Mathematik: Reihen für Potenzen von Pi
Released by matroid on Mo. 17. Februar 2014 12:27:41 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Über Reihen für Potenzen von \pi Im Zusammenhang mit Fourier-Reihen (und sicherlich auch auf andere Weise) erhält man Reihen wie diese: \pi^2/6 = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... | (1) \pi^3/32 = 1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 - + ... \pi^4/96 = 1 + 1/3^4 + 1/5^4 + 1/7^4 + ... . Die Reihe (1) erregte seinerzeit großes Aufsehen. Sie ist die Lösung des "Basler Problems", welches aus der Frage bestand: "Wie groß ist die Summe der Kehrwerte der Quadrate aller natürlicher Zahlen?"

Gestellt wurde die Aufgabe bereits 1644 in Italien, und mehrere namhafte Forscher bemühten sich vergeblich um ihre Lösung, darunter Angehörige der Schweizer Mathematikerfamilie Bernoulli. Erst im Jahre 1733 fand Leonhard Euler, ebenfalls Schweizer, das obige Ergebnis (1), und zwar ohne Verwendung von Fourier-Reihen. Wie er dabei vorging, wird u. a. bei Wikipedia erklärt.[1] Diese Erklärung ist kurz und nicht für jeden unmittelbar verständlich. Bei ihr wird von einer Produktdarstellung Gebrauch gemacht, die auch von Euler stammt. In der Folge bewies Euler die Gültigkeit der Reihe (1) mehrfach auf verschiedene Weise. Sein ursprünglicher Ansatz wird im Internet in [2] zitiert. Entscheidend ist dabei der dort ohne Begründung angeführte Satz: "Bei einer algebraischen Gleichung, deren absolutes Glied den Wert 1 hat, ist der Koeffizient des Gliedes mit der ersten Potenz der Unbekannten gleich der negativen Summe der reziproken Werte der Gleichungswurzeln." (Weiteres dazu s. unten.) Selber möchte ich das Verfahren an einem anderen Beispiel demonstrieren: Gesucht seien zunächst alle Zahlen, die die Gleichung x/2!-x^2/4!+x^3/6!-x^4/8!+ - ... = 2 erfüllen. Sie enthält die Reihenentwicklung für die Cosinusfunktion und hat als Lösungen Zahlen der Form (k\pi)², wobei k eine ungerade ganze Zahl ist. Um Eulers Satz anzuwenden, formen wir die Gleichung so um: 1-x/(2*2!)+x^2/(2*4!)-x^3/(2*6!)+x^4/(2*8!)- + ... = 0 |(2) und erhalten nach ihm: 2(1/\pi^2+1/(3^2*\pi^2)+1/(5^2*\pi^2)+1/(7^2*\pi^2) + ... ) = 1/(2*2!), woraus als weitere Reihe zu den oben aufgeführten folgt: \pi^2/8=1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+ ... Anmerkung: die 2 vor der obigen Klammer rührt daher, daß die Lösungen von (2), also die Zahlen (+\pi)² und (-\pi)², (+3\pi)² und (-3\pi)², usw., obwohl numerisch gleich, alle mitberücksichtigt werden müssen; es ist wie bei einem (endlichen) Polynom mit doppelten Nullstellen. Nach demselben Schema kann man auch Reihen für \pi selbst gewinnen, d. h. für die erste Potenz. Zum Beispiel aus der Gleichung sin(x)=1/2 die Reihe \pi/6=1/2+1/(5*7)-1/(11*13)+1/(17*19)- + ... | (3) Sie ist leicht zu programmieren und konvergiert schneller als die Leibnizreihe (Vergleich, jeweils 10000 Summanden: Leibniz: 3,14149...; (3): 3,141592652...; \pi=3,141592653...), doch ist auch sie ungeeignet, wenn man viele Nachkommastellen von \pi haben möchte. Abschließend ein möglicher Anfang einer Begründung für den weitgehend unbekannten Satz von Euler: Sei (x-x_1)(x-x_2)=x^2-x_2*x-x_1*x+x_1*x_2=0, dann kann man, falls x_1,|x_2!=0, dafür schreiben: 1/(x_1*x_2)*x^2-(x_1+x_2)/(x_1*x_2)*x + 1 = 0 | (4) oder auch 1/(x_1*x_2)*x^2-(1/x_1+1/x_2)*x + 1 = 0. In Worten: Der Koeffizient von x ist gleich der negativen Summe der Kehrwerte der Lösungen der Gleichung (4). Entsprechendes gilt, falls (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0 ist. Für x_1,|x_2,|x_3!