lösungsmengenbedingung muss man sich nur überlegen, dass es bis auf Isomorphie nur eine Menge von Gruppen gibt, für die es eine Abbildung gibt, deren Bild erzeugt. Nun hat aber jedes Element von die Form , das liefert und diese Kardinalzahl hängt nur von ab. Fertig! Wir werden in Anwendung 4 darauf zurückkommen.
Anwendung 3. Freie Produkte, Kolimites
Für Objekte ist das Koprodukt per Definition eine Darstellung des Funktors . Dieser ist offenbar stetig. Wenn vollständig ist, so sagt uns Freyds Kriterium also, dass wir nur noch die Lösungsmengenbedingung nachprüfen müssen!
Seien etwa zwei Gruppen. Seien und zwei Homomorphismen. Sei die von erzeugte Untergruppe. Wie zuvor müssen wir nur noch die Kardinalität von unabhängig von abschätzen. Nun hat jedes Element von aber die Form . Es folgt .
Damit haben wir abstrakt die Existenz von freien Produkten von Gruppen gezeigt (die eher freie Koprodukte heißen sollten), ohne mit reduzierten Wörtern herumfummeln oder irgendwelche Gruppenaxiome nachweisen zu müssen. Dasselbe Vorgehen lässt sich in jeder algebraischen Kategorie durchführen. Wir erhalten zum Beispiel disjunkte Vereinigungen von Mengen, Wedge-Summen von punktierten Mengen oder Räumen, direkte Summen von Moduln, das Tensorprodukt von Ringen, und viel mehr. Außerdem kann man genauso beliebige Kolimites konstruieren! Beispiele sind Tensorprodukte von Algebren, amalgamierte Summen von Gruppen sowie Quotienten von Mengen, Moduln, Ringen, egal: Es ist immer dasselbe.
2.3 Freyds Satz über adjungierte Funktoren Im letzten Beispiel kann man auch die Menge variieren und erhält damit einen Funktor , der linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Diese Beobachtung kann man allgemein wie folgt fassen:
Freyds Satz über adjungierte Funktoren. Sei eine vollständige Kategorie, ein stetiger Funktor. Genau dann besitzt einen linksadjungierten Funktor , wenn für jedes der Funktor die Lösungsmengenbedingung erfüllt, das heißt:
Es gibt eine Menge von Objekten , sodass es für jeden Morphismus ein , einen Morphismus sowie einen Morphismus gibt, sodass das offensichtliche Diagramm kommutiert.
Beweis: Es hat genau dann einen linksadjungierten Funktor, wenn für jedes der Funktor darstellbar ist (s. Abschnitt 1); die Behauptung folgt daher aus Freyds Kriterium. QED
Anwendung 4. Freie algebraische Strukturen
Nehmen wir uns irgendeinen Vergissfunktor von algebraischen Strukturen, wie wäre es mit , wobei die Kategorie der Ringe mit 1 ist und die Kategorie der Ringe ohne geforderte 1 (" Rnge"). Ein linksadjungierter Funktor würde aus einem Rng auf beste Weise einen Ring mit 1 machen; weisen wir mit Freyds Satz die Existenz nach: Ein Blick auf die Konstruktion von Limites algebraischer Strukturen zeigt, dass stetig ist. Für die Lösungsmengenbedingung sei ein Rng. Wir suchen eine Menge von Ringen , sodass jeder Homomorphismus bereits über einen Ring faktorisiert. Nun, das Bild ist vielleicht kein Unterring von , aber durch Hinzunahme der wird es das. Unter Summen müssen wir auch noch abschließen. Es ist also ein Unterring von , über dem faktorisiert. Dessen Kardinalität ist höchstens . Wir können nun als die Menge aller Ringe nehmen, deren Trägermenge eine Teilmenge von ist.
Wir haben damit die Existenz eines linksadjungierten Funktors gezeigt. Er lässt sich auch explizit angeben. Genauso kann man mit anderen Vergissfunktoren algebraischer Strukturen vorgehen. Zur Übung überlege sich der Leser etwa mit dem Satz von Freyd, dass der Vergissfunktor einen linksadjungierten Funktor besitzt. Was kommt konkret raus?
