\(\begingroup\)Ein Mathebuch von 1525 für die Praxis des MESSENS (= Konstruierens)
Ein guter Meister versucht seinen Schülern sein Wissen weiter zu geben
und in diesem Sinne schon ist Albrecht Dürers Mathebuch ein Meisterwerk.
Seinerseits versteht sich Albrecht Dürer als Schüler eines großen Meisters, des Euklid,
der wiederum das Wissen vieler anderer Meister seiner Zeit zusammengefasst und geordnet hat.
1482 und dann 1505 als Buch, zwanzig Jahre bevor Dürers Mathebuch erschien, wurden dessen vollständige Elemente in Venedig erstmals gedruckt (ins Lateinische übersetzt bereits 1120).
Albrecht Dürer (Venedigreise 1505/06) war einer der ersten begeisterten Leser, wie man hier am Beginn seines eigenen Buches sieht:
Von Euklid übernimmt Dürer Unterteilungen, wie die in Linien, Ebenen, Körper
oder auch die Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken. Dürer möchte das Wissen Euklids den Jungen vermittteln - auf Deutsch.
Dürer schreibt allerdings ein Buch für die Praxis und muss nichts beweisen.
Er nennt es:
"Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen"
Das was man als Handwerker und Künstler im Alltag gebrauchen kann, ist ihm wichtig.
So finden sich auch Abbildungen von mehrgelenkigen Zirkeln, Winkelmessern und noch komplexeren Werkzeugen zum Messen und Konstruieren darin.
Ein Abschnitt behandelt die Typographie bzw. die geometrische Konstruktion verschiedener Schriftsätze. Muster aus regelmäßigen Vielecken für Täfelungen werden analysiert.
In der Verwendung des Tangens, den Gedanken zur Perspektive, zur Schneckenlinie oder den Netzplänen komplexer Körper und bei seiner Konstruktion des Neunecks
geht Dürer jedoch über Euklid und rein praktische Fragen hinaus.
Dabei können aber auch Erkenntnisse italienischer Meister eingearbeitet sein, bei denen Dürer auf seinen Reisen studierte und die wiederum Erkenntnisse arabischer Mathematiker weitergaben.
Festzuhalten ist jedoch: Künstler und Handwerker haben damals die Mathematik weitergebracht!
Die Schneckenlinie (S. 10-20)
Nach einigen einfachen Linien- und Grundformen beginnt Dürer das Thema der Schneckenlinie.
Zuerst in der Ebene als einfache Linie, dann verdoppelt
und dann zieht er sie hoch in die 3. Dimension. Faszinierend!
(2 dimensional betrachtet läßt Dürer einen Punkt längs des Kreisbogens und der Spirallinie wandern und projiziert die Kosinuslänge entlang einer Bewegungsachse.)
Er beginnt mit Verknüpfungen von Halbkreisen mit abnehmenden Radien. Vorgeführt wird eine spezielle Näherungskonstruktion einer archimedische Spirale (näheres hier) Die senkrechte Linie dient als Maßstab. Die Mittelpunkte der rechten Halbkreise liegen bei 2, die der linken bei 3,5.
Dann beschreibt er die Schneckenlinie in einen Kreis mit 12 radiale Markierungen und einer Unterteilung des Radius in 24 gleiche Teile ein. Durch die in konstanten Winkelschritten abnehmenden Radien entstehen exakte Punkte einer archimedische Spirale.
Die Unterteilung in 24 gleichlange Teile des Radius wird unten in eine Teilung des Kreisbogens umgewandelt und immer länger werdende Tangensdifferenzen bestimmen die Krümmung.
