Mathematik: Die Lemniskate Released by matroid on Di. 21. Juli 2015 22:12:16 [Statistics] Written by shadowking - 3069 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) $\backslash color\{blue\}\backslash textsl\{\backslash huge\{\backslash bf\{Die\; Lemniskate\}\}\}$ Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine Lemniskate ist. In der Freimaurerei taucht sie auf Arbeitsteppichen als maurerisches Symbol auf und steht dort für die Bruderkette, die die Logenmitglieder verpflichtet, einander in jeglicher Situation beizustehen. Inhalt: 1. Definitionen 2. Polarkoordinaten und Parameterdarstellung 3. Bestimmung des Flächeninhalts 4. Bestimmung der Bogenlänge 5. Bedeutung in der Theorie der elliptischen Funktionen 6. Weiteres Auftreten und technische Anwendung Das Unendliche, symbolisiert durch die Lemniskate [Edit] [To the bottom] 1. Definitionen Man kann sie auf verschiedene Weisen definieren. Zum einen ist sie eine spezielle Cassinische Kurve, d.h. bei ihr ist das Produkt der euklidischen Abstände zu zwei Zentren konstant. Unter diesen Kurven stellt sie den Grenzfall zwischen den Fällen dar, daß die Kurve eine oder zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. Zum anderen ist die Lemniskate das Pendant zu einer Hyperbel bezüglich der Inversion am Einheitskreis. Ich möchte zunächst aus beiden Definitionen die algebraische Formel herleiten, woraus sich die Äquivalenz beider Definitionen ergibt. Cassinische Kurve: Die beiden Zentren seien die Punkte $F\_1\; =\; (-1,0)$ und $F\_2\; =\; (1,0)$ in der Ebene. Dann sind die Cassinischen Kurven durch $C\_a\; :=\; \backslash \{Q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2\; |\backslash ,\; \backslash overline\{F\_1Q\}\backslash cdot\backslash overline\{F\_2Q\}\; =\; a^2\backslash \}$ festgelegt. Der Grenzfall tritt ein, wenn der Koordinatenursprung Element der Kurve wird, also die Konstante a = 1 ist. Aus der Bedingung für das Produkt der Abstände gewinnt man die algebraische Gleichung der Cassinischen Kurven: Ein paar Cassinische Kurven (weinrot die Lemniskate) Falls die beiden Zentren $F\_1$ und $F\_2$ nicht den Abstand 2, sondern $2\backslash cdot\; s\; >\; 0$ zueinander besitzen (die Cassinische Kurve am Koordinatenursprung also zentrisch gestreckt wird), so ändert sich an der letzten Gleichung nicht nur die rechte Seite, sondern aufgrund der unterschiedlichen Grade von Minuend und Subtrahend links auch der Faktor 2 vor letzterem zu anderen Werten. Ist der Streckfaktor s, so geht die Gleichung über in $(x^2+y^2)^2-2\backslash cdot\; s^2\backslash cdot\; (x^2-y^2)\; +\; (1\; -\; a^4)\; \backslash cdot\; s^4\; \backslash ,=\backslash ,\; 0$. Für den speziellen Fall $a\; =1,\backslash ;\; s\; =\; 1$ ergibt sich folglich $(x^2+y^2)^2-2\backslash cdot(x^2-y^2)\; =\; 0$ als algebraische Bestimmungsgleichung der Einheitslemniskate. Inversion der Hyperbel am Einheitskreis: Die Standardhyperbel ist definiert durch die Gleichung x·y = 1. Inversion am Einheitskreis behält alle Argumente (Erhebungswinkel gegen die waagerechte Achse) bei und invertiert die Abstände, entspricht also der Division beider Koordinaten durch $x^2+y^2$. Somit erhalten wir für die am Einheitskreis gespiegelte Hyperbel die algebraische Gleichung $\backslash frac\{x\}\{x^2+y^2\}\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash frac\{y\}\{x^2+y^2\}\backslash ,=\backslash ,1$, also $x\backslash cdot\; y\backslash ,=\backslash ,(x^2+y^2)^2$. Übergang zu den Koordinaten u und v, so daß $x\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash cdot(u+v)$ und $y\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash cdot(u-v)$ (was einer Drehung um $\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}=45°$ um den Ursprung entspricht), führt auf $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(u^2-v^2)=(u^2+v^2)^2$. Dies entspricht der Gleichung einer um den Faktor $s=\backslash frac\{1\}\{2\}$ zentrisch gestreckten Einheitslemniskate nach der vorangegangenen Definition, so daß das Bild der Hyperbel unter der Inversion am Einheitskreis eine maßstäblich auf die Hälfte verkleinerte, um 45° gedrehte Einheitslemniskate ist. Es existiert ferner ein Zusammenhang zwischen der Kreisinversion und der Abbildung $z\; \backslash rightarrow\; \backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{z\}\}$ in der komplexen Zahlenebene, denn die Inversion invertiert