Mathematik: Die Pseudosphäre
Released by matroid on Di. 16. Juli 2013 14:05:43 [Statistics]
Written by shadowking - 3156 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\) \textbf{\huge{Signore Beltramis Pseudosphäre}} Pseudosphäre 1. Motivation Wir wollen uns einmal Gedanken machen über die Geometrie zweidimensionaler Hyperflächen im \mathbb{R}^3 und deren Krümmung. Die Situation ist ein wenig verwickelter als im eindimensionalen Fall. Krümmung im Zweidimensionalen ist nicht einfach eine Größe, die man in Abhängigkeit vom Parameter "Bogenlänge" angeben könnte, sondern im Grunde ein Paar von Größen, die beide Funktionen der beiden Laufparameter der Fläche sind. Ziel dieses Artikels soll die mathematische Entwicklung der ersten und zweiten Fundamentalform der Flächentheorie, die Definition der Begriffe Hauptkrümmung und Hauptkrümmungsrichtung, geodätische Krümmung und Normalkrümmung, der drei Krümmungstypen von Punkten und Flächen, der Gaußschen Krümmung und der mittleren Krümmung sowie die Klassifikation und Konstruktion von Flächen konstanter Gaußscher Krümmung sein, wobei wir uns auf rotationssymmetrische Flächen beschränken wollen. Für positive Gaußsche Krümmung ergeben sich bekanntermaßen Kugeln, für verschwindende Krümmung die in die Ebene abwickelbaren Flächen Zylinder und Kegel sowie die Ebene selbst. Bis ins späte 19. Jahrhundert kannte man keine weitere Fläche mit dieser Eigenschaft, doch dann konstruierte Eugenio Beltrami eine Fläche mit konstanter negativer Gaußscher Krümmung, die seitdem Pseudosphäre genannt wird.

Die Spezielle Relativitätstheorie: Zusammenhang von Differentialgeometrie und Kosmologie Im Eindimensionalen ist der Begriff der Krümmung durch den Schmiegekreis motiviert, der eine Kurve in einem Punkt möglichst eng berührt. Der Kehrwert von dessen Radius definiert die Krümmung einer Kurve. Das Ziel der Differentialgeometrie ist, grob gesagt, in der Beschreibung von Mannigfaltigkeiten von der Einbettung dieser Struktur in den umgebenden Raum wegzukommen und sie durch Parameter zu beschreiben, die auch von Wesen erkannt werden können, die innerhalb der Struktur leben. Die Allgemeine Relativitätstheorie baut auf dem Gedanken auf, daß die vierdimensionale Raumzeit in irgendeiner Weise "gekrümmt" sei. Hypothetische weitere Raumdimensionen, in welche diese Krümmung bei naiver Vorstellung erfolgen müßte, können aber von uns als Wesen, die innerhalb der vierdimensionalen Raumzeit leben, sich in ihr entwickelt haben und an sie mit Sinnen und Verstand angepaßt sind, nicht wissenschaftlich untersucht werden, weshalb sich die Kosmologie darauf beschränken muß, die Krümmungsphänomene aus Längenmessungen und der Gestalt geodätischer Linien zu erschließen. Elektromagnetische Strahlung wie Röntgenstrahlung und sichtbares Licht erreicht den Beobachter, da sie sich von jedem erreichten Punkt in alle Richtungen gleichzeitig weiterpropagiert, stets entlang geodätischer Linien, d.h. auf dem kürzestmöglichen Weg. Ist eine Mannigfaltigkeit flach, so sind die geodätischen Linien in ihr stets Geraden und die Winkelsumme in einem aus geodätischen Linien gebildeten Dreieck ist immer \pi oder 180°. Das muß nicht heißen, daß sie vom Standpunkt des Raumes, in den sie eingebettet ist, tatsächlich flach ist; so würden Käfer, die in einem zweidimensionalen Blatt Papier leben, nicht unterscheiden können, ob dieses Blatt Papier plan auf einer Tischplatte liegt oder ob ihre Welt zu einem Zylinder aufgerollt ist, denn innerhalb der Zylinderoberfläche sind sowohl die kürzesten Linien zwischen Punkten als auch die Winkel zwischen diesen identisch mit ihren Entsprechungen in einer Ebene. Käfer, die statt dessen in einer Kugeloberfläche zu Hause sind, könnten anhand ihrer Trigonometrie feststellen, daß die Winkelsumme in Dreiecken umso mehr nach oben von \pi abweicht, je länger deren geodätische Seiten sind, und könnten dadurch auf die sphärische Gekrümmtheit ihrer Welt schließen. In ähnlicher Lage befindet sich auch der Kosmologe. Wenn sich unter dem Einfluß eines Objekts großer Masse eine Sternposition scheinbar verschiebt, so erklärt die Allgemeine Relativitätstheorie das damit, daß das vierdimensionale Raumzeitkontinuum bedingt durch die Anwesenheit der großen Masse gekrümmt wird und die geodätischen Linien nicht mehr Geraden sind, sondern z.B. Hyperbeln. Die hochpräzisen Atomuhren an Bord der Satelliten, auf die das Global Positioning System (GPS) gestützt ist, mußten um einige Millionstel Sekunden pro Tag langsamer getaktet werden, da auch der Zeitablauf dieser Krümmung durch die Erdmasse unterliegt und die Zeit im Orbit dieser Satelliten um diesen Faktor schneller verstreicht als auf der Erdoberfläche.*) *) Genaugenommen liegen in diesem Fall sogar zwei einander entgegengerichtete relativistische Effekte vor: ein allgemein-relativistischer und ein speziell-relativistischer. Da die Satelliten nicht auf geostationären Umlaufbahnen umlaufen, sondern in durchschnittlich 20.200 km Höhe, haben sie relativ zum Erdboden eine Relativgeschwindigkeit v, die ihren Zeitablauf gemäß trel = t0⋅√(1-/) verlangsamt. Der allgemein-relativistische Effekt einer in großer Höhe schneller verstreichenden Zeit ist aber bis zu sechsmal stärker und macht die speziell-relativistische Zeitdilatation aber mehr als wett; siehe hier.
