Mathematik: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
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Mathematik

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Lösung trigonometrischer Grundgleichungen

In diesem Artikel werden die Gleichungen sin(x) = a, cos(x) = a und tan(x) = a gelöst, für reelle x und geeignete reelle a. Veranschaulichung: · Schnittpunkte von f(x) = sin(x) und g(x) = a
% \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{0.74} \begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1.5cm, scale=0.55, font=\footnotesize, >=latex %Voreinstellung für Pfeilspitzen ] % Funktionen \draw[] plot[samples=300, domain=-9:9] (\x,{sin(\x r)}) node[above=15pt] {$f(x)=\sin\left(x\right)$}; \draw[] (9,\a) -- (-9,\a) node[above, xshift=5mm] {$a = \a$}; %Schnittpunkte \foreach \k in {-2,...,3}{ \pgfmathsetmacro\myresult{((-1)^\k) * rad(asin(\a)) + \k*pi} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {\myresult}, {\a} )}; } % x-Achse \draw[->] (-9.9,0) -- (9.9,0) node[below] {$x$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x/\xtext in { -.5*pi/-\frac{\pi}{2}, -pi/-\pi, -1.5*pi/-\frac{3\pi}{2}, -2*pi/-2\pi, -2.5*pi/-\frac{5\pi}{2}, .5*pi/\frac{\pi}{2}, pi/\pi, 1.5*pi/\frac{3\pi}{2}, 2*pi/2\pi, 2.5*pi/\frac{5\pi}{2} } \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % y-Achse \draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {$y$}; %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1} \draw[] (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny $\y$}; %Ursprung \draw[] (0pt,-5pt) node[below right] {$0$}; \end{tikzpicture}


· Schnittpunkte von f(x) = cos(x) und g(x) = a
% \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{0.42} \begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1.5cm, scale=0.55, font=\footnotesize, >=latex %Voreinstellung für Pfeilspitzen ] % Funktionen \draw[] plot[samples=300, domain=-9:9] (\x,{cos(\x r)}) node[above=35pt] {$f(x)=\cos\left(x\right)$}; \draw[] (9,\a) -- (-9,\a) node[above, xshift=4mm] {$a = \a$}; % Schnittpunkte - ohne mathparse wie beim Sinus. %Schnittpunkte - gerade \foreach \k in {-1,...,1} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {rad(acos(\a)) + \k*2*pi}, {\a} )}; %Schnittpunkte - ungerade \foreach \k in {-1,...,1} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {-rad(acos(\a)) + \k*2*pi}, {\a} )}; % Koordinatensystem % x-Achse \draw[->] (-9.9,0) -- (9.9,0) node[below] {$x$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x/\xtext in { -.5*pi/-\frac{\pi}{2}, -pi/-\pi, -1.5*pi/-\frac{3\pi}{2}, -2*pi/-2\pi, -2.5*pi/-\frac{5\pi}{2}, .5*pi/\frac{\pi}{2}, pi/\pi, 1.5*pi/\frac{3\pi}{2}, 2*pi/2\pi, 2.5*pi/\frac{5\pi}{2} } \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % y-Achse \draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {$y$}; %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1} \draw[] (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny $\y$}; %Ursprung \draw[] (0pt,-5pt) node[below right] {$0$}; \end{tikzpicture}
· Schnittpunkte von f(x) = tan(x) und g(x) = a
% \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{4.371} \begin{tikzpicture}[yscale=0.5,smooth,domain=-3*pi:3*pi]; % x-Achse \draw[->, >=latex] (-0.6*pi,0) -- (1.69*pi,0) node[below] {$x$}; % ------------------------------ %Zahlen auf x-Achse %-PI/2 und +PI/2 \draw[shift={(-pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\frac{\pi}{2}$}; \draw[shift={(pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\frac{\pi}{2}$}; %Weitere negative ungerade PI/2-Vielfache \foreach \k in {} \draw[shift={(-\k*pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\frac{\k \pi}{2} $}; %Weitere positive ungerade PI/2-Vielfache \foreach \k in {3} \draw[shift={(\k*pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\frac{\k \pi}{2} $}; %-PI und +PI \draw[shift={(pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\pi$}; %\draw[shift={(-pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\pi$}; %Weitere PI-Vielfache \foreach \k in {} \draw[shift={(\k*pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\k \pi$}; % ------------------------------ % y-Achse \draw[->, >=latex] (0,-7.0) -- (0,7.0) node[left] {$y$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; %Ursprung \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; % Gitternetzlinien %\draw[very thin,color=gray!50!black] (-4.5,-3.5) grid (4.5,4.5); % ------------------------------------- % ------------------------------------- % TANGENSFUNKTION - astweise, i-te Äste % ------------------------------------- % ------------------------------------- \foreach \i in {-1,0} \draw[thick] plot [domain=(\i+0.5)*pi+0.05*pi:(\i+1+0.5)*pi-0.05*pi](\x,{tan(\x r)}); \node at (3.25,6.0) {$f(x) = \tan(x)$}; %Polgeraden \foreach \k in {-1,1,3} \draw[shift={((\k*pi/2,0)},color=gray!50!black, style=dashed, very thin] (0,-6.5) -- (0,6.5); % ------------------------------------- % ------------------------------------- % SCHNITTGERADE a = WERT % ------------------------------------- % ------------------------------------- \draw[thick] (5.5,\a) -- (-1.75,\a) node[above, xshift=4mm, fill=white!99!black] {$a = \a$}; %%%%%%%% %Schnittpunkte %%%%%%%% \foreach \k in {0,...,1}{%% \draw[yscale=2, color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=1.75pt] coordinates{( {rad(atan(\a)) + \k*pi}, {\a/2} )}; %\node[] at (\xKoord,\a) {\xKoord}; }%% \end{tikzpicture}