Tatsächlich kann man zeigen, dass jeder stetige Funktor zwischen Kategorien algebraischer Strukturen bereits einen linksadjungierten Funktor besitzt. Die Lösungsmengenbedingung ist automatisch. Das liefert einem eine gigantische Fülle von Konstruktionen freier algebraischer Strukturen! Seien es nun freie Gruppen, Polynomringe, freie assoziative Algebren, freie Liealgebren, freie Moduln, freie Verbände, freie Monoide, und viel mehr. Aber auch "relative" Vergissfunktoren sind davon betroffen: Neben dem bereits genannten Beispiel führt etwa zur Grothendieck-Gruppe, welche in der K-Theorie eine wichtige Rolle spielt. Der Vergissfunktor führt zur Tensoralgebra. Für einen Homomorphismus kommutativer Ringe hat man einen Vergissfunktor (Einschränkung der Skalare), dessen linksadjungierter Funktor die Erweiterung der Skalare ist, also .
Die Existenz dieser linksadjungierten Funktoren ist also in gewisser Weise eine Trivialität. Ernsthafte Mathematik fängt erst dann an, wenn man eindeutige Darstellungen der Elemente finden möchte. Wie gesagt lassen sich diese aber manchmal ebenfalls aus der universellen Eigenschaft ableiten (vgl. MO/86923 sowie dort genannte Quellen).
Anwendung 5. Kompaktifizierung
Der Satz von Freyd kommt nicht nur in der Algebra, sondern auch in der Topologie zum Einsatz: Betrachte den Vergissfunktor von kompakten Hausdorffräumen nach topologischen Räumen. Er erzeugt Limites (z.B. sind -Produkte von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorff), und ist daher stetig. Nun sei . Für die Lösungsmengenbedingung reicht es, sich zu überlegen, dass es bis auf Isomorphie nur eine Mengen von kompakten Hausdorffräumen gibt, die als dichte Teilmenge enthalten. Dazu betrachte man die Abbildung , und überlege sich, dass sie injektiv ist.
Also hat der Vergissfunktor einen linksadjungierten Funktor , bekannt als Stone-Čech-Kompaktifizierung. Noch viel einfacher ist übrigens der Nachweis der Lösungsmengenbedingung für den Vergissfunktor von Hausdorff-Räume in topologische Räume; den linksadjungierten Funktor nennt man auch "Hausdorffisierung" oder auch den maximalen Hausdorff-Quotienten; siehe dazu auch hier. Diese Beispiele zeigen übrigens, dass linksadjungierte Funktoren sehr kompliziert sein können und sich die Elemente kaum explizit beschreiben lassen.
Anwendung 6. Pullback-Funktoren.
Für eine stetige Abbildung hat man einen Funktor zwischen den Garbenkategorien, das direkte Bild (Pushforward). Wenn zum Beispiel ein Punkt ist, sind das lediglich die globalen Schnite. Aus Freyds Satz folgt, dass einen linksadjungierten Funktor besitzt, das inverse Bild (Pullback). Viele Eigenschaften von kann man nur schwer anhand der konkreten Konstruktion ablesen; mit Hilfe der Adjunktion ist es hingegen sehr einfach. Das trifft zum Beispiel auf den Isomorphismus zu (vgl. Aufgabe 1.4C).
Anwendung 7. Partielle Ordnungen.
Sei eine monotone Abbildung zwischen partiellen Ordnungen, wobei in alle Infima existieren, und möge diese erhalten. Dann besagt der Satz von Freyd, dass es eine monotone Abbildung gibt, mit der Eigenschaft . Man kann diese auch explizit hinschreiben: Es ist . Diese Formel ist paradimatisch für die Konstruktion im allgemeinen Satz über adjungierte Funktoren.
Hier ein ganz einfaches Beispiel dafür: Sei eine Abbildung von Mengen und die induzierte Urbildmengen-Operation auf den Potenzmengen. Diese ist mit Durchschnitten kompatibel. Also gibt es eine linksadjungierte Operation . Es ist eine gute Übung, sich klarzumachen, was hier explizit herauskommt.
Dualität. Den Satz von Freyd kann man natürlich auch dualisieren: Ist ein kostetiger Funktor, wobei kovollständig sei, so hat genau dann einen rechtsadjungierten Funktor, wenn eine gewisse Lösungsmengenbedingung erfüllt. Zum Beispiel kann man sich damit überlegen, dass der Vergissfunktor von abelschen Torsionsgruppen nach abelschen Gruppen einen rechtsadjungierten Funktor besitzt. Er schickt eine abelsche Gruppe auf ihre Torsionsuntergruppe. Die Idee ist grob gesagt immer, dass ein rechtsadjungierter Funktor etwas "aussondert", wogegen ein linksadjungierter Funktor etwas "hinzufügt".
