Mathematik: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
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Mathematik

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Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut

Adjunktionen

In der reinen Mathematik sind universelle Eigenschaften allgegenwärtig. Sobald universelle Objekte über einer Kategorie "parametrisiert" werden können, entsteht eine Adjunktion: Zum Beispiel kann man jeder Menge X die freie Gruppe F(X) mit der universellen Eigenschaft \hom_{\mathsf{Grp}}(F(X),G) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(X,|G|) zuordnen. Es entsteht eine Adjunktion zwischen Gruppen und Mengen. Es ist kein Zufall, dass dies an die Definition des adjungierten Operators \langle fv,w \rangle = \langle v,f^* w\rangle erinnert. Dieses Konzept soll in diesem Artikel genauer beleuchtet werden. Meiner Meinung nach ist es eines der wichtigsten in der reinen Mathematik überhaupt. Mit Adjunktionen lassen sich Brücken zwischen Kategorien schlagen, auch wenn diese weit voneinander entfernt sind. Sie vertragen sich gut mit Limites und Kolimites. Außerdem ist eine Adjunktion oft nichts weiter als das Gerüst einer Äquivalenz zwischen gewissen Unterkategorien von "Fixpunkten"; diesen Aspekt werde ich besonders hervorheben. Beispiele dafür sind der Hauptsatz der Galoistheorie, Pontrjagin-Dualität sowie der Satz von Gelfand-Naimark.


Inhalt

  1. Was ist eine Adjunktion?
    1. 1.1 Erste Definition und Beispiele
    2. 1.2 Zweite Definition
    3. 1.3 Dritte Definition
    4. 1.4 Übungsaufgaben
  2. Existenzsätze
    1. 2.1 Vorbemerkungen
    2. 2.2 Freyds Kriterium zur Darstellbarkeit
    3. 2.3 Freyds Satz über adjungierte Funktoren
    4. 2.4 Übungsaufgaben
  3. Fixpunkte
    1. 3.1. Galoistheorie
    2. 3.2. Lineare Algebra
    3. 3.3. Harmonische Analysis
    4. 3.4. Funktionalanalysis
    5. 3.5. Algebraische Geometrie
    6. 3.6. Topologie
    7. 3.7. Übungsaufgaben
  4. Fazit
Abschnitte 2 und 3 können unabhängig voneinander gelesen werden. Außerdem ist 1.3 für 2 irrelevant. Für das Verständnis ist es hilfreich, schon einmal etwas über universelle Eigenschaften gehört zu haben. Darüber habe ich zwei Artikel geschrieben (Teil 1 und Teil 2). Die Beispiele decken eine recht große Bandbreite ab. Wenn in einem spezielleren Beispiel Begriffe vorkommen, die dem Leser unbekannt sind, so kann er es überspringen, ohne den roten Faden zu verlieren.

1. Was ist eine Adjunktion?

Wir werden drei verschiedene Definitionen bzw. Sichtweisen für Adjunktionen geben und auch motivieren. Sie werden sich als äquivalent herausstellen.

1.1 Erste Definition und Beispiele

Jede Menge B können wir als Basis eines k-Vektorraumes auffassen, nämlich F(B) := \oplus_{b \in B} k. Unter dem Stichwort "lineare Fortsetzung" lernt man in der linearen Algebra, dass für alle k-Vektorräume V die kanonische Abbildung \hom_{\mathsf{Vect}_k}(F(B),V) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(B,|V|)~ , ~ f \mapsto f|_B bijektiv ist. Hierbei ist |V| die unterliegende Menge von V (die man oft aus Faulheit ebenfalls mit V bezeichnet). Dies war auch das erste Beispiel im Artikel über universelle Eigenschaften. Was macht diese Bijektion kanonisch? Nun, sie ist kompatibel mit Abbildungen B' \to B sowie mit linearen Abbildungen V \to V', d.h. das Diagramm \begin{matrix} \hom_{\mathsf{Vect}_k}(F(B),V) & \cong & \hom_{\mathsf{Set}}(B,|V|) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom_{\mathsf{Vect}_k}(F(B'),V') & \cong & \hom_{\mathsf{Set}}(B',|V'|) \end{matrix} ist kommutativ, wie eine leichte Rechnung zeigt. Das zweite Beispiel besitzt dieselbe Natur: Jeder Menge X können wir den Polynomring R[X] in der Unbestimmtenmenge X zuordnen. Unter dem Stichwort "Einsetzungs-Homomorphismus" lernt man in der Algebra, dass für jede R-Algebra S die kanonische Abbildung \hom_{\mathsf{Alg}(R)}(R[X],S) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(X,|S|) ~ , ~ f \mapsto f|_X bijektiv ist. Auch hier ergeben sich kommutative Diagramme, wenn man an X oder S "wackelt". Tatsächlich tritt diese Sorte von natürlichen Bijektion dermaßen häufig auf, dass man ihr einen eigenen Namen geben sollte. Es folgt die erste Definition von Adjunktionen: Definition (Hom-Mengen). Es seien zwei Funktoren C {\overset{F}{\longrightarrow} \atop \underset{G}{\longleftarrow}} D gegeben. Wir nennen F linksadjungiert zu G (bzw. G rechtsadjungiert zu F), wenn es eine natürliche Bijektion \alpha_{c,d} : \hom(F(c),d) \cong \hom(c,G(d)) gibt. Genauer gesagt bedeutet dies, dass \alpha ein Isomorphismus von Funktoren \hom(F(-),-) \cong \hom(-,G(-)) : C^{\mathrm{op}} \times D \to \mathsf{Set} ist. Konkret also: Für alle Morphismen c' \to c in C und alle Morphismen d \to d' soll das Diagramm ~ ~ ~ \begin{matrix} \hom(F(c),d) & \cong & \hom(c,G(d)) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(F(c')),d') & \cong & \hom(c',G(d')) \end{matrix} kommutieren. Das Tripel (F,G,\alpha) nennen wir eine Adjunktion. Bemerkung. Dies erinnert sehr an die Definition von adjungierten Operatoren in der Funktionalanalysis. Man kann sich \hom(-,-) sogar als "inneres Produkt" auf der Kategorie vorstellen, wobei das Yoneda-Lemma gerade aussagt, dass dieses nicht-ausgeartet ist. Diese Analogie ist mehr als nur formal; siehe John Baez' 2-Hilberträume. Eselsbrücke. Um die Definition von links- bzw. rechtsadjungiert auseinander zu halten: In der Bijektion \alpha steht der linksadjungierte Funktor links, und der rechtsadjungierte Funktor eben rechts. Zwei Beispiele. Wir haben bereits zwei Beispiele gesehen: Der Vergissfunktor \mathsf{Vect}_k \to \mathsf{Set}, ~ V \mapsto |V| hat einen linksadjungierten Funktor, nämlich \mathsf{Set} \to \mathsf{Vect}_k, ~B \mapsto \oplus_{b \in B} k. Der Vergissfunktor \mathsf{Alg}(R) \to \mathsf{Set} besitzt einen linksadjungierten Funktor, nämlich \mathsf{Set} \to \mathsf{Alg}(R), X \mapsto R[X]. Ganz ähnlich: Der Vergissfunktor \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set} besitzt einen linksadjungierten Funktor; er ordnet einer Menge X die freie Gruppe F(X) auf X zu. Dies ist nichts weiter als die universelle Eigenschaft der freien Gruppe auf variierenden Mengen. Freie Strukturen. Es ist tatsächlich so, dass sämtliche Vergissfunktoren zwischen Kategorien algebraischer Strukturen einen linksadjungierten Funktor F besitzen (s. Abschnitt 2). Es besteht grob gesagt F(X) aus den Wörtern, die sich aus X zusammenbauen lassen, modulo den Relationen, die durch die algebraische Struktur vorgegeben sind. Weil man keine nichttrivialen Relationen dazutut, nennt man F(X) das freie Objekt über X. Das stellt gerade sicher, dass für jede Abbildung X \to |A| in die unterliegende Menge einer algebraischen Struktur A tatsächlich eine eindeutige Fortsetzung zu einem Homomorphismus F(X) \to A existiert, man also in der Tat \hom(F(X),A) \cong \hom(X,|A|) erhält. Freie Monoide. Wenn man den linksadjungierten zum Vergissfunktor \mathsf{Mon} \to \mathsf{Set} konstruieren möchte, also das freie Monoid auf einer beliebigen Menge X, so nimmt man einfach formale Produkte x_1 \cdot x_2 \cdot \dotsc \cdot x_n von Elementen aus X. Für n = 0 entsteht das leere Produkt 1, welches als neutrales Element dient. Die Verknüpfung ist einfach die Verkettung. Formal ist X^* := \cup_{n \geq 0} X^n. Jede Abbildung f : X \to Y induziert eine Abbildung X^* \to Y^*, nämlich x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n \mapsto f(x_1) \cdot \dotsc \cdot f(x_n). Man rechnet leicht nach, dass dies ein Homomorphismus von Monoiden ist. Und tatsächlich erhalten wir einen Funktor (~)^* : \mathsf{Set} \to \mathsf{Mon}. Weisen wir zur Übung nach, dass dieser tatsächlich linksadjungiert zum Vergissfunktor ist: Wir können X = X^1 als Teilmenge von X^* auffassen. Das liefert für jedes Monoid M eine Abbildung \hom(X^*,M) \to \hom(X,|M|), \alpha \mapsto \alpha|_X. Zum Nachweis der Bijektivität gibt man explizit eine Umkehrabbildung an: Für eine Abbildung f : X \to |M| sei \overline{f} : X^* \to M durch \overline{f}(x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n) := f(x_1) \cdot \dotsc \cdot f(x_n) definiert. Das ist ein Homomorphismus, denn: \overline{f}(1) = 1 und \overline{f}\bigl((x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n) \cdot (y_1 \cdot \dotsc \cdot y_m)\bigr)=\overline{f}(x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n \cdot y_1 \cdot \dotsc \cdot y_m) =f(x_1) \cdot \dotsc \cdot f(x_n) \cdot f(y_1) \cdot \dotsc \cdot f(y_m) = (f(x_1) \cdot \dotsc \cdot f(x_n)) \cdot (f(y_1) \cdot \dotsc \cdot f(y_m)) =\overline{f}(x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n) \cdot \overline{f}(y_1 \cdot \dotsc \cdot y_m). Der Leser kann sich überlegen, warum die beiden so konstruierten Abbildungen tatsächlich zueinander invers sind. Außerdem ist die Bijektion natürlich in X sowie M. Topologisches Beispiel. Der Vergissfunktor \mathsf{Top} \to \mathsf{Set} besitzt sowohl einen links- als auch rechtsadjungierten Funktor. Eine Menge X lässt sich auf zwei einfache Weisen mit einer Topologie versehen: Mit der diskreten und der indiskreten Topologie; schreiben wir dafür X_d bzw. X_i. Bei X \mapsto X_d haben wir so wenig "Relationen" wie nur möglich hinzugefügt (alle Punkte sind isoliert); insofern sagt uns unsere bereits aus der Algebra gewonne Intuition, dass dies linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Das ist tatsächlich so, und reduziert sich auf die triviale Aussage, dass für jeden Raum Y, jede Abbildung X \to |Y| bereits stetig ist, d.h. einem Morphismus X_d \to Y entspricht. Für die indiskrete Topologie gilt hingegen: Jede Abbildung |Y| \to X ist bereits stetig, liefert also einen Morphismus Y \to X_i. Daher ist X \mapsto X_i rechtsadjungiert zum Vergissfunktor. Die Hom-Tensor Adjunktion. Dies ist eine der wichtigsten Adjunktionen schlechthin. Ist X eine feste Menge, so gibt es für alle Mengen Y,Z eine natürliche Bijektion \displaystyle \hom(Y \times X,Z) \cong \hom(Y,\hom(X,Z)), h \mapsto (y \mapsto (x \mapsto h(x,y)). In der Informatik ist das als Currying bekannt. Wir formulieren es so: (-)\times X : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set} ist linksadjungiert zu \hom(X,-) : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}. Eine ähnliche Adjunktion gibt es auch für (kompakt-erzeugte) topologische Räume (siehe hier); für X=[0,1] ergibt sich dann die wichtige Adjunktion zwischen der Einhängung und dem Schleifenraum. Für R-Moduln nimmt man anstelle des kartesischen Produktes das Tensorprodukt: \displaystyle \hom_R(N \otimes M,P) \cong \hom_R(N,\hom_R(M,P)) In der Tat, die rechte Seite identifiziert sich mit der Menge der bilinearen Abbildungen N \times M \to P, sodass wir die definierende universelle Eigenschaft des Tensorproduktes wiedererkennen. Aus dieser Adjunktion ergeben sich sämtliche Rechenregeln mit Tensorprodukten (siehe hier, Thema A). Das hier unterliegende Konzept führt zu geschlossenen monoidalen Kategorien. Viele Adjunktionen kann man sich als eine Hom-Tensor-Adjunktion vorstellen; ein Indiz dafür ist der Satz von Eilenberg-Watts sowie gewisse Resultate über Kovervollständigungen, die eventuell in einem nächsten Artikel besprochen werden.