2. Die erste Fundamentalform Der Anschauungsraum \mathbb{R}^3 sei wie üblich mit dem Standardskalarprodukt \langle \; , \; \rangle und der durch die Euklidische Norm \| \; \| erzeugten Metrik versehen. Sei also eine Fläche R \subset \mathbb{R}^3 gegeben durch die Abbildung \vec{r} : U \subseteq \mathbb{R}^2 \, \rightarrow \, \mathbb{R}^3, \: \: \vec{r}(u,v) \, = \, \left(r_1(u,v),r_2(u,v),r_3(u,v)\right), wobei die r_i mindestens zweimal stetig differenzierbar sein sollen. Wenn man einen der Parameter u und v variiert und den jeweils anderen festhält, entstehen in R zwei Kurvenscharen. Interessant sind daran die Tangentenvektoren \vec{r}_u und \vec{r}_v. Die Fläche R heißt regulär, wenn in jedem Punkt p \in R die beiden Tangentenvektoren \vec{r}_u, \vec{r}_v nicht kollinear sind, was im folgenden vorausgesetzt sei. Eine Kurve \vec{\gamma} in R ist gegeben durch eine weitere Abbildung g : I \subseteq \mathbb{R} \, \rightarrow \, U \subseteq \mathbb{R}^2, \: \: g(s) \, := \, (u(s),v(s)). Von dieser Abbildung soll angenommen sein, daß für jeden Punkt ein Tangentenvektor durch Differenzieren nach dem Parameter s definiert ist. Die Kurve bekommt damit die Gaußsche Darstellung \vec{\gamma}(s) \, := \, \vec{r} \circ g(s) \, = \, (r_1(u(s),v(s)),r_2(u(s),v(s)),r_3(u(s),v(s))). Für die "Flächenwesen", die über die Art der Parametrisierung ihrer Welt von außen nichts wissen, sind keine Richtungen in R ausgezeichnet; sie müßten unter den Tangenteneinheitsvektoren in Richtung \zeta = (\cos(\zeta),\sin(\zeta)) willkürlich zwei orthogonale Richtungen als Koordinatenachsen festlegen. Für sie sähe ein Einheitsvektor in Richtung \zeta wie folgt aus: \displaystyle \vec{r}_{\zeta} = \frac{\vec{r}_u\cdot\cos(\zeta)+\vec{r}_v\cdot\sin(\zeta)}{\| \vec{r}_u\cdot\cos(\zeta)+\vec{r}_v\cdot\sin(\zeta)\|} Für zwei nach ihrer Bogenlänge s bzw. t parametrisierte Kurven \vec{\phi}, \, \vec{\psi} in ihrem Koordinatensystem würden sie den Schnittwinkel \alpha der Tangentenvektoren mittels \cos(\alpha(\vec{\phi},\vec{\psi})) \, := \, \langle\frac{d\vec{\phi}(s)}{ds},\frac{d\vec{\psi}(t)}{dt}\rangle bestimmen. Für Außenstehende, die die Parametrisierung von R kennen, sind die Kurven \vec{\phi}, \, \vec{\psi} durch zwei zweimal stetig differenzierbare Abbildungen g, h : I \subseteq \mathbb{R} \, \rightarrow \, U \subseteq \mathbb{R}^2, \: \: s \, \mapsto \, g(s), \: \: t \, \mapsto \, h(t) repräsentiert, so daß wir \alpha(\vec{\phi},\vec{\psi}) als \displaystyle \cos(\alpha(\vec{\phi},\vec{\psi})) \, = \, \frac{\langle\frac{d(\vec{r} \circ g)}{ds},\frac{d(\vec{r} \circ h)}{dt}\rangle}{\sqrt{\langle\frac{d(\vec{r} \circ g)}{ds},\frac{d(\vec{r} \circ g)}{ds}\rangle \cdot \langle\frac{d(\vec{r} \circ h)}{dt},\frac{d(\vec{r} \circ h)}{dt}\rangle}} zu bestimmen hätten. Zunächst sind allerdings für uns die Einheitsvektoren interessant, die durch Variation der Parameter u und v ausgezeichnet sind: \vec{r}_1 = \frac{\vec{r}_u}{\sqrt{\langle\vec{r}_u,\vec{r}_u\rangle}}, \vec{r}_2 = \frac{\vec{r}_v}{\sqrt{\langle\vec{r}_v,\vec{r}_v\rangle}}, zudem der Winkel \beta zwischen diesen beiden Tangentenvektoren, der durch \displaystyle \cos(\beta(u,v)) = \langle\vec{r}_1,\vec{r}_2\rangle = \frac{\langle\vec{r}_u,\vec{r}_v\rangle}{\sqrt{\langle\vec{r}_u,\vec{r}_u\rangle \langle\vec{r}_v,\vec{r}_v\rangle}} charakterisiert ist. Aufgrund der Regularität von R kann \beta nicht Null werden. Ist für jeden Flächenpunkt \beta(u,v) = \pi, so liegt eine orthogonale Parametrisierung vor. Führt man das Vektorprodukt auf \mathbb{R}^3 ein, so ist die Berechnung von Flächeninhalten in R möglich: bekanntlich entspricht der Betrag des Vektorprodukts dem Flächeninhalt des von seinen Faktoren aufgespannten Parallelogramms. Infinitesimale Aufsummierung über einen Teil des Parameterbereichs liefert also den Flächeninhalt des durch diesen Bereich definierten Teils von R. Die Gaußsche Abbildung \mathfrak{n} : R \, \rightarrow \, S^2 ordnet jedem Punkt p der Fläche R seinen Normaleneinheitsvektor zu, den man natürlich durch Normieren von \vec{r}_u \times \vec{r}_v erhält: \begin{aligned} \mathfrak{n}(p(u,v)) &= \frac{\vec{r}_u(p) \times \vec{r}_v(p)}{\sqrt{\langle\vec{r}_u(p) \times \vec{r}_v(p), \vec{r}_u(p) \times \vec{r}_v(p) \rangle}} \\ &= \frac{\vec{r}_u(p) \times \vec{r}_v(p)}{\sqrt{\langle\vec{r}_u(p),\vec{r}_u(p)\rangle\langle\vec{r}_v(p),\vec{r}_v(p)\rangle-\langle\vec{r}_u(p),\vec{r}_v(p)\rangle^2}} \end{aligned} Alle diese Dinge fließen in die erste Fundamentalform ein, deren Koeffizienten E, F und G wir nun definieren: \displaystyle E \, := \, \langle\vec{r}_u,\vec{r}_u\rangle, \displaystyle F \, := \, \langle\vec{r}_u,\vec{r}_v\rangle, \displaystyle G \, := \, \langle\vec{r}_v,\vec{r}_v\rangle. Da er häufig auftaucht, bezeichnet man den Ausdruck EG-F^2 als die Diskriminante der ersten Fundamentalform der Fläche R. Als Betragsquadrat des Normalenvektors \vec{r}_u \times \vec{r}_v ist die Diskriminante echt positiv und kann nicht Null werden. Alle Funktionen, die durch diese drei Koeffizienten sowie ihre partiellen Ableitungen dargestellt werden können, gehören zur inneren Geometrie der Fläche R. Die "Bewohnerschaft" von R kann durch Abstands- und Winkelmessungen in ihrer Welt alle Funktionen der inneren Geometrie ebensogut berechnen wie wir Außenstehenden. Es gibt aber auch solche Eigenschaften, die ihnen verborgen bleiben, und für diese hat man die zweite Fundamentalform. Welche Krümmungseigenschaften zur inneren Geometrie von Flächen gehören und welche nicht, werden wir im nächsten Abschnitt erörtern.