gleichfalls den Betrag, ändert allerdings zusätzlich das Argument ins Negative. Zum Ausgleich dessen wird $\backslash frac\{1\}\{z\}$ zusätzlich konjugiert. Wir werden hierauf später noch zurückgreifen. [Edit] Polarkoordinaten und Parameterdarstellung Man kann die Gleichung der Einheitslemniskate nach y auflösen, um sie sich als Funktionsgraph plotten zu lassen. Man erhält $y(x)\backslash ,=\backslash ,\backslash sqrt\{\backslash sqrt\{1+4\backslash cdot\; x^2\}-x^2-1\}$. (Aus Gründen der Eindeutigkeit erhält man im Plotter natürlich nur die obere Hälfte der Kurve.) Praktischer für den Umgang sind allerdings Parameterdarstellungen mit dem Argument $\backslash varphi$, welches für die Bereiche $[-\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\},\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}]$ und $[\backslash frac\{3\backslash cdot\backslash pi\}\{4\},\backslash frac\{5\backslash cdot\backslash pi\}\{4\}]$ definiert ist. Setzen wir $x\; :=\; r(\backslash varphi)\backslash cdot\backslash cos(\backslash varphi),\; y\; :=\; r(\backslash varphi)\backslash cdot\backslash sin(\backslash varphi)$, so ergibt Einsetzen und Berücksichtigung der trigonometrischen Eins sowie der Additionstheoreme die Gleichung $r^4(\backslash varphi)\backslash ,=\backslash ,\; 2\backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot(\backslash cos^2(\backslash varphi)-\backslash sin^2(\backslash varphi))$, also $r(\backslash varphi)\backslash ,=\backslash ,\backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash cos(2\backslash cdot\backslash varphi)\}$. Die Parameterdarstellungen für x und y lauten also $x(\backslash varphi)\backslash ,=\backslash ,\backslash cos(\backslash varphi)\backslash cdot\backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash cos(2\backslash cdot\backslash varphi)\}$, $y(\backslash varphi)\backslash ,=\backslash ,\backslash sin(\backslash varphi)\backslash cdot\backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash cos(2\backslash cdot\backslash varphi)\}$. [Edit] Bestimmung des Flächeninhalts Im Prinzip könnte man die Funktionsgleichung $y(x)\backslash ,=\backslash ,\backslash sqrt\{\backslash sqrt\{1+4\backslash cdot\; x^2\}-x^2-1\}$ hierfür auf dem Intervall $[-\backslash sqrt\{2\},\backslash sqrt\{2\}]$ integrieren, was allerdings rechnerisch nahezu unmöglich erscheint (sogar Wolframs Integrator verweigert hier die Herausgabe einer Stammfunktion). Als wesentlich eleganter erweist sich hier die Anwendung der Flächenformel für Parameterkurven: $A\_C\backslash ,=\backslash ,4\backslash cdot\backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\}\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(x\backslash ,\backslash dot\{y\}-y\backslash ,\backslash dot\{x\})\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi$. Hiermit ergibt sich für den Flächeninhalt $4\backslash cdot\backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\}\backslash cos(2\backslash cdot\backslash varphi)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,=\backslash ,4\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,=\backslash ,2$. Im allgemeinen Fall (Zentrenabstand 2·s) ergibt sich also der Flächeninhalt der vollständigen Lemniskate zu 2·s2. Zur Herleitung der Flächenformel für Parameterkurven: [Edit] Bestimmung der Bogenlänge Die Bogenlänge der Lemniskate zu bestimmen ist wesentlich schwieriger als die Bestimmung des Flächeninhalts. Die Frage nach dieser Bogenlänge war lange offen und ihre Beantwortung ist, soweit ich weiß, zuerst Carl Friedrich Gauß gelungen. Zumindest heißt die lemniskatische Konstante im angelsächsischen Sprachraum "Gauss's Constant". Ich weiß zwar nicht, wie Gauß es genau bewerkstelligt hat, aber ich möchte hier meinen eigenen Weg darstellen. Verwendet man die Parameterdarstellung, so ergibt sich für $\backslash sqrt\{\backslash dot\{x\}^2+\backslash dot\{y\}^2\}$ der Term $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash cos(2\backslash cdot\backslash varphi)\}\}$, welches man als $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{1-2\backslash cdot\backslash sin^2(\backslash varphi)\}\}$ umschreiben kann. Man hat dies über dem Intervall $[0,\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}]$ zu integrieren. Die Substitution $t\; =\; \backslash sin(\backslash varphi)$ ergibt $\backslash