1.2 Zweite Definition

Wir kommen nun zu der Sichtweise von Adjunktionen, dass diese nichts weiter als "parametrisierte" universelle Eigenschaften sind. Definition (parametrisch). Sei F : C \to D ein Funktor. Wir nennen F linksadjungiert, wenn für alle d \in D der Funktor \hom(F(-),d) : C^{\mathrm{op}} \to D darstellbar ist. Der "Parameter" ist d. Warum ist dies dasselbe wie vorher? Nun, wenn man eine Adjunktion (F,G,\alpha) hat, so zeigt \alpha_{-,d} : \hom(F(-),d) \cong \hom(-,G(d)) gerade die Darstellbarkeit des fraglichen Funktors. Umgekehrt sei für alle d \in D eine Darstellung des Funktors \hom(F(-),d) gegeben, d.h. ein darstellendes Objekt, welches wir G(d) nennen, sowie ein Isomorphismus \hom(F(-),d) \cong \hom(-,G(d)). Für d \to d' entspricht die induzierte natürliche Transformation \hom(F(-),d) \to \hom(F(-),d') nach dem Yoneda-Lemma 1:1 einem Morphismus G(d) \to G(d'), und zwar genau so, dass das Diagramm \begin{matrix}\hom(F(-),d)& \cong & \hom(-,G(d)) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(F(-),d') & \cong & \hom(-,G(d')) \end{matrix} kommutiert. Aus der Eindeutigkeit folgt leicht, dass G(1_d)=1_{G(d)} sowie G(f \circ g)=G(f) \circ G(g), dass also G ein Funktor ist. Nach Konstruktion ist F linksadjungiert zu G. Fazit: Einen rechtsadjungierten Funktor muss man lediglich punktweise definieren! Dieselbe Aussage gilt via Dualität ebenfalls für linksadjungierte Funktoren. Zum Beispiel hätten wir uns oben beim Nachweis von freien Monoiden den Beweis sparen können, dass es sich dabei überhaupt um einen Funktor \mathsf{Set} \to \mathsf{Mon} handelt. Das folgt nämlich bereits aus der universellen Eigenschaft. Zweites Fazit: Adjungierte Funktoren sind stets eindeutig bis auf kanonische Isomorphie. Dies wissen wir nämlich bereits für Darstellungen von Funktoren (Yoneda-Lemma). Man spricht daher auch oft von "dem linksadjungierten Funktor" eines Funktors, obwohl es natürlich mehrere gibt. Bloß die Wahl ist irrelevant.

1.3 Dritte Definition

Wir kommen nun zu einer dritten Sichtweise von Adjunktionen. Sie ist zwar abstrakt, eignet sich aber gerade deshalb für Verallgemeinerungen im Rahmen der höheren Kategorientheorie und hat entsprechend auch etwas mit Homotopietheorie zu tun. Leser ohne Vorwissen darüber können diese Andeutungen aber ohne Verluste überlesen. Es seien zwei Funktoren C {\overset{F}{\longrightarrow} \atop \underset{G}{\longleftarrow}} D gegeben. Diese sollen uns helfen, C,D miteinander zu vergleichen. Wenn wir mit einem Objekt c \in C starten, so wäre es wünschenswert, dass das Ergebnis den Hin- und Zurück-Abbildens G(F(c)) noch etwas mit c zu tun hat. Zwar ist G(F(c)) \cong c meistens zu viel verlangt, aber wir können einen Morphismus \eta_c : c \to G(F(c)) erwarten, der uns sozusagen einen "Weg" von c nach G(F(c)) liefert. Diese Wege sollten "stetig" in c sein, also zu einer natürlichen Transformation 1_C \to GF von Funktoren C \to C Anlass geben. Wir können uns diese als "Homotopie" vorstellen. Diese topologischen Begriffe sind nicht nur eine Metapher: Der Nerv stellt eine großartige Verbindung zwischen Kategorientheorie und Topologie her. Genauso sollte es in der anderen Richtung sein: Wir wollen eine natürliche Transformation \varepsilon : FG \to 1_D haben. Ein generelles Motto der Kategorientheorie lautet: Mache alles miteinander kompatibel! Wie kann man das mit \varepsilon und \eta erreichen? Nun, wir können ja einmal F auf \eta_c anwenden und erhalten F(c) \to F(G(F(c)). Das können wir mittels \varepsilon_{F(c)} : F(G(F(c)) \to F(c) verketten und erhalten so einen Endomorphismus von F(c). Das sollte nicht irgendein Morphismus sein, sondern der einzige, der überhaupt in Frage kommt: Die Identität. Genauso sollte für alle d \in D die Komposition von \eta_{G(d)} : G(d) \to G(F(G(d)) mit G(\varepsilon_d) : G(F(G(d)) \to G(d) die Identität von G(d) sein. In diesem Sinne seien \varepsilon und \eta kompatibel. Das führt uns zu: Definition (abstrakt). Eine Adjunktion (F,G,\eta,\varepsilon) besteht aus
  • einem Funktor F : C \to D,
  • einem Funktor G : D \to C,
  • einer natürlichen Transformation \eta : 1_C \to GF, der Einheit und
  • einer natürlichen Transformation \varepsilon : FG \to 1_D, der Koeinheit.
Dabei sollen die folgenden beiden Dreiecke von natürlichen Transformationen kommutieren: \hspace{1mm} \begin{matrix} & GFG & \\ \eta G \nearrow & & \searrow G \varepsilon \\ G & \underset{1_G}{\longrightarrow} & G \end{matrix} \hspace{20mm} \begin{matrix} & FGF & \\ F \eta \nearrow & & \searrow \varepsilon F \\ F & \underset{1_F}{\longrightarrow} & F \end{matrix} Dies ist das kategorielle Analogon zu einer Homotopieäquivalenz! Eine schöne Veranschaulichung der Dreiecksrelationen bieten sog. String-Diagramme (siehe z.B. John Baez' 2-Groups, Abschnitt 4). Machen wir uns klar, dass dies mit unserer ersten Definition übereinstimmt: Sei \alpha_{c,d} : \hom(F(c),d) \cong \hom(c,G(d)) eine Adjunktion. Lassen wir einmal c \in C fest und lassen d \in D laufen, so ergibt sich ein Isomorphismus \alpha_{c,-} : \hom(F(c),-) \cong \hom(c,G(-)). Das Yoneda-Lemma besagt, dass ein solcher Isomorphismus bereits vollständig durch das Bild der Identität F(c) \to F(c) gegeben ist, welches dann ein Morphismus \eta_c : c \to G(F(c)) ist. Die Natürlichkeit ergibt sich, wie sollte es anders sein, aus der Natürlichkeit von \alpha. Wir erhalten also unsere Einheit \eta : 1_C \to GF. Lassen wir hingegen d \in D fest und lassen c \in C laufen, so erhalten wir einen Isomorphismus \alpha_{-,d}^{-1} : \hom(-,G(d)) \cong \hom(F(-),d). Das Yoneda-Lemma sagt uns wieder, dass dieser vollständig durch das Bild der Identität festgelegt ist. Das ist ein Morphismus \varepsilon : F(G(d)) \to d. So erhalten wir unsere Koeinheit \varepsilon : FG \to 1_D. Bisher haben wir lediglich die Daten mit Hilfe des Yoneda-Lemmas äquivalent umformuliert. Wir müssen nur noch mit Hilfe von \eta und \mu ausdrücken, dass die daraus konstruierten Abbildungen \hom(F(c),d) \to \hom(c,G(d)), f \mapsto G(f) \circ \eta_c \hom(c,G(d)) \to \hom(F(c),d) , g \mapsto \varepsilon_d \circ F(g) zueinander invers sind. Der Leser wird herausfinden, dass sich dies aber genau in den beiden kommutativen Dreiecken äußert. Damit ist die Äquivalenz der beiden Definitionen bewiesen. Ein genauer Blick zeigt außerdem, dass die Koeinheit durch die Einheit bereits eindeutig bestimmt ist, weil nämlich \alpha^{-1} bereits durch \alpha eindeutig bestimmt ist. Entsprechend ist auch \eta schon durch \varepsilon bestimmt. Beispiel. Schauen wir uns aus dieser Sichtweise die Adjunktion der freien Gruppe \hom_{\mathsf{Grp}}(F(X),G) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(X,|G|) , f \mapsto f|_X noch einmal an. Für G=F(X) haben wir links die Identität 1_{F(X)}. Diese wird auf die Inklusion der Basis \eta_X : X \hookrightarrow |F(X)| abgebildet, die wir einmal mit x \mapsto \underline{x} bezeichnen. Das ist unsere Einheit \eta; ganz konkret. Um die Koeinheit \varepsilon zu finden, setze man X=|G| und finde das Urbild der Identität |G| \to |G|. Dies ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus \varepsilon_G : F(|G|) \to G, der auf der Basis die Identität |G| \to |G| fortsetzt. Benutzen wir die Beschreibung der Elemente der freien Gruppe durch Wörter, so gilt \varepsilon_G(\underline{g_1}^{k_1} \cdot \dotsc \cdot \underline{g_n}^{k_n}) = g_1^{k_1} \cdot \dotsc \cdot g_n^{k_n}, wobei links das formale Produkt in der freien Gruppe steht, und rechts das Produkt in der Gruppe G. Diese Abbildung ist zwar surjektiv, aber nicht injektiv. In der Tat, der Kern wird als Normalteiler von \underline{1} und den Elementen des Typs \underline{g} \cdot \underline{h} \cdot \underline{gh}^{-1} erzeugt.

