Mathematik: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
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Mathematik

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Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie

In diesem Artikel soll es um einen Integral-Begriff in der Kategorientheorie gehen. Wenn man sich Koprodukte in Kategorien als "Summen" vorstellt, so kann man sich Koenden als "gewichtete Summen" und damit als Integrale vorstellen. Zwei hübsche Beispiele: Das Tensorprodukt zweier R-Moduln lässt sich als M \otimes_R N = \displaystyle \int^{r \in R} M \otimes_\mathds{Z} N schreiben. Jede simpliziale Menge X lässt sich als \displaystyle X = \int^{n \in \Delta} X_n \times \Delta^n schreiben, also als eine durch X_n gewichtete Summe von Standardsimplizes \Delta^n, die geeignet miteinander verklebt werden. Als Anwendung von Koenden besprechen wir die Kovervollständigung \widehat{C} einer kleinen Kategorie C.


Übersicht: 1. Definition und Beispiele 2. Zusammenhang zu Kolimites 3. Zerlegung von Funktoren 4. Kovervollständigung 5. Kommen wir zum Ende

1. Definition und Beispiele.

Wenn V ein Vektorraum ist, dann gibt es eine natürliche lineare Abbildung \alpha_V : V^* \otimes V \to K, nämlich \phi \otimes v \mapsto \phi(v). Doch was soll hier Natürlichkeit genau bedeuten? Die linke Seite ist gar nicht funktoriell in V, sondern eher eine Mischung aus einem kontravarianten Funktor V \mapsto V^* und dem kovarianten Funktor V \mapsto V. Genauer gesagt haben wir es mit einem Funktor F : \mathsf{Vect}^{\mathrm{op}} \times \mathsf{Vect} \to \mathsf{Vect} zu tun, der ein Paar von Vektorräumen (V,W) auf V^* \otimes W schickt, und einen Morphismus (f,g) auf f^* \otimes g. Dann ist \alpha_V ein Morphismus F(V,V) \to K. Inwiefern ist er mit Morphismen kompatibel? Nehmen wir dazu eine lineare Abbildung f : V \to W. Dann gilt wegen f^*(\phi)(v) = (\phi \circ f)(v) = \phi(f(v)) (mit v \in V, \phi \in W^*) die Gleichung \alpha_V \circ (f^* \otimes \mathrm{id}) = \alpha_W \circ (\mathrm{id} \otimes f), d.h. das Diagramm \xymatrix@C=40pt{W^* \otimes V \ar[r]^-{f^* \otimes \mathrm{id}} \ar[d]_{\mathrm{id} \otimes f} & V^* \otimes V \ar[d]^-{\alpha_V} \\ W^* \otimes W \ar[r]^-{\alpha_W} & K} kommutiert. Diese Form von Natürlichkeit können wir verallgemeinern: 1. Definition (Keile). Seien C,D zwei Kategorien. Sei F : C^{\mathrm{op}} \times C \to D ein Funktor. Ein Keil (engl. wedge) von F besteht aus einem Objekt d \in D sowie Morphismen \tau_c : F(c,c) \to d für alle c \in C, sodass für jeden Morphismus f : c \to c' das Diagramm \xymatrix@C=40pt{F(c',c) \ar[r]^{F(f,c)} \ar[d]_{F(c',f)} & F(c,c) \ar[d]^{\tau_c} \\ F(c',c') \ar[r]^-{\tau_{c'}} & d} kommutiert. Beachte hierbei die Kontravarianz von F im ersten Argument. Ein Koende wird ein universeller Keil sein. Wir schreiben auch \tau : F \dot{\rightarrow } \, d. Wenn i : d \to d' ein Morphismus ist, dann ist auch die Komposition i\tau : F \dot{\rightarrow} \, d' (definiert durch (i \tau)_c := i \tau_c) ein Keil. Wir erhalten damit einen Hilfsfunktor K : D \to \mathsf{Set}, ~ d \mapsto \{\text{Keile~} F \dot{\rightarrow}\, d\}. 2. Definition (Koende). Ein Koende von F ist eine Darstellung dieses Funktors K. Das darstellende Objekt wird dann mit \displaystyle \int F oder \displaystyle \int^{c \in C} F(c,c) bezeichnet. Es soll also eine natürliche Bijektion \displaystyle \hom\bigl(\int^{c \in C} F(c,c),d\bigr) \cong \{\text{Keile~} F \dot{\rightarrow}\, d\} geben. Das bedeutet: Es gibt einen Keil \tau : F \dot{\to} \, \int^{c \in C} F(c,c), welcher in dem Sinne universell ist, dass es für jeden Keil \sigma : F \dot{\to} \, d genau einen Morphismus h : \int^{c \in C} F(c,c) \to d gibt mit h \tau = \sigma. 