Die Abstände der Spiralpunkte benutzt er für die Wölbung der Schnecke. In jedem Punkt wird ein Bogen durch den letzen und ein kleinerer Bogen durch den folgenden gezogen:
Nach einem kurzen Ausflug über den Bischofsstab und Formen der Natur (Details hier) erweitert er in den Raum. Aus dem Umkreis wird eine Wendeltreppe in Sinusform oder eine Schraubenlinie. Die senkrechte Achse (Länge der Kreislinie?) wird in 12 gleiche Teile eingeteilt (Bogenmaß) und die 12 Kreispunkte entsprechend verschoben.
Dürer erwähnt die Steinmetze, die so Schrauben mit mehreren Umdrehungen machen, mit denen erstaunliche Gewichte gehoben werden können (Seite 20). 2 dimensional betrachtet etabliert Dürer eine eigene Methode Bewegungen in geschlossenen Kurven entlang einer Zeitachse zu projizieren.
Vorher kommt das erste Bild oben, eine konische Spirale, das zur Wendeltreppe noch die innere Schneckenlinie dazunimmt und hier einen Maßstab mit Tangensdifferenzen verwendet.
Zwei wichtige Zusammenhänge erkennt Dürer:
1. Die Beziehung der Schneckenlinie zum Kreis und zum Tangens. (siehe Abu l-Wafa (940-998))
Und die Übertragung der Unendlichkeitsüberlegung von zwei Parallelen auf die Schneckenkrümmung einer "erdachten ewigen" (= unendlichen) Linie (Text S. 29). Weil immer eine Krümmung da ist, wird nie der Punkt in der Mitte erreicht. (Nebenbei zeichnet er hier Freihand eine logarithmische Spirale und erkennt, dass man Kurvenlinien bis ins Unendliche fortsetzen kann. Den Begriff der Unendlichkeit als damals noch religiösen Begriff und als Eigenschaft Gottes konnte man nicht so einfach verwenden! Vgl. auch die zeitgleich entstandene Unendlichkeitsmaschine)
Eine weitere nach Dürers eigenen Worten anders konstruierte gekrümmte Linie beschreibt er auf Seite 22. Eine Viertelkrümmung wird auf einen Halbkreis gedehnt.
Dürer verwendet hier eindeutig Polarkoordinaten und konstruiert eine halbe Herzkurve. Die Länge der Radien liefert die Hilfskonstruktion. Sie betragen 1-cos(x/2). (Vgl. den Artikel hier auf dem matheplanet)
(Herzparkettierungen sind übrigens in Venedig besonders häufig zu finden.)
Insgesamt stellt Dürer exakte Konstruktionen mehrerer gekrümmter Kurven vor und das ist doch sehr erstaunlich!
Auch sein Vorgehen die knickfreie Verbindung von Kreisbögen zu Spiralen oder zu einer Näherungskonstruktion für ein Ei oder eine Ellipse zu verwenden (vgl. Splines-Kurven) ist eine beachtliche Leistung. (Dahinter steht sicher auch das Interesse, Formen der Natur mathematisch zu konstruieren und damit die Gemälde wirklicher und realistischer aussehen zu lassen. Es finden sich auf seinen Gemälden Zirkelspuren und Dürer sieht klar die Beziehung vieler Gesichtsformen zur Ellipse, der Seitenansicht des Kopfes zum Inkreis eines Quadrats oder das Vorkommen von mathematischen Kurven in Landschaftsformen, bei Kleiderfalten oder im Pflanzenreich.)
Drei weitere Beispiele für Dürers Geometrie möchte ich hier noch anfügen. Wie Euklid beschäftigt er sich mit Polygonen und Kegelschnitten und an einigen Stellen verwendet er Koordinaten, um zu konstruieren. Immer geht er sehr systematisch und strukturiert vor.
Polygone
Zuerst stellt Dürer verschiedene Formen/Varianten von Dreiecken und Vierecken dar.
Dann beschreibt er die wichtigsten Konstruktionen von Vielecken bis zum 16 Eck.
Eine von ihm beschriebene näherungsweise Konstruktion des Neunecks findet sich hier zum ersten Mal.