1.4 Übungsaufgaben

  1. Sei R ein Ring. Dann hat man einen Vergissfunktor \mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Ab}. Konstruiere einen dazu linksadjungierten Funktor. Gibt es auch einen rechtsadjungierten?
  2. Finde einen zu \mathsf{Set} \to \mathsf{Top}, X \mapsto X_d (diskrete Topologie) linksadjungierten Funktor \pi_0.
  3. Für adjungierte Operatoren weiß man aus der Analysis (f \circ g)^* = g^* \circ f^*. Was ist eine entsprechende Aussage in der Kategorientheorie?
  4. Zeige, dass der Vergissfunktor \mathsf{Grp} \to \mathsf{Mon} einen rechtsadjungierten Funktor besitzt.
  5. Wie sehen Einheit und Koeinheit für die Adjunktion \mathsf{Set} {\overset{F}{\longrightarrow} \atop \underset{|~|}{\longleftarrow}} \mathsf{Vect}_K aus?
  6. Ist R ein fester Ring, so kann man jedem Monoid M den Monoidring R[M] zuordnen; Elemente sind endliche formale Summen \sum_{m \in M} r_m \cdot m mit r_m \in M. Interpretiere diese Konstruktion als linksadjungierten Funktor.

2. Existenzsätze

In diesem Abschnitt beweisen wir einen Satz, der auf Peter Freyd zurückgeht, einem der Pioniere der Kategorientheorie. Mit ihm kann man recht allgemein testen, ob ein Funktor einen linksadjungierten Funktor besitzt. Das wird anhand von einigen Beispielen illustriert.

2.1 Vorbemerkungen

Für Grundbegriffe zu Limites und Kolimites verweisen wir auf diesen Artikel. Eine Kategorie heißt (ko)vollständig, wenn in ihr alle (Ko)Limites existieren; diese bauen sich immer aus (Ko)Produkten und Differenz(ko)kernen zusammen. Ein Funktor G : C \to D heißt stetig, wenn für alle Diagramme \{x_i\} \subseteq C gilt, dass der kanonische Morphismus G(\lim_i x_i) \to \lim_i G(x_i) ein Isomorphismus. Entsprechend wird Kostetigkeit definiert. Man beobachte die Analogie zur Analysis. Beobachtung. Ein rechtsadjungierter Funktor G : C \to D erhält alle Limites: Wählen wir nämlich einen Funktor F : D \to C, der linksadjungiert zu G ist, so gilt für alle y \in D \hom(y,G(\lim_i x_i)) \cong \hom(F(y),\lim_i x_i) \cong \lim_i \hom(F(y),x_i) \cong \lim_i \hom(y,G(x_i)) \cong \hom(y,\lim_i G(y_i)). Man sieht leicht, dass dies tatsächlich vom kanonischen Morphismus G(\lim_i x_i) \to \lim_i G(y_i) induziert wird; nach dem Yoneda-Lemma ist dieser dann aber ein Isomorphismus. Genauso beweist man (bzw. leitet sich aus dem Dualitätsprinzip ab): Ein linksadjungierter Funktor erhält alle Kolimites. Der Satz von Freyd sagt mehr oder weniger: Bis auf mengentheoretische Grenzen gilt ebenfalls die Umkehrung! Diese Beobachtung ist übrigens das Mittel schlechthin, um die Existenz von adjungierten Funktoren zu widerlegen.