2.4. Übungsaufgaben - Besitzt der Vergissfunktor einen rechtsadjungierten Funktor?
- Zeige mit Hilfe von Freyds Kriterium für Darstellbarkeit, dass kovollständig ist.
- Zeige mit Hilfe von Freyds Kriterium für Darstellbarkeit, dass für jede -Algebra der -Modul der Kähler-Differentiale existiert.
- Es sei die Kategorie der booleschen Ringe (ein Ring ist boolesch, wenn jedes Element die Gleichung erfüllt). Zeige mit Freyds Satz über adjungierte Funktoren, dass der Vergissfunktor einen linksadjungierten Funktor besitzt. Wie sieht er konkret aus? Kann man auch einen rechtsadjungierten Funktor finden?
- Zeige, dass kovollständig ist. Tipp: Benutze .
3. Fixpunkte Oftmals bereitet eine Adjunktion schon einer Äquivalenz von Kategorien den Weg. Zur Erinnerung: Eine Äquivalenz von Kategorien ist ein Funktor , für den es einen Funktor gibt mit und . Bis auf Isomorphie ist also invers zu . Wenn es so ein gibt, nennen wir und äquivalent und schreiben . Das ist der korrekte Begriff von "Strukturgleichheit" für Kategorien. Viele tiefgehende Klassifikationsresultate lassen sich als Äquivalenz von Kategorien beschreiben; Beispiele werden wir gleich sehen.
Satz. Sei linksadjungiert zu mit Einheit und Koeinheit . Definiere volle Unterkategorien von Fixpunkten wie folgt:
Dann schränken sich zu Funktoren
ein, welche bis auf Isomorphie zueinander invers sind. Es gibt also eine Äquivalenz von Kategorien .
Beweis. Sei . Betrachte das kommutative Dreieck:
Nach Annahme ist ein Isomorphismus, also auch . Das Diagramm zeigt, dass auch ein Isomorphismus ist, mit . Damit ist . Daher schränkt sich zu einem Funktor ein. Genauso sieht man das für . Die Einheit schränkt sich nach Konstruktion von zu einem Isomorphismus ein. Genauso schränkt sich die Koeinheit zu einem Isomorphismus ein. QED
Dieser Satz sollte trotz seiner Einfachheit bekannter werden, denn viele der wichtigsten Äquivalenzen von Kategorien entstehen auf diese Weise. Zwei Kategorien treten mittels einer Adjunktion eine Beziehung ein; das ist meistens recht formal. Die eigentliche Mathematik fängt dann bei der Bestimmung der Fixpunkte an! Kommen wir nun zu den Beispielen.
3.1 Galoistheorie Angenommen unsere Kategorien sind lediglich partielle Ordnungen . Eine Adjunktion dazwischen besteht einfach aus zwei monotonen Abbildungen sowie , sodass . Wir haben in 2.7 gesehen, wie häufig so etwas vorliegt. Man nennt dies auch eine Galois-Verbindung; den Grund sehen wir gleich. Was sind die Fixpunkte der Adjunktion? Nun, die Antisymmetrie einer partiellen Ordnung bedeutet, dass isomorphe Objekte bereits gleich sind. Es handelt sich also um die Fixpunkte im üblichen Sinne:
Unser Satz sagt, dass sich und zu zueinander inversen Isomorphismen partieller Ordnungen einschränken. Das ist ein sehr nützliches Resultat über partielle Ordnungen, welches wir aus der Kategorientheorie hergeleitet haben.
Sei etwa eine beliebige Erweiterung von Körpern (prinzipiell geht dies auch mit anderen Strukturen), mit Automorphismengruppe . Jeder Teil menge kann man dann man die Fixmenge zuordnen. Für gilt offensichtlich ; außerdem gilt . Wir erhalten daher eine monotone Abbildung , welche Suprema erhält. Nach Freyds Satz über adjungierte Funktoren gibt es also einen rechtsadjungierten . Explizit ist . Der Nachweis von ist trivial: Beides sagt aus, dass die Automorphismen in die Elemente aus fixieren. Aus der Äquivalenz zur dritten Sichtweise von Adjunktionen ergeben sich die Inklusionen
automatisch. Unser Satz gibt uns außerdem einen Anti-Isomorphismus zwischen den partiellen Ordnungen der Fixpunkte:
Ich möchte folgendes hervorheben: Bisher ist überhaupt nichts passiert. Es handelt sich um eine Aneinanderreihung von Trivialitäten. Trotzdem haben wir bereits das wesentliche Grundgerüst für den Hauptsatz der Galoistheorie hergestellt! Man schreibt in diesem Zusammenhang auch und .