3. Beispiel (Tensorprodukte). Schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn C genau ein Objekt \star besitzt. Dann können wir C mit dem Monoid G := \mathrm{End}(\star) identifizieren, und F entspricht einem Objekt x \in D zusammen mit einer Rechts-Wirkung \rho von G sowie einer Links-Wirkung \lambda von G auf x. Ein Keil F \dot{\to} \, d entspricht einem Morphismus \tau : x \to d, sodass für alle g \in G das Diagramm \xymatrix{x \ar[r]^{\rho(g)} \ar[d]_{\lambda(g)} & x \ar[d]^{\tau} \\ x \ar[r]^{\tau} & d} kommutiert. Mit anderen Worten, \tau identifiziert die beiden Wirkungen. Demnach ist das Koende \int F das universelle Objekt, welches die beiden Wirkungen miteinander identifiziert. Wenn zum Beispiel D=\mathsf{Set}, X eine G-Rechtsmenge und Y eine G-Linksmenge ist, so trägt X \times Y sowohl eine Rechts-Wirkung als auch eine Links-Wirkung von G. Beim Koende werden die beiden Wirkungen miteinander identifiziert, wir erhalten das sog. Tensorprodukt X \otimes_G Y := (X \times Y) / (x \cdot g,y) \sim (x,g \cdot y). Also ist \displaystyle \int^{g \in G} X \times Y = X \otimes_G Y. Davon gibt es ein lineares Analogon: Wenn D=\mathsf{Ab}, R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul ist, so haben wir \displaystyle \int^{r \in R} M \otimes_{\mathds{Z}} N = M \otimes_R N. Denn M \otimes_R N entsteht aus M \otimes_{\mathds{Z}} N, in dem man die Relationen m \cdot r \otimes n = m \otimes r \cdot n herausteilt. 4. Beispiel (Dualräume). Wir betrachten den eingangs erwähnten Funktor F : \mathsf{Vect}^{\mathrm{op}} \times \mathsf{Vect} \to \mathsf{Vect},~ F(V,W) := V^* \otimes W. Es definiert \tau_V : V^* \otimes V \to K, \phi \otimes v \mapsto \phi(v) einen Keil \tau : F \dot{\to} \, K. Tatsächlich ist \tau universell (das ist eine gute Übungsaufgabe), und demnach \displaystyle \int^{V} V^* \otimes V \cong K. Übrigens kann man mit diesem Koende - wenn man die Kategorie der Vektorräume durch eine sogenannte Bandkategorie (engl. ribbon category) ersetzt - interessante Hopfalgebren konstruieren (arXiv:math/0312337, 1.6). 5. Definition (Tensorprodukt von Funktoren). Wir können die Beispiele wie folgt verallgemeinern: Seien F : C^{\mathrm{op}} \to D_1 und G : C \to D_2 zwei Funktoren. Außerdem gebe es irgendeinen Funktor \otimes : D_1 \times D_2 \to D. Dann erhalten wir den Funktor C^{\mathrm{op}} \times C \xrightarrow{F \times G} D_1 \times D_2 \xrightarrow{\otimes} D. Das Koende (sofern es existiert) schreibt man auch als \displaystyle F \otimes_C G := \int^{c \in C} F(c) \otimes G(c) und nennt es das Tensorprodukt von F mit G. Es entsteht aus den F(c) \otimes G(c), indem man die "Rechts-Wirkung" von C (die Wirkung von F auf Morphismen) mit der "Links-Wirkung" von C (die Wirkung von G auf Morphismen) identifiziert. Wenn C diskret ist (d.h. es gibt nur Identitäten als Morphismen), so gibt es nichts zu identifizieren, sodass also \int^{c \in C} F(c) \otimes G(c) = \bigoplus_{c \in C} F(c) \otimes G(c) in diesem Fall. Die meisten Koenden treten als Tensorprodukte von Funktoren auf. 6. Analogie zur Integralen. Es gibt eine bemerkenswerte Analogie zwischen Koenden und Integralen aus der Analysis. Wenn \Omega ein geeigneter messbarer Raum ist, \mu ein Maß auf \Omega, V ein Banachraum und f : \Omega \to V eine messbare Funktion ist, so können wir das Bochner-Integral \int_{\omega \in \Omega} f(\omega) \cdot d\mu(\omega) betrachten. Jedenfalls sofern es existiert. Es gibt die folgenden Analogien zwischen dem Integral und dem Koende \int^{c \in C} F(c) \otimes G(c): \begin{tabular}{c|c} \text{Analysis} & \text{Kategorientheorie} \\ \hline Integral & Koende \\ $\Omega$ & $C$ \\ $V$ & $D_1$ \\ $\mathds{R}$ & $D_2$ \\ $f$ & $F$ \\ $\mu$ & $G$ \\ $\cdot$ & $\otimes$ \\ $+$ & $\oplus$ \\ \end{tabular} Diese Analogie wird in den nächsten Abschnitten weiter vertieft. Vielleicht ist das sogar mehr als nur eine Analogie?