3. Zweite Fundamentalform, verschiedene Begriffe zur Krümmung, Theorema egregium Um über die Krümmungseigenschaften von R etwas aussagen zu können, werden die zweiten Ableitungen nach u, v sowie die gemischte Ableitung nach beiden benötigt. Bei ersteren beiden handelt es sich um Vektoren, die, wenn sich ein Punkt in R gemäß der Parametrisierung bewegen würde, in Betrag und Richtung den die Richtungsänderung bewirkenden Kräften proportional sind. Wir beziehen diese Vektoren auf die Flächennormale, indem wir jeweils das Skalarprodukt mit dem Normaleneinheitsvektor bilden, und erhalten die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform \displaystyle L := \langle \vec{r}_{uu} , \mathfrak{n}(p(u,v)) \rangle = \frac{\vec{r}_{uu} \vec{r}_u\vec{r}_v}{\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|}, \displaystyle M := \langle \vec{r}_{uv} , \mathfrak{n}(p(u,v)) \rangle = \frac{\vec{r}_{uv} \vec{r}_u\vec{r}_v}{\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|}, \displaystyle N := \langle \vec{r}_{vv} , \mathfrak{n}(p(u,v)) \rangle = \frac{\vec{r}_{vv} \vec{r}_u\vec{r}_v}{\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|}. Das dreistellige Produkt ist dabei als Spatprodukt zu verstehen: \vec{a}\vec{b}\vec{c} := \langle \vec{a}, \vec{b} \times \vec{c}\rangle In Matrixform \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) geschrieben, kann man die zweite Fundamentalform als eine Art Hesse-Matrix auffassen. Da sie symmetrisch ist, hat sie zwei reelle Eigenwerte. Man unterscheidet nach \det\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array}\right) = LN-M^2 drei Fälle (wegen der Transformationseigenschaften wird oft der Begriff Diskriminante statt Determinante bevorzugt): a) LN-M^2 > 0 Es liegt elliptische Krümmung vor, die Eigenwerte sind entweder beide positiv oder beide negativ. Falls die Eigenwerte gleich sind, ist keine Krümmungsrichtung ausgezeichnet, da die Krümmung in jeder Richtung gleich ist. Solche Punkte heißen Nabelpunkte. Eine Kugeloberfläche z.B. ist elliptisch gekrümmt und besteht ausschließlich aus Nabelpunkten. Falls die Eigenwerte nicht gleich sind, sind die dazugehörigen Eigenvektoren als Richtung stärkster Krümmung und Richtung geringster Krümmung ausgezeichnet und heißen beide Hauptkrümmungsrichtungen. Die Beträge dieser beiden Krümmungen sind die Hauptkrümmungen; wir bezeichnen sie im folgenden mit k_1, k_2. Die beiden Hauptkrümmungsrichtungen stehen immer orthogonal aufeinander. Die Punkte einer Fläche mit elliptischer Krümmung heißen elliptische Punkte, Flächen, deren Punkte alle elliptische sind, nennt man elliptisch. b) LN-M^2 = 0 Es liegt parabolische Krümmung vor, da einer der beiden Eigenwerte Null wird und entlang der Richtung von dessen Eigenvektor die Fläche ungekrümmt ist. Lokal kann man sich die Fläche in einem solchen Punkt wie das aufgerollte Blatt Papier vorstellen. Man sagt, die Fläche sei in diesem Punkt parabolisch. Ist eine Fläche überall parabolisch, so ist sie in die Ebene abwickelbar. Bei der Abwicklung bleiben Abstände, Winkel und geodätische Linien sämtlich erhalten. Sind sogar beide Eigenwerte Null, so heißt ein solcher Punkt Flachpunkt. Ist dies an jedem Punkt von R der Fall, so liegt eine Ebene vor. c) LN-M^2 < 0 In diesem Fall spricht man von hyperbolischer Krümmung; die Krümmung ist in der einen Hauptkrümmungsrichtung negativ, in der anderen positiv. Ein Flächenpunkt mit negativer Diskriminante heißt hyperbolischer Punkt oder Sattelpunkt, Flächen, die ausschließlich aus hyperbolischen Punkten bestehen, heißen hyperbolisch. Als Beispiele kann man sich einen Paß im Gebirge vorstellen oder auch einen Kühlturm, der die Gestalt eines einschaligen Hyperboloids hat. Kurven in R, Normalkrümmung und geodätische Krümmung Wenn eine Kurve \vec{\gamma} \subset R durch eine zweimal stetig differenzierbare Parametrisierung g : I \subset \mathbb{R} \rightarrow U, g(s) \mapsto (u(s),v(s)) gegeben ist, so kann man den Tangentenvektor \displaystyle \vec{\gamma}_s \, := \, \frac{d(\vec{r} \circ g)}{ds} \, = \, \vec{r}_u \cdot u_s + \vec{r}_v\cdot v_s \: \: , dessen Parameterableitung \displaystyle \vec{\gamma}_{ss} \, := \, \frac{d\vec{\gamma}_s}{ds} = \vec{r}_u \cdot u_{ss} + \vec{r}_v \cdot v_{ss} + \vec{r}_{uu} \cdot u_s^2 + 2 \cdot \vec{r}_{uv} \cdot u_s \cdot v_s + \vec{r}_{vv} \cdot v_s^2 sowie den Normalenvektor durch die Parameterableitung des Tangenteneinheitsvektors \displaystyle \vec{n}_{\gamma}(p) \, := \, \frac{d}{ds} \left(\frac{\vec{\gamma}_s}{\|\vec{\gamma}_s\|}\right) \, = \, \frac{\vec{\gamma}_{ss} \cdot \langle\vec{\gamma}_s,\vec{\gamma}_s\rangle - \vec{\gamma}_s \cdot \langle\vec{\gamma}_s,\vec{\gamma}_{ss}\rangle}{\langle\vec{\gamma}_s,\vec{\gamma}_s\rangle^{3/2}} definieren. Man kann sich vorstellen, daß der Tangenten- und der Normalenvektor einer Kurve g, die innerhalb einer Fläche R \subset \mathbb{R}^3 verläuft, eine gewisse Ebene P im \mathbb{R}^3 aufspannen, so daß die Kurve \gamma in p mit dem Schnitt P \cap R identisch ist. Bis zur zweiten Ordnung beschreiben diese Größen die Kurve im Punkt p \in R; erst in dritter Ordnung tritt die Torsion hinzu, die die Abweichung von \vec{\gamma} von diesem Ebenenschnitt mißt. Der Normalenvektor \vec{n}_{\gamma}(p) einer Kurve \gamma in R kann erheblich vom Normaleneinheitsvektor \mathfrak{n}(p) der Fläche abweichen, so daß man ihn in eine Komponente in Richtung der Flächennormalen und eine in Richtung der Tangentialebene aufspaltet. Der Betrag