Kegelschnitte
Bei den Kegelschnitten erstaunt die Aufrisstechnik, die man vom technischen Zeichnen kennt. Dürer verwendet sich in Variationen mehrfach. Die Darstellung von Parabel, Hyperbel und Elipse als Kegelschnitte ist hier ebenfalls erstmals belegt:
Im letzten Bild sind besonders die Linien bei der Seitenansicht und der Draufsicht in Beziehung gesetzt, weiter unten auch die zur Frontalsicht.
Auch in Euklids Elemente werden Kegel betrachtet. Aussagen über Kegelschnitte habe ich jedoch dort noch nicht gefunden. (Buch XII über Pi, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel)
Koordinaten
Bei der folgenden Darstellung wird die Positionen einer Projektionslinie am Rahmen markiert und nach dem Umklappen der Bildfläche dort wie mit Koordinaten eingetragen. An anderer Stelle wird durch ein rechtwinkliges Gitter das Objekt betrachtet und auf ein Zeichenblatt mit Gitterlinien skizziert. Auch bei der unten dargestellten Muschellinie verwendet Dürer rechtwinklige Achsen mit Masseinheiten. Dafür entwickelt er ein eigenes Werkzeug zur Projektion von Basispunkten der x-Achse auf eine Kurvenlinie. Und oben wurde schon darauf hingewiesen, dass Dürer bei der Konstruktion der Herzlinie Polarkoordinaten verwendet.
"Dürer berichtet über seine erste Venedigreise 1494/95, dass Jacopo de’ Barbari ihn in die Proportionslehre der Malerei eingeführt habe." (Jacopo de’ Barbari arbeitete später ab 1500 in Nürnberg und hat bereits um 1500 in Venedig einen ersten exakten Stadplan erstellt, der auf einem exakten zweidimensionalen Raster beruhte, das perspektivisch ergänzt wurde.)
Weitere Highlights
Damit es nicht zu lang und langweilig wird, für die Eiligen noch eine kleine Auswahl an Highlights ohne großen Kommentar. Die Entscheidung fiel schwer...
(Diese Figur ist mir ein Rätsel (2D o. 3D), aber schön nachzuzeichnen!)
Eine Muschellinie!!! (siehe Wikipedia: Dürer-Konchoide)
Die Grundlinie bekommt 16 gleiche Abschnitte.
Im 13. wird dieselbe Linie senkrecht aufgerichtet und dann gleiche Zahlen verbunden.
Dürer verwendet hier und an einigen anderen Stellen ein Koordinatensystem und es werden Punkte der x-Achse mittels einer Abbildungsvorschrift auf einem Graphen abgebildet. (Zur Mathematik dieser Darstellung siehe ZUM.dehier im Forum und beim History of Mathematics archive)
Auf dieselbe Weise wie die Muschellinie (Konchoide) ist auch der von Dürer Spinnenlinie genannte Graph konstruiert. Hier bewegt sich der Basispunkt nicht auf der x-Achse sondern auf einer Kreislinie und wird längs einer Geraden, die einen weiteren Kreispunkt enthält um eine konstante Länge verschoben. Jeder Punkt dieser Linie hat auf einer Geraden durch den unteren Kreuzungspunkt denselben Abstand zum Kreisbogen. Die komplette Figur erhält man erst, wenn der Basispunkt den Kreis zweimal durchläuft und dabei das Ende eines gedachten Abstandsstabs von aussen nach innen wechselt. (Spezielle Epizykloide) Dürer konstruiert diese Linie jedoch auf eine andere Weise.
Er läßt hier auf der Kreislinie des inneren Kreises einen etwas größeren Kreis noch einmal abrollen. Bei den mathematischen Basteleien sind beide Konstruktionswege für Konchoide animiert nebeneinander gestellt.