2.2 Freyds Kriterium zur Darstellbarkeit

Lemma 1. Eine Kategorie mit Differenzkernen für beliebige Familien von Morphismen, die ein schwach-initiales Objekt besitzt, hat bereits ein initiales Objekt. Hierbei heißt ein Objekt w schwach-initial, wenn es für jedes Objekt x einen Morphismus w \to x gibt. Der Unterschied zu einem initialen Objekt ist also die fehlende Eindeutigkeit. Wenn wir nun ein initiales Objekt v suchen, so wird es zusammen mit einem eindeutigen Morphismus v \to w kommen. Das bedeutet insbesondere, dass für alle Endomorphismen w \to w gilt, dass v \to w mit v \to w \to w übereinstimmt. Das motiviert den folgenden Beweis: Beweis von Lemma 1: Es sei v \to w sei der Differenzkern aller Endomorphismen von w. Offensichtlich ist dann v schwach-initial. Lemma 2 unten sagt uns, dass wir nur noch zeigen müssen, dass jeder Monomorphismus z \to v ein Isomorphismus ist. Wähle einen Morphismus w \to z. Es ist w \to z \to v \to w ein Endomorphismus von w. Nach Annahme wird v \to w von ihm gleichgemacht, d.h. v \to w = v \to w \to z \to v \to w. Weil v \to w als Differenzkern ein Monomorphismus ist, bedeutet dies: 1_v = v \to w \to z \to v. Es ist also z \to v eine Retraktion, aber auch ein Mono, also Iso. QED Lemma 2. Für ein schwach-initiales Objekt v gilt: Wenn v initial ist, dann ist jeder Monomorphismus z \to v ein Isomorphismus. Wenn Differenzkerne existieren, gilt auch die Umkehrung. Beweis: "\Rightarrow" Ist z \to v ein Monomorphismus, so gilt für den eindeutigen Morphismus v \to z, dass v \to z \to v die Identität ist. Also ist z \to v eine Retraktion und ein Monomorphismus, also ein Isomorphismus. "\Leftarrow" Sind zwei Morphismen v \to x gegeben, so ist ihr Differenzkern ein Monomorphismus z \to v, nach Annahme also ein Isomorphismus. Die beiden Morphismen sind daher gleich. QED Aus Lemma 1 folgt: Lemma 3. Eine vollständige Kategorie, die eine schwach-initiale Menge besitzt, hat bereits ein initiales Objekt. Hierbei heißt eine Menge von Objekten S schwach-initial, wenn es für jedes Objekt x ein w \in S mit einem Morphismus w \to x gibt. Wenn Produkte existieren, bedeutet dies gerade, dass \prod_{w \in S} w schwach-initial ist. Daher folgt Lemma 3 tatsächlich aus Lemma 1. Daraus ergibt sich nun leicht: Freyds Kriterium für Darstellbarkeit. Sei C eine vollständige Kategorie F : C \to \mathsf{Set} ein Funktor. Genau dann ist F darstellbar, wenn F stetig ist und die folgende Lösungsmengenbedingung erfüllt ist: Es gibt eine Menge von Objekten L, sodass es für jedes Objekt x \in C und jedes Element s \in F(x) ein Objekt w \in L sowie einen Morphismus w \to x gibt, sodass s im Bild von F(w) \to F(x) liegt. Beweisskizze: Die Richtung "\Rightarrow" ist klar. Zur Richtung "\Leftarrow" sei also F stetig und erfülle die Lösungsmengenbedingung. Wir wenden Lemma 3 auf die sogenannte Kategorie \int F der Elemente von F an: Objekte sind hier Paare (x,s), bestehend aus einem Objekt x \in C und einem Element s \in F(x). Morphismen sind naheliegend definiert. Die Lösungsmengenbedingung sagt aus, dass \int F eine schwach-initiale Menge besitzt. Aus der Stetigkeit von F folgt leicht, dass der Vergissfunktor \int F \to C Limites erzeugt und daher \int F vollständig ist. Nach Lemma 3 hat \int F ein initiales Objekt; das ist aber dasselbe wie eine Darstellung von F. QED Dieses Kriterium besitzt unzählige konkrete Anwendungen. Bei der Anwendung liefert es normalerweise kein konkret anzugebendes darstellendes Objekt des Funktors. Von vielen wird das Kriterium entsprechend als reine Existenzaussage angesehen. Trotzdem lässt sich die folgende Konstruktion angeben: Konstruktion. Sei F : C \to \mathsf{Set} ein stetiger Funktor, der die Lösungsmengenbedingung erfüllt. Dann ist ein darstellendes Objekt von F wie folgt gegeben: Sei L eine Lösungsmenge. Füge nun zu jedem w \in L alle Elemente von F(w) hinzu, und erhalte damit eine schwach-initiale Menge \{(x_i,s_i)\} von \int F. Ist x := \prod_i x_i, so liften die s_i \in F(x_i) zu einem s \in F(x) und (x,s) ist ein schwach-initiales Objekt. Das initiale Objekt (v,t) ist der Differenzkern aller Morphismen (x,s) \to (x,s). Das heißt v ist der Differenzkern aller Morphismen x \to x, sodass F(x) \to F(x) das s fixiert, und t \in F(v) ist der eindeutige Lift von s \in F(x). Manchmal lässt sich diese Konstruktion wirklich nutzen (siehe etwa der Beitrag von Bjorn Poonen in MO/14501). Anwendung 1. Tensorprodukte. Seien M,N zwei R-Moduln. Betrachte den Funktor \mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Set}, der einen R-Modul T auf die Menge aller bilinearen Abbildungen M \times N \to T schickt. Bekanntlich ist das Tensorprodukt als darstellendes Objekt dieses Funktors definiert. Wir können die Existenz mit Freyds Kriterium für Darstellbarkeit zeigen: Die Stetigkeit folgt daraus, dass eine Abbildung M \times N \to \prod_i T_i genau dann bilinear ist, wenn jede projezierte Abbildung M \times N \to T_i bilinear ist. Das interessante ist die Lösungsmengenbedingung: Nehmen wir dazu uns eine bilineare Abbildung \alpha : M \times N \to T her. Ist T' der vom Bild erzeugte Untermodul, so faktorisiert \alpha als M \times N \to T' \to T für eine bilineare Abbildung M \times N \to T'. Es reicht nun zu zeigen, dass für T' bis auf Isomorphie nur eine Menge von Moduln in Frage kommen; das wird dann unsere Lösungsmenge sein. Es gilt aber |T'| \leq \sum_n (|R| |M| |N|)^n =: c, weil jedes Element die Form \sum_{i=1}^{n} r_i \alpha(m_i,n_i) besitzt. Die Kardinalzahl c hängt nicht mehr von T ab. Die Abschätzung zeigt, dass T' isomorph zu einem Modul ist, dessen Trägermenge eine Teilmenge von c ist; diese bilden aber eine Menge. QED Anwendung 2. Freie Gruppen Sei X eine Menge. Die freie Gruppe F(X) ist per Definition ein darstellendes Objekt des Funktors \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}, G \mapsto \mathrm{Abb}(X,|G|), wobei |G| die Trägermenge von G bezeichnet. Wir können wieder die Existenz mit Hilfe von Freyds Kriterium zeigen. Weil man fast genauso wie bei Tensorprodukten vorgeht, fassen wir uns kürzer: Die Stetigkeit ist klar, und für die Lösungsmengenbedingung muss man sich nur überlegen, dass es bis auf Isomorphie nur eine Menge von Gruppen G gibt, für die es eine Abbildung i : X \to G gibt, deren Bild G erzeugt. Nun hat aber jedes Element von G die Form i(x_1)^{k_1} ... i(x_n)^{k_n}, das liefert |G| \leq \sum_n (|X| |\mathbb{Z}|)^n und diese Kardinalzahl hängt nur von X ab. Fertig! Wir werden in Anwendung 4 darauf zurückkommen. Anwendung 3. Freie Produkte, Kolimites Für Objekte x,y \in C ist das Koprodukt x \sqcup y per Definition eine Darstellung des Funktors \hom(x,-) \times \hom(y,-) : C \to \mathsf{Set}. Dieser ist offenbar stetig. Wenn C vollständig ist, so sagt uns Freyds Kriterium also, dass wir nur noch die Lösungsmengenbedingung nachprüfen müssen! Seien etwa G,H \in \mathsf{Grp} zwei Gruppen. Seien \alpha : G \to K und \beta : H \to K zwei Homomorphismen. Sei K' die von \alpha(G) \cup \beta(H) erzeugte Untergruppe. Wie zuvor müssen wir nur noch die Kardinalität von K' unabhängig von \alpha,\beta abschätzen. Nun hat jedes Element von K' aber die Form \alpha(g_1) \cdot \beta(h_2) \cdot \alpha(g_2) \cdot \dotsc \dotsc. Es folgt |K'| \leq \sum_n (|G| \times |H|)^n. Damit haben wir abstrakt die Existenz von freien Produkten von Gruppen gezeigt (die eher freie Koprodukte heißen sollten), ohne mit reduzierten Wörtern herumfummeln oder irgendwelche Gruppenaxiome nachweisen zu müssen. Dasselbe Vorgehen lässt sich in jeder algebraischen Kategorie durchführen. Wir erhalten zum Beispiel disjunkte Vereinigungen von Mengen, Wedge-Summen von punktierten Mengen oder Räumen, direkte Summen von Moduln, das Tensorprodukt von Ringen, und viel mehr. Außerdem kann man genauso beliebige Kolimites konstruieren! Beispiele sind Tensorprodukte von Algebren, amalgamierte Summen von Gruppen sowie Quotienten von Mengen, Moduln, Ringen, egal: Es ist immer dasselbe.

2.3 Freyds Satz über adjungierte Funktoren

Im letzten Beispiel kann man auch die Menge X variieren und erhält damit einen Funktor F : \mathsf{Set} \to \mathsf{Grp}, der linksadjungiert zum Vergissfunktor G \mapsto |G| ist. Diese Beobachtung kann man allgemein wie folgt fassen: Freyds Satz über adjungierte Funktoren. Sei D eine vollständige Kategorie, G : D \to C ein stetiger Funktor. Genau dann besitzt G einen linksadjungierten Funktor F : C \to D, wenn für jedes y \in C der Funktor \hom(y,G(-)) : D \to \mathsf{Set} die Lösungsmengenbedingung erfüllt, das heißt: Es gibt eine Menge von Objekten L \subseteq D, sodass es für jeden Morphismus y \in G(x) ein w \in L, einen Morphismus w \to x sowie einen Morphismus y \to G(w) gibt, sodass das offensichtliche Diagramm kommutiert. Beweis: Es hat G genau dann einen linksadjungierten Funktor, wenn für jedes y \in C der Funktor \hom(y,G(-)) darstellbar ist (s. Abschnitt 1); die Behauptung folgt daher aus Freyds Kriterium. QED Anwendung 4. Freie algebraische Strukturen Nehmen wir uns irgendeinen Vergissfunktor von algebraischen Strukturen, wie wäre es mit G : \mathsf{Ring} \to \mathsf{Rng}, wobei \mathsf{Ring} die Kategorie der Ringe mit 1 ist und \mathsf{Rng} die Kategorie der Ringe ohne geforderte 1 ("Rnge"). Ein linksadjungierter Funktor würde aus einem Rng auf beste Weise einen Ring mit 1 machen; weisen wir mit Freyds Satz die Existenz nach: Ein Blick auf die Konstruktion von Limites algebraischer Strukturen zeigt, dass G stetig ist. Für die Lösungsmengenbedingung sei R ein Rng. Wir suchen eine Menge von Ringen L \subseteq \mathsf{Ring}, sodass jeder Homomorphismus f : R \to S \in \mathsf{Ring} bereits über einen Ring \in L faktorisiert. Nun, das Bild f(R) ist vielleicht kein Unterring von S, aber durch Hinzunahme der 1 wird es das. Unter Summen müssen wir auch noch abschließen. Es ist also f(R) + \mathbb{Z} \cdot 1_S ein Unterring von S, über dem f faktorisiert. Dessen Kardinalität ist höchstens |R|+|\mathbb{Z}|. Wir können nun L als die Menge aller Ringe nehmen, deren Trägermenge eine Teilmenge von |R| + |\mathbb{Z}| ist. Wir haben damit die Existenz eines linksadjungierten Funktors \mathsf{Rng} \to \mathsf{Ring} gezeigt. Er lässt sich auch explizit angeben. Genauso kann man mit anderen Vergissfunktoren algebraischer Strukturen vorgehen. Zur Übung überlege sich der Leser etwa mit dem Satz von Freyd, dass der Vergissfunktor \mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp} einen linksadjungierten Funktor besitzt. Was kommt konkret raus? Tatsächlich kann man zeigen, dass jeder stetige Funktor zwischen Kategorien algebraischer Strukturen bereits einen linksadjungierten Funktor besitzt. Die Lösungsmengenbedingung ist automatisch. Das liefert einem eine gigantische Fülle von Konstruktionen freier algebraischer Strukturen! Seien es nun freie Gruppen, Polynomringe, freie assoziative Algebren, freie Liealgebren, freie Moduln, freie Verbände, freie Monoide, und viel mehr. Aber auch "relative" Vergissfunktoren sind davon betroffen: Neben dem bereits genannten Beispiel \mathsf{Ring} \to \mathsf{Rng} führt etwa \mathsf{Ab} \to \mathsf{CMon} zur Grothendieck-Gruppe, welche in der K-Theorie eine wichtige Rolle spielt. Der Vergissfunktor \mathsf{Alg}_k \to \mathsf{Vect}_k führt zur Tensoralgebra. Für einen Homomorphismus kommutativer Ringe R \to S hat man einen Vergissfunktor \mathsf{Mod}(S) \to \mathsf{Mod}(R) (Einschränkung der Skalare), dessen linksadjungierter Funktor die Erweiterung der Skalare ist, also - \otimes_R S. Die Existenz dieser linksadjungierten Funktoren ist also in gewisser Weise eine Trivialität. Ernsthafte Mathematik fängt erst dann an, wenn man eindeutige Darstellungen der Elemente finden möchte. Wie gesagt lassen sich diese aber manchmal ebenfalls aus der universellen Eigenschaft ableiten (vgl. MO/86923 sowie dort genannte Quellen). Anwendung 5. Kompaktifizierung Der Satz von Freyd kommt nicht nur in der Algebra, sondern auch in der Topologie zum Einsatz: Betrachte den Vergissfunktor \mathsf{CompHaus} \to \mathsf{Top} von kompakten Hausdorffräumen nach topologischen Räumen. Er erzeugt Limites (z.B. sind \mathsf{Top}-Produkte von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorff), und ist daher stetig. Nun sei Y \in \mathsf{Top}. Für die Lösungsmengenbedingung reicht es, sich zu überlegen, dass es bis auf Isomorphie nur eine Mengen von kompakten Hausdorffräumen X gibt, die Y als dichte Teilmenge enthalten. Dazu betrachte man die Abbildung X \to \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)), x \mapsto \{A \in \mathcal{P}(Y) : x \in \overline{A}\} und überlege sich, dass sie injektiv ist. Also hat der Vergissfunktor einen linksadjungierten Funktor \beta : \mathsf{Top} \to \mathsf{CompHaus}, bekannt als Stone-Čech-Kompaktifizierung. Noch viel einfacher ist übrigens der Nachweis der Lösungsmengenbedingung für den Vergissfunktor \mathsf{Haus} \to \mathsf{Top} von Hausdorff-Räume in topologische Räume; den linksadjungierten Funktor nennt man auch "Hausdorffisierung" oder auch den maximalen Hausdorff-Quotienten; siehe dazu auch hier. Diese Beispiele zeigen übrigens, dass linksadjungierte Funktoren sehr kompliziert sein können und sich die Elemente kaum explizit beschreiben lassen. Anwendung 6. Pullback-Funktoren. Für eine stetige Abbildung f : X \to Y hat man einen Funktor f_* : \mathsf{Sh}(X) \to \mathsf{Sh}(Y) zwischen den Garbenkategorien, das direkte Bild (Pushforward). Wenn zum Beispiel Y ein Punkt ist, sind das lediglich die globalen Schnite. Aus Freyds Satz folgt, dass f_* einen linksadjungierten Funktor f^* : \mathsf{Sh}(Y) \to \mathsf{Sh}(X) besitzt, das inverse Bild (Pullback). Viele Eigenschaften von f^* kann man nur schwer anhand der konkreten Konstruktion ablesen; mit Hilfe der Adjunktion \hom(f^* F,G) \cong \hom(F,f_* G) ist es hingegen sehr einfach. Das trifft zum Beispiel auf den Isomorphismus (f \circ g)^* \cong g^* \circ f^* zu (vgl. Aufgabe 1.4C). Anwendung 7. Partielle Ordnungen. Sei g : S \to T eine monotone Abbildung zwischen partiellen Ordnungen, wobei in S alle Infima existieren, und g möge diese erhalten. Dann besagt der Satz von Freyd, dass es eine monotone Abbildung f : T \to S gibt, mit der Eigenschaft f(t) \leq s \Leftrightarrow t \leq g(s). Man kann diese auch explizit hinschreiben: Es ist f(t) := \inf \{s \in S : t \leq g(s)\}. Diese Formel ist paradimatisch für die Konstruktion im allgemeinen Satz über adjungierte Funktoren. Hier ein ganz einfaches Beispiel dafür: Sei f : X \to Y eine Abbildung von Mengen und f^* : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X) die induzierte Urbildmengen-Operation auf den Potenzmengen. Diese ist mit Durchschnitten kompatibel. Also gibt es eine linksadjungierte Operation f_* : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y). Es ist eine gute Übung, sich klarzumachen, was hier explizit herauskommt. Dualität. Den Satz von Freyd kann man natürlich auch dualisieren: Ist F : C \to D ein kostetiger Funktor, wobei C kovollständig sei, so hat F genau dann einen rechtsadjungierten Funktor, wenn F eine gewisse Lösungsmengenbedingung erfüllt. Zum Beispiel kann man sich damit überlegen, dass der Vergissfunktor \mathsf{TorsAb} \to \mathsf{Ab} von abelschen Torsionsgruppen nach abelschen Gruppen einen rechtsadjungierten Funktor besitzt. Er schickt eine abelsche Gruppe auf ihre Torsionsuntergruppe. Die Idee ist grob gesagt immer, dass ein rechtsadjungierter Funktor etwas "aussondert", wogegen ein linksadjungierter Funktor etwas "hinzufügt".

