Physik: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
Released by matroid on Di. 10. Juli 2012 08:01:08 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Aller guten Dinge sind drei. Willkommen zum dritten Teil über den schiefen Wurf mit Luftwiderstand. Berechnung der Bahnkurve für ein geworfenes Objekt, mit Hilfe der numerischen Integration (Euler-Verfahren), unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes.

Einleitung

In Ergänzung zu kostja's Artikel Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II, möchte ich hier meine Bemühungen, die Bahnkurve mit Hilfe der numerischen Integration zu berechnen, dokumentieren. Ich erlaube mir andere Startwerte zu wählen, da ich gerne den Fall eines Piloten mit Schleudersitz beschreiben möchte. Ich werde jedoch, zum Vergleich, die Ergebnisse, Kurven etc., mit meinen Startwerten und kostja's Formeln berechnen. Ich gehe dabei von folgenden Annahmen aus: Das Flugzeug fliegt geradeaus und liegt waagrecht in der Luft. Der Schleudersitz hat lediglich eine Anfangsgeschwindigkeit, senkrecht nach oben. Verhält sich also wie ein geworfenes Objekt. Die angeströmte Fläche, die Form des Piloten mitsamt Schleudersitz, sowie die Luftdichte werden als konstant angenommen. Berechnet wird die Bahnkurve des Piloten mit Schleudersitz, vor dem Öffnen des Fallschirms.

Startwerte

Für meine Berechnungen habe ich die folgenden Werte gewählt: Fluggeschwindigkeit, Geschwindigkeit in x-Richtung somit v_0x = 50(m/s) Schleudersitzgeschwindigkeit, in y-Richtung somit v_0y = 30(m/s) Startkoordinaten x_0 = 0, y_0 = 0 Start- und Endzeit der Berechnung t_0 = 0, t_e = 20s Erdbeschleunigung g = 9.81(m/s^2) Luftdichte \rho_Luft = 1.2041(kg/m^3)^([1]) Strömungswiderstandskoeffizient c_w = 0.7 Angeströmte Fläche A = 0.8m^2 Masse m=100kg Schrittweite für die num. Int. h, jeweils angegeben (normale Werte sind zum Beispiel 0.1 oder 0.01)

Physikalischer Ansatz

Die Widerstandskraft (hier der Luftwiderstand), ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit (Newton-Reibung)[2]: F_W = -k*v^2 Wobei k = 1/2*\rho_Luft*c_w*A. Vektoriell geschrieben: F_W = -k*v*v^> = -k*sqrt(v_x^2+v_y^2)*(v_x;v_y)^([3]) Die gesamte Kraft, die auf den Schleudersitz einwirkt, ist m*a. In y-Richtung wirkt noch die Gravitation -m*g. Somit können wir die Gleichungen für x und y aufstellen^([4]): m*a_x = -k*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_x m*a_y = -k*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_y - m*g Dividiert durch m ergibt sich: a_x = -k/m*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_x a_y = -k/m*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_y - g Da nun bekanntermassen die Beschleunigung gleich der Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist a = dv/dt = v^*, ergibt sich das folgende System von Differentialgleichungen: v^*_x = -k/m*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_x v^*_y = -k/m*sqrt(v_x^2+v_y^2)*v_y - g Dieses System lässt sich nun nicht mehr analytisch lösen^([5]), deshalb greifen wir hier auf die numerische Integration zurück.