Weiter unten ist ein Konstruktionswerkzeug von Dürer dargestellt,
mit dem sich genau diese Konstruktion leicht bewerkstelligen läßt (Mehrgelenkzirkel)
Ein Diamant aus 20 Dreiecken (Ikosaeder). Die Darstellung vieler komplexer räumlicher Körper mit Netzplan, Seitenansicht und Draufsicht, findet sich so vorher noch nicht.
Wichtig ist auch die Darstellung, der die Körper umhüllenden Kugel bei allen Figuren ab Seite 142.
3D-Konstruktion (Die vertikalen Abstände basieren auf dem Tangens.)
Und diese Figuren kann man mit Kindern einfach nachzeichnen, bemalen, ausschneiden und mit etwas Klebefilm zusammenbauen. (Haus oder Dreieck mit klappbaren Ecken als Malhilfe verwenden.)
Und doch noch zwei Handwerkszeuge:
Der ausgefuchste Zirkel hat Dürer sicher geholfen die Netzpläne ab Seite 142 zu zeichnen und auch die oben erwähnte Konchoide kann man damit sehr gut konstruieren oder die folgenden Kreisfiguren. Zu weiteren Werkzeugen sollte man sich seine ganze Serie an Winkelmessern ab Seite 109 und die anderen Konstruktionswerkzeuge im Buch ansehen.
Dieses eingenartige Instrument beschreibt Dürer zusammen mit anderen Werkzeugen zur Konstruktion von Schlangenlinien. Es lassen sich damit sehr gut Fibonaccispiralen aus Viertelkreisen mit zunehmenden Radien zeichnen.
Er fordert in diesem Zusammenhang seine Leser ausdrücklich auf, sich nach Bedarf selbst weitere "Instrumente" zu bauen oder die von ihm dargestellten mannigfaltig zu modifizieren!
Entstehungszeit und Wirkungsgeschichte
Neben Euklids Elementen sind hier als Vorläufer noch die Werkmeisterbücher zu nennen und besonders das deutlich kürzere Traktat Geometria Deutsch (1487/88) von Matthäus Roritzer. Die 10 Bände des römischen Architekten Vitruv waren Dürer ebenfalls (zumindest indirekt) bekannt.
Wahrscheinlich kannte er auch die Arbeiten der italienischen Künstler Filippo Brunelleschi und Masaccio, die als Begründer der mathematischen Perspektivenlehre gelten. (s. a. Giotto di Bondone)
Interessant ist, dass Dürer den Bereich der Arithmetik nicht erwähnt, obwohl er mehrfach die neuen indisch-arabische Ziffern verwendet (siehe besonders die Darstellung der Quadratzahlen und 3. Potenzen auf Seite 50). Hier gab es bereits die Rechenbücher der Rechenmeister, die private Rechenschulen betrieben und so das Defizit der öffentlichen Schulen in diesem Bereich ausglichen. (Siehe das Bamberger Rechenbuch von 1483 des Nürnberger Rechenmeisters Ulrich Wagner und das Manuscript "Coß" (=Variable) von Adam Ries 1524)
1525 waren gerade die Bauernkriege blutig niedergeschlagen. Dürer (54 Jahre alt) war wahrscheinlich schon an Malaria erkrannt und gleichzeitig auf der Höhe seines Ruhms. Luther und Erasmus von Rotterdam stritten sich über den freien Willen oder den geknechteten Willen (s.a. Wikipedia: freier Wille).
Albrecht Dürer nimmt zumindest den Bauernkrieg auf
und setzt ihnen in seinem Mathebuch ein Denkmal. (Im Text auf Seite 101 wird allerdings von einem Vorschlag gesprochen, dem Sieg über die Bauern ein Denkmal zu setzen.)