der ersteren Komponente heißt Normalkrümmung, derjenige der letzteren geodätische Krümmung. Während die geodätische Krümmung eine Eigenschaft der inneren Geometrie von R ist, ist es die Normalkrümmung nicht. Um das zu plausibilisieren, stellen wir uns vor, daß wir in einem Punkt p \in R die Flächennormale bestimmen, durch diese eine Ebene legen und diese um die Normale rotieren. Dadurch entsteht eine Schar von Kurven innerhalb R, die sämtliche in p vorkommenden Normalenkrümmungen aufweisen. Z.B. treten in einem Punkt des Kreiszylinders mit Radius \rho alle Krümmungen zwischen 0 (entlang der Zylinderachse) und \frac{1}{\rho} (senkrecht dazu) auf. Für die Flächenwesen ist diese Zylindermantelfläche allerdings flach wie eine Ebene, und welche Formel sie auch immer für die Normalkrümmung hätten, sie würden damit nur ein einziges Ergebnis erhalten. Mit der Normalkrümmung haben wir eine Funktion gefunden, die nicht von der inneren Geometrie von R erfaßt wird und durch die Koeffizienten der ersten Fundamentalform allein nicht ausgedrückt werden kann. Allerdings sind die Kurven geringster Distanz zwischen Punkten in R, die geodätischen Linien, dadurch ausgezeichnet, daß ihre geodätische Krümmung in jedem Punkt verschwindet. Die geodätische Krümmung beschreibt gewissermaßen "vermeidbare Umwege" innerhalb der Tangentialebene, während der Umweg, der in Richtung der Flächennormalen gekrümmt ist, nicht vermeidbar oder abkürzbar ist. Das kann man sich gut plausibel machen, indem man sich denkt, sie würde in einem Punkt nicht verschwinden: dann könnte man lokal die Kurve durch den Schnitt mit einer Ebene ersetzen, die mit dem Flächennormalenvektor einen kleineren Winkel bildet, nahe beieinander liegende Punkte genauso verbindet, dabei aber kleinere geodätische Krümmung und kleinere infinitesimale Länge hat. Eine geodätische Linie in R besitzt demnach in jedem Punkt p eine Kurvennormale, die zur Flächennormalen \mathfrak{n}(p) kollinear ist. Diese geodätischen Linien können von der Bewohnerschaft von R auch gefunden werden, ebenso wie wir geodätische Linien in unserer Raumzeit auffinden können. Um eine Aussage über die Krümmung zu machen, die nicht mehr von den Richtungen der Parametrisierung abhängig, sondern eine Eigenschaft allein des Flächenpunktes ist, muß man die Diskriminante der zweiten Fundamentalform zu der der ersten in Beziehung setzen. Wir erinnern uns, daß die Wurzel aus der Diskriminante der ersten Fundamentalform den Flächeninhalt eines infinitesimalen Flächenstücks mißt. Die zweite gibt an, wie stark die Normaleneinheitsvektoren auf diesem infinitesimalen Flächenstück auseinanderstreben. Die Krümmung ist umso größer, je größer LN-M^2 und je kleiner EG-F^2 ist, so daß durch den Quotienten \displaystyle K := \frac{LN-M^2}{EG-F^2} die Gaußsche Krümmung definiert ist. In Ausdrücke in den Ableitungen nach den Parametern u und v zurückübersetzt, haben wir \displaystyle K = \frac{\langle\vec{r}_{uu},\vec{r}_u \times \vec{r}_v\rangle\langle\vec{r}_{vv},\vec{r}_u \times \vec{r}_v\rangle-\langle\vec{r}_{uv},\vec{r}_u \times \vec{r}_v\rangle^2}{(\langle\vec{r}_u,\vec{r}_u\rangle\langle\vec{r}_v,\vec{r}_v\rangle-\langle\vec{r}_u,\vec{r}_v\rangle^2)^2}. Gauß' "Theorema egregium" Man kann weiterhin die zweite Fundamentalform, die die Änderung des Normaleneinheitsvektors beschreibt, zur Bogenlänge der Kurven, die entlang der Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen, in Beziehung setzen. Die Abbildung, die dies leistet, ist auf dem Tangentialraum definiert und parametrisiert ihn nach Bogenlänge und orthogonal in Richtung der stärksten und der geringsten Krümmung. Sie heißt Weingartenabbildung; ihre Eigenvektoren sind wieder die Hauptkrümmungsrichtungen, ihre Eigenwerte die beiden Hauptkrümmungen k_1, k_2. Da die Diskriminante der zweiten Fundamentalform das Produkt der Eigenwerte ihrer Matrixdarstellung und die Diskriminante der ersten Fundamentalform das Quadrat des Vektorprodukts von deren Tangentenvektoren - infolge deren Orthogonalität also das Produkt von deren Betragsquadraten - ist, ist die wie oben definierte Gaußsche Krümmung also das Produkt der beiden Hauptkrümmungen: K = k_1 \cdot k_2. Ihr Mittelwert H := \frac{k_1 + k_2}{2}, also die halbe Spur der Weingartenabbildung, heißt mittlere Krümmung. Da die mittlere Krümmung für Punkte auf oben erwähntem Kreiszylinder \frac{1}{2 \cdot \rho} > 0 ist, für Punkte der Ebene, in die dieser abwickelbar ist, allerdings verschwindet, kann H keine Funktion der inneren Geometrie einer Fläche darstellen. Carl Friedrich Gauß hat als erster bewiesen, daß die wie oben definierte Gaußsche Krümmung K hingegen doch eine Funktion der inneren Geometrie von R ist, ihr Betrag also von der zweidimensionalen Bewohnerschaft mittels ihrer "Geodäsie" bestimmt werden kann. Diese Erkenntnis ist, nachdem wir gesehen haben, daß Normalkrümmungen von Kurven innerhalb R nicht zur inneren Geometrie gehören, nicht erwartbar, und Gauß hielt dieses Theorem für so bedeutend, daß er ihm selbst den Namen "herausragend" gab (theorema egregium), der noch heute in allen Sprachen gebraucht wird. Einen Beweis werde ich an dieser Stelle nicht bringen. Will man tatsächlich K aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform berechnen, so geht das mittels der recht komplizierten Formel von Brioschi, die aber unter Zusatzannahmen wie z.B. einer orthogonalen Parametrisierung, wie sie Rotationsflächen kanonisch besitzen, erheblich vereinfacht werden kann.