Numerische Integration

Bei der numerischen Integration, die ich hier verwenden möchte, wird die Zeit t in viele kleine Zeitabschnitte \Delta t unterteilt. Nun wird davon ausgegangen, dass die Beschleunigung während dieser kleinen Zeitabschnitte konstant bleibt. Dieses Verfahren wird Euler-Verfahren genannt[6]. Wir berechnen also v(t) und x(t) iterativ. Je kleiner wir dabei die Schrittweite wählen, umso genauer wird unser Resultat[7]. v_(n+1) = v_n + a_n*\Delta t x_(n+1) = x_n + v_n*\Delta t Konkret, für unseren Fall, heisst das für die Geschwindigkeit: v_(xNeu) = v_xAlt + (-k/m)*sqrt(v_xAlt^2+v_yAlt^2)*v_xAlt * \Delta t v_(yNeu) = v_yAlt + (-k/m*sqrt(v_xAlt^2+v_yAlt^2)*v_yAlt - g) * \Delta t Wobei v_Alt jeweils die Werte aus der vorhergehenden Kalkulation meint, und zu Beginn, sinnvollerweise, die Startwerte. Diese Berechnung wird nun so viele Male wiederholt bis die gewünschte Zeit t durchlaufen ist. Für den Ort gilt analog: x_Neu = x_Alt + v_xAlt*\Delta t y_Neu = y_Alt + v_yAlt*\Delta t Alternativ dazu habe ich für den Ort die Mittelpunktsregel verwendet, welche wohl ein wenig genauer ist^([8]): x_Neu = x_Alt + ((v_xAlt + v_xNeu)/2) * \Delta t y_Neu = y_Alt + ((v_yAlt + v_yNeu)/2) * \Delta t Bei der numerischen Integration wird also die Berechnung auf relativ einfache Formeln reduziert. Dafür wird diese dann sehr viele Male wiederholt. Es leuchtet ein, dass wir diese Berechnungen nicht alle von Hand durchführen wollen, sondern dafür ein Computerprogramm verwenden. Ich habe hierfür ein kleines Python Script geschrieben. Es kann aber auch z. B. eine Tabellenkalkulation gemacht werden.

Ein kleines Python Script

In Python sieht nun die Rechenschleife beispielsweise so aus: while t <= te: v_1x = v_0x + h * (-1)*(k/m)*sqrt(v_0x*v_0x + v_0y*v_0y) * v_0x v_1y = v_0y + h * ((-1)*(k/m)*sqrt(v_0x*v_0x + v_0y*v_0y) * v_0y -g) x_1 = x_0 + h * ((v_0x+v_1x)/2) y_1 = y_0 + h * ((v_0y+v_1y)/2) v_0x = v_1x v_0y = v_1y x_0 = x_1 y_0 = y_1 t = t + h Dabei wird mit while eine Schleife gebildet, die solange läuft wie die Bedingung t (der aktuelle Zeitschritt) kleiner/gleich te (die Endzeit) wahr ist. Dann wird die Berechnung mit den im vorigen Abschnitt besprochenen Formeln durchgeführt. Nun werden, für den nächsten Durchlauf, die alten Variablen durch die neuen ersetzt (v_0x=v_1x etc.). Schliesslich wird die Variable t um die Schrittweite erhöht, und die Schleife beginnt von neuem. Das ist natürlich noch kein vollständiges Programm. Vor der Schleife müssen die Variablen definiert werden. Dies kann sehr einfach durch Variablenname = Wert gemacht werden. Oder, etwas komfortabler, durch eine Eingabe während der Laufzeit, mit dem input Befehl: v_0x = input("Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung eingeben: ") Die Resultate müssen natürlich auch irgendwo ausgegeben werden. Z. B. kann am Ende der Rechenschleife ein print Befehl eingebaut werden: print(t,"\t",v_1x,"\t",v_1y,"\t",x_1,"\t",y_1) Dieser gibt nun bei jedem Durchlauf die jeweiligen Resultate auf dem Bildschirm aus.[9] Wenn ich mich nicht irre, lassen sich mit einem solchen Script, nun sogar, relativ einfach, veränderliche Variablen einführen. Z. B. eine sich ändernde Luftdichte, in Abhängigkeit von der Höhe. Das ist mit einer "normalen" Funktionsgleichung, glaube ich, nicht ganz so einfach zu machen. Deshalb eignet sich diese numerische Integration, meines Erachtens, auch sehr gut für Computersimulationen, oder Computerspiele. (Siehe Abschnitt Auswertung, Zusatz.) Ich habe ein etwas umfangreicheres Script für diese Anwendung geschrieben. Es kann unter folgender Adresse eingesehen werden (externer Link, englisch): http://cem.square7.ch/linux_python.html Bei einer Berechnung mit dem Computer entstehen seltsame Berechnungsfehler im hintersten Nachkommmastellenbereich. Diese sind jedoch, wie ich feststellen musste, keine Fehler im Script oder in Python, sondern entstehen durch die Fliesskommaarithmetik des Computers[10]. Python eignet sich, wie ich finde hervorragend, für solche und andere Scripte. Es ist einfach und dennoch sehr mächtig.[11]