2. Zusammenhang zu Kolimites.

7. Satz (Existenz). Sei D eine Kategorie, die alle Kolimites besitzt. Sei C eine kleine Kategorie. Dann besitzt jeder Funktor F : C^{\mathrm{op}} \times C \to D ein Koende \int F. Beweis. Wir betrachten zunächst die beiden Koprodukte S = \bigoplus_{c \in \mathrm{Ob}(C)} F(c,c) und S' = \bigoplus_{f : c \to c' \in \mathrm{Mor}(C)} F(c',c). Die Koprodukt-Inklusionen werden mit \iota_c bzw. \iota_f bezeichnet. Es sei \alpha : S' \to S durch \alpha \circ \iota_f = \iota_{c'} \circ F(c',f) und \beta : S' \to S durch \beta \circ \iota_f = \iota_c \circ F(f,c) definiert. Dann ist ein Keil F \dot{\to} \, d offenbar dasselbe wie ein Morphismus \tau : S \to d mit \tau \alpha = \tau \beta. Wir können daher \int F als den Differenzkokern von \alpha und \beta konstruieren, dieser hat die gewünschte universelle Eigenschaft. \square 8. Satz (Kolimites). Sei F : C \to D ein Funktor. Definiere den Funktor \tilde{F} : C^{\mathrm{op}} \times C \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} C \xrightarrow{F} D. Dann ist das Koende \int \tilde{F} dasselbe wie ein Kolimes von F. Das heißt also: \displaystyle \int^{c \in C} F(c) = \mathrm{colim}_{c \in C} \, F(c) Beweis. Ein Keil \tilde{F} \dot{\to} \, d ist dasselbe wie ein Kokegel F \to d. \square Zum Rechnen mit Koenden ist der folgende "Satz von Fubini" nützlich. 9. Satz (Fubini). Es sei F : (A \times B)^{\mathrm{op}} \times (A \times B) \to D ein Funktor. Dann gilt: \displaystyle \int^{a \in A} \int^{b \in B} F(a,b,a,b) \cong \int^{(a,b) \in A \times B} F(a,b,a,b) \cong \int^{b \in B} \int^{a \in A} F(a,b,a,b). Damit ist natürlich gemeint, dass wenn die einzelnen Koenden existieren, sie allesamt isomorph sind. Mit dem inneren Koende \int^{b \in B} F(a,b,a,b) ist das Koende des Funktors F(a,-,a,-) : B^{\mathrm{op}} \times B \to D gemeint, wobei a \in A fixiert ist. Beweisskizze. Es geht nach dem Yoneda-Lemma eigentlich darum, dass die dargestellten Funktoren isomorph sind. Das läuft darauf hinaus, dass sich die Keil-Bedingung für F bezüglich Morphismen in A \times B auch bezüglich Morphismen in A und in B separat testen lässt. Davon überzeugt man sich aber sehr schnell. Im Gegensatz zum Satz von Fubini aus der Analysis handelt es sich hier um nicht mehr als eine Umformulierung der Daten. \square