2.4. Übungsaufgaben

  1. Besitzt der Vergissfunktor \mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp} einen rechtsadjungierten Funktor?
  2. Zeige mit Hilfe von Freyds Kriterium für Darstellbarkeit, dass \mathsf{Grp} kovollständig ist.
  3. Zeige mit Hilfe von Freyds Kriterium für Darstellbarkeit, dass für jede R-Algebra A der A-Modul \Omega^1_{A/R} der Kähler-Differentiale existiert.
  4. Es sei \mathsf{Bool} die Kategorie der booleschen Ringe (ein Ring ist boolesch, wenn jedes Element die Gleichung x^2=x erfüllt). Zeige mit Freyds Satz über adjungierte Funktoren, dass der Vergissfunktor \mathsf{Bool} \to \mathsf{CRing} einen linksadjungierten Funktor besitzt. Wie sieht er konkret aus? Kann man auch einen rechtsadjungierten Funktor finden?
  5. Zeige, dass \mathsf{CompHaus} kovollständig ist. Tipp: Benutze \beta.

3. Fixpunkte

Oftmals bereitet eine Adjunktion schon einer Äquivalenz von Kategorien den Weg. Zur Erinnerung: Eine Äquivalenz von Kategorien ist ein Funktor F : C \to D, für den es einen Funktor G : D \to C gibt mit FG \cong 1_D und GF \cong 1_C. Bis auf Isomorphie ist also G invers zu F. Wenn es so ein F gibt, nennen wir C und D äquivalent und schreiben C \simeq D. Das ist der korrekte Begriff von "Strukturgleichheit" für Kategorien. Viele tiefgehende Klassifikationsresultate lassen sich als Äquivalenz von Kategorien beschreiben; Beispiele werden wir gleich sehen. Satz. Sei F : C \to D linksadjungiert zu G : D \to C mit Einheit \eta : 1_C \to GF und Koeinheit \varepsilon : FG \to 1_D. Definiere volle Unterkategorien von Fixpunkten wie folgt: C_{\mathrm{fix}} := \{c \in C : \eta_c : c \to G(F(c)) \text{ ist Isomorphismus}\} D_{\mathrm{fix}} := \{d \in C : \varepsilon_d : F(G(d)) \to d \text{ ist Isomorphismus}\} Dann schränken sich F,G zu Funktoren C_{\mathrm{fix}} {\overset{F}{\longrightarrow} \atop \underset{G}{\longleftarrow}} D_{\mathrm{fix}} ein, welche bis auf Isomorphie zueinander invers sind. Es gibt also eine Äquivalenz von Kategorien C_{\mathrm{fix}} \simeq D_{\mathrm{fix}}. Beweis. Sei c \in C_{\mathrm{fix}}. Betrachte das kommutative Dreieck: \begin{matrix} & F(G(F(c)) & \\ F(\eta_c) \nearrow & & \searrow \varepsilon_{F(c)} \\ F(c) & \underset{1_{F(c)}}{\longrightarrow} & F(c) \end{matrix} Nach Annahme ist \eta_c ein Isomorphismus, also auch F(\eta_c). Das Diagramm zeigt, dass auch \varepsilon_{F(c)} ein Isomorphismus ist, mit \varepsilon_{F(c)}^{-1} = F(\eta_c). Damit ist F(c) \in D_{\mathrm{fix}}. Daher schränkt sich F zu einem Funktor F|_{C_{\mathrm{fix}}} : C_{\mathrm{fix}} \to D_{\mathrm{fix}} ein. Genauso sieht man das für G. Die Einheit \eta : 1_C \to GF schränkt sich nach Konstruktion von C_{\mathrm{fix}} zu einem Isomorphismus 1_{C_{\mathrm{fix}}} \cong G|_{D_{\mathrm{fix}}} \circ F_{C_{\mathrm{fix}}} ein. Genauso schränkt sich die Koeinheit zu einem Isomorphismus F|_{C_{\mathrm{fix}}} \circ G_{D_{\mathrm{fix}}} \cong 1_{D_{\mathrm{fix}}} ein. QED Dieser Satz sollte trotz seiner Einfachheit bekannter werden, denn viele der wichtigsten Äquivalenzen von Kategorien entstehen auf diese Weise. Zwei Kategorien treten mittels einer Adjunktion eine Beziehung ein; das ist meistens recht formal. Die eigentliche Mathematik fängt dann bei der Bestimmung der Fixpunkte an! Kommen wir nun zu den Beispielen.