4. Klassifikation der Rotationsflächen mit konstanter Gaußscher Krümmung Im folgenden werden wir uns auf Rotationsflächen beschränken und von der Gaußschen Krümmung K auf die Gestalt der entsprechenden drehsymmetrischen Fläche schließen. O.B.d.A. seien diese Flächen drehsymmetrisch bzgl. der z-Achse und durch die stetig differenzierbare Parameterkurve (x(u),z(u)) erzeugt, d.h. die Funktion \vec{r}(u,v) nimmt die Gestalt \displaystyle \vec{r}(u,v) = \left( x(u) \cdot \cos(v), x(u) \cdot \sin(v), z(u)\right) an. An die Parameterkurve (x(u),z(u)) können wir noch die Forderung stellen, daß sie bei Variation von u mit Einheitsgeschwindigkeit durchlaufen werde: (\frac{dx}{du})^2 + (\frac{dz}{du})^2 = 1 Die Ableitungen nach u bzw. v lauten damit \vec{r}_u = \left( \frac{dx}{du} \cdot \cos(v), \frac{dx}{du} \cdot \sin(v), \frac{dz}{du}\right) bzw. \vec{r}_v = \left(-x\cdot\sin(v),x\cdot\cos(v),0\right), und die Koeffizienten der ersten Fundamentalform lassen sich damit berechnen als E = 1, \:\:\:\: F = 0, \:\:\:\: G = x^2. Es gilt: \|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\| = \sqrt{EG-F^2} = \left|x\right| Für die zweiten Ableitungen ergeben sich \displaystyle \vec{r}_{uu} = \left(\frac{d^2x}{du^2}\cdot\cos(v),\frac{d^2x}{du^2}\cdot\sin(v),\frac{d^2z}{du^2}\right), \displaystyle \vec{r}_{uv} = \left(-\frac{dx}{du}\cdot\sin(v),\frac{dx}{du}\cdot\cos(v),0\right), \displaystyle \vec{r}_{vv} = \left(-x\cdot\cos(v),-x\cdot\sin(v),0\right). Für die zweite Fundamentalform erhalten wir somit \displaystyle L = \frac{dx}{du}\frac{d^2z}{du^2}-\frac{dz}{du}\frac{d^2x}{du^2}, \:\:\:\: M = 0, \:\:\:\: N = x \cdot \frac{dz}{du} und für die Diskriminante unter Ausnutzung von 0 = \frac{d}{du}\left(\left(\frac{dx}{du}\right)^2+\left(\frac{dz}{du}\right)^2\right) = 2 \cdot \frac{dx}{du} \frac{d^2x}{du^2} \, + \, 2 \cdot \frac{dz}{du} \frac{d^2z}{du^2}, also \frac{dz}{du} \frac{d^2z}{du^2} = -\frac{dx}{du} \frac{d^2x}{du^2}: \begin{aligned} LN-M^2 &= x \cdot \frac{dx}{du}\frac{dz}{du}\frac{d^2z}{du^2} - x \cdot \left(\frac{dz}{du}\right)^2 \frac{d^2x}{du^2} \\ &= x \cdot \frac{dx}{du}\frac{dz}{du}\frac{d^2z}{du^2} - x \cdot \frac{d^2x}{du^2} \cdot \left( 1-\left(\frac{dx}{du}\right)^2\right) \\ &= -x \cdot \left( \frac{dx}{du}\right)^2 \frac{d^2x}{du^2} - x \cdot \frac{d^2x}{du^2} + x \cdot \left( \frac{dx}{du}\right)^2 \frac{d^2x}{du^2} \\ &= -x \cdot \frac{d^2x}{du^2} \end{aligned} Wenn also die Gaußsche Krümmung \diaplaystyle K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = -\frac{x''}{x} = \mathrm{const.} = \kappa, so erhalten wir für die Parametrisierung der x-Koordinate die Differentialgleichung zweiter Ordnung x'' = -\kappa \cdot x. Jetzt sind wir in der Lage, die Rotationsflächen konstanter Gaußscher Krümmung klassifizieren zu können: a) \kappa = 0 Wenn \kappa verschwindet, so auch x'', und es ergibt sich x' = \mathrm{const.} =: c, \left|c\right| < 1 und folglich ist auch z' = \sqrt{1 - c^2} konstant. Die Parameterkurve (x(u),z(u)) ist eine Gerade. Je nach der Steigung m := \frac{z'}{x'} = \frac{\sqrt{1-c^2}}{c} dieser Gerade gibt es drei Unterfälle: aa) m = 0 Eine Ebene senkrecht zur z-Achse. ab) 0 < m < \infty Ein Doppelkreiskegel mit der z-Achse als Achse und dem Öffnungswinkel \arctan(m). ac) m = \infty Ein Kreiszylinder mit der z-Achse als Achse, der im Falle x = 0 mit dieser identisch wird. b) \kappa = \lambda^2 > 0 Dieser Fall führt zur Differentialgleichung x'' = -\lambda^2 \cdot x, die bekanntlich als Lösungen Linearkombinationen aus Sinus- und Kosinusfunktionen besitzt, welche dargestellt werden können als x(u) = A \cdot \sin(\lambda \cdot u + \phi). Die Forderung x'^2 + z'^2 = 1 bewirkt, daß nur für A = \frac{1}{\lambda} sinnvolle Lösungen entstehen; folglich ergibt sich z(u)= \pm\frac{1}{\lambda} \cdot \cos(\lambda \cdot u + \phi) + C. Der positiven Gaußschen Krümmung \kappa = \lambda^2 entspricht also eine Kugel mit Radius \frac{1}{\lambda}, die ggf. entlang der z-Achse um C verschoben ist. Wir schließen daraus - womit wir natürlich rechnen konnten - , daß eine Kugel mit Radius r > 0 an jedem Punkt ihrer Oberfläche die Gaußsche Krümmung \frac{1}{r^2} besitzt. c) \kappa = -\lambda^2 < 0 Dieser Fall erfordert etwas intensivere Betrachtung; er ist derjenige, mit dem man "nicht gerechnet" hatte. Ebenen, Zylinder, Kreiskegel und Kugeln hatte man schon seit der Antike als Flächen mit überall gleicher Krümmung gekannt. Die Lösung für negative Gaußsche Krümmung wurde dagegen erst 1868 von dem italienischen Mathematiker und Physiker Eugenio Beltrami (* 16. November 1835 in Cremona ; † 18. Februar 1900 in Rom) gefunden, als er ein Modell für eine hyperbolische Geometrie konstruierte.
