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Rätsel 2015 [von Hans-Juergen] | | Rätsel
2015 läßt sich als Differenz zweier Kubikzahlen schreiben. Welche sind es?
Die Aufgabe ist auch für Schüler geeignet und soll ohne Computer gelöst werden. Ergebnisse mit Begründung bitte wie üblich per PN.
Ich wünsche allen Bewohnern und Gästen des Matheplaneten ein gesundes, erfolgr | |
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| "Rätsel und Spiele: Rätsel 2015" | 8 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Danke Hans-Jürgen, dir ebenfalls ein schönes neues Jahr und vor allem viel Gesundheit!\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi,
als erste sandten mir richtige Lösungen
 ,
gefolgt von Friedrich Laher, Rebecca, holio, Gerhardus und Belko.
Vielen Dank und herzliche Grüße,
Hans-Jürgen.
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\(\begingroup\)was gibts zu gewinnen?\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ein noch ganz junges, fast unbenutztes Jahr.
Liebe Grüße
Matroid
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\(\begingroup\)Jetzt weiß ich PN heißt Private oder Persönliche Nachricht. Also zur Lösung der Aufgabe, 2015 = 14^3 -9^3 = 196*14 -81*9 = 2744 - 721 = 2015.
Eine Lösung könnte sein:
2015 = 5 * 13 * 31
2015 = a^3 -b^3 = (a-b) * (a^2+ab+b^2)
Vergleich
a-b = 5
b = a-5
a^2 +a^2 -5a +a^2 -10a + 25 = 3a^2 -15a +25 = 13*31 = 403
a^2 -5a - 126 = 0
(a+9)*(a-14) = 0
a = 14 und b = 9
MfG
opasiegfried \(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo opasiegfried,
in der Tat: PN bedeutet private Nachricht. Sie dient dazu, anderen Rätsellösern das Ergebnis nicht vorzeitig zu verraten.
Antworten, die mir wie gewünscht zugesandt wurden, beschreibe ich zusammenfassend hier.
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\(\begingroup\)Hans-Juergen hat die Lösung mittlerweile im Forum veröffentlicht: viewtopic.php?topic=203313
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Liebe Rätselfreunde,
einem Wunsch Matroids entsprechend, gebe ich die Lösung auch hier an.
Vorbemerkung: Kubikzahlen sind dritte Potenzen natürlicher Zahlen. Sind a und b zwei solche und ist a>b, dann soll gelten a³-b³=2015. Zwei verschiedene Lösungswege bekam ich zugesandt:
A) Fast alle, die mir per PN antworteten, begannen damit, daß 2015=5⋅403 und
a³-b³ =(a-b)(a²+b²+ab) ist. Sie wählten, was nahe liegt, a-b=5 und a²+b²+ab=403 , lösten die erste Gleichungen nach b auf und setzten es in die zweite ein, so dass sich die quadratische Gleichung a²-5a-126=0 ergab. Diese hat die positive Lösung a=14, die auf b=9 führt. Ergebnis: 2015=14³-9³.
2015 hat außer der 5 noch die Primteiler 13 und 31. Ansätze damit wie oben ergeben keine weiteren Lösungen des Rätsels.
B) Ein Löser ging so vor: sei a=b+c, c nat. Zahl, dann folgt a³-b³=(b+c)³-b³=2015, b³+3b²c+3bc²+c³-b³=2015, 3b²c+3bc²+c³=2015, c(3b²+3bc+c²)=5⋅403. Die letzte Gleichung wird erfüllt, wenn c=5 und 3b²+3bc+c²=403 ist, d. h. 3b²+15b+25=403, b²+5b-126=0. Man erhält b=9 und a=14 wie bei A).
Gruß, Hans-Jürgen
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doch ist es vielleicht ganz reizvoll, darüber nachzudenken, wie groß die Winkel in ihrem Innern und am Rand sind.
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