3. Zerlegung von Funktoren.

In einer Kategorie D mit Koprodukten schreibt man für eine Menge M und einem Objekt X \in D auch oftmals M \times X für das Koprodukt \bigoplus_{m \in M} X. 10. Satz (Zerlegung). Es sei D eine Kategorie mit Koprodukten. Es sei F : C \to D ein Funktor. Dann ist \displaystyle F(-) \cong \int^{c \in C} \hom(c,-) \times F(c). Beweisskizze. Sei G : C \to D ein Funktor. Ein Keil \tau mit \tau_c : \hom(c,-) \times F(c) \to G besteht aus Morphismen \tau_{cd} : \hom(c,d) \times F(c) \to G(d). Wir erhalten daraus eine Abbildung \tau_{cc}(\mathrm{id}_c,-) : F(c) \to G(c), die natürlich in c ist, also eine natürliche Transformation F \to G. Hat man umgekehrt eine natürliche Transformation \sigma : F \to G, so definiere man \tau_{cd}(f,s)=\sigma_d(F(f)(s)). Diese Zuordnungen sind zueinander invers. \square Sazu 10 ist insofern bemerkenswert, weil er einen beliebigen Funktor F in besonders einfache Bestandteile zerlegt, nämlich seine Werte F(c) sowie die darstellbaren Funktoren \hom(c,-). In der Analogie zwischen Integralen und Koenden entspricht Satz 10 der Gleichung \displaystyle \mu(A)= \int_{\omega \in \Omega} \chi_A(c) \cdot d \mu(c). 11. Beispiel (simpliziale Mengen). Sei \Delta die Simplex-Kategorie: Objekte sind die Mengen [n] := \{0,1,\dotsc,n\} für n \in \mathds{N}, und Morphismen sind monoton wachsende Abbildungen. Eine simpliziale Menge ist per Definition ein Funktor X : \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}, wobei X([n]) üblicherweise als X_n geschrieben wird. Der n-dimensionale Standardsimplex ist \Delta^n := \hom(-,[n]). Nach Satz 10 (mit C=\Delta^{\mathrm{op}}) gilt nun für jede simpliziale Menge X die Formel \displaystyle X \, \cong \, \int^{[n] \in \Delta} \Delta^n \times X_n. Auf diese Weise zerlegt sich also jede simpliziale Menge X in Standardsimplizes \Delta^n gewichtet durch X_n. Dabei werden die Simplizes \Delta^n aber entlang der Abbildungen X_n \to X_m für [m] \to [n] miteinander verklebt - das ist gerade der Unterschied zwischen dem Koprodukt und dem Koende.