Bei den Netzplänen fällt der einer Kugel mit Längs- und Breitengraden auf. ("Nürnberg war zu jener Zeit das erste große Zentrum der Globenherstellung in Europa" Wikipedia: Globus) Erst vor kurzem wurde ein weiteres Exemplar der ältesten Weltkarten von Martin Waldseemüller (ca. 1470 - 1520) gefunden, die er als Segmentkarte 1507 zusammen mit Matthias Ringmann veröffentlichte. Sie lässt sich zu einem Globus falten und verwendet die unten von Dürer dargestellte Abwicklung der Kugel.
Über die Verbreitung und die Wirkungen von Dürers Handbuch ist weniger bekannt. Kepler hat es sehr wahrscheinlich gelesen und "seine Behandlung der allgemeinen Theorie der Vielecke und Vielflächner" könnte eine Weiterführung der Darstellungen Dürers und seiner Vorgänger sein.
Als Volksbuch hat Dürers Lehrwerk des Konstruierens selbst leider keine größere Verbreitung erlangt. Teile seines Werkes wurden jedoch von zahlreichen Autoren in ihren Lehrbüchern verarbeitet. (Quelle)
Das sehr bekannte Handwerkerlehrbuch zur zeichnerischen Perspektive von Heinrich Lautensack von 1564 greift deutlich auf Dürer zurück. (siehe auch den Nürnberger Goldschmied Wenzel Jamnitzer, der mit seinem Buch 1568 "Perspectiva Corporum Regularium" Dürers Arbeiten fortführt)
In Italien wurde sein Geometriebuch durch Cosimo Bartoli 1564 (Venedig) ins Lateinische übersetzt und Dürer sofort und kontinuierlich als bedeutender Mathematiker anerkannt.
(Vergleiche hierzu die Ergebnisse der neueren DürerforschungDer berechnende Dürer (Konferenz 2008))
Drucktechnik, Übersetzungen und Nachdrucke
Zur damaligen Zeit ein solches Werk mit einem Ineinander von Grafik und Text zu produzieren, war nicht einfach. Dürer verwendet nicht die Technik der Kupferstichs, da sie sich als Tiefdruck nicht mit dem Hochdruck der beweglichen Lettern vertrug. Doch auch im Bereich des Holzschnitts war A. Dürer ein Meister.
Seine Druckplatten wurden nach seinem Tod von dem Verleger und Karthograph Johannes Janssonius in Amsterdam aufgekauft. Dieser druckte auch die lateinische Übersetzung des Joachim Camerarius von 1532 (?unklare Angabe bei Wikipedia?).
Im Jahr 1606 wurde Dürers Mathebuch letztmalig dort gemeinsam mit seiner Befestigungslehre nachgedruckt. (Quelle)
1908 erfolgte ein Retrodruck von A Peltzer, nachdem durch die Arbeit von Ludwig Justi die mathematischen Leistungen Dürers wieder mehr Beachtung fanden.
Geschrieben für die Praxis des MESSENS oder Konstruierens. Wichtige Inhalte der Elemente des Euklid werden hier ins Deutsch übertragen und weitergeführt.
\(\begingroup\)Hallo Allerseits,
es fehlt noch diese Spinnenlinie (Pascalsche Schneckenlinie) von Seite 42 oder der Globus von Seite 147 (Dürer hat 1515 an einer Weltkarte mitgewirkt.)
Leider kann ich in den nächsten Tagen nicht mehr hier weiterarbeiten.
Wer hier etwas umschreiben und ändern will - gerne. Das ist nur ein kleiner Entwurf und Anstoss.
Viele Grüße und viel Spass bei weiteren Entdeckungen in diesem alten Buch!
Hans
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Hans,
sehr schön, daß Du uns dieses Buch des großen Malers und Zeichners vorstellst, in dem er seinen Lesern auch als Mathematiker gegenübertritt.
Herzlichen Gruß,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Hans,
Aeltere gedruckte deutschsprachige Mathematikbuecher sind das "Bamberger Rechenbuch" von 1483 und z.B. das vielfach nachgedruckte und einflussreiche "zweite Rechenbuch" von Adam Ries, Erstauflage 1522.
