Wettbewerbe: Bundeswettbewerb Mathematik
Released by matroid on Di. 20. März 2001 18:02:43 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Kurze allgemeine Beschreibung des Bundeswettbewerbs Mathematik
Für wen ist der Wettbewerb gedacht?
Der Bundeswettbewerb Mathematik ist ein mathematischer Schülerwettbewerb für alle an Mathematik Interessierten. Er besteht aus zwei Hausaufgabenrunden und einer abschließenden Gesprächsrunde. Der Wettbewerb richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die eine zur allgemeinen Hochschulreife führende Schule besuchen. Mit interessanten und anspruchsvollen Aufgaben möchte er sie anregen, sich eine Zeit lang intensiv mit Mathematik zu beschäftigen. Neben dem mathematischen Schulwissen muss man zur Teilnahme vor allem auch etwas Ausdauer mitbringen.

Wie läuft der Wettbewerb ab?
In den beiden Hausaufgabenrunden werden jeweils vier Aufgaben aus unterschiedlichen Bereichen der Elementarmathematik gestellt. Sie müssen in ca. zwei Monaten in Hausarbeit, ohne fremde Hilfe bearbeitet werden.
In der ersten Runde sind auch Gruppenarbeiten zugelassen, die allerdings das Korrekturverfahren außer Konkurrenz durchlaufen und deshalb auch nicht mit Preisen versehen werden.
In der dritten Runde, auch Kolloquium genannt, geht es nicht mehr um das Lösen von Aufgaben. Hier führt jeder Teilnehmer und jede Teilnehmerin ein knapp einstündiges Fachgespräch mit je einem Mathematiker bzw. einer Mathematikerin aus Universität und Schule. Außerdem gestalten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zum gegenseitigen Kennenlernen ein Rahmenprogramm mit ganz unterschiedlichen Beiträgen.

Zur Startseite Bundeswettbewerb Mathematik (BWM). Den Text der Beschreibung haben wir von der Web-Seite des BWM kopiert.


Im Jahr gibt es zwei Runden. Der Einsendeschluß für die erste Runde 2001 war am 1.3.2001. Die Aufgaben für die nächste Runde (bis 1.9.2001) werden Anfang Juni 2001 gestellt.

[Eine Aufgabe der 1. Runde 2001]
Aufgabe 2
Von einer Folge (a0, a1, a2, ... ) reeller Zahlen sei bekannt:
a0 = 1  und  an+1 = an + images/matheplanet/a2_01_1.gif für alle natürlichen Zahlen n.

Man beweise, dass nur eine einzige Folge mit diesen Eigenschaften existiert, und gebe eine explizite Formel für an an.



Und hier ist eine Lösung:
Zur Eindeutigkeit: Die Folge ist eindeutig bestimmt, wenn im allgemeinen für an+1 aus der Rekursion eine eindeutige Lösung für an+1 folgt.
Die Rekursion lautet an+1 - an = [an+1 - an]0.5.
=> (an+1 - an)² = an+1 - an
=> an+1 bestimmt sich als Lösung der quadratischen Gleichung.
Deren Lösungen sind:
an+1 = (2an+1)/2 +/- ( 2an+1/4 )0.5
=> an+1 = a + 0.5 + (2a+0.25)0.5
oder an+1 = a + 0.5 - (2a+0.25)0.5
Von diesen beiden Lösungen der quadrierten Rekursion ist aber nur eine auch Lösung der Rekursion, nämlich die erste.
Denn ich habe an+1-an quadriert. Der Wurzel kann positiv oder negativ sein. Wenn sie negativ wäre, dann wäre an+1n. Aber wegen a0=1 und der gegebenen Rekursion ist das nicht der Fall.
Das nächste an+1 ist also eindeutig aus an mittels der Rekursion zu bestimmen.
Aus an+1 = a + 0.5 + (2a+0.25) 0.5 errechne ich nun einige Folgenglieder: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
Aha! Die Folge beginnt wie (n+1)*(n+2)/2.
Um nun zu zeigen, daß dies die explizite Formel (nenne sie vorerst bn) ist, zeige ich, daß diese Formel die Rekursion und den Anfangswert erfüllt.
Also b0=1, stimmt!
Und für den Rest setze die Ausdrücke für bn und bn+1 in die Rekursion ein.
Es zeigt sich, daß bn + bn+1 = (n+2)²
Das war's schon.
Wer sich für Mathe interessiert sollte sich die Aufgaben der nächsten Runde im Juni mal anschauen.
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Bundeswettbewerb Mathematik [von matroid]  
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"Wettbewerbe: Bundeswettbewerb Mathematik" | 1 Comment
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Re: Bundeswettbewerb Mathematik
von: matroid am: Do. 19. April 2001 14:48:50
\(\begingroup\)Die Lösungen der Runde 2001.1 sind hier veröffentlicht.\(\endgroup\)
 

 
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