4. Kovervollständigung.

Eine Kategorie heißt kovollständig, wenn sie alle Kolimites besitzt. Ein Funktor heißt kostetig, wenn er Kolimites erhält. Für Kategorien C,D bezeichnen wir mit \hom(C,D) die Kategorie der Funktoren C \to D und mit \hom_c(C,D) die Unterkategorie der kostetigen Funktoren C \to D. Zum Beispiel gilt für eine kovollständige Kategorie D, dass \hom_c(\mathsf{Set},D) \simeq D. Einem d \in D wird dabei der kostetige Funktor \mathsf{Set} \to D, M \mapsto M \times d := \bigoplus_{m \in M} d zugeordnet. Umgekehrt werten wir einen kostetigen Funktor bei der Menge \{\star\} aus. Sei nun C eine kleine Kategorie und D eine kovollständige Kategorie. Dann ist \hom(C,D) eine kovollständige Kategorie und wir haben einen Funktor \iota : C^{\mathrm{op}} \times D \to \hom(C,D),~(c,d) \mapsto \hom(c,-) \times d welcher in der zweiten Variablen d kostetig ist. Tatsächlich besteht die folgende universelle Eigenschaft (für die ich keine Quelle kenne): 12. Satz (Fortsetzung). Ist E eine kovollständige Kategorie und H : C^{\mathrm{op}} \times D \to E ein Funktor, der in der zweiten Variablen kostetig ist, so erhalten wir eine Fortsetzung zu einem kostetigen Funktor \tilde{H} : \hom(C,D) \to E mit \tilde{H} \circ \iota = H. Explizit ist \displaystyle \tilde{H}(F) = \int^{c \in C} H\bigl(c,F(c) \bigr). Bis auf Isomorphie ist \tilde{H} eindeutig. Beweis. Nach Satz 7 ist \tilde{H} wohldefiniert. Weil Kolimites mit Koenden vertauschen (nach Satz 8 und Satz 9) und H in der zweiten Variablen kostetig ist, sehen wir, dass \tilde{H} kostetig ist. Außerdem gilt \tilde{H} \iota \cong H, denn \displaystyle \tilde{H}(\iota(x,d)) \cong \int^{c \in C} H\bigl(c,\hom(x,c) \times d\bigr) \cong \int^{c \in C} \hom(x,c) \times H(c,d) \cong H(x,d), wobei wir im letzten Schritt Satz 10 benutzt haben. Wenn \tilde{H} irgendein kostetiger Funktor mit \tilde{H} \iota \cong H ist, so folgt mit Satz 10 \displaystyle \tilde{H}(F) \cong \int^{c \in C} \tilde{H}\bigl(\hom(c,-) \times F(c)\bigr) \cong \int^{c \in C} H(c,F(c)). ~~~ \square 13. Satz (Adjunktion). Ist C eine kleine Kategorie und sind D,E kovollständige Kategorien, so erhalten wir eine Äquivalenz von Kategorien \displaystyle \hom_c(\hom(C,D),E) \simeq \hom_c(D,\hom(C^{\mathrm{op}},E)). Beweis. Aus Satz 12 leitet man ab, dass \hom_c(\hom(C,D),E) zur Kategorie der Funktoren H : C^{\mathrm{op}} \times D \to E äquivalent ist, welche in der zweiten Variablen kostetig sind. Aber H entspricht einem Funktor H' : D \to \hom(C^{\mathrm{op}},E). Dass H in der zweiten Variablen kostetig ist, bedeutet gerade, dass H' kostetig ist. \square Wenden wir das nun an auf D=\mathsf{Set}, so erhalten wir: 14. Korollar (Kovervollständigung). Ist C eine kleine Kategorie und \widehat{C} := \hom(C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}), so gibt es eine Äquivalenz von Kategorien \displaystyle \hom_c(\widehat{C},E) \simeq \hom(C,E). Aus einer beliebigen kleinen Kategorie C haben wir also eine kovollständige Kategorie \widehat{C} zusammen mit der Yoneda-Einbettung C \hookrightarrow \widehat{C} konstruiert, welche universell für Funktoren von C in kovollständige Kategorien ist. Es heißt \widehat{C} die Kovervollständigung von C. Ist H : C \to E irgendein Funktor, so setzt er sich zu einem kostetigen Funktor \tilde{H}: \widehat{C} \to E fort durch \displaystyle \tilde{H}(F) = H \otimes_{C^\mathsf{op}} F = \int^{c \in C} H(c) \times F(c). 15. Beispiel (geometrische Realisierung). Sei \Delta die Simplexkategorie. Dann ist \widehat{\Delta} per Definition die Kategorie der simplizialen Mengen \mathsf{SimpSet}. Wir haben einen Funktor \Delta \to \mathsf{Top}, der [n] auf den (topologischen) n-dimensionalen Standardsimplex |\Delta^n| := \{t \in \mathds{R}^{n+1} : t_i \geq 0,~\sum_{i=0}^{n} t_i = 1\} schickt. Dieser setzt sich folglich zu einem kostetigen Funktor \displaystyle \mathsf{SimpSet} \to \mathsf{Top}, X \mapsto |X| fort, den man geometrische Realisierung nennt. Explizit ist also \displaystyle |X| = \int^{[n] \in \Delta} |\Delta^n| \times X_n. Die geometrische Realisierung vertauscht nach Konstruktion mit Koprodukten, aber nicht unbedingt mit Produkten: Zwar gibt es eine stetige Bijektion |X \times Y| \to |X| \times |Y|, diese ist aber nicht unbedingt ein Isomorphismus in \mathsf{Top}. Abhilfe schafft hier die Kategorie der kompakt-erzeugten schwachen Hausdorffräume \mathsf{CGWH}, welche in vielerlei Hinsicht besser als \mathsf{Top} ist. Zum Beispiel gilt hier eben |X \times Y| \cong |X| \times |Y|.