Duerers "Unterweisung der Messung" ist ein bemerkens- und bewundernswertes Buch, aber nicht wirklich ein popularisierter Euklid.
Vom bis heute gueltigen wissenschaftlich-mathematischen Gehalt der "Elemente" des Euklid (eigtl. Eukleides) findet man bei Duerer nichts.
Auch die Rechenbuecher von Adam Ries enthalten keine wissenschaftliche Mathematik im Sinne Euklids, sondern im wesentlichen mathematische "Kochrezepte" und durchgerechnete Beispiele, um moeglichst vielen Menschen praktische Rechenfertigkeiten zu vermitteln. Letzteres ist das grosse Verdienst von Ries.
Duerer ging es um die kuenstlerische Gestaltung zB von Buchstaben auf der Basis geometrischer Konstruktion. Auch seine ebenso beruehmten "Vier Buecher von menschlicher Proportion" (1528) zeigen seine positive Einstellung zu mathematischen Methoden: Bei eine Vielzahl von gezeichneten menschlichen Koerpern erfasst er alle moeglichen Laengen durch konkrete Zahlenangaben.
Beste Gruesse
Edgar Wermuth
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Edgar,
das mit dem ersten deutschen Mathebuch habe ich inzwischen weitgehend korrigiert und Hinweise zu anderen Mathematikbüchern dieser Zeit eingebaut.
Ob man vom mathematischen Gehalt der Elemente bei Dürer nichts findet, möchte ich noch genauer prüfen.
Ich ergänze demnächst noch den Bereich über die Konstruktion verschiedener Polygone und würde dann gerne die Inhalte beider Bücher nebeneinander stellen.
Heute habe ich mal noch die Spinnenlinie als Fortführung der Muschellinie eingebaut.
Da in Dürers Schulbildung Rechnen nicht vorkam, hat er einen anderen Zugang zur Mathematik.
Viele Grüße
Hans Hufnagel
\(\endgroup\)
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Von Euklid übernimmt Dürer Unterteilungen, wie die in Linien, Ebenen, Körper
oder auch die Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken. Dürer möchte das Wissen Euklids den Jungen vermittteln - auf Deutsch.
Dürer schreibt allerdings ein Buch für die Praxis und muss nichts beweisen.
Er nennt es:
"Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen"
Das was man als Handwerker und Künstler im Alltag gebrauchen kann, ist ihm wichtig.
So finden sich auch Abbildungen von mehrgelenkigen Zirkeln, Winkelmessern und noch komplexeren Werkzeugen zum Messen und Konstruieren darin.
Ein Abschnitt behandelt die Typographie bzw. die geometrische Konstruktion verschiedener Schriftsätze. Muster aus regelmäßigen Vielecken für Täfelungen werden analysiert.
In der Verwendung des Tangens, den Gedanken zur Perspektive, zur Schneckenlinie oder den Netzplänen komplexer Körper und bei seiner Konstruktion des Neunecks
geht Dürer jedoch über Euklid und rein praktische Fragen hinaus.
Dabei können aber auch Erkenntnisse italienischer Meister eingearbeitet sein, bei denen Dürer auf seinen Reisen studierte und die wiederum Erkenntnisse arabischer Mathematiker weitergaben.
Festzuhalten ist jedoch: Künstler und Handwerker haben damals die Mathematik weitergebracht!
Er beginnt mit Verknüpfungen von Halbkreisen mit abnehmenden Radien. Vorgeführt wird eine spezielle Näherungskonstruktion 
Dann beschreibt er die Schneckenlinie in einen Kreis mit 12 radiale Markierungen und einer Unterteilung des Radius in 24 gleiche Teile ein. Durch die in konstanten Winkelschritten abnehmenden Radien entstehen exakte Punkte einer archimedische Spirale.