Voraussetzungen für nachfolgende Rechnungen: · Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. \begin{tikzpicture}[scale=3, >=latex] \clip (-2,-0.2) rectangle (2,0.8); \draw[step=.5cm,gray,very thin] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4); \filldraw[fill=green!20,draw=green!50!black] (0,0) -- (3mm,0mm) arc [start angle=0, end angle=30, radius=3mm] -- cycle node[green!50!black, above]{$\alpha$}; \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate (x axis); \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate (y axis); \draw (0,0) circle [radius=1cm]; \draw[very thick,red] (30:1cm) -- node[left=1pt,fill=white] {$\sin (\alpha)$} (30:1cm |- x axis); \draw[very thick,blue] (30:1cm |- x axis) -- node[below=2pt,fill=white] {$\cos (\alpha)$} (0,0); \path [name path=upward line] (1,0) -- (1,1); \path [name path=sloped line] (0,0) -- (30:1.5cm); \draw [name intersections={of=upward line and sloped line, by=t}] [very thick,orange] (1,0) -- node [right=1pt,fill=white] {$\displaystyle \tan (\alpha) $} (t); \draw (0,0) -- (t); \foreach \x/\xtext in {-1, 1} \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north,fill=white] {$\xtext$}; \foreach \y/\ytext in {-1, -0.5/-\frac{1}{2}, 0.5/\frac{1}{2}, 1} \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east,fill=white] {$\ytext$}; \end{tikzpicture} · Periodizität der trigonometrischen Funktionen. \sin(\alpha) = \sin(\alpha \pm 2\pi k), \cos(\alpha) = \cos(\alpha \pm 2\pi k) und \tan(\alpha) = \tan(\alpha \pm \pi k) mit k \in \mathbb{Z}. · Für die eingeschränkten trigonometrischen Funktionen (trigonometrische Funktionen über ihrem Hauptbereich) \sin: ~[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1,1], ~ x \mapsto \sin(x) , \cos: ~[0, \pi] \rightarrow [-1,1], ~ x \mapsto \cos(x) , \tan: ~]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \rightarrow \mathbb{R}, ~ x \mapsto \tan(x) sind folgende Umkehrfunktionen definiert: \arcsin: ~[-1,1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], ~ x \mapsto \arcsin(x) , \arccos: ~[-1,1] \rightarrow [0, \pi], ~ x \mapsto \arccos(x) , \arctan: ~\mathbb{R} \rightarrow ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[, ~ x \mapsto \arctan(x). Oder anders y = \sin(x) ~\Leftrightarrow~ x = \arcsin(y) ~\text{für}~ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ~\text{und}~ y \in [-1,1], y = \cos(x) ~\Leftrightarrow~ x = \arccos(y) ~\text{für}~ x \in [0, \pi] ~\text{und}~ y \in [-1,1], y = \tan(x) ~\Leftrightarrow~ x = \arctan(y) ~\text{für}~ x \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ ~\text{und}~ y \in \mathbb{R}.
Im Folgenden werden die nicht-eingeschränkten trigonometrischen Funktionen (über ihrem gesamten Definitionsbereich) betrachtet, d.h. für Sinus- und Kosinusfunktion gilt nun \mathbb{D = R}; für die Tangensfunktion gilt nun \mathbb{D = R}\backslash \{(2s+1)\frac{\pi}{2} | s \in \mathbb{Z}\}.

Lösung der Gleichung sin(x) = a für a ∈ [-1,1].