5. Kommen wir zum Ende.

16. Definition (Enden). Schließlich noch ein Wort zum dualen Begriff des Endes. Enden verhalten sich zu Koenden genauso wie Limites zu Kolimites. Ist F : C^{\mathrm{op}} \times C \to D ein Funktor, so ist ein Keil nach F eine Familie von Morphismen \tau_c : d \to F(c,c), sodass für alle Morphismen f : c \to c' das naheliegende Diagramm kommutiert, d.h. F(c,f) \tau_c = F(f,c') \tau_{c'}. Ein Ende \int_{c \in C} F(c,c) ist ein universeller Keil nach F. Wenn C klein ist und D Limites besitzt, dann existiert auch das Ende. Alles, was allgemein über Koenden gesagt worden ist, lässt sich genauso über Enden sagen. Der Grund ist, dass das Ende von F mit dem Koende des Funktors C^{\mathrm{op}} \times C \to D^{\mathrm{op}}, (c,d) \mapsto F(d,c) übereinstimmt. 17. Beispiel (Mengenwertige Enden). Ist F : C^{\mathrm{op}} \times C \to \mathsf{Set} ein Funktor, so ist \displaystyle\int_{c \in C} F(c,c) \cong \hom\left(\{\star\},\int_{c \in C} F(c,c)\right) \cong \{\text{Keile } \{\star\} \dot{\to} \, F\}, wobei ein Keil einer Familie von Elementen \tau_c \in F(c,c) (c \in C) entspricht, derart dass für alle f : c \to c' die Kompatibilität F(c,f)(\tau_c)=F(f,c')(\tau_{c'}) besteht. Aus dieser Beschreibung des Endes mengenwertiger Funktoren ergeben sich die beiden nächsten Beispiele. 18. Beispiel (Beziehungen). Für einen Funktor F : C^{\mathrm{op}} \times C \to D gelten die Beziehungen \displaystyle \hom\left(d,\int_{c \in C} F(c,c)\right) \, \, \, \cong \int_{c \in C} \hom\bigl(d,F(c,c)\bigr) \displaystyle \hom\left(\int^{c \in C} F(c,c),d\right) \cong \int_{c \in C} \hom\bigl(F(c,c),d\bigr). 19. Beispiel (Natürliche Transformationen). Wenn F,G : C \to D zwei Funktoren sind, so erhalten wir daraus einen Funktor C^{\mathrm{op}} \times C \to \mathsf{Set}, der (c,c') auf \hom(F(c),G(c')) schickt. Dann erkennt man \displaystyle \int_{c \in C} \hom\bigl(F(c),G(c)\bigr) = \hom(F,G). Das ist eine kompakte Formulierung der Definition, dass eine natürliche Transformation F \to G aus kompatiblen Morphismen F(c) \to G(c) besteht. In der Analogie zwischen Integralen und Koenden entspricht es ungefähr der Definition des Skalarproduktes \langle f,g \rangle = \int_{\omega \in \Omega} \langle f(\omega),g(\omega) \rangle \cdot d \mu(\omega) auf L^2(\mu). 20. Beweis von Satz 10. Damit können wir nun auch einen prägnanten Beweis von Satz 9 angeben: \displaystyle \hom\left(\int^{c \in C} \hom(c,-) \times F(c),G\right) \cong \int_{c \in C} \hom\bigl(\hom(c,-) \times F(c),G\bigr) \displaystyle \cong \int_{c \in C} \hom\bigl(\hom(c,-),\hom(F(c),G(-))\bigr) \stackrel{\text{Yoneda}}{\cong} \int_{c \in C} \hom\bigl(F(c),G(c)\bigr) \displaystyle \cong \hom(F,G), nach Yoneda also \displaystyle \int^{c \in C} \hom(c,-) \times F(c) \cong F. 21. Frage. Ich möchte schließlich noch ein offenes(?) Problem nennen, was mich überhaupt zu Koenden gebracht hat. Seien X,Y zwei Varietäten über einem Körper k. Gilt dann \mathsf{Coh}(X \times_k Y) = \mathsf{Coh}(X) \boxtimes_k \mathsf{Coh}(Y)? Dabei ist \boxtimes_k Delignes Tensorprodukt abelscher k-linearer Kategorien. Jedenfalls läuft das ganze auf folgendes hinaus: Sei \mathcal{C} eine k-lineare abelsche Kategorie und es sei F : \mathsf{Coh}(X) \times \mathsf{Coh}(Y) \to \mathcal{C} ein Funktor, der in beiden Variablen rechtsexakt und k-linear ist. Erhalten wir dann eine Fortsetzung zu einem rechtsexakten k-linearen Funktor H : \mathsf{Coh}(X \times_k Y) \to \mathcal{C}? Fortsetzung soll hier H(A \boxtimes B) = F(A,B) für A \in \mathsf{Coh}(X), B \in \mathsf{Coh}(Y) bedeuten. Jedenfalls kann man sich überlegen, dass wenn überhaupt H nur durch das Koende \displaystyle H(M) = \int^{A,B} \hom(A \boxtimes B,M) \otimes F(A,B) definiert werden kann. Die Frage ist dann aber: Wieso ist H rechtsexakt? Ich habe das Problem bisher u.a. lösen können, wenn X quasi-projektiv ist - dann aber auch nur sehr indirekt mit Hilfe von Serres Klassifikation kohärenter Garben auf projektiven Räumen.