3.1 Galoistheorie

Angenommen unsere Kategorien sind lediglich partielle Ordnungen S,T. Eine Adjunktion dazwischen besteht einfach aus zwei monotonen Abbildungen f : S \to T sowie g : T \to S, sodass f(s) \leq t \Leftrightarrow s \leq g(t). Wir haben in 2.7 gesehen, wie häufig so etwas vorliegt. Man nennt dies auch eine Galois-Verbindung; den Grund sehen wir gleich. Was sind die Fixpunkte der Adjunktion? Nun, die Antisymmetrie einer partiellen Ordnung bedeutet, dass isomorphe Objekte bereits gleich sind. Es handelt sich also um die Fixpunkte im üblichen Sinne: S_{\mathrm{fix}} = \{s \in S : s = g(f(s))\} T_{\mathrm{fix}} = \{t \in T : t = f(g(t))\} Unser Satz sagt, dass sich f und g zu zueinander inversen Isomorphismen S_{\mathrm{fix}} \cong T_{\mathrm{fix}} partieller Ordnungen einschränken. Das ist ein sehr nützliches Resultat über partielle Ordnungen, welches wir aus der Kategorientheorie hergeleitet haben. Sei etwa L/K eine beliebige Erweiterung von Körpern (prinzipiell geht dies auch mit anderen Strukturen), mit Automorphismengruppe G:=\mathrm{Aut}(L/K). Jeder Teilmenge H \subseteq G kann man dann man die Fixmenge \alpha(H) := \{x \in L : \forall h \in H (h(x)=x)\} zuordnen. Für H' \subseteq H gilt offensichtlich \alpha(H) \subseteq \alpha(H'); außerdem gilt \alpha(\cup_i H_i) = \cap_i \alpha(H_i). Wir erhalten daher eine monotone Abbildung f : \mathcal{P}(G) \to \mathcal{P}(L)^{\mathrm{op}}, welche Suprema erhält. Nach Freyds Satz über adjungierte Funktoren gibt es also einen rechtsadjungierten \beta : \mathcal{P}(L)^{\mathrm{op}} \to \mathcal{P}(G). Explizit ist \beta(E) = \{g \in G : \forall e \in E (g(e)=e)\}. Der Nachweis von E \subseteq \alpha(H) \Leftrightarrow H \subseteq \beta(E) ist trivial: Beides sagt aus, dass die Automorphismen in H die Elemente aus E fixieren. Aus der Äquivalenz zur dritten Sichtweise von Adjunktionen ergeben sich die Inklusionen H \subseteq \beta(\alpha(H)) \text{ und } E \subseteq \alpha(\beta(E)) automatisch. Unser Satz gibt uns außerdem einen Anti-Isomorphismus zwischen den partiellen Ordnungen der Fixpunkte: \{H \subseteq G : H = \beta(\alpha(H))\} ~ {\overset{\alpha}{\longrightarrow} \atop \underset{\beta}{\longleftarrow}} ~ \{E \subseteq L : E = \alpha(\beta(E))\} Ich möchte folgendes hervorheben: Bisher ist überhaupt nichts passiert. Es handelt sich um eine Aneinanderreihung von Trivialitäten. Trotzdem haben wir bereits das wesentliche Grundgerüst für den Hauptsatz der Galoistheorie hergestellt! Man schreibt in diesem Zusammenhang auch \alpha(H)=L^H und \beta(E)=\mathrm{Aut}(L/E). Die eigentliche Arbeit fängt nun bei der folgenden Frage an: Wie sehen die Fixpunkte konkret aus? Man stellt zunächst einmal fest, dass jedes \alpha(H) ein Zwischenkörper von L/K ist (d.h. ein Teilkörper von L, welcher K enthält). Außerdem stellt man fest, dass jedes \beta(E) eine Untergruppe von G ist. Die Fixpunkte werden also auf der linken Seite spezielle Untergruppen sein, und auf der rechten Seite spezielle Zwischenkörper. Im allgemeinen gibt es allerdings für einen Zwischenkörper E von L/K keine Möglichkeit, zu entscheiden, ob die Inklusion E \subseteq \alpha(\beta(E)) bereits eine Gleichheit ist. Wenn allerdings L/K eine endliche Galoiserweiterung ist, so kann man sich [\alpha(\beta(E)) : K] = [E : K] überlegen; daraus folgt die Gleichheit. Ferner besteht für jede Untergruppe H \leq G die Gleichung |H|= |\beta(\alpha(H))|; daraus folgt H=\beta(\alpha(H)). Sobald man sich diese beiden Gleichungen klargemacht hat (vgl. Bosch, Algebra, 4.1/6), so ergibt sich der Hauptsatz der Galoistheorie, dass nämlich \alpha,\beta zueinander inverse Anti-Isomorphismen partieller Ordnungen \{\text{Untergruppen von } G\} \cong \{\text{Zwischenkörper von } L/K\} induzieren. Die üblichen Zusätze wie etwa L^{\cap_i H_i} = \langle L^{H_i} \rangle ergeben sich daraus formal; Äquivalenzen von Kategorien erhalten (Ko)Limites. Wenn L/K eine unendliche Galoiserweiterung ist, so ist G in Wahrheit eine proendliche Gruppe (Bosch, 4.2). Für einen beliebigen Zwischenkörper E folgt aus dem endlichen Fall leicht aus dem endlichen Fall E=\alpha(\beta(E)). Für eine Untergruppe H \leq G dagegen ergibt sich \beta(\alpha(H))=\overline{H}; die Fixpunkte sind hier also genau die abgeschlossenen Untergruppen. Wir erhalten den Anti-Isomorphismus \{\text{abgeschlossene Untergruppen von } G\} \cong \{\text{Zwischenkörper von } L/K\} Sogar für eine beliebige Körpererweiterungen lassen sich die Fixpunkte bestimmen. Zu diesem Thema hat Gockel einen Artikel spannenden geschrieben. Für weitere Beispiele dieser Bauart siehe den Wikipedia-Artikel über Galois-Verbindungen. Der Hauptsatz der Kummer-Theorie (Bosch, 4.9/3 und 4.10/1) fällt unter dasselbe Schema. In der Galoistheorie à la Grothendieck findet es sich ebenfalls wieder, die man zum Beispiel mit dem Skript von Lenstra erlernen kann.

3.2 Lineare Algebra

Als leichte Mahlzeit für zwischendurch hier etwas aus der linearen Algebra. Jedem k-Vektorraum V kann man seinen Dualraum V^*=\hom(V,k) zuordnen. Der Bidualraum ist V^{**} := (V^*)^*. Es gibt eine kanonische lineare Abbildung \eta : V \to V^{**}, v \mapsto (\phi \mapsto \phi(v)). Wir erhalten daher einen Dualisierungsfunktor D : \mathsf{Vect}_k \to \mathsf{Vect}_k^{\mathrm{op}}, ebenso in die andere Richtung D^{\mathrm{op}} : \mathsf{Vect}_k^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Vect}_k, und \eta : 1_{\mathsf{Vect}_k} \to D^{\mathrm{op}} \circ D ist eine natürliche Transformation. Wir können diese ebenso gut als natürliche Transformation \varepsilon : D \circ D^{\mathrm{op}} \to 1_{\mathsf{Vect}_k^{\mathrm{op}}} auffassen. Man rechnet nach, dass die beiden Diagramme kommutieren und somit (D,D^{\mathrm{op}},\eta,\varepsilon) eine Adjunktion ist. Was sind die Fixpunkte? Nun dies sind - auf beiden Seiten - jeweils die Vektorräume V, für die \eta : V \to V^{**} ein Isomorphismus ist. Nun, \eta ist stets injektiv. Aber genau dann surjektiv, wenn V endlich-dimensional ist. Unser Satz liefert daher eine Äquivalenz von Kategorien D : \mathsf{finVect}_k \simeq \mathsf{finVect}_k^{\mathrm{op}} Wenn man genauer hinschaut, bedienen sich Einführungen zur linearen Algebra ständig dieser Dualität.

3.3 Harmonische Analysis

Die Pontrjagin-Dualität ist sehr ähnlich zur Dualität endlich-dimensionaler Vektorräume. Ist G eine topologische abelsche Gruppe, so kann man ihre Charaktergruppe \widehat{G} := \hom(G,S^1) betrachten. Dies ist mit der kompakt-offenen Topologie ebenfalls eine topologische abelsche Gruppe. Wir haben einen kanonische Homomorphismus G \to \widehat{~\widehat{G}~}, g \mapsto (\chi \mapsto \chi(g)). Die Dreiecke kommutieren wieder. Unser Satz liefert uns eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der Fixpunkte und ihrer dualen Kategorie. Das zentrale Resultat von Pontrjagin lautet: Die lokalkompakten topologischen abelschen Gruppen sind Fixpunkte! [Gibt es weitere?] Man erhält also eine Äquivalenz zwischen \mathsf{LCTopAbGrp} und ihrem Dual. Für endliche abelsche Gruppen ist das noch elementar und ergibt sich aus deren Klassifikation. Außerdem werden diese bei der Dualität aufeinander abgebildet. Folglich schränkt sich die Pontrjagin-Dualität zu einer Äquivalenz \mathsf{FinAb} \simeq \mathsf{FinAb}^{\mathrm{op}} ein.

3.4 Funktionalanalysis

Wir wollen einen topologischen Raum X irgendwie algebraisch verstehen. Dazu betrachten wir die \mathbb{C}-Algebra der stetigen Funktionen C(X) := \hom_{\mathsf{Top}}(X,\mathbb{C}); die Rechenoperationen sind punktweise erklärt. Sie besitzt außerdem eine Involution, die punktweise von der komplexen Konjugation herkommt. Es handelt sich also um eine *-Algebra über \mathbb{C}. Wir erhalten den Funktor C : \mathsf{Top} \to *\mathsf{Alg}^{\mathrm{op}}. Offenbar ist er kostetig; daher hat er gute Chancen, eine rechtsadjungierten Funktor zu besitzen. Tatsächlich: Umgekehrt kann man jeder *-Algebra A (hier mit 1) den sogenannten Charakterraum \Delta(A) := \hom_{*\mathsf{Alg}}(A,\mathbb{C}) zuordnen. Man nimmt dabei die Topologie der punktweisen Konvergenz, d.h. die von der Produkttopologie auf \mathbb{C}^A kommt. Es handelt sich um zwei Funktoren \mathsf{Top} {\overset{C}{\longrightarrow} \atop \underset{\Delta}{\longleftarrow}} *\mathsf{Alg}^{\mathrm{op}}. Wieder lassen sich mittels Auswertungen Einheit und Koeinheit erklären: \eta : X \to \Delta(C(X)), x \mapsto (f \mapsto f(x)) \varepsilon : A \to C(\Delta(A)), a \mapsto (\chi \mapsto \chi(a)) Das erste Dreieck kommutiert: Für X \in \mathsf{Top} gilt C(\eta_X) \circ \varepsilon_{C(X)} = 1_{C(X)}, denn für alle f \in C(X), x \in X gilt C(\eta_X)(\varepsilon_{C(X)}(f))(x)=\varepsilon_{C(X)}(f)(\eta_X(x))=\eta_X(x)(f)=f(x). Es ergibt sich also einfach formal aus den Definitionen. Genauso steht es mit dem zweiten Dreieck. Wir erhalten also eine Adjunktion (C,\Delta,\eta,\varepsilon). Wie sehen die Fixpunkte aus? Auf der topologischen Seite kommen genau die kompakten Hausdorffräume heraus; dies ist eine gute Übungsaufgabe. Die Klassifikation der Fixpunkte auf der algebraischen Seite ist allerdings viel schwieriger und ist als der (kommutative) Satz von Gelfand-Naimark bekannt: Zunächst einmal überlegt man sich, dass für jeden kompakten Hausdorffraum X die *-Algebra C(X) kommutativ ist und außerdem eine Norm trägt, das Supremum. Bezüglich dieser Norm ist C(X) vollständig und alle Rechenoperationen sind stetig. Es gilt außerdem die Identität ||f^* f|| = ||f||^2. Dies führt zum Begriff der C*-Algebra. Der Satz von Gelfand-Naimark sagt aus, dass für jede kommutative C*-Algebra mit 1 die Koeinheit \varepsilon : A \to C(\Delta(A)), a \mapsto (\chi \mapsto \chi(a)) ein Isomorphismus ist. Wenn man das hat, liefert unser Satz also die berühmte Gelfand-Dualität \mathsf{CompHaus} \simeq \mathsf{\mathsf{Comm}C^*\mathsf{Alg}}^{\mathrm{op}}. Man kann diese auch auf den nicht-unitalen Fall ausweiten, siehe hier. Die Gelfand-Dualität reiht sich ein in eine lange Liste von Äquivalenzen von Kategorien zwischen einer Kategorie "geometrischer Objekte" sowie der dualen Kategorie von "algebraischen Objekten". Selbst die Formeln für Einheit und Koeinheit sind immer wieder dieselben. Historisch war die Stone-Dualität das erste Beispiel. Die Isbell-Dualität scheint einen allgemeinen Rahmen dafür zu bieten. Wir sehen gleich noch ein weiteres Beispiel:

3.5 Algebraische Geometrie

Ein paar Grundbegriffe der algebraischen Geometrie habe ich hier und dort erklärt. Jedem lokalgeringten Raum (X,\mathcal{O}_X) können wir den Ring der globalen Schnitte \Gamma(X,\mathcal{O}_X) zuordnen. Das liefert einen Funktor \mathsf{LRS} \to \mathsf{CRing}^{\mathrm{op}}. Man stelle sich dies als die algebraische Variante von C : \mathsf{Top} \to *\mathsf{Alg}^{\mathrm{op}} vor. Wir können wieder erwarten, dass er einen rechtsadjungierten Funktor besitzt. Tatsächlich, das Spektrum eines Ringes tut es! Die Einheit \eta : X \to \mathrm{Spec}(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)) ordnet einem x \in X das Primideal \eta(x) = \{f : f(x) = 0\} zu. Die Koeinheit \varepsilon ist der kanonische Homomorphismus A \to \Gamma(\mathrm{Spec}(A),\mathcal{O}). Es stellt sich heraus: Die Koeinheit ist stets ein Isomorphismus. Weil die Fixpunkte der Einheit nicht weiter zu beschreiben sind, gibt man ihnen einfach einen Namen: Affine Schemata. Beliebige Schemata setzen sich aus diesen zusammen, genauso wie sich Mannigfaltigkeiten aus offenen Teilmengen des euklidischen Raumes zusammensetzen. Mit dieser Definition haben wir jedenfalls nun wieder automatisch eine Äquivalenz von Kategorien \mathsf{AffSch} \simeq \mathsf{CRing}^{\mathrm{op}} gewonnen. Viele Probleme der Ringtheorie lassen sich auf diese Weise geometrisch lösen. Umgekehrt: Das lokale geometrische Studium von Schemata reduziert sich auf die Algebra von Ringen. Kurz zu meiner Forschung, welche die Kategorifizierung dieser Adjunktion betrifft: Anstelle von Ringen, was also Mengen mit Operationen +,*,\dotsc sind, nehme man Kategorien mit Operationen \oplus,\otimes,\dotsc, für die etwa das Distributivgesetz x \otimes (y \oplus z) \cong x \otimes y \oplus x \otimes z sowie die Assoziativitätsgesetze nur bis auf Isomorphie gelten. Für einen Ring R ist \mathsf{Mod}(R) ein Beispiel dafür; hierbei ist \oplus die direkte Summe und \otimes das Tensorprodukt. Wir können nun einen Ring R durch den zugehörigen 2-Ring \mathsf{Mod}(R) ersetzen. Allgemeiner können wir jedes Schema X oder sogar jeden Stack durch den 2-Ring \mathsf{Qcoh}(X) der quasikohärenten Garben auf X ersetzen. Man erhält wieder formal eine Adjunktion \mathsf{Stacks} {\overset{\mathsf{Qcoh}}{\longrightarrow} \atop \underset{\mathsf{Spec}}{\longleftarrow}} 2\mathsf{-Ring}^{\mathrm{op}}, die sich nach unserem Satz (bzw. einer 2-kategoriellen Variante davon) zu einer Äquivalenz von Kategorien zwischen den Fixpunkten einschränkt. Zusammen mit Alexandru Chirvasitu habe ich zeigen können, dass auf der geometrischen Seite jedes quasikompakte quasiseparierte Schema ein Fixpunkt ist (siehe hier). Das bedeutet insbesondere, dass diese Schemata 2-affin sind und sich damit sogar global(!) algebraisch beschreiben lassen! Wir haben es auch für den klassifizierenden Stack einer endlichen Gruppe sowie weiteren algebraischen Gruppen gezeigt. Eine Klassifikation der algebraischen Fixpunkte steht noch aus.

3.6 Topologie

Es sei \Delta die Kategorie der endlichen Ordinalzahlen mit monotonen Abbildungen. Der Funktor \Delta \to \mathsf{Top}, [n] \mapsto \Delta^n, wobei \Delta^n das Standard-Simplex bezeichnet, setzt sich kostetig zu einem Funktor [\Delta^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}] \to \mathsf{Top} fort, der geometrischen Realisierung von simplizialen Mengen. Dies folgt einem allgemeinen Prinzip zur Konstruktion von kostetigen Funktoren (siehe z.B. hier), welches zugleich einen rechtsadjungierten Funktor \mathrm{Sing} : \mathsf{Top} \to [\Delta^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}] liefert. Einem Raum X wird dabei die singuläre Menge zugeordnet, die durch \mathrm{Sing}_n(X) = \hom(\Delta^n,X) definiert ist. Wir erhalten also rein formal eine Adjunktion \mathsf{Top} {\overset{\mathrm{Sing}}{\longrightarrow} \atop \underset{|-|}{\longleftarrow}} \mathsf{SimpSet}. Was sind nun die Fixpunkte, d.h. für welche Räume X ist die Koeinheit |\mathrm{Sing}_*(X)| \to X ein Isomorphismus und für welche simplizialen Mengen S ist die Einheit S \to \mathrm{Sing}_*(|S|) ein Isomorphismus? Diese Frage ist nicht wirklich sinnvoll, weil wir es mit homotopie-invarianten Funktoren zu tun haben. Viel interessanter ist die Frage, wann Einheit bzw. Koeinheit Homotopieäquivalenzen sind! Hier geht also wie in 3.5 in Wahrheit eine 2-kategorielle Struktur ein. Und darauf gibt es eine sehr zufriedenstellende Antwort (Peter May, Simplicial objects in algebraic topology, § 16), wenn man jeweils punktierte Räume bzw. simpliziale Mengen nimmt: Auf der topologischen Seite sind es genau die CW-Komplexe und auf der simplizialen Seite genau die Kan-Komplexe! Das sagt mehr oder weniger aus, dass sich die Homotopietheorie von CW-Komplexen auf Kombinatorik reduziert. Eine weitere wichtige Adjunktion in der Topologie ist die zwischen der reduzierten Einhängung \Sigma : \mathsf{Top}_* \to \mathsf{Top}_* und dem Schleifenraum \Omega : \mathsf{Top}_* \to \mathsf{Top}_*. Für zusammenhängende CW-Komplexe X ist \Sigma \Omega X homotopieäquivalent zu James' reduziertem Produkt J(X) (Hatcher, Theorem 4J.1), was in der Regel viel größer als X ist (Hatcher, Prop. 3.22).

3.7 Übungsaufgaben *

  1. Es sei \mathsf{Met} die Kategorie der metrischen Räume mit Isometrien als Morphismen. Betrachte die volle Unterkategorie \mathsf{CompMet} der vollständigen metrischen Räume. Konstruiere einen zum Vergissfunktor \mathsf{CompMet} \to \mathsf{Met} linksadjungierten Funktor. Wie sehen Einheit und Koeinheit aus? Bestimme die Fixpunkte dieser Adjunktion.
  2. Es sei \mathsf{ProGrp} die Kategorie der proendlichen Gruppen. Der Vergissfunktor nach \mathsf{Grp} besitzt einen linksadjungierten Funktor (proendliche Vervollständigung). Bestimme die Fixpunkte dieser Adjunktion.
  3. Es sei A ein noetherscher Ring. Finde eine Adjunktion (EGA II, 2.5-2.6) \mathsf{grMod}(A[t_0,\dotsc,t_n])/\mathsf{TN} {\overset{(~)^{\sim}}{\longrightarrow} \atop \underset{\Gamma_*}{\longleftarrow}} \mathsf{Qcoh}(\mathbb{P}^n_A). Wie lauten die Fixpunkte (EGA II, 2.7)? Folgere eine Äquivalenz von Kategorien.
  4. Sei K ein Körper mit absoluter Galoisgruppe \pi:=\mathrm{Gal}(K^s/K). Konstruiere eine Adjunktion zwischen der Kategorie der K-Algebren und der Kategorie der \pi-Mengen. Zeige, dass sie sich zu einer Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der separablen K-Algebren und der Kategorie der endlichen stetigen \pi-Mengen einschränkt. Folgere daraus den Hauptsatz der Galoistheorie.