Bild 1: Professor Eugenio Beltrami
5. Die Konstruktion der Pseudosphäre Wegen der Eigenschaft, an jedem Punkt die gleiche, aber negative Krümmung zu haben, gab Beltrami diesem Modell den Namen Pseudosphäre, was soviel heißt wie "scheinbare Kugel" oder "Anscheinkugel". Die Differentialgleichung x'' = \lambda^2 \cdot x läßt sofort an die hyperbolischen Funktionen denken, doch Vorsicht: deren Ableitungen sind unbeschränkt. Eine Lösung mit beschränkter Ableitung ist x(u) = A \cdot \exp(-\lambda \cdot u), wobei wieder A = \frac{1}{\lambda} gewählt wird. Für z(u) ergibt sich die Differentialgleichung \begin{aligned} z'(u) &= \sqrt{1-\left(x'\right)^2} \\ &= \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2\cdot \lambda \cdot u}} \\ &= \sqrt{1-\left(\lambda \cdot x(u)\right)^2}. \end{aligned} Diese Differentialgleichung kann nicht (oder nur ausgesprochen schwierig) in geschlossener Form gelöst werden, aber schließlich geht es hier nur um die Parameterabhängigkeit von z. Abstrahiert man von der konkreten Durchlaufung der Kurve, indem man direkt z von x abhängig macht, so ergibt sich \displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{z'}{x'} = \frac{\sqrt{1-\lambda^2 \cdot x^2}}{x'} = -\frac{\sqrt{1-\lambda^2 \cdot x^2}}{\lambda \cdot x} = -\frac{\sqrt{\frac{1}{\lambda^2}-x^2}}{x}. Die Lösung dieser Gleichung ist bekannt: es ist genau die Gleichung, die man auch aufzustellen hat für das Problem, die Kurve zu finden, welche ein Hund beschreibt, der sich, soweit es die Hundeleine erlaubt, abseits einer geraden Straße aufhält, von seinem Herrchen an der Leine mit konstanter Länge l = \frac{1}{\lambda} die Straße entlang mitgezerrt wird und dabei seine Eigengeschwindigkeit zu minimieren sucht. Diese Bahn y(x) ist dadurch charakterisiert, daß die Tangentensteigung dem negativen Kathetenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck entspricht, wenn die Hypotenuse die Länge der Leine und die senkrechte Kathete die Entfernung des Hundes von der waagerechten Straße ist: y' = -\frac{y}{\sqrt{l^2-y^2}} Da diese Differentialgleichung ebenfalls keiner geschlossenen Lösung fähig ist, erinnern wir uns an den kleinen Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion aus meinem Artikel "Brachistochrone revisited" und bestimmen statt dessen die Umkehrfunktion aus der Gleichung z' = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, welche also nicht nur die Traktrix (Schleppkurve oder auch "Hundekurve") beschreibt, sondern auch die erzeugende Kurve der Pseudosphäre im Fall \lambda = 1. Ist \lambda \neq 1, so ergibt sich eine geometrisch ähnliche Kurve als Lösung, die um den Faktor \frac{1}{\lambda} am Ursprung zentrisch gestreckt ist. Wir wissen schon jetzt: \fbox{\parbox{12.3cm}{\[\mathsf{\, Die \;\, Pseudosphäre \;\, entsteht \;\, durch \;\, eine \;\, Rotation \;\, der \;\, Traktrix \;\, um \;\, ihre \;\, Asymptote.}\] }} \bigskip Nun aber muß noch der exakte Term für die erzeugende Kurve integriert werden. Dazu braucht man eine Stammfunktion von w(x) = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}. Ich wähle auch dazu einen ausgefallenen Weg, nämlich indem ich die Umkehrfunktion x(w) = \frac{1}{\sqrt{w^2+1}} integriere, von der man die Stammfunktion kennt: es ist \displaystyle \int \frac{dw}{\sqrt{w^2+1}} = \mathrm{arsinh}(w) = \ln(w+\sqrt{1+w^2}).