Auswertung

Mit einem solchen Script erhalten wir eine Datei voller Ergebnisse in tabellarischer Form: 0.0 49.9017.. 29.8429.. 0.4995.. 0.2992.. 0.01 49.8038.. 29.6863.. 0.9980.. 0.5968.. 0.02 49.7065.. 29.5301.. 1.4955.. 0.8929.. 0.03 49.6096.. 29.3745.. 1.9921.. 1.1874.. .. .. (Angepasst zur besseren Darstellung.) Wobei die Reihenfolge der Spalten hier t, Vx, Vy, x und y ist. Für eine graphische Auswertung dieser Daten eignet sich, ebenfalls hervorragend, Gnuplot[12]. Ich habe zum Vergleich die Berechnung einmal mit kostja's Formeln und einmal mit der numerischen Integration gemacht. Schrittweite der num. Int. h = 0.01. Fig. 1: Vx und t Zu Fig. 1) Die Geschwindigkeit in x-Richtung wird bei der numerischen Integration doch um einiges geringer, als bei kosja's Formeln. Fig. 2: Vy und t Zu Fig. 2) Zuerst ist die Geschwindigkeit in y-Richtung positiv. Der Schleudersitz steigt auf. Die Geschwindigkeit wird schnell kleiner und schliesslich negativ, der Schleudersitz fällt. Die Endgeschwindigkeit ist bei beiden Berechnungen annähernd gleich ! Fig. 3: x und t Zu Fig. 3) Analog zur Geschwindigkeit, der Weg in x-Richtung. Fig. 4: x und t Zu Fig. 4) Der Weg in y-Richtung. Fig. 5: x und y Zu Fig. 5) Und schlussendlich, der Weg in x und y.

Zusatz:

Mit einer kleinen Anpassung im Script, wird nach 10 Sekunden, sozusagen, der Fallschirm geöffnet. (At>10s = 40.0[m2], c_Wt>10s = 1.33, te = 30[s]) Fig. 6: y und t

Schluss

Ich hoffe meine Erklärungen sind verständlich und nutzen dem ein oder anderen. Des weiteren hoffe ich meine Ausführungen und Berechnungen sind soweit richtig. Falls Einer einen Fehler findet oder meint es könne etwas nicht stimmen, bitte melden. Teil IV wäre dann wohl, die Einbeziehung von Drall, zum Beispiel für einen Fussballschuss (Banane). Am besten gleich in 3-D. Das ist dann aber wohl kein einfacher schiefer Wurf mehr... Zum Schluss danke ich für die Hilfe im Forum und dem Matheplaneten, dafür dass es ihn gibt. rebootl 2012-07-09