Ich bedanke mich bei Dune fürs Korrekturlesen. Artikel zur Kategorientheorie Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd Teil 3: Ja Mono Epi Iso Teil 4: Universelle Eigenschaften Teil 5: Limites und Kolimites Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
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Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie [von Martin_Infinite]  
In diesem Artikel soll es um einen Integral-Begriff in der Kategorientheorie gehen. Wenn man sich Koprodukte in Kategorien als "Summen" vorstellt, so kann man sich Koenden als "gewichtete Summen" und damit als Integrale vorstellen. Zwei hübsche B
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"Mathematik: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie" | 2 Comments
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Re: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
von: Gockel am: Mi. 09. Juli 2014 17:02:34
\(\begingroup\)Hi Martin. Die Analogie zwischen Koenden und Integralen scheint mir ein wenig besser zum Pettis-Integral zu passen, da dabei der Vergleich mit Testfunktionalen der wesentliche Punkte ist. Zum Rest des Artikels sage ich erst einmal noch nichts, das muss ich erst verdauen. 😄 mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
von: Martin_Infinite am: Fr. 11. Juli 2014 01:49:05
\(\begingroup\)Das stimmt wohl. Man kann $\hom(a,b)$ tatsächlich als Skalarprodukt auffassen, viele Autoren schreiben ja auch einfach $(a,b)$. Das Yoneda-Lemma sagt dann mehr oder weniger, dass dieses Skalarprodukt nicht-ausgeartet ist. Und die Definition des Koendes ist nach Beispiel 18 äquivalent zu $(\int^c F(c,c),b)=\int_c (F(c,c),b)$. Die Definition des Koendes (oder dual: Endes) eines beliebigen Funktors reduziert sich auf mengenwertige Funktoren, genauso wie die Definition des Pettis Integrals von vektorwertigen Funktionen auf reellwertige Funktionen reduziert wird. Der Fall von mengenwertigen Funktoren / reellwertigen Funktionen wird dabei aber nach wie vor vorausgesetzt. Mich würde brennend interessieren, ob man diese ganzen Analogien auch formalisieren kann, also etwa ein Integral in der Analysis wirklich als spezielles Koende zu sehen. Zum Beispiel lassen sich Limites im Sinne der Topologie tatsächlich als kategorielle Limites auffassen (Wikipedia, "Topological limits").\(\endgroup\)
 

 
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