\sin(x) = a \Leftrightarrow \sin(x - 2\pi p) = a \Leftrightarrow x = \arcsin(a) + 2p \pi ~~~ (p \in \mathbb{Z}) ODER a = \sin(x_1 + 2\pi q) = \sin(\pi - x + 2\pi q) \Leftrightarrow x = -\arcsin(a) + (2q+1)\pi ~~~ (q \in \mathbb{Z}) Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weisen zusammenfassen: (1) \sin(x) = a ~~\Leftrightarrow ~~ x = \begin{cases} \arcsin(a) + k\pi ~~\text{für}~ k ~\text{gerade} \\ -\arcsin(a) + k\pi ~~\text{für}~ k ~\text{ungerade} \\ \end{cases} oder (2) \sin(x) = a ~~\Leftrightarrow ~~ x = (-1)^k \cdot \arcsin(a) + k\pi ~~ \text{für}~ k \in \mathbb{Z}

Lösung der Gleichung cos(x) = a für a ∈ [-1,1].

a = \cos(x) = \cos(\pm x - 2k\pi) ~~~ (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \arccos(a) + 2\pi n~~~ (n \in \mathbb{Z}) ODER x = -\arccos(a) + 2\pi m~~~ (m \in \mathbb{Z}) Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weisen zusammenfassen: (1) \cos(x) = a ~~\Leftrightarrow ~~ x = \begin{cases} \arccos(a) + k\pi ~~\text{für}~ k ~\text{gerade} \\ -\arccos(a) + (k+1)\pi ~~\text{für}~ k ~\text{ungerade} \\ \end{cases} oder (2) \cos(x) = a ~~\Leftrightarrow ~~ x = \pm \arccos(a) + 2k\pi ~~ \text{für}~ k \in \mathbb{Z}

Lösung der Gleichung tan(x) = a für reelle a.

\tan(x) = a \Leftrightarrow \tan(x - \pi p) = a \Leftrightarrow x = \arcsin(a) + p \pi ~~~ (p \in \mathbb{Z}) ODER a = \tan(x_1 + \pi q) = \tan(\pi + x + \pi q) \Leftrightarrow x = \arctan(a) - (q+1)\pi ~~~ (q \in \mathbb{Z}) Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weise zusammenfassen: \tan(x) = a ~~\Leftrightarrow ~~ x = \arctan(a) + k\pi ~~\text{für}~ k \in \mathbb{Z}
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Lösung trigonometrischer Grundgleichungen [von cis]  
In diesem Artikel werden die Gleichungen sin(x) = a, cos(x) = a und tan(x) = a gelöst, für reelle x und geeignete reelle a. Veranschaulichung: · Schnittpunkte von f(x) = sin(x) und g(x) = a % usetikzlibrary{plotmarks
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"Mathematik: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen" | 10 Comments
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Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 06. Februar 2015 12:03:06
\(\begingroup\)Einheitskreisbilder: \sourceon latex \documentclass[varwidth, margin=2.5pt]{standalone} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{plotmarks} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{angles,quotes,babel} \usepackage{amsmath, amssymb} %=========== \begin{document} %=========== \def\WINKEL{57.5} \def\RADIUS{2} %\pgfmathsetmacro\COS{\RADIUS * sin(\WINKEL)} %\pgfmathsetmacro\COS{\RADIUS * cos(\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\TAN{\RADIUS * tan(\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\COSeins{\RADIUS * cos(180+\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\TANeins{\RADIUS * sin(180+\WINKEL)} \begin{tikzpicture}[scale=0.60, font=\footnotesize,>=latex, ] %%Koordinaten%% \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (P) at (\RADIUS, \TAN); \coordinate (L) at (\RADIUS, 0); \coordinate (Lstrich) at (2.75\RADIUS, 0); \coordinate (Pstrich) at (2.75\RADIUS, \TAN); \coordinate (Peins) at (\COSeins, \TANeins); \coordinate (Leins) at (\COSeins, 0); % x- und y-Achse \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw[->] (0,-4) -- (0,4); %%Einheitskreis%% \draw[thin] (0,0) circle[radius=\RADIUS cm]; %%Strecken%% \draw[thick] (O) -- (P) node[above, very near end]{$$}; \draw[very thick] (L) -- (P) node[]{$$}; \draw[densely dashed, shorten >=-4.5mm] (L) -- (P) node[]{$$}; \draw[thick] (O) -- (Peins) node[above, very near end]{$$}; \draw[<->] (Lstrich) -- (Pstrich) node[midway, right]{$a$}; \draw[densely dashed, shorten >=-2ex] (P) -- (Pstrich); %% Punkte%% \shadedraw plot [draw=blue, only marks, mark=*, mark size=2.0pt, mark options={fill=white}] coordinates{(P)}; \shadedraw plot [draw=blue, only marks, mark=*, mark size=2.0pt, mark options={fill=black}] coordinates{(L)}; %% Winkel %% \tikzset{WinkelX/.style={angle eccentricity=0.6, draw, angle radius=0.75cm, "$x$", ->}} \tikzset{WinkelXeins/.style={angle eccentricity=0.6, draw, angle radius=0.75cm, "$x_1$", ->}} \draw pic [WinkelX] {angle = L--O--P}; \draw pic [WinkelXeins, angle eccentricity=1.15, draw, angle radius=0.9cm ] {angle = L--O--Peins}; \end{tikzpicture} %=========== \end{document} %=========== \sourceoff \(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: BerndLiefert am: Fr. 06. Februar 2015 20:45:15
\(\begingroup\)Cooler Artikel. Es ist überraschend, dass man die Lösungen so elegant mit Hilfe der Umkehrfunktionen ausdrücken kann, da muss man erst mal drauf kommen. \(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 06. Februar 2015 22:24:13
\(\begingroup\)@ BerndLiefert: Danke für Dein Feedback. 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: kurzefrage9 am: Sa. 07. Februar 2015 22:51:09
\(\begingroup\):)\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Slash am: So. 08. Februar 2015 00:27:36
\(\begingroup\)@cis Schöne Grafiken! @kurzefrage9 Du magst Hörspiele?\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 09. Februar 2015 13:43:43
\(\begingroup\) Anwendungsbeispiel.\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 26. Februar 2015 15:51:21
\(\begingroup\) Anwendungsbeispiel.\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: So. 14. Februar 2016 22:35:08
\(\begingroup\) Anwendungsbeispiel.\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: baerchen am: Di. 13. Februar 2018 03:14:23
\(\begingroup\)Hallo an alle, die geantwortet haben, vielen Dank für euere Mühe. Hat mir viel gebracht! Danke nochmal!\(\endgroup\)
 

Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
von: Ex_Mitglied_477 am: Mi. 14. Februar 2018 20:59:53
\(\begingroup\)Anwendungsbeispiel $ \tikzmath{ function funktion(\x){return 2*cos(deg(x-1.2))+3;}; function gerade(\x){return 4.5;}; } % Reichweite der Ticks festlegen \def\Range{-3,...,6} % xticklist erstellen \newcommand{\xticklist}{}% Name reservieren \let\xticklist=\empty% Liste erstellen \makeatletter \foreach \n in \Range { \pgfmathparse{1.2+\n*pi}% \ifx\empty\xticklist{} \protected@xdef\xticklist{\pgfmathresult}% \else \protected@xdef\xticklist{\xticklist,\pgfmathresult}% \fi }\makeatother %Anzeigen: \xticklist \begin{tikzpicture}[] \pgfmathsetmacro\LaengenEinheit{2/pi} \begin{axis}[clip=false, font=\footnotesize, x = \LaengenEinheit cm, y = 0.5cm, ymin=0, xmax=8, axis lines=middle, xlabel=$x$,xlabel style={anchor=north}, ylabel=$y$,ylabel style={anchor=east}, x axis line style = {-latex}, y axis line style = {-latex}, % ytick={-1,...,6}, % xtick/.expanded = {\xticklist}, xticklabel = {% \pgfmathsetmacro{\n}{int((\tick-1.2)/pi)}% \pgfmathparse{ abs(\n) == 1 ? (\n < 0 ? "\approx -" : "\approx") : (\n == 0 ? "0" : "\approx \n") } $\underbrace{\pgfmathprintnumber{\tick}}_{\pgfmathresult\pi+1.2 }$ }, % minor xtick/.expanded = {\xticklist}, minor ytick={1,3,5}, grid = minor, enlarge y limits=.4, enlarge x limits={.1, upper}, domain=-7:8.5, ] % Funktionen \addplot[samples=300, thick]{funktion(x)} node[above=5mm,pos=0.9] {$f(x)=2\cos(x-1.2)+3$}; \addplot[thick]{gerade(x)}node[above,pos=0] {$g(x)=4.5$}; % %Schnittpunkte \pgfplotsset{markstyle/.style={only marks, mark=*, red, mark options={fill=white, mark size=2pt}}} \pgfplotsinvokeforeach{-1,...,1}{%% % Rechnung \def\a{0.75} \def\b{1.2} \pgfmathsetmacro{\gerade}{rad(acos(\a)) + #1*2*pi+\b} \pgfmathsetmacro{\ungerade}{-rad(acos(\a)) + #1*2*pi+\b} % Graph \addplot[markstyle] coordinates {(\gerade,4.5)}; \addplot[markstyle] coordinates {(\ungerade,4.5)}; }%% \end{axis} \end{tikzpicture} $\(\endgroup\)
 

 
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