Fussnoten und Verweise

[1] Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdichte [2] Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall#Fall_mit_Luftwiderstand:_Newton-Reibung [3] Siehe Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II Kommentar Nr. 2 von Spock, oder siehe auch im Forum Schiefer Wurf mit Luftwiderstand, numerische Integration Post Nr. 2 v. lula. [4] Gem. dem zweiten Newtonschen Axiom \sum(F) = m * a . [5] Siehe ebenfalls Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II Kommentar Nr. 2 von Spock. [6] Tipler/Mosca, Physik Für Wissenschaftler und Ingenieure, 2. deutsche Aufl., S.130, S.133 [7] Bei einer Berechnung mit dem Computer wird aber, wenn die Schrittweite sehr, sehr klein gewählt wird, die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern wieder verschlechtert, Siehe ebenfalls [6], S.132 und allenfalls [10]. [8] Siehe http://www.ti-unterrichtsmaterialien.net/imgserv.php?id=Spirig02.pdf dort wird der schiefe Wurf mit Luftwiderstand für den TI (Taschenrechner) behandelt. Und siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunktsregel, eine genauere Erklärung fehlt mir hier jedoch. [9] In einer Linux/Unix Umgebung können Bildschirmausgaben, mittels des > Operators, sehr einfach in eine Datei umgeleitet werden. [10] Mehr dazu, siehe http://docs.python.org/py3k/tutorial/floatingpoint.html (englisch). [11] Mehr zu Python, siehe offizielle Webseite (englisch) http://www.python.org/ sowie das Tutorial (englisch) http://docs.python.org/py3k/tutorial/ [12] Gnuplot, offizielle Webseite (englisch) http://www.gnuplot.info/ und die Einführung, Gnuplot - not so frequently asked questions - v. Dr. T. Kawano (englisch) http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.html
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"Physik: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III" | 4 Comments
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Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 20. August 2012 18:31:54
\(\begingroup\)Sehr schön, ich wollte das schon lange mal durch den Computer jagen und vergleichen. :) Vielen Dank, dass Du Dir mal die Mühe gemacht hast. Wirklich interessant wäre es jetzt noch, wenn man für die Numerik noch eine a-posteriori Fehlerabschätzung machen würde und sehen, wie weit die entkoppelten Gleichungen aus Teil II noch im Fehlerbereich liegen. Liebe Grße Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 28. Oktober 2013 11:36:29
\(\begingroup\)Hi zusammen Ich schreibe momentan an einer Arbeit. Dabei geht es um das Luftgewehrschiessen. Die Scheibe befindet sich 10 Meter weit weg. Nun versuche ich aus den Positionsdaten (Koordinaten des Gewehrs im Raum) den Punkt zu errechnen, wo die Kugel auf der Scheibe einschlägt. Ich habe bereits diverse Ansätze angeschaut und finde, dass dieser hier gut passen würde. Ich habe das Ganze nun in Excel mal umgesetzt (ich hoffe ohne Fehler =)) So kann ich ja nun schauen, wo sich die Kugel nach 10 Metern befindet. Nun habe ich aber zwei Dinge die ich gerne mit hinein nehmen möchte: 1) Es muss davon ausgegangen werden, dass das Gewehr zum Zeitpunkt t0 der Schussauslösung nicht exakt senkrecht zur Scheibe steht. Das heisst es gäbe nebst x (Distanz Gewehr und Scheibe) und y (Veränderungen in der vertikalen) noch eine weitere Komponente z. Der Grund wieso sie hinein muss liegt auf der Hand. Durch eine Rechts-Links Bewegung des Gewehrs ändert sich insgesamt die Flugdistanz. Also müsste die Geschwindigkeit des Geschosses auf eine dritte Richtung ausgerechnet werden. Aber wie ich es berechnen kann und dann noch in die Formel einfügen kann sehe ich momentan nicht 😵 Von der Bewegung her gibt es ja eine Durchmischung vom freien Fall und Bewegung nach vorne für diese neue Richtung. Eine Transformation der Koordinaten so, dass die dritte Komponente wegfallen würde halte ich für zu aufwändig, da dies dann für jeden Schuss gemacht werden müsste (2000) und sich wohl nur mehr Fehler einschleichen würden. 