Bild 2: Zur Berechnung der Stammfunktion von f über die Umkehrfunktion f^{-1}. Für monoton fallende Funktionen gilt \begin{aligned} \int_a^b f(x) \, dx \, &= \, \int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(x) \, dx - (f(a)-f(b)) \cdot a + f(b) \cdot (b-a) \\ &= \left[x \cdot f(x)\right]_a^b-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \, dx \, , \end{aligned} was genauso auch für monoton wachsende Funktionen gilt. (Irgendwann schreibe ich mal ein Buch mit dem Titel "Inverse Functionology", wo dann alle meine Tricksereien mit Umkehrfunktionen drinstehen. ;-) ) Nun denn: \begin{aligned} \int_a^b &-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \, dx \, = \, -\int_a^b \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \, dx \\ &= \int_{\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}}^{\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} - \left[x \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]_a^b \\ &= \ln\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}+\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}\right)^2}\right)-\ln\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}+\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\right)^2}\right) \\ &-\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2} \\ &= \ln\left(\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}+\frac{1}{b}\right)-\sqrt{1-b^2} -\left(\ln\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}+\frac{1}{a}\right)-\sqrt{1-a^2}\right) \\ &= \left[\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}\right]_a^b. \end{aligned} Somit lautet die Gleichung für die erzeugende Kurve der Pseudosphäre \displaystyle z(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2} + C.
Bild 3: Die Bahn des geschleppten Hundes (Traktrix) ist identisch mit der erzeugenden Kurve der Pseudosphäre. Man kann sie auch an der waagerechten Ebene spiegeln oder in z-Richtung um C verschieben, wodurch sich, wie man sich leicht überlegt, an der Krümmungseigenschaft nichts ändert. Dadurch erhält man ein Traktrikoid mit zwei Hörnern. Daher hat die Pseudosphäre den alternativen Namen "Traktrikoid". Spiegelt man dieses an der waagerechten Ebene, so geht dadurch die z-Koordinate in -z über, was sich auch auf die Parameterableitungen z_u, z_v überträgt. Das wirkt sich wie folgt auf die Tangenten-und Normalenvektoren aus: Skalarprodukte und Beträge bleiben alle erhalten, somit auch die Koeffizienten der ersten Fundamentalform und deren Diskriminante. In Vektorprodukten wie dem Normalenvektor ändern sich die x- und die y-Koordinate, doch ihre Beträge sind ebenfalls erhalten. Bei Spatprodukten wie den Koeffizienten der zweiten Fundamentalform trifft eine zweite Ableitung mit geänderter z-Koordinate auf ein Vektorprodukt mit geänderten x- und y-Koordinaten, was im Produkt als Ganzem das Vorzeichen umdreht. Doch da in die Diskriminante der zweiten Fundamentalform diese Koeffizienten nur paarweise multipliziert bzw. quadriert eingehen, wirkt sich dies nicht auf K aus. Somit hat der an der waagerechten Ebene gespiegelte Rotationskörper die gleiche Krümmung wie das Original und man kann beide zum zweigehörnten Traktrikoid zusammenfassen. Man beachte dabei aber, daß die Gaußsche Krümmung auf dem Rand undefiniert ist, da für z = 0 die Differenzierbarkeit nach dem Parameter u verlorengeht: Beim Übergang wechselt das Vorzeichen des Tangentenvektors, während der Betrag 1 bleibt. Bevor die Eigenschaft der Pseudosphäre, in jedem Punkt gleiche Gaußsche Krümmung zu besitzen, erkannt wurde, hatte sich mit diesem unendlich ausgedehnten Körper bereits Christiaan Huygens beschäftigt und dabei herausgefunden, daß Oberfläche und Volumen des Traktrikoids endlich sind. (Das ist keine Selbstverständlichkeit, wenn man an Torricellis Trompete denkt, bei der das Volumen endlich, die Oberfläche hingegen unendlich ist.) Wenn man es genau ausrechnet (ich habe das nicht gemacht), so erhält man für die Oberfläche des Traktrikoids 4 \cdot \pi \cdot R^2, was genau der Oberfläche einer Kugel mit gleichem Radius entspricht, und für ihr Volumen \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R^3, was genau der Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius entspricht.
Bild 4: Die Pseudosphäre ist die Rotationsfigur einer Traktrix. In dieser Darstellung hat sie zwei Hörner, die von z = -\infty bis z = +\infty reichen. Quellen: Herbert Meschkowski, Handbuch über die Mathematik, Bibliographisches Institut Mannheim 1967 Guido Walz et al., Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2000 Wikibook zur Differentialgeometrie
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Beltrami :: erste Fundamentalform :: Flächentheorie :: Gauß :: Gaußsche Krümmung :: geodätische Krümmung :: innere Geometrie :: Hauptkrümmung :: mittlere Krümmung :: Normalkrümmung :: Pseudosphäre :: Rotationsflächen :: Theorema egregium :: Weingartenabbildung :: zweite Fundamentalform :
Die Pseudosphäre [von shadowking]  
Verschiedene Krümmungsbegriffe der Flächentheorie. Klassifikation von Rotationsflächen konstanter Gaußscher Krümmung. Konstruktion der Pseudosphäre.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 3156
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 427 externe Seitenaufrufe zwischen 2013.07 und 2021.08 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://google.de20347.5%47.5 %
https://google.de14233.3%33.3 %
http://google.it225.2%5.2 %
http://images.google.de112.6%2.6 %
https://google.com143.3%3.3 %
https://t.co51.2%1.2 %
http://google.com51.2%1.2 %
http://t.co40.9%0.9 %
https://www.bing.com30.7%0.7 %
https://startpage.com30.7%0.7 %
http://avira.search.ask.com30.7%0.7 %
https://www.ecosia.org20.5%0.5 %
http://google.at10.2%0.2 %
https://duckduckgo.com20.5%0.5 %
http://suche.aol.de10.2%0.2 %
http://isearch.nation.com10.2%0.2 %
http://www.bing.com10.2%0.2 %
http://suche.t-online.de10.2%0.2 %
http://suche.gmx.net10.2%0.2 %
http://google.ch10.2%0.2 %
https://metager.de10.2%0.2 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 402 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2018 (160x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (86x)https://google.de/
2020-2021 (40x)https://google.de
201406-06 (22x)http://google.it/url?sa=i&rct=j&q=
202006-06 (16x)https://google.de/url?sa=t
2017-2018 (15x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
2016-2017 (11x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
202010-10 (8x)https://google.com/search?q=Traktrikoid
201402-02 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mittlere krümmung mittelwert normalenkr...
