Physik: Addicted To The Stars
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Physik

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Addicted To The Stars - speziell relativistisches Raumschiff

2002 wurden 15 bekannte Filmregisseure gebeten, 10-minütige Kurzfilme zum Thema "Zeit" unter dem Titel Ten Minutes Older zu erstellen. Berührt hat mich darunter insbesondere der Beitrag von Michael Radford "Addicted To The Stars", den man z.B. hier sehen kann, dennoch enthält er aus Sicht eines Physikers einige Fehler. In diesem Artikel soll es nun darum gehen, eine Reise zu den Sternen mit einer Raumfähre speziell relativistisch durchzurechnen.

Filmfehler

Im Film legen die beiden Astronauten 80 Lichtjahre in 10 Minuten zurück. Vermutlich. Vermutlich deshalb, weil die Kurzfilm-Serie 'ten minutes older' heisst und auch, weil der Arzt oder eigentlich Captain Cecil Thomas (Daniel Graig) diese Körperalterung feststellen. Allerdings sind diese 10 Minuten reichlich gefüllt, nach der letzten Untersuchung muss Captain Thomas zum Raumschiff gegangen und gestartet sein, den Flug zu einem Planeten in 40 Lichtjahren Entfernung gemacht haben, dort irgendwie gelandet sein, den Stein aufgehoben und das Bild abgelegt haben, dann muss er wieder starten und zurück fliegen, auf der Erde landen, mit dem Cyborg reden und dann zum Arzt. Nun gut, Physik lebt von idealisierten Modellen, drücken wir also all diese Nebensächlichkeiten weg und behaupten zunächst einfach mal, das Raumschiff habe die 80 Lichtjahre in 10 Minuten zurück gelegt. Dabei ist die Entfernung von der Erde aus gemessen, die 10 Minuten sind natürlich die Eigenzeit \tau. Was uns jetzt interessiert sind Geschwindigkeit v und vergangene Zeit t in Bezug zur Erde. Zunächst einmal ist einfach \displaystyle v=\frac{s}{t} wobei s=80 \text{ Lichtjahre} (Lj) sind. Desweiteren gilt die Zeitdilatation, es ist \tau=t \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. Damit haben wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte und es ergibt sich t=80 \text{a} + 7 \cdot 10^{-5} \text{s} sowie \beta=\frac{v}{c}=1-2,82 \cdot 10^{-14} und die aus der Sicht des Raumschiffes zurück gelegte Strecke betrug lediglich ca. 180 Mio. km, also etwas mehr als die Distanz zur Sonne. Das Raumschiff flog also annähernd mit Lichtgeschwindigkeit; Beschleunigung und Abbremsen sind im Film nur Lichtblitze. Das ist mehr fiction als science, real können wir das allerdings nicht so einfach in den Skat drücken. Mit anderen Worten, wir berücksichtigen nun die Beschleunigung.

Raumschiff mit konstanter Beschleunigung

Die konstante Beschleunigung spürt der Astronaut als permanente Kraft. Aufgrund des (hier nicht weiter zu diskutierenden) Äquivalenzprinzips von träger und schwerer Masse ist natürlich für ihn eine Beschleunigung von 1\, g komfortabel, da sie der Gravitation entspricht. Er kann sich also im Raumschiff bewegen als hätte er festen Boden unter den Füßen. Damit wird die Geschwindigkeit v des Raumschiffs (von der Erde aus) um dv (vom Raumschiff aus gd\tau) gesteigert (mittels relativistischer Geschwindigkeitsaddition): v+dv=\dfrac{v+gd\tau}{1+\frac{vgd\tau}{c^2}}=(v+gd\tau)(1-\frac{vgd\tau}{c^2})=v+g(1-\frac{v^2}{c^2})d\tau also insgesamt dv=g(1-\frac{v^2}{c^2})d\tau. Es ist sinnvoll, folgende Abkürzungen einzuführen: \beta=\frac{v}{c} sowie \alpha_t=\frac{gt}{c}. Wenn wir jetzt noch g=9,5 \, \frac{m}{s^2} festlegen, dann entspricht \alpha_t der in Jahren vergangenen Zeit t (analog für \tau). Damit ist also d\beta=(1-\beta^2)d\alpha_{\tau}. Das kann man nun integrieren und erhält \beta=\tanh{\alpha_{\tau}}. Für die Umrechnung in t gilt \alpha_t=\sinh{\alpha_{\tau}}, das ergibt \displaystyle \beta=\frac{\alpha_t}{\sqrt{1+\alpha_t^2}}. Um jetzt weiter zu kommen, denke man sich den Flug wie folgt: Das Raumschiff beschleunigt auf der ersten Hälfte der Strecke, auf der zweiten Hälfte bremst es ab, s.d. es auch am Zielort landen kann. Zurück analog. Für Hin- und Rückflug ist also die Gesamtstrecke zu vierteln (oder die Entfernung zu halbieren). Wir integrieren jetzt v(t) bzw. \beta(t) und erhalten x(t)=\sqrt{1+\alpha_t^2}-1, wobei x in Lichtjahren angegeben wird. In unserem Fall haben wir als (halbe) Entfernung x(t)=20 \, Lj gegeben und ermitteln daraus die auf der Erde vergangene Zeit t (\alpha_t) für jede der vier Teilstrecken zu 20,97617\dotsc \, a bzw. die gesamte während des Fluges vergangene Zeit zu 83,9047\dotsc\,a oder 83\,a ~ 330\,d ~ 10\,h ~ 40\,min ~ 8,56\,s. Die Eigenzeit im Raumschiff ermitteln wir zu \alpha_{\tau}=\operatorname{arsinh}\alpha_t=\ln (\alpha_t + \sqrt{\alpha_t^2 + 1} )=3,7371, sprich auf allen vier Strecken zusammen zu \tau=14,9484 \,a. Das sieht schon etwas anders aus als die 10 Minuten! Die erreichte Maximalgeschwindigkeit \beta beträgt übrigens 99,886\,\% (der Lichtgeschwindigkeit).

Energie und Masse-Nutzlastverhältnis

Eine Entfernung von lediglich 40 Lichtjahren ist ja noch der absolute kosmische Nahbereich. Infrage käme dafür z.B. das System Zeta Reticuli, das sich ja als Herkunftsgebiet von furchterregenden Aliens in der Ufologie bzw. in der Serie "Aliens" einen Namen gemacht hat (den Hinweis auf Zeta Reticuli habe ich von einer Freundin erhalten, Dank dafür). Aber Scherz beiseite, es ist interessant einmal zu ermitteln, wie denn die Eigenzeiten für andere Entfernungen aussehen:
Entfernung in Lj (von der Erde aus)Reisezeit in Jahren (im Raumschiff)
100027,64
25000 (Zentrum der Galaxie)40,5
2,2\, Mio. (Andromeda-Nebel)29,2 (ohne Wiederkehr)
Wie man sieht, sind die Reisezeiten für die Astronauten zwar lang, aber noch durchaus in ihrer Lebensspanne, selbst zu anderen Galaxien! Das ist eigentlich ein Ergebnis, das man nicht erwarten würde. Für mich ist daher die SRT so etwas wie ein kosmisches "Hebelgesetz" - Raum und Zeit könnten durch viel Energie auf ein menschliches Maß reduziert werden. Und natürlich wäre so ein Raumschiff auch eine Zeitmaschine für eine Reise in die Zukunft. Die Astronauten altern zwar auch nicht unerheblich, aber könnten (zig) tausende Jahre später schauen, was sich vielleicht wirklich Neues auf der Erde entwickelt hat. Bevor man aber weiter träumt, schauen wir uns konkret an, um welche Energien es sich dabei handelt. Zunächst einmal soll die Energie aus der Materie-Antimaterie-Annihilation stammen, und das mit dem Wirkungsgrad 1. Sprich, der als Masse M mitgeführte Treibstoff soll vollständig gemäß E=M \cdot c^2 in Energie umgesetzt werden. Ich hatte zunächst deshalb für die Massenänderung die Energieerhaltung im Visier: mv'dv'=c^2dm mit v' als Geschwindigkeit im Bezugssystem Raumschiff angesetzt. Dank Spock (Jürgen) weiss ich jetzt aber, dass es eher auf die Impulserhaltung ankommt, also mdv'=mgd\tau=-cdm anzusetzen ist. Dies integrieren wir von m+M bis m, wobei m die Nutzlast und M der Treibstoff ist. Es ergibt sich damit als Treibstoff-Nutzlastverhältnis \displaystyle \frac{M}{m}=e^{\alpha_{\tau}}-1. Für unseren Flug im Film ist dies 3,1\,Mio.\,:\,1! Normale Treibstoff-Nutzlastverhältnisse, z.B. bei der Ariane betragen 40 bis 50\,:\,1. Wenn man bedenkt, dass die Nutzlast realistisch mindestens 50\,t betragen sollte, damit dort 1. mehrere Astronauten und dazu noch für die lange Zeit 2. einigermaßen komfortabel unterwegs sein können, ist dies eine zu große Menge an Treibstoff. Meine Überlegung ging noch soweit, dass man vielleicht auf den Materie-Anteil verzichtet und dieses während des Fluges aus dem interstellaren Gas bezieht, aber das wird nichts - die Menge beträgt auf der gesamten Strecke nur wenige Milligramm. Auch eine solche Menge an Antimaterie zu produzieren übersteigt bislang jedes menschliche Vermögen.

Ausblick und Schluss

Angesichts der riesigen Treibstoffmengen, die man selbst für (in kosmischen Maßstäben) äußerst geringe Entfernungen benötigt, klingen Aussagen wie die von Kardaschow, Sagan ua. über eine Besiedelung erst des Sonnensystems und dann der Galaxie durch den Menschen (oder einer anderen außerirdischen Intelligenz) utopisch. Es gibt zwar das SRT-"Hebelgesetz", aber wir können es nicht nutzen. Trotzdem will ich es noch mal anders visualisieren. In der Grafik symbolisiert der Punkt eine beliebige Strecke AB im Universum. Sobald Masse existiert und damit verschiedene Geschwindigkeiten trennen sich die Punkte A und B und können nicht mehr direkt, sondern nur noch über die als Kreise dargestellten Wege erreicht werden. Rot entspricht einer hohen Geschwindigkeit und kleinen Strecke, blau niedrige Geschwindigkeit und riesige Distanz. \begin{tikzpicture} \fill (0,0) circle (0.05); \draw[red] (0,-0.2) circle (0.2); \draw[green] (0,-0.5) circle (0.5); \draw[blue] (0,-1) circle (1); \end{tikzpicture} Für Licht dagegen bleiben A und B miteinander verbunden, dh. Licht hat Eigenzeit Null und legt für sich keine Strecken zurück. Man mache sich klar, dass die Struktur der Raumzeit derart ist, dass alle Punkte (auch auf den Kreisen) eigentlich dieser eine schwarz gezeichnete Punkt ist, es also trotz der raumzeitlichen Trennung eine innere, eben strukturelle Verbundenheit gibt. Diese Verbundenheit können wir momentan nur durch hohe Geschwindigkeiten (hohe Energien) erkennen und in Grenzen nutzen, aber wer weiss, vielleicht gibt es ja auch noch andere Möglichkeiten, die es noch zu erforschen gilt. Und dann geht es vielleicht wirklich zu den Sternen. viel Freude trunx (Jens Koch)
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Addicted To The Stars [von trunx]  
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"Physik: Addicted To The Stars" | 24 Comments
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Re: Addicted To The Stars
von: Ex_Mitglied_39392 am: Fr. 11. März 2016 22:28:18
\(\begingroup\)Hallo, schöner Artikel, dennoch ergeben sich ein paar Fragen. 1. Warum setzt du a = 9,5 m/s² und nicht g = 9,81 m/s², d.h. die Standarderdbeschleunigung? Damit verkürzen sich die Flugzeiten etwas. Für den Flug zum Andromedanebel (mit deinen 2,2 Mill. ly) sind es dann nur noch 28 a und 140 d. Selbst eine Rückkehr wäre in einem Menschenleben möglich. 2. Die Entfernung zum Andromedanebel wird heute mit 2,5 Millionen ly angegeben. (u.a. auch bei https://de.wikipedia.org/wiki/Andromedagalaxie) Dann werden es für den Hinflug 28 a 230 d. 3. Sollte die Menschheit jemals in der Lage sein, derartige Energiebeträge bereitzustellen, dann kann sie auch mit irgendwelchen "Tricks" die Beschleunigung erhöhen, ohne dass die Passagiere darunter leiden. Setzen wir "nur" 2g als Beschleunigung an, sind es nur noch 14 a 361 d bis zum Andromedanebel, bei 5g etwas mehr als 6 Jahre. 4. Deine Idee, unterwegs interstellare Materie einzufangen und als Treibstoff zu nutzen, funktioniert nicht! Wie in dem hervorragenden Physikbuch „Gerthsen Physik“ sehr schön nachgewiesen wird, bringt dies überhaupt nichts – im Gegenteil: Durch das Einfangen der Teilchen würde das Raumschiff nicht beschleunigt, sondern abgebremst. Tut mir leid, aber so geht es nicht. Beste Grüße stpolster \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Fr. 11. März 2016 22:33:17
\(\begingroup\)hallo stpolster, ich habe g=9,5m/s2 gesetzt, weil dann die Formeln besonders einfach sind und dieser Wert noch nahe genug an der tatsächlichen Erdbeschleunigung ist. und zu 4. wie gesagt, es funktioniert auch nicht, weil zu wenig Materie da ist (darüber, ob es funktionieren würde, wenn es genug Materie unterwegs gäbe, habe ich nicht weiter nachgedacht, aber es kann gut sein, dass dies den Flug bremsen würde).\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: Ex_Mitglied_39392 am: Fr. 11. März 2016 22:37:44
\(\begingroup\)Hallo trunx, warum auch nicht. 9,5 m/s² geht genau so gut. Ich habe noch eine kleine "Krümelkackerei": Da das Raumschiff beschleunigt, liegt kein Inertialsystem vor. D.h., die Gleichungen ergeben sich nicht aus der SRT, sondern aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Beste Grüße stpolster PS: Etwas Ähnliches, aber nicht so ausführlich, habe ich unter http://mathematikalpha.de/relativistischer-raumflug . Wen es interessiert, kann ja das Programm downloaden und unter "Relativistischer Raumflug" weitere Berechnungen durchführen.\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Fr. 11. März 2016 22:45:46
\(\begingroup\)ich sehe das nicht als Krümelkackerei, sondern als berechtigte Anmerkung. Allerdings denke ich, dass hier trdm, uz. infinitesimal, ein Inertialsystem vorliegt und deshalb die SRT anwendbar ist. Für endliche Zeiten und/oder Wege gibt es hier natürlich kein Inertialsystem, das ist richtig.\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: Ex_Mitglied_39392 am: Fr. 11. März 2016 22:50:20
\(\begingroup\)Hallo trunx, ok, ganz sicher bin ich mir nicht, ob nun SRT oder ART. Ich denke noch einmal darüber nach. Beste Grüße stpolster \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Fr. 11. März 2016 23:27:26
\(\begingroup\)ART müsste man ganz sicher benutzen, wenn es um reale Flüge an bestimmte Himmelskörper vorbei oder zu bestimmten Himmelskörpern hin gehen würde. Insbesondere auch die Berechnung eines Fluges ins galaktische Zentrum oder zum Andromeda-Nebel ginge nicht ohne ART. Aber hier wird halt so gerechnet, als gäbe es keine Massen und auch kein Gravitationsfeld, in dem die Bewegung statt findet.\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: mint am: Sa. 12. März 2016 00:17:50
\(\begingroup\)Beschleunigte Bewegungen sind ein vollkommen natürlicher Teil der SRT, so ist z.B. der essenzielle Teil des Zwillingsparadoxon eben dass einer der Zwillinge eine beschleunigte Bewegung durchführt (auch wenn dieser Aspekt durch die unphysikalische Wahl der Weltlinie in vielen Büchern verschleiert wird). Eine Behandlung der SRT in der das klar wird findet sich z.B. in Gourgoulhons Buch "Special Relativity in General Frames", dort wird die SRT zunächst unabhängig von einem Bezugssystem entwickelt (die Raumzeit wird als 4-dim affiner Raum mit Zusatzstrukturen definiert) was später dann die Einführung von beliebigen Beobachtern (auch beschleunigte) erleichtert. Beste Grüße mint\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: Kornkreis am: So. 13. März 2016 13:45:56
\(\begingroup\)"Dank Spock (Jürgen) weiss ich jetzt aber, dass es eher auf die Impulserhaltung ankommt" Ich finde, hier besteht noch Diskussionsbedarf, siehe http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=216748\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Di. 15. März 2016 11:17:34
\(\begingroup\)hallo kornkreis, man kommt auch mit dem Energieerhaltungssatz auf das gleiche Ergebnis wie im Artikel, nämlich über: $(m+dm)c^2=\gamma mc^2 +dE_{\text{phot.}}=mc^2 +dp_{\text{phot.}} \cdot c$ wegen $\gamma=1$ (in $\gamma=\sqrt{1+(d\beta)^2}=1+\frac{1}{2}(d\beta)^2=1$ werden die quadratischen Differentiale weg gelassen) und der Energie-Impuls-Beziehung für Photonen E=pc. Es ergibt sich $dm \cdot c=dp_{\text{phot.}}$; darin wird jetzt $dp_{\text{phot.}}$ wie im Artikel entsprechend der Impulserhaltung $0=dp_{\text{phot.}}+mgd\tau$ gesetzt, woraus das dort Gesagte folgt. Ich glaube, so ist es jetzt am Saubersten.\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: Ueli am: Mi. 16. März 2016 12:57:15
\(\begingroup\)Übrigens, Alastair Reynolds hat in Himmelssturz, 2007 ein in vielen Punkten realistisches Szenario beschrieben (natürlich bleibt vieles unrealistisch, wenn man kosmische Distanzen überwindet). Es handelte sich dabei um die Entführung einiger Raumfahrer auf und mit dem Mond Janus. Ab einer gewissen Geschwindigkeit musste der Mond abgedeckt werden, um die Menschen vor der harten Strahlung zu schützen. Für 99.886% Lichtgeschwindigkeit bekommen ich einen Faktor von 42 für die Frequenzerhöhung. Die kosmische Hintergrundstrahlung käme dann an den langwelligsten IR Bereich heran und das sichtbare Licht würde dann an der Grenze von UV zu Röntgenstrahlung kratzen. Ein grosses Problem scheint mir das noch nicht zu sein. Rein theoretisch begrenzt die Strahlung als kosmische Bremse aber die maximale Geschwindigkeit. Reibungshitze im Weltraum - ein seltsamer Gedanke. Gruss Ueli\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Mi. 16. März 2016 15:40:26
\(\begingroup\)hallo ueli, du hast völlig recht, in der Höhenstrahlung ist das ja eine echte messbare Grenze, siehe GZK-Cutoff Grüße zurück trunx\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Do. 17. März 2016 09:35:24
\(\begingroup\)ich habe jetzt nochmal das Einsetzen der Reibung an der Hintergrundstrahlung berechnet mit den Werten die beim GZK-Cutoff angegeben wurden. Dort wurde als maximale Proton-Energie 6*1019 eV genannt, was einer Geschwindigkeit von $\beta=1-\frac{1}{8,5 \cdot 10^{10}}$ entspricht. Unser Raumschiff erreicht diese Geschwindigkeit in knapp 13 Jahren. Ich weiss jetzt nicht wie die Wirkungsquerschnitte sind, aber ich denke mal, dass man schon deutlich früher die Reibung spüren sollte. Von daher dürfte sie sich schon bei einer entsprechenden Reise ins galaktische Zentrum bemerkbar machen, ganz sicher jedoch