Die eigentliche Arbeit fängt nun bei der folgenden Frage an: Wie sehen die Fixpunkte konkret aus? Man stellt zunächst einmal fest, dass jedes ein Zwischenkörper von ist (d.h. ein Teilkörper von , welcher enthält). Außerdem stellt man fest, dass jedes eine Untergruppe von ist. Die Fixpunkte werden also auf der linken Seite spezielle Untergruppen sein, und auf der rechten Seite spezielle Zwischenkörper. Im allgemeinen gibt es allerdings für einen Zwischenkörper von keine Möglichkeit, zu entscheiden, ob die Inklusion bereits eine Gleichheit ist. Wenn allerdings eine endliche Galoiserweiterung ist, so kann man sich überlegen; daraus folgt die Gleichheit. Ferner besteht für jede Untergruppe die Gleichung ; daraus folgt . Sobald man sich diese beiden Gleichungen klargemacht hat (vgl. Bosch, Algebra, 4.1/6), so ergibt sich der Hauptsatz der Galoistheorie, dass nämlich zueinander inverse Anti-Isomorphismen partieller Ordnungen
induzieren. Die üblichen Zusätze wie etwa ergeben sich daraus formal; Äquivalenzen von Kategorien erhalten (Ko)Limites.
Wenn eine unendliche Galoiserweiterung ist, so ist in Wahrheit eine proendliche Gruppe (Bosch, 4.2). Für einen beliebigen Zwischenkörper folgt aus dem endlichen Fall leicht aus dem endlichen Fall . Für eine Untergruppe dagegen ergibt sich ; die Fixpunkte sind hier also genau die abgeschlossenen Untergruppen. Wir erhalten den Anti-Isomorphismus
Sogar für eine beliebige Körpererweiterungen lassen sich die Fixpunkte bestimmen. Zu diesem Thema hat Gockel einen Artikel spannenden geschrieben. Für weitere Beispiele dieser Bauart siehe den Wikipedia-Artikel über Galois-Verbindungen. Der Hauptsatz der Kummer-Theorie (Bosch, 4.9/3 und 4.10/1) fällt unter dasselbe Schema. In der Galoistheorie à la Grothendieck findet es sich ebenfalls wieder, die man zum Beispiel mit dem Skript von Lenstra erlernen kann.
3.2 Lineare Algebra Als leichte Mahlzeit für zwischendurch hier etwas aus der linearen Algebra. Jedem -Vektorraum kann man seinen Dualraum zuordnen. Der Bidualraum ist . Es gibt eine kanonische lineare Abbildung , . Wir erhalten daher einen Dualisierungsfunktor , ebenso in die andere Richtung , und ist eine natürliche Transformation. Wir können diese ebenso gut als natürliche Transformation auffassen. Man rechnet nach, dass die beiden Diagramme kommutieren und somit eine Adjunktion ist. Was sind die Fixpunkte? Nun dies sind - auf beiden Seiten - jeweils die Vektorräume , für die ein Isomorphismus ist. Nun, ist stets injektiv. Aber genau dann surjektiv, wenn endlich-dimensional ist. Unser Satz liefert daher eine Äquivalenz von Kategorien
Wenn man genauer hinschaut, bedienen sich Einführungen zur linearen Algebra ständig dieser Dualität.
3.3 Harmonische Analysis Die Pontrjagin-Dualität ist sehr ähnlich zur Dualität endlich-dimensionaler Vektorräume. Ist eine topologische abelsche Gruppe, so kann man ihre Charaktergruppe betrachten. Dies ist mit der kompakt-offenen Topologie ebenfalls eine topologische abelsche Gruppe. Wir haben einen kanonische Homomorphismus . Die Dreiecke kommutieren wieder. Unser Satz liefert uns eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der Fixpunkte und ihrer dualen Kategorie. Das zentrale Resultat von Pontrjagin lautet: Die lokalkompakten topologischen abelschen Gruppen sind Fixpunkte! [Gibt es weitere?] Man erhält also eine Äquivalenz zwischen und ihrem Dual. Für endliche abelsche Gruppen ist das noch elementar und ergibt sich aus deren Klassifikation. Außerdem werden diese bei der Dualität aufeinander abgebildet. Folglich schränkt sich die Pontrjagin-Dualität zu einer Äquivalenz ein.