Die Unterteilung in 24 gleichlange Teile des Radius wird unten in eine Teilung des Kreisbogens umgewandelt und immer länger werdende Tangensdifferenzen bestimmen die Krümmung.
Die Abstände der Spiralpunkte benutzt er für die Wölbung der Schnecke. In jedem Punkt wird ein Bogen durch den letzen und ein kleinerer Bogen durch den folgenden gezogen:
Nach einem kurzen Ausflug über den Bischofsstab und Formen der Natur (Details 
Vorher kommt das erste Bild oben, eine konische Spirale, das zur Wendeltreppe noch die innere Schneckenlinie dazunimmt und hier einen Maßstab mit Tangensdifferenzen verwendet.
Zwei wichtige Zusammenhänge erkennt Dürer:
1. Die Beziehung der Schneckenlinie zum Kreis und zum Tangens. (siehe 
Und die Übertragung der Unendlichkeitsüberlegung von zwei Parallelen auf die Schneckenkrümmung einer "erdachten ewigen" (= unendlichen) Linie (Text S. 29). Weil immer eine Krümmung da ist, wird nie der Punkt in der Mitte erreicht. (Nebenbei zeichnet er hier Freihand eine logarithmische Spirale und erkennt, dass man Kurvenlinien bis ins Unendliche fortsetzen kann. Den Begriff der Unendlichkeit als damals noch religiösen Begriff und als Eigenschaft Gottes konnte man nicht so einfach verwenden! Vgl. auch die zeitgleich entstandene 
Eine weitere nach Dürers eigenen Worten anders konstruierte gekrümmte Linie beschreibt er auf Seite 22. Eine Viertelkrümmung wird auf einen Halbkreis gedehnt.
Dürer verwendet hier eindeutig 
Insgesamt stellt Dürer exakte Konstruktionen mehrerer gekrümmter Kurven vor und das ist doch sehr erstaunlich!
Auch sein Vorgehen die knickfreie Verbindung von Kreisbögen zu Spiralen oder zu einer 
Dann beschreibt er die wichtigsten 
Eine von ihm beschriebene 
Im letzten Bild sind besonders die Linien bei der Seitenansicht und der Draufsicht in Beziehung gesetzt, weiter unten auch die zur Frontalsicht.
Auch in 
Eine Muschellinie!!! (siehe 
Auf dieselbe Weise wie die Muschellinie (
Ein Diamant aus 20 Dreiecken (
3D-Konstruktion (Die vertikalen Abstände basieren auf dem Tangens.)
Und diese Figuren kann man mit Kindern einfach nachzeichnen, bemalen, ausschneiden und mit etwas Klebefilm zusammenbauen. (Haus oder Dreieck mit klappbaren Ecken als Malhilfe verwenden.)
Und doch noch zwei Handwerkszeuge:
Der ausgefuchste Zirkel hat Dürer sicher geholfen die Netzpläne ab Seite 142 zu zeichnen und auch die oben erwähnte Konchoide kann man damit sehr gut konstruieren oder die folgenden Kreisfiguren. Zu weiteren Werkzeugen sollte man sich seine ganze Serie an Winkelmessern ab Seite 109 und die anderen Konstruktionswerkzeuge im Buch ansehen.
Dieses eingenartige Instrument beschreibt Dürer zusammen mit anderen Werkzeugen zur Konstruktion von Schlangenlinien. Es lassen sich damit sehr gut 
1525 waren gerade die Bauernkriege blutig niedergeschlagen. Dürer (54 Jahre alt) war wahrscheinlich schon an Malaria erkrannt und gleichzeitig auf der Höhe seines Ruhms. 
Bei den Netzplänen fällt der einer Kugel mit Längs- und Breitengraden auf. ("Nürnberg war zu jener Zeit das erste große Zentrum der Globenherstellung in Europa" 
Über die Verbreitung und die Wirkungen von Dürers Handbuch ist weniger bekannt. 
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