2) Ich habe mich auch noch folgendes gefragt; Wenn das Gewehr bei der Schussauslösung bewegt wird dann gibt es ja noch mehr Geschwindigkeitsgrössen bei t0. Also das Gewehr wird nach rechts bewegt (oder oben und unten). Ist diese Bewegung mit den Koordinaten bereits inbegriffen und kann entsprechend vernachlässigt werden? Oder müsste sie einfach zu den einzelnen Komponenten x,y und z hinzu addiert werden (wie wenn man einen Ball aus dem Auto wirft)? Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar. Gruess Michael \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 06. August 2015 19:26:51
\(\begingroup\)Anfangsgeschwindigkeit eines Schneeballs ? Geworfen wird ein Schneeball mit 7 cm Durchmesser und einem Gewicht von 80 g mit unregelmäßiger Oberfläche, entspricht aber dennoch im großen und ganzen einer Kugelform. Dieser Ball wird in einem Winkel von 50 Grad ohne Drall geworfen. Die Anfangshöhe, also die Abwurfhöhe beträgt 1,04 m. Die Wurfweite beträgt bei Windstille auf Meereshöhe (Luftdichte/Widerstand) bei Tauwetter-Temperatur 0 Grad 117,77 m. Frage: Wie hoch war die anfängliche Abwurfgeschwindigkeit? \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
von: Anonymous am: Mo. 11. April 2022 16:18:52
\(\begingroup\)Ich bin auf diesen Artikel gestoßen, bei der Frage wie weit ein Geschoß (KE-Munition Leopard 2 z.B., kein Drall, flügelstabilisiert) tatsächlich fliegt (wenn Luftreibung eine Rolle spielt). Die Elevation der waffe ist zwischen -6° und +20° limitiert. Die Daten sind leicht zufinden: V0=1750m/s, "Abwurfwinkel" 20° ergibt für die Wurfhöhe 18,2591 km und für die Wurfweite 200,666 km (beim idealen schiefen Wurf). Jetzt stellt sich natürlich die Frage wie weit bzw. hoch fliegen die Geschosse tatsächlich, wenn denn unter 20° in die Luft geschossen würde? Auch die Abmessungen bzw. die Masse des Penetrators finden sich ohne Große Mühe: ca. 5kg Masse, Länge 646 mm Durchmesser 20,8 mm , vorne zwar angespitzt, aber in ganz guter Näherung vermutlich ein Zylinder (die Flügel zur Stabilisierung auch vernachlässigt) FR=-1/2*cw*A*rho*v^2. A liegt bei diesem Ansatz so wie ich das sehe immer antiparallel zur Bahnkurve: A=d^2pi/4 mit d=20,8 mm rho=1.293 kg/m^3. Den Cw Wert kann man notfalls erst mal mit 1 annehmen. Wenn man FR= (-) k *transponiert(Vx^2 ,Vz^2) annimmt wie bei Teil2, dann ist A hier nicht mehr konstant bzw. kann ich es auch überhaupt nicht aus der Geometrie des Geschosses bestimmen. Geschossbahnen wären mit dem Ansatz nach Teil 2 nur für eine Kugel berechenbar. Nachfolgendes Octave-Programm: # Flugbahn KE-Munition rhoLuft=1.293; cw=1; tmax=70; delta=1e-2; v0=1750; d=20.8e-3; kSchlange=1/2*cw*d^2*pi/4*rhoLuft/5; function retval = vPunkt2(y, x, kSchlange) retval(1)= -kSchlange*sqrt(y(1).^2 + y(2)^2)*y(1); retval(2)= -9.81 -kSchlange*sqrt(y(1).^2 + y(2)^2)*y(2); endfunction; T=0:delta:tmax; vPunkt=@(y,x) vPunkt2(y,x,kSchlange); V=lsode(vPunkt, [1750*cosd(20);1750*sind(20)], T); subplot(2,2,1); plot(T, V(:,1), T, V(:,2)); xlabel('t[s]'); ylabel('Vx,Vz [m/s]'); legend({'Vx' , 'Vz'}) grid on; RX=cumtrapz(T,V(:,1)); RY=cumtrapz(T,V(:,2)); subplot(2,2,2); plot(T,RX./1000,T,RY./1000); xlabel('t[s]'); ylabel('x, z [km]'); legend({'x' , 'z'}) grid on; subplot(2,2,3); plot(RX./1000,RY./1000); xlabel('x[km]'); ylabel('z[km]'); grid on; Mit Luftwiderstand z.B. cw=1 tmax=70 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55506_leo2MitLuftwiderstand.png Ohne Luftwiderstand cw=0 , tamx=122 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55506_leo2OhneLuftwiderstand.png Je nach Geschmak kann man auch einen anderen DGL-Löser nehmen. \(\endgroup\)
 

 
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