int\_0^\{\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\}\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{1-2\backslash cdot\; t^2\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-t^2\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$; eine weitere Substitution, $u\; =\; \backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; t$, überführt dies in $\backslash int\_0^1\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; u^2\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-u^2\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}u$. Dies ist das vollständige elliptische Integral erster Art $K(\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\})$. Es gibt eine wesentlich verschiedene Art, diese Bogenlänge zu bestimmen, und – nach einem tiefen Griff in die Trickkiste mit Umkehrfunktionen – erhalten wir für dieses spezielle elliptische Integral einen Ausdruck in elementareren Termen. Zu diesem Zweck verwenden wir einen Ast der Hyperbel in der komplexen Ebene, den wir mit t parametrisieren, so daß wir ihn als $\backslash \{t+\backslash frac\{\backslash mathrm\{i\}\}\{t\}\backslash ,\backslash in\backslash mathbb\{C\}\backslash ,|\backslash ,t\; \backslash in\; [0,\backslash infty)\backslash \}$ erhalten. Beschränken wir den Laufbereich des Parameters auf [0,1], so erhalten wir die Hälfte des Astes, die oberhalb der Winkelhalbierenden liegt. Dessen Bild unter $z\; \backslash rightarrow\; \backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{z\}\}$ ist ein um den Faktor $\backslash frac\{1\}\{2\}$ gestrecktes, halbes Lemniskatenblatt. Wie sieht die Parametrisierung dieser Kurve im Komplexen also aus? Wir nutzen die dritte binomische Formel: $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{t+\backslash frac\{\backslash mathrm\{i\}\}\{t\}\}\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{t+\backslash frac\{\backslash mathrm\{i\}\}\{t\}\}\{t^2+\backslash frac\{1\}\{t^2\}\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{t^3\}\{t^4+1\}\; +\; \backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\backslash frac\{t\}\{t^4+1\}$ Wir erhalten also eine zweite Parametrisierung $x(t)\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{t^3\}\{t^4+1\},\; y(t)\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{t\}\{t^4+1\}$. Beides wird einmal differenziert; hieraus erhält man $\backslash displaystyle\; \backslash dot\{x\}(t)\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{3\backslash cdot\; t^2\; \backslash cdot(t^4+1)-t^3\backslash cdot(4\backslash cdot\; t^3)\}\{(t^4+1)^2\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{3\backslash cdot\; t^2-t^6\}\{(t^4+1)^2\}$, $\backslash displaystyle\; \backslash dot\{y\}(t)\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{1\backslash cdot(t^4+1)-t\backslash cdot(4\backslash cdot\; t^3)\}\{(t^4+1)^2\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{1-3\backslash cdot\; t^4\}\{(t^4+1)^2\}.\; \backslash bigskip$ Für die Berechnung der Bogenlänge hat man $\backslash sqrt\{\backslash dot\{x\}^2+\backslash dot\{y\}^2\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{t^4+1\}\}$ zwischen 0 und 1 zu integrieren. Um das gleiche Ergebnis zu erhalten, kann man nun auch, wie in meinem Artikel "Signore Beltramis Pseudosphäre" begründet, die Umkehrfunktion bestimmen und zwischen $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$ und 1 zu integrieren. Das Ergebnis unterscheidet sich von der Bogenlänge um den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$ und 1, also um $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$. Bestimmung der Umkehrfunktion: Damit ist also $\backslash displaystyle\; L\_\{C\_1\}\backslash ,=\backslash ,\backslash int\_\{\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\}^1\; \backslash frac\{(1-y^2)^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}\}\{\backslash sqrt\{y\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\backslash ,+\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$. Man substituiert so, daß der Nenner "im Differential aufgeht": $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash sqrt\{y\}\}\backslash ,=\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z,\backslash ,\backslash sqrt\{y\}\backslash ,=\backslash ,z$, also $y\backslash ,=\backslash ,z^2$. $\backslash displaystyle\; L\_\{C\_1\}\backslash ,=\backslash ,2\backslash cdot\backslash int\_\{\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt[4]\{2\}\}\}^1\; (1-z^4)^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z\backslash ,+\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash ,=\backslash ,2\backslash cdot\backslash left(\; \_2F\_1\backslash left(\backslash frac\{1\}\{4\},-\backslash frac\{1\}\{4\},\backslash frac\{5\}\{4\},1\backslash right)\backslash ,-\backslash ,\_2F\_1\backslash left(\backslash frac\{1\}\{4\},-\backslash frac\{1\}\{4\},\backslash frac\{5\}\{4\},\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash right)\backslash ,+\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ Zur Berechnung der Bogenlänge mittels des Integrals einer Superellipse Dies sieht aus wie der Flächeninhalt einer Viertel-Superellipse $\backslash \{(x,y)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\_\{+\}^2\; \backslash ,|\backslash ,\; x^4+y^4\backslash leq\; 1\backslash \}$, allerdings passen die Integrationsgrenzen nicht, um die hypergeometrische Funktion mittels der Gammafunktion zu vereinfachen. Doch es stellt sich heraus, daß wir Glück im Unglück haben, denn der Punkt $(\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt[4]\{2\}\},\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt[4]\{2\}\})$ teilt deren im I. Quadranten gelegenen Bogen in zwei exakt kongruente Hälften. Also ist das hier gesuchte Integral, gegeben durch $\_2F\_1(\backslash frac\{1\}\{4\},-\backslash frac\{1\}\{4\},\backslash frac\{5\}\{4\},1)\; -\; \_2F\_1(\backslash frac\{1\}\{4\},-\backslash frac\{1\}\{4\},\backslash frac\{5\}\{4\},\backslash frac\{1\}\{2\})$, gerade die Hälfte des Flächeninhalts dieser Superellipse – vermindert um den Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks der Kantenlänge $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt[4]\{2\}\}$, der $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{4\}$ ist. Wer hätte das gedacht? Nach Ausgleichen der Auswirkung der zentrischen Streckung und Ausdehnung auf die ganze Lemniskate erhalten wir also $L\_\{C\_1\}\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{\backslash Gamma(\backslash frac\{1\}\{4\})^2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash ,=\backslash ,7,416\backslash ,298\backslash ,708\backslash ldots$ als Umfang beider Blätter der Einheitslemniskate. Und als hübsches kleines Nebenresultat erhalten wir noch eine Identität über vollständige elliptische Integrale 1. Art: $\backslash fbox\{\backslash parbox\{6cm\}\{\backslash [\backslash displaystyle\; K\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash right)\backslash ,=\backslash ,\backslash frac\{\backslash Gamma(\backslash frac\{1\}\{4\})^2\}\{4\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; \backslash ]\}\}$ [Edit] Bedeutung in der Theorie der elliptischen Funktionen Für die Bogenlänge der Lemniskate wurde, bevor obiges Ergebnis bekannt war, die Bezeichnung $\backslash varpi$ eingeführt, so daß die Beziehung $2^\{\backslash frac\{3\}\{4\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash varpi\}\; \backslash cdot\; \backslash pi^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}\backslash ,=\backslash ,\backslash Gamma(\backslash frac\{1\}\{4\})$ gilt. Die Versuche von Jakob Bernoulli, Leonard Euler und anderen, die Bogenlänge der Lemniskate zu berechnen, führten zur Geburt der Theorie der elliptischen Funktionen, die dadurch charakterisiert sind, daß sie in der komplexen Ebene zwei Perioden besitzen. Kennt man sie also auf einem Parallelogramm, dessen Seiten gerade die komplexen Perioden darstellen, so kennt man sie auf ganz $\backslash mathbb\{C\}$. Äquivalent dazu ist die Sichtweise, daß der Definitionsbereich elliptischer Funktionen ein Torus sei. In der Theorie der elliptischen Funktionen wurde eine Vielzahl an Ergebnissen ähnlich dem obigen erzielt, was einen engen Zusammenhang zwischen vollständigen elliptischen Integralen erster Art und der Gammafunktion begründet. Man sehe sich dazu auf MathWorld die Seite über Elliptic Integral Singular Values an. In Analogie zu den Funktionen Sinus und Cosinus am Kreis wurden an der Lemniskate die Funktionen lemniskatischer Sinus, $\backslash mathrm\{sl\}(z)$, und lemniskatischer Cosinus, $\backslash mathrm\{cl\}(z)$, eingeführt. In Abhängigkeit von der Bogenlänge eines Lemniskatenbogens gibt $\backslash mathrm\{sl\}(s)$ die Länge der Sehne in einer Lemniskate zwischen $(0,0)$ und $(x,y)\backslash in\; C\_1$ an, wenn die Bogenlänge auf derselben s beträgt. Die Berechnung führte Gauß auf das elliptische Integral $s(r)=\backslash int\_0^r\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-t^4\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$; die hierzu gehörige Umkehrfunktion ist der lemniskatische Sinus. In Analogie zum bekannten Cosinus definierte Gauß: $\backslash mathrm\{cl\}(s)\backslash ,:=\backslash ,\backslash mathrm\{sl\}(\backslash varpi-s)$. Die zweifache Periodizität im Komplexen hängt zweifellos mit dem auch in unserer Rechnung schon zu beobachtenden Auftreten vierter Potenzen der Variablen zusammen, aus dem zu folgern ist, daß die Werte in reeller und in rein imaginärer Richtung gleich sind. [Edit] Weiteres Auftreten und technische Anwendungen: Gegeben sei ein Torus im $\backslash mathbb\{R\}^3$, und zwar durch . Wenn man ihn derart mit einer Ebene schneidet, daß diese den Torus in einem Punkt der waagerechten Symmetrieebene am inneren Rand des Loches tangiert – dies ist der Fall z.B. für die Ebene $y=c-s$ –, dann entsteht als Schnittfigur eine zusammenhängende Kurve mit einem Kreuzungspunkt. Einsetzen der Ebenen- in die Torusgleichung führt auf $\backslash displaystyle\; z\_\{c,s\}(x)\backslash ,=\backslash ,\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash sqrt\{4\backslash cdot\; c^2\backslash cdot\; x^2+4\backslash cdot\; c^2\backslash cdot\; (c-s)^2\}-x^2-2\backslash cdot\; c\backslash cdot(c-s)\},$ was im speziellen Fall $s=\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,c=1$ der Funktionsdarstellung der Lemniskate entspricht. Die Lemniskate gehört also auch als Spezialfall zu den Torusschnitten. Die Lemniskate als spezieller Torusschnitt Anwendungen in der Technik: - Roots-Gebläse: ein verdichtungsfreies Gebläse mit 2 aufeinander anrollenden Kolben in Lemniskatenform (meist allgemeiner in Cassini-Kurvenform), entwickelt in den 20er Jahren, vorwiegend im automobilen Rennsport, heute auch als Saugpumpen zum Beladen und Löschen von Massengut - Lemniskatenlenker (z.B. an Radachsen bei Schienenfahrzeugen; ermöglicht für kleine Auslenkungen eine sehr geradlinige Führung entlang des Mittelabschnittes der Lemniskate), auch Alsthom-Lenker, verwendet die Lemniskate als geometrischen Ort aller Punkte, die in der Mitte der mittleren Strecke eines Streckenzuges aus Strecken der Länge 1, $\backslash sqrt\{2\}$ und wieder 1 liegen, dessen Anfangs- und Endpunkte die Brennpunkte der Lemniskate sind (siehe dazu hier). - Lemniskatenschildausbau: Bauart eines kombinierten Stütz- und Fördergeräts im automatisierten Untertagebau, das sich selbsttätig in möglichst waagerechter Weise fortbewegen soll. Das Prinzip der Fortbewegung gleicht dem des Lemniskatenlenkers und verbessert das ältere Konzept des Kreisbogenschildausbaus. [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Analysis :: Lemniskate :: Cassinische Kurven :: Superellipsen :: Umkehrfunktionen :: Integralrechnung :: elliptische Integrale erster Art :: elliptische Funktionen :: Bogenlänge :: Torusschnitt : Die Lemniskate [von shadowking]   Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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"Mathematik: Die Lemniskate" | 5 Comments

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Re: Die Lemniskate von: FractalAntenna am: Mi. 22. Juli 2015 00:02:20

\(\begingroup\)Ein interessanter Artikel. Bei den elliptischen Funktionen und Integralen gibt es noch viele Geheimnisse zu entdecken. Beispielsweise kann man "Fagnano"-Integral $s(r) = \int_0^r \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1-t^4}}$, das du erwähnst, und dessen Wert $s(1) = \frac{\varpi}{2}$ eng mit der lemniskatischen Konstante zusammenhängt, "explizit" ausrechnen, indem man einen Ausflug in die klassische Welt der elliptischen Funktionen über $\mathbb{C}$ macht. Es gilt nämlich, dass $s(r) = \varpi \eta$ ist, wobei $\eta \in (0,\frac{1}{2}]$ durch die Gleichung $\wp(\eta)=\frac{\varpi^2}{r^2}$ festgelegt ist. Dabei steht $\wp$ für die Weierstraßsche Funktion zum Gitter $L=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} i$. Das finde ich so schön und überraschend, dass ich es hier mitteilen wollte. Umgekehrt steht die lemniskatische Konstante in direkter Beziehung zu den Gitterkonstanten von etwa $L$, es gilt nämlich $g_2(L) = 4\varpi^4$... Viel Spaß noch mit der Lemniskate!\(\endgroup\)