3.4 Funktionalanalysis Wir wollen einen topologischen Raum irgendwie algebraisch verstehen. Dazu betrachten wir die -Algebra der stetigen Funktionen ; die Rechenoperationen sind punktweise erklärt. Sie besitzt außerdem eine Involution, die punktweise von der komplexen Konjugation herkommt. Es handelt sich also um eine -Algebra über . Wir erhalten den Funktor . Offenbar ist er kostetig; daher hat er gute Chancen, eine rechtsadjungierten Funktor zu besitzen. Tatsächlich:
Umgekehrt kann man jeder -Algebra (hier mit 1) den sogenannten Charakterraum zuordnen. Man nimmt dabei die Topologie der punktweisen Konvergenz, d.h. die von der Produkttopologie auf kommt. Es handelt sich um zwei Funktoren . Wieder lassen sich mittels Auswertungen Einheit und Koeinheit erklären:
Das erste Dreieck kommutiert: Für gilt , denn für alle gilt
Es ergibt sich also einfach formal aus den Definitionen. Genauso steht es mit dem zweiten Dreieck. Wir erhalten also eine Adjunktion . Wie sehen die Fixpunkte aus? Auf der topologischen Seite kommen genau die kompakten Hausdorffräume heraus; dies ist eine gute Übungsaufgabe. Die Klassifikation der Fixpunkte auf der algebraischen Seite ist allerdings viel schwieriger und ist als der (kommutative) Satz von Gelfand-Naimark bekannt: Zunächst einmal überlegt man sich, dass für jeden kompakten Hausdorffraum die -Algebra kommutativ ist und außerdem eine Norm trägt, das Supremum. Bezüglich dieser Norm ist vollständig und alle Rechenoperationen sind stetig. Es gilt außerdem die Identität . Dies führt zum Begriff der C*-Algebra. Der Satz von Gelfand-Naimark sagt aus, dass für jede kommutative C*-Algebra mit 1 die Koeinheit
ein Isomorphismus ist. Wenn man das hat, liefert unser Satz also die berühmte Gelfand-Dualität
Man kann diese auch auf den nicht-unitalen Fall ausweiten, siehe hier. Die Gelfand-Dualität reiht sich ein in eine lange Liste von Äquivalenzen von Kategorien zwischen einer Kategorie "geometrischer Objekte" sowie der dualen Kategorie von "algebraischen Objekten". Selbst die Formeln für Einheit und Koeinheit sind immer wieder dieselben. Historisch war die Stone-Dualität das erste Beispiel. Die Isbell-Dualität scheint einen allgemeinen Rahmen dafür zu bieten. Wir sehen gleich noch ein weiteres Beispiel:
3.5 Algebraische Geometrie Ein paar Grundbegriffe der algebraischen Geometrie habe ich hier und dort erklärt. Jedem lokalgeringten Raum können wir den Ring der globalen Schnitte zuordnen. Das liefert einen Funktor . Man stelle sich dies als die algebraische Variante von vor. Wir können wieder erwarten, dass er einen rechtsadjungierten Funktor besitzt. Tatsächlich, das Spektrum eines Ringes tut es!
Die Einheit ordnet einem das Primideal zu. Die Koeinheit ist der kanonische Homomorphismus . Es stellt sich heraus: Die Koeinheit ist stets ein Isomorphismus. Weil die Fixpunkte der Einheit nicht weiter zu beschreiben sind, gibt man ihnen einfach einen Namen: Affine Schemata. Beliebige Schemata setzen sich aus diesen zusammen, genauso wie sich Mannigfaltigkeiten aus offenen Teilmengen des euklidischen Raumes zusammensetzen. Mit dieser Definition haben wir jedenfalls nun wieder automatisch eine Äquivalenz von Kategorien
gewonnen. Viele Probleme der Ringtheorie lassen sich auf diese Weise geometrisch lösen. Umgekehrt: Das lokale geometrische Studium von Schemata reduziert sich auf die Algebra von Ringen.