201407-07 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=pseudosphäre
2020-2021 (6x)https://google.com/
201503-03 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAA
202005-11 (5x)https://t.co/rYzdqzbC6M
2016-2019 (4x)http://google.com/search
2013-2014 (4x)http://t.co/rYzdqzbC6M
201312-12 (4x)http://google.de/imgres?tbm=isch&tbnid=p9pdEdLOQcRowM:

[Top of page]

"Mathematik: Die Pseudosphäre" | 14 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Die Pseudosphäre
von: Kofi am: Fr. 19. Juli 2013 13:42:24
\(\begingroup\)Ich sehe übrigens seit Tagen den Artikel nicht. Da ist nur weiße Fläche. Ich weiß nicht, ob das so sein soll...\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: fru am: Fr. 19. Juli 2013 13:48:32
\(\begingroup\)Das soll sicherlich nicht so sein ... ;-), ich sehe alles. \(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: Kofi am: Fr. 19. Juli 2013 23:14:48
\(\begingroup\)Ich habe mehrere Computer ausprobert, keiner zeigt den Artikel korrekt an.\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: Hans-Juergen am: Fr. 19. Juli 2013 23:35:37
\(\begingroup\)Also bei mir ist alles in Ordnung, und den Artikel selbst finde ich sehr anregend. Besonders der Abschnitt "Motivation" gefällt mir; ich habe einiges hinzugelernt. Mit Dank und freundlichem Gruß an Norbert (shadowking), Hans-Jürgen. \(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: shadowking am: Fr. 19. Juli 2013 23:41:02
\(\begingroup\)Kofi, das soll natürlich nicht sein. Ich habe auch keine außergewöhnliche Formatierung verwendet. Kannst Du zum Vergleich den Artikel "Diophantische Gleichungen" von Cluso vom März lesen? Dessen Überschrift ist auch gleich in TeX-Code. Funktioniert die "druckerfreundliche Version"? Falls nein, kannst Du wenigstens die Abschnittsunterteilung sehen und auf "Bearbeiten" klicken, um den Quelltext zu sehen, diesen per Copy&Paste in eine Forumsmaske einfügen und die Vorschau ansehen?\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: cQQkie am: Sa. 20. Juli 2013 00:07:19
\(\begingroup\)Hallo shadowking, bei mir gibts das gleiche Problem wie bei Kofi. Der Artikel von Cluso wird ohne Probleme dargestellt, bei deinem Artikel sehe ich allerdings nur vereinzelte Absätze und dazwischen weiße Flächen (ein Absatz ist beispielsweise noch unter den Kommentaren). Gruß, Cookie\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: mire2 am: Sa. 20. Juli 2013 12:11:14
\(\begingroup\)Hallo zusammen, von meinem Smartphone mit Boat Browser habe ich auch die beschriebenen Anzeigeprobleme, unter Firefox sieht es gut aus. Wenn ich mit dem Boat Browser auf “Druckerfreundliche Version“ gehe, dann wird alles korrekt angezeigt.\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: shadowking am: Sa. 20. Juli 2013 20:26:48
\(\begingroup\)Der Chef ist über diese seltsamen Probleme informiert. Einstweilen habe ich ein pdf angehängt.\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: matroid am: So. 21. Juli 2013 11:58:58
\(\begingroup\)Wie ist es jetzt? Waren Besucher mit Browsern Apple und Chrome betroffen? Der Fehler hängt (hing?) zusammen mit dem Code für Scrollbalken für zu breite Bilder. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: cQQkie am: So. 21. Juli 2013 13:00:38
\(\begingroup\)Hallo Matroid, vielen Dank, bei mir kann man es jetzt problemlos lesen. Und ja, ich habe Chrome benutzt. Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: Kofi am: So. 21. Juli 2013 13:23:41
\(\begingroup\)"Die Allgemeine Relativitätstheorie baut auf dem Gedanken auf, daß die vierdimensionale Raumzeit irgendwie in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sei." Wo hast du denn diesen Unfug her?\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: shadowking am: So. 21. Juli 2013 20:28:22
\(\begingroup\)Wo hast du denn diesen Unfug her? Nirgends, bzw. ist das eine selbstgefundene Formulierung meines Gedankens. Ich weiß nicht, ob man das gleich als "Unfug" bezeichnen muß. Immerhin dürftest Du die Aussage nicht widerlegen können. Die AR postuliert eine Raumzeit, die in irgendeiner Weise gekrümmt sei. Wenn sich ein zweidimensionaler Raum krümmt, so krümmt er sich doch auch irgendwo hin, also in Dimensionen, die für die "Bewohnerschaft" des Raums nicht einsehbar sind. Aus unserer dreidimensionalen Sicht leuchtet das ein. Also übertrage ich das auf unsere Situation in der Raumzeit: wenn sie sich krümmt, so darf man sich wohl einen Raum vorstellen, in den hinein diese Krümmung erfolgt. Ich behaupte ja sonst nichts darüber; es ist Spekulation. Wenn Du das "Unfug" nennen möchtest, nur zu - ich weise aber darauf hin, daß das z.B. auch Stephen Hawking tut, und zwar in weit spekulativerer Weise. Gruß shadowking\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: gaussmath am: So. 21. Juli 2013 20:28:31
\(\begingroup\)Das Anzeigeproblem auf dem iPhone ist behoben. Grüße, Marc\(\endgroup\)
 

Re: Die Pseudosphäre
von: Gockel am: So. 21. Juli 2013 21:32:46
\(\begingroup\)@shadowking: Das stimmt so nicht. Die Raumzeit krümmt sich nirgendwohin. Man braucht keinen umgebenden Raum, in den die Raumzeit eingebettet ist, und in der ART wird auch kein solcher postuliert (auch nicht von Stephen Hawking). Die Krümmungseigenschaften der Raumzeit, die für die ART gebraucht werden, sind rein intrinsisch definiert, nehmen also nur auf die Struktur Mannigfaltigkeit selbst Bezug und nicht auf irgendeinen umgebenden Raum und eine mögliche Einbettung. Ockham's Messer sagt uns in dieser Situation, dass es überhaupt keinen umgebenden Raum und kein Einbettung der Raumzeit darin gibt, sondern dass die Raumzeit einfach eine abstrakte, für sich stehende (pseudo-riemannsche) Mannigfaltigkeit ist. Es gibt andere Ideen in der theoretischen Physik, die höherdimensionale Objekte benutzen, beispielsweise String-Theorie, M-Theorie usw. Auch diese höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten werden aber nicht eingebettet, sondern abstrakt behandelt. Außerdem gehen diese Ideen weit über die ART hinaus, sodass auch in diesem Kontext die Aussage, die ART benutze eine Einbettung der Raumzeit in etwas höherdimensionales, falsch ist. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]