=0 läßt sich das schreiben als -1/(x_1*x_2*x_3)*x^3 + (x_1+x_2+x_3)/(x_1*x_2*x_3)*x^2-(1/x_1+1/x_2+1/x_3)*x+1=0. Auch hier haben wir dasselbe, und ich sehe keinen Grund dafür, daß es bei Gleichungen 4., 5., ... Grades anders sein wird. Eulers Ausdehnung auf Gleichungen vom Grad "unendlich" wurde von Kritikern als "kühn" und "gewagt" bezeichnet. [1] de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem [2] http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/13424/1/staeckel_Euler_Abh.pdf, S. 42 Hans-Jürgen
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Reihen für Potenzen von Pi [von Hans-Juergen]  
Über Reihen für Potenzen von pi Im Zusammenhang mit Fourier-Reihen (und sicherlich auch auf andere Weise) erhält man Reihen wie diese: pi^2/6 = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... | (1) pi^3/32 = 1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 - + ... pi^4/96 = 1 + 1/3^4 + 1/5^4 + 1/7^4 + ... .
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"Mathematik: Reihen für Potenzen von Pi" | 7 Comments
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Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: weird am: Mo. 17. Februar 2014 15:38:38
\(\begingroup\)Zunächst einmal würde ich Euler's erste Lösung des Baseler Problems noch immer als eine der einfachsten und schönsten bezeichnen, zumindestens von der Beweisidee her, wenngleich eine Exaktifizierung dann nicht ganz so einfach ist. Z.B. ist schon den Zeitgenossen Euler's aufgefallen, dass der Sinus ja auch komplexe Nullstellen haben könnte, was Euler dann noch nachträglich widerlegen musste. Dass übrigens für ein Polynom mit absoluten Glied 1 der Koeffizient von x die negative Summe der rezproken Nullstellen ist, ist eigentlich ziemlich trivial, wenn man das Polynom nur etwas anders anschreibt, nämlich in der Form $(1-\frac x{x_1})\cdot\dots\cdot(1-\frac x{x_n})$ Was mir übrigens noch aufgefallen ist: Im ganzen Artikel wird anstelle von $\pi$ sehr oft p geschrieben. Und ja, zu diesem Thema gäbe es unendlich viel mehr zu sagen, aber ein lobenswerter Anfang wurde hier auf jeden Fall mal gemacht. 😄 Edit: Aufgrund einer PM vom Autor des Artikels möchte ich der Ordnung halber feststellen, dass alle $\pi$ nunmehr auch bei mir in korrekter Form aufscheinen und es sich daher möglicherweise nur um einen Anzeigefehler auf meinem eigenen Computer gehandelt hat. Ich bitte dafür um Entschuldigung. Gesondert positiv hervorheben möchte ich - da meine Gesamtbeurteilung des Artikels offenbar zu negativ herübergekommen ist, obwohl das keineswegs meine Absicht war - auch noch den Link zur Arbeit von Paul Stäckel, welche viele interessante und für mich bis dahin unbekannte historische Bezüge enthält. Einiges davon hätte wohl auch sehr gut in den Artikel selbst gepasst. \(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: Kay_S am: Mo. 17. Februar 2014 16:30:58
\(\begingroup\)Will man eine gute Näherung von $\pi$ erzeugen, so kann man eine Reihe mit hoher Potenz in Verbindung mit einer guten Restgliedabschätzung nehmen. Zum Beispiel $\pi \approx \sqrt[6]{945(1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + ... + \frac{1}{n^6} \ \ + \frac{1}{5(n+\frac{1}{2})^5})} $ Das Ziehen der Wurzel geht effizient mit dem Heron-/Newtonverfahren. Natürlich gibt es heute bessere Verfahren, aber zu Eulers Zeiten wäre das eine Möglichkeit gewesen.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: ZetaX am: Di. 18. Februar 2014 01:54:28