Kurz zu meiner Forschung, welche die Kategorifizierung dieser Adjunktion betrifft: Anstelle von Ringen, was also Mengen mit Operationen sind, nehme man Kategorien mit Operationen , für die etwa das Distributivgesetz sowie die Assoziativitätsgesetze nur bis auf Isomorphie gelten. Für einen Ring ist ein Beispiel dafür; hierbei ist die direkte Summe und das Tensorprodukt. Wir können nun einen Ring durch den zugehörigen 2-Ring ersetzen. Allgemeiner können wir jedes Schema oder sogar jeden Stack durch den 2-Ring der quasikohärenten Garben auf ersetzen. Man erhält wieder formal eine Adjunktion
die sich nach unserem Satz (bzw. einer 2-kategoriellen Variante davon) zu einer Äquivalenz von Kategorien zwischen den Fixpunkten einschränkt. Zusammen mit Alexandru Chirvasitu habe ich zeigen können, dass auf der geometrischen Seite jedes quasikompakte quasiseparierte Schema ein Fixpunkt ist (siehe hier). Das bedeutet insbesondere, dass diese Schemata 2-affin sind und sich damit sogar global(!) algebraisch beschreiben lassen! Wir haben es auch für den klassifizierenden Stack einer endlichen Gruppe sowie weiteren algebraischen Gruppen gezeigt. Eine Klassifikation der algebraischen Fixpunkte steht noch aus.
3.6 Topologie Es sei die Kategorie der endlichen Ordinalzahlen mit monotonen Abbildungen. Der Funktor , wobei das Standard-Simplex bezeichnet, setzt sich kostetig zu einem Funktor fort, der geometrischen Realisierung von simplizialen Mengen. Dies folgt einem allgemeinen Prinzip zur Konstruktion von kostetigen Funktoren (siehe z.B. hier), welches zugleich einen rechtsadjungierten Funktor liefert. Einem Raum wird dabei die singuläre Menge zugeordnet, die durch definiert ist. Wir erhalten also rein formal eine Adjunktion
Was sind nun die Fixpunkte, d.h. für welche Räume ist die Koeinheit ein Isomorphismus und für welche simplizialen Mengen ist die Einheit ein Isomorphismus? Diese Frage ist nicht wirklich sinnvoll, weil wir es mit homotopie-invarianten Funktoren zu tun haben. Viel interessanter ist die Frage, wann Einheit bzw. Koeinheit Homotopieäquivalenzen sind! Hier geht also wie in 3.5 in Wahrheit eine 2-kategorielle Struktur ein. Und darauf gibt es eine sehr zufriedenstellende Antwort (Peter May, Simplicial objects in algebraic topology, § 16), wenn man jeweils punktierte Räume bzw. simpliziale Mengen nimmt: Auf der topologischen Seite sind es genau die CW-Komplexe und auf der simplizialen Seite genau die Kan-Komplexe! Das sagt mehr oder weniger aus, dass sich die Homotopietheorie von CW-Komplexen auf Kombinatorik reduziert.
Eine weitere wichtige Adjunktion in der Topologie ist die zwischen der reduzierten Einhängung und dem Schleifenraum . Für zusammenhängende CW-Komplexe ist homotopieäquivalent zu James' reduziertem Produkt ( Hatcher, Theorem 4J.1), was in der Regel viel größer als ist (Hatcher, Prop. 3.22).
3.7 Übungsaufgaben * - Es sei die Kategorie der metrischen Räume mit Isometrien als Morphismen. Betrachte die volle Unterkategorie der vollständigen metrischen Räume. Konstruiere einen zum Vergissfunktor linksadjungierten Funktor. Wie sehen Einheit und Koeinheit aus? Bestimme die Fixpunkte dieser Adjunktion.
- Es sei die Kategorie der proendlichen Gruppen. Der Vergissfunktor nach besitzt einen linksadjungierten Funktor (proendliche Vervollständigung). Bestimme die Fixpunkte dieser Adjunktion.
- Es sei ein noetherscher Ring. Finde eine Adjunktion (EGA II, 2.5-2.6)
Wie lauten die Fixpunkte (EGA II, 2.7)? Folgere eine Äquivalenz von Kategorien.
- Sei ein Körper mit absoluter Galoisgruppe . Konstruiere eine Adjunktion zwischen der Kategorie der -Algebren und der Kategorie der -Mengen. Zeige, dass sie sich zu einer Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der separablen -Algebren und der Kategorie der endlichen stetigen -Mengen einschränkt. Folgere daraus den Hauptsatz der Galoistheorie.
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