4. Fazit

Adjunktionen lassen sich aus drei verschiedenen Perspektiven betrachten; jede davon hat je nach Kontext ihren Vorteil. Man hat grob gesagt zwei miteinander verbundene Funktoren C {\overset{F}{\longrightarrow} \atop \underset{G}{\longleftarrow}} D, mit deren Hilfe man C,D vergleichen will. Adjunktionen besitzen etliche Erscheinungsformen. Dieses so einfache Konzept der Kategorientheorie vereint unzählige auf dem ersten Blick scheinbar isolierte Konstruktionen und Zusammenhänge. Ich hoffe, dass dies durch die (notwendig unvollständige) Liste von Beispielen illustriert wurde. In der Literatur außerhalb der Kategorientheorie wird meiner Meinung nach noch zu oft davor zurückgeschreckt, dem Leser zu verraten, dass sich hinter einer konkreten Konstruktion in Wahrheit eine Adjunktion verbirgt. Das ist selbst für konkrete Berechnungen relevant. Der Satz von Freyd ist ein nichttriviales und auch anwendbares Kriterium für die Existenz von adjungierten Funktoren (es gibt noch weitere). Viele Klassifikationsresulte lassen sich als Äquivalenzen von Kategorien formulieren; oftmals ist die eine geometrischer und die andere algebraischer Natur. Bemerkenswerterweise erscheint es aber rein formal, eine Adjunktion als Grundgerüst dafür zur Verfügung zu stellen. Nach einem allgemeinen Prinzip schränkt sich eine Adjunktion zu einer Äquivalenz von Kategorien zwischen den Fixpunkten ein. Erst bei der Bestimmung dieser Fixpunkte wird es interessant. Ich kenne bisher keine Quelle, in der dies in der Form herausgearbeitet worden ist. Ich würde mich über Feedback / Fragen / Anmerkungen jeder Art in den Kommentaren freuen. Ich bedanke mich bei den Korrekturlesern Eva und Johannes.
Artikel zur Kategorientheorie Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd Teil 3: Ja Mono Epi Iso Teil 4: Universelle Eigenschaften Teil 5: Limites und Kolimites Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie

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: Mathematik :: Kategorientheorie :
Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut [von Martin_Infi  
Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke bautAdjunktionen In der reinen Mathematik sind universelle Eigenschaften allgegenwärtig. Sobald universelle Objekte über einer Kategorie "parametrisiert" werden können, entsteht eine Adjunktion: Zum Beispiel kann man jeder Menge X die freie Gruppe F(X) m
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"Mathematik: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut" | 7 Comments
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Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Filip am: Di. 26. Juni 2012 18:13:38
\(\begingroup\)@Anonymus: Genau! Und das ist auch gut so. Letzendlich ist eine der Motivationen Kategorientheorie zu betreiben die (universellen) strukturellen Zusammenhänge, Konzepte und Strukturen "hinter" der Mathematik zu verstehen. Adjunktionen sind eines der fundamentalen Konzepte. Der Knackpunkt (und Schwierigkeit) ist es das Konzept festzunageln. Der Rest ist dann in der Tat banal. Diese Banalität zusammen mit der grandiosen Vielfalt an Beispielen zeigt einem dann, dass man ins Schwarze getroffen hat. @Martin: Schöner Artikel! Ich finde es auch sehr gut über Kategorientheorie mal in Deutsch zu lesen :-). Sehr gut finde ich auch, dass Du den Punkt über die induzierte Äquivalenz von Fixpunkten ausgeführt hast. In CWM wird dieser wichtige Punkt völlig übergangen. In Moerdijk/MacLane "Sheaves in Geometry and Logic" wird das auch erwähnt und benutzt, um von der Adjunktion Prägarben über einem top. Raum X -> Bündel über X ,auf die Äquivalenz Garben über X <-> étale Bündel über X zu schließen. Die Adjunktion selbst kann man aus dem sog. "Fundamentaltheorem der Kategorientheorie" bekommen. Die Bestimmung der Fixpunktkategorien erfordert allerdings etwas Arbeit. Ein meiner Meinung nach wichtiger Punkt, der in deinem Artikel nicht erwähnt wurde, sind Monaden und Komonaden. Die Motivation für diese Begriffe kann man hier z.B. von Hüllen (und Kernoperatoren) von Galois-Verbindungen beziehen. Die Bedeutung von Monaden und Komonaden für Logik (Theorien), Topologie (z.B. für Resolutionen) und Geometrie (z.B. Descent) kann man dann natürlich wieder nur andeuten. \(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Martin_Infinite am: Di. 26. Juni 2012 21:38:43
\(\begingroup\)Hallo Filip, danke für das Feedback und die Ergänzungen. Vielleicht sollte ich das Buch von Moerdijk/MacLane endlich einmal lesen, es wird so oft zitiert :). Zur schönen Sichtweise der Äquivalenz zwischen Garben und étalen Bündeln habe ich über eine Notiz vom Tom Leinster erfahren. Zum Thema Monaden: Man kann immer noch einen oben draufsetzen. Vielleicht in einem späteren Artikel. Ich finde ja, dass mein Artikel schon lang genug ist :), und natürlich kann ich nicht jede Anwendung von Adjunktionen besprechen. Außerdem bin ich noch weit davon entfernt, "monadisch" zu denken. Ich kenne die Grundlagen und kann damit umgehen, aber zur Wertschätzung muss man wohl sehr viel gesehen haben. Bei Adjunktionen ist das nicht so, weil man quasi in jeder Vorlesung etliche Adjunktionen kennenlernt. Ich hoffe, dass mein Artikel nicht nur denen nützlich sein wird, die das sowieso schon alles kennen, wo ich dich natürlich mit dazu zähle :). Zur Sprache: Es sollte wirklich mehr deutsche Fachliteratur geben! Der einzige Grund, warum wir Mathematiker mittlerweile viele Fachbegriffe lieber gar nicht mehr im Deutschen aussprechen wollen, ist doch einfach darin begründet, dass wir sie nicht mehr verwenden und es so ungewohnt ist. Ich lese zur Zeit ein deutsches Vorlesungsskript von Günter Tamme, der da öfters mit Beispiel vorangegangen ist: Erstklassig geschrieben, und man versteht meiner Meinung nach alles viel schneller. Aber wenn man irgendeinen Artikel beim arXiv hochlädt oder bei einer Zeitschrift einreicht, dann will man eben auch, dass alle ihn lesen können, möchte aber nicht so anmaßend sein und von allen erwarten, dass sie erst einmal Deutsch lernen. Früher war das so, tja. Viele Grüße, Martin\(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 09. Juli 2012 20:31:06
\(\begingroup\) Hast du ein Beispiel für einen stetigen Funktor ohne Linksadjungierten?\(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Martin_Infinite am: Mo. 09. Juli 2012 22:20:09
\(\begingroup\)Ja, sogar eine ganze Klasse von Beispielen: Betrachte für ein Objekt $X \in C$ den Hom-Funktor $\hom(X,-) : C \to \mathsf{Set}$. Er ist immer stetig. Der linksadjungierte Funktor, wenn er denn existiert, stimmt mit der Kopotenz $\mathsf{Set} \to C , S \mapsto X^{\oplus S}$ überein, also einfach Koprodukte von Kopien von $X$ mit sich selbst. Diese müssen nicht existieren (Beispiel $C=\mathsf{finSet} \text{ ( oder } \mathsf{finGrp}), |X| > 1, |S| = \infty)$.\(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Dune am: Sa. 10. August 2013 02:01:16
\(\begingroup\)Hi Martin, in der Beweisskizze von Freys Kriterium für Darstellbarkeit verwendest du die Aussage, dass der Vergissfunktor $\int F \to C$ Limites erzeugt. Ich habe versucht, dies für beliebige (nicht notwendig vollständige) Kategorien $C$ und stetige Funktoren $F$ zu zeigen. Es ist relativ klar, dass der Vergissfunktor Limites reflektiert und dass ein Diagramm in $\int F$ einen Limes besitzt, wenn sein Bild in $C$ einen besitzt. Ich sehe allerdings nicht, warum er Limites erhalten sollte. Stimmt dies überhaupt, oder setzt diese Behauptung die Vollständigkeit von $C$ voraus? Viele Grüße, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: Martin_Infinite am: Di. 20. August 2013 11:08:13
\(\begingroup\)Sei $F : C \to \mathsf{Set}$ ein stetiger Funktor, $\int F$ die Kategorie der Elemente von $F$ (deren Objekte also Paare $(x,s)$ sind, wobei $x \in C$ und $s \in F(x)$, und Morphismen sind klar), $U : \int F \to C$ der Vergissfunktor (mit $(x,s) \mapsto x$). Ich behaupte, dass $U$ Limites erzeugt (im Sinne von Mac Lane, Definition in V.1). Sei dazu $(x_i,s_i)$ ein Diagramm in $\int F$, und $(x \to x_i)$ ein Limes in $C$. Weil $F$ stetig ist, ist auch $(F(x) \to F(x_i))$ ein Limes. Die kompatiblen Elemente $s_i \in F(x_i)$ liften daher zu einem eindeutigen Element $s \in F(x)$. Dann prüft man leicht, dass $((x,s) \to (x_i,s_i))$ ein Limes in $\int F$ ist. Ist umgekehrt $((x,t) \to (x_i,s_i))$ ein Lift von $(x \to x_i)$, so schränkt sich $t \in F(x)$ zu den $s_i \in F(x_i)$ ein, muss also gleich $s$ sein. Übrigens, die Begriffe "liften" und "einschränken" kommen von der Interpretation von $F$ als Prägarbe auf $C^{\mathrm{op}}$.\(\endgroup\)
 

Re: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
von: KidinK am: Di. 03. Juni 2014 22:40:58
\(\begingroup\)Hi Martin, Ich habe gerade zum ersten Mal diesen Artikel genau durchgelesen. Ich habe selten überhaupt eine so klare mathematische Darstellung gesehen. Großen Respekt und danke für die Bereicherung, auch wenn mir die kategorientheoretischen Aspekte zum Großteil schon bekannt waren. Liebe Grüße, KidinK\(\endgroup\)
 

 
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