\(\begingroup\)"Eulers Ausdehnung auf Gleichungen vom Grad "unendlich" wurde von Kritikern als "kühn" und "gewagt" bezeichnet. " "Kühn" ist hier ein Euphemismus für falsch. f(x) und f(x)·e^x haben genau die selben Nullstellen, haben aber außer beim konstanten Koeffizienten fast immer verschiedene Koeffizienten. Oder nochmal anders formuliert: wäre jede holomorphe Funktion Produkt von Linearfaktoren, so wäre e^x konstant 1, was offensichtlich Unfug ist. Auch finde ich es sehr schlechten Stil, etwas mit "ich sehe keinen Grund dafür, daß es bei Gleichungen 4., 5., ... Grades anders sein wird" abzutun.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: Hans-Juergen am: Di. 18. Februar 2014 10:10:53
\(\begingroup\)Hallo ZetaX, auf dem Matheplaneten erscheinen sehr unterschiedliche Artikel. Manche sind ausgedehnte wissenschaftliche Abhandlungen. Andere wollen lediglich auf etwas Besonderes hinweisen und zu weiterem Nachdenken anregen; sie enthalten auch Subjektives, und es fehlt ihnen an mathematischer Strenge. Subjektiv ist Deine Kritik an meinem "sehr schlechten Stil" (Du schreibst: "Auch finde ich es ..."). Sie sei Dir unbenommen. Daß "kühn" gegenüber Euler nicht eben schmeichelhaft gemeint war, ist mir bewußt; ich wollte es nur nicht hinschreiben. Im übrigen kann ja jeder, der sich dazu berufen fühlt, versuchen, Eulers Satz allgemein zu beweisen. Das wäre sicherlich für manchen, der hier mitliest, interessant. \(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: ZetaX am: Di. 18. Februar 2014 10:38:53
\(\begingroup\)Wie ich sagte gibt es nichts zu beweisen, weil die Aussage schlicht falsch ist. Und genau das stört mich: es wird suggeriert, dass es sich um eine korrekte Aussage handelt.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: weird am: Mi. 19. Februar 2014 10:44:40
\(\begingroup\)Ja, es ist schon richtig, dass Euler bei seinem Schluss, dass die Funktion $\sin(x)/x$ (an der Stelle $x=0$ mit Wert 1 stetig ergänzt) ein Produkt der Linearfaktoren $(1-\frac x{x_k})$ sein muss, wobei $x_k$ alle Nullstellen von $\sin(x)/x$ durchläuft, einfach nur "sehr viel Glück hatte" und dies im allgemeinen klar falsch ist. Ich frage mich allerdings, ob das von ZetaX gebrachte Gegenbeispiel nicht schon in einem gewissen Sinne "typisch" ist. Wenn man sich etwa die (wieder stetig ergänzte) Funktion $1/(x \Gamma(x))$ ansieht, welche genau an den negativen ganzen Zahlen Nullstellen besitzt und für die ansonsten exakt die gleichen Voraussetzungen vorliegen, so gilt zwar nicht $\frac1{x\Gamma(x)}= \prod\limits_{n=1}^\infty (1+\frac xn)$ wie Euler jetzt vielleicht geschlossen hätte, da das rechtsstehende unendliche Produkt nicht einmal konvergiert, wohl aber $\frac1{x\Gamma(x)}= e^{\gamma x}\prod\limits_{n=1}^\infty (1+\frac xn) e^{-\frac xn}$ d.h., man muss diese Produktdarstellung einfach nur noch um gewisse nullstellenfreie Faktoren ergänzen, welche mit der Exponentialfunktion gebildet werden. \(\endgroup\)
 

Re: Reihen für Potenzen von Pi
von: ZetaX am: Mi. 19. Februar 2014 11:11:46
\(\begingroup\)Es ist "typisch", da der Quotient zweier Funktionen mit gleichem Nullstelleverhalten eine nullstellenfreie ganze Funktion und also von der Form e^f(x) ist, für ein holomorphes f.\(\endgroup\)
 

 
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