Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
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Section Kopf
Title Apfelmännchen algebraisch
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Section 98
Title Inhalt und Einleitung
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Section 99
Title Notationen und Definitionen
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Section 99
Title Mandelbrot und Feigenbaum
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Section 99
Title Die Mandelbrotmenge als Bifurkationsdiagramm für Julia-Mengen
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Section 99
Title Zentren und Misiurewicz-Punkte
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Section 99
Title Hyperbolische Mengen
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Section 99
Title H3 und darüber hinaus
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Section 99
Title Die Form der Grenzkurven
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42303 charactes in tolal


Section 99
Title Zur Selbstähnlichkeit von M
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Section 99
Title Schluß
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Algebra :: Attraktor :: Bifurkationen :: Chaos :: Feigenbaum-Szenario :: Fixpunkte :: fraktale Geometrie :: Hausdorff-Dimension :: Iteration :: Julia-Mengen :: Kardioide :: Komplexe Zahlen :: Kreis :: kubische Gleichung :: Körpertheorie :: lineares Gleichungssystem :: Mandelbrot-Menge :: Misiurewicz-Punkte :: Parameterkurven :: Periodenverdopplung :: Polynome :: quadratische Dynamik :: Selbstähnlichkeit :: Zentren :: zyklische Punkte :
Apfelmännchen algebraisch [von shadowking]  
Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht Rekonstruktion von Randkurven der Mandelbrotmenge mit algebraischen Mitteln. Überprüfung der Kreisform von H3. Verfahren zur Bestimmung von Zentren und Misiurewicz-Punkten. Bestimmung der Wurzeln von Knospen auf dem Rand hyperbolischer Mengen. Nachweis der Selbstähnlichkeit von M. Nachweis der Faustregeln für die Zyklenlänge in Knospen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch" | 8 Comments
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Re: Apfelmännchen algebraisch
von: Hans-Juergen am: Mo. 19. Oktober 2015 22:17:35
\(\begingroup\)Hallo Norbert, danke für den ausführlichen, informativen Artikel. Neu lernte ich durch ihn, dass das Apfelmännchen die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit nur annähernd besitzt, anders als die Koch-Kurve und das Sierpiński-Dreieck. Gefallen hat mir auch der Satz, dass das Feigenbaum-Diagramm "der reelle Schatten" der komplexen Mandelbrotmenge ist. Herzlichen Gruß, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: shadowking am: Di. 08. Dezember 2015 03:12:09
\(\begingroup\)Ich liefere noch zwei Bilder nach: Die hyperbolische Menge $\mathcal{H}_4$ ist, wie erwähnt, nicht mehr algebraisch bestimmbar. Dennoch kann man den Verlauf ihrer Randkurven näherungsweise nachzeichnen, indem man in $F_3(c,w)\,=\,w^3+c^2\cdot w^2-(c^4+c^3-3c^2)\cdot w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3)$ für $w$ sukzessive $-1+\frac{1}{16},\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{\mathrm{i}\pi}{12}),\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{\mathrm{2i}\pi}{12}),\;\ldots,\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{23\mathrm{i}\pi}{12})$ oder eine noch feinere Unterteilung einsetzt und diese Serie von Gleichungen 6. Grades mit hinreichender Genauigkeit löst. Zueinander gehörende Punkte werden dann graphisch als Streckenzug dargestellt. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_apfelm_nnchenmit3und4bulbswin.png (Gnuplot-Graphik) Der Versuch, dasselbe auch für $\mathcal{H}_5$ durchzuführen, scheiterte (zumindest auf meiner Hardware), da Mathematica nicht imstande war, ein Polynom 840. Grades, dessen Koeffizienten ihrerseits Polynome in $c$ sind, durch ein Polynom 30. Grades zu dividieren; das machte der Arbeitsspeicher nicht mit. Eine Herausforderung für die Rechengenauigkeit ist auch die Bestimmung von Zentren der hyperbolischen Bereiche zu hohen Zyklenlängen. Die WorkingPrecision muß dabei sorgfältig gewählt werden, denn wenn sie zu klein ist, liefert das CAS falsche Lösungen, und wenn sie zu hoch ist, wird es nicht in hinnehmbarer Zeit fertig. Damit konnte ich die 495 Zentren der Bereiche von $\mathcal{H}_{10}$ gerade noch bestimmen (WorkingPrecision->35, Rechendauer damit ca. 9 Stunden). http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_zentrenzu10zyklenmathematica.png (Mathematica-Graphik) Gruß shadowking\(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: shadowking am: Sa. 12. Dezember 2015 19:13:16
\(\begingroup\)Ich konnte nun doch noch die Randkurven von $\mathcal{H}_5$ und $\mathcal{H}_6$ bestimmen. Ich habe mir dabei zunutze gemacht, daß das Polynom, welches die Randkurven erzeugt, letztlich immer nur der kleinere Faktor unter zumeist zweien in dem Polynom ist, das man mit der geschilderten, algebraisch exakten Methode erhält. Man konnte also für $\mathcal{H}_5$ den Ansatz für ein Faktorpolynom sechsten, $F_6(c,w)$, für $\mathcal{H}_6$ den für ein Faktorpolynom neunten Grades in $w$, $F_9(c,w)$, machen. Während Mathematica mit letzterem nicht mehr zurechtkam, konnte wxMaxima dessen Koeffizienten bestimmen, wodurch die numerische Lösung für eine 48-Punkte-Unterteilung möglich war. Allerdings gab wxMaxima die Lösungen sehr "durcheinander" aus, so daß es mir zu aufwendig erschien, die 27⋅48 Punkte händisch auseinanderzuzusortieren, und ich schließlich einen Punkteplot für $\mathcal{H}_6$ machen ließ, der zwar ästhetisch suboptimal, aber doch fast so gut wie die Streckenzüge ist. Hier das Ergebnis: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_apfelm_nnchenmit345und6bulbswin.PNG Graphik: Gnuplot und Mathematica kombiniert \(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: shadowking am: Fr. 18. Dezember 2015 20:52:36
\(\begingroup\)Und noch eine letzte Verbesserung, die jetzt die $\mathcal{H}_6$-Knospe direkt auf der "Kardioide" des $\mathcal{H}_3$-Satelliten aufsitzen läßt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_mandelbrotmit345und6bulbswin.png Gnuplot-Graphik\(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: shadowking am: Mo. 21. Dezember 2015 00:36:57
\(\begingroup\)Noch eine letzte Gnuplot-Graphik, die mit diesem Thema locker zusammenhängt und die ich, da sie einfach zu ästhetisch geworden ist, Euch nicht vorenthalten möchte: Die meisten farbigen Darstellungen der Mandelbrotmenge stufen nach der Anzahl Schritte, nach denen die Iteration $z \, \rightarrow\, z^2+c$ für den Startwert $z=0$ den Betrag 2 überschreitet, farblich ab. Die feinen Grenzlinien zwischen den "Bereichen gleicher Divergenzgeschwindigkeit" nennt man die Mandelbrot-Lemniskaten. Sie werden bestimmt durch die Serie von Betragsgleichungen $|f_c^n(0)|=|f_c^{n-1}(c)|=2$, $n\in\mathbb{N}$, welche mittels $\mathrm{Re}(c)=x,\,\mathrm{Im}(c)=y$ in algebraische Gleichungen $2^n$-ten Grades transformiert werden können. Beispielsweise entspricht $|f_c^2(0)|=|c^2+c|=2$ die algebraische Gleichung $(x^2-y^2+x)^2+(2 \cdot x \cdot y+y)^2-4=0$, deren Lösungsmenge ein Cassinisches Oval mit den beiden Zentren $F_1=(-1,0)$ und $F_2=(0,0)$ (so daß $s=\frac{1}{2}$) und dem Parameter $a^2 = 8$ darstellt. Um diese Lemniskaten auch für höhere $n$ noch darstellen zu lassen, geht man am besten so vor, daß man die für die auf den Grenzlinien liegenden $c \in \mathbb{C}$ geltende Eigenschaft $\exists\,t \in [0,2\pi]\,: f_c^n(0)=2\cdot\exp(\mathrm{i}\cdot t)$ ausnutzt und für $2m$ Werte von $t$, etwa $\{k \cdot \frac{\pi}{m}\,|\,0 \leq k < 2m\}$, diese Gleichungen löst und die $m\cdot 2^n$ Lösungen als Punktliste in der komplexen Ebene plottet. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_sechslemniskaten.png Dieser Plot zeigt die ersten sechs Mandelbrot-Lemniskaten mit $m=60$. Der Kreis für $n=1$ ist durch die 120 schwarzen Punkte angedeutet; bei dem blauen Cassini-Oval erkennt man gerade noch, daß es sich aus 240 Punkten zusammensetzt. Die hellblaue Kurve 8. Grades für $n=3$ hat in der angelsächsischen Literatur den Namen pear curve (Birnenkurve) erhalten.\(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: Hans-Juergen am: Mo. 21. Dezember 2015 21:31:16
\(\begingroup\)Hallo Norbert, diese Kurven gefallen mir sehr. Viele Grüße, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: shadowking am: Di. 22. Dezember 2015 10:32:54
\(\begingroup\)Mir sind sie eigentlich noch zu fett; besser wäre es, sie als Linien zu erzeugen. Die Funktion implicit_plot in wxMaxima ist dazu auch prinzipiell fähig, jedoch scheitert es an der Darstellung der sechsten Lemniskate. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_sechslemniskatenimplicit.png Besser und zudem noch in viel geringerer Zeit kam damit wieder einmal Derive 5.1 zurecht; es schaffte sogar acht Kurven: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_achtlemniskatenderive.PNG Gruß und angenehme Feiertage, shadowking\(\endgroup\)
 

Re: Apfelmännchen algebraisch
von: Delastelle am: Fr. 16. Oktober 2020 01:43:55
\(\begingroup\)Hallo, ich bin eher für die grafische Darstellung zuständig: - Apfelmännchen in Java: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1812 - Fraktale in Acryl gezeichnet: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1745 Viele Grüße Ronald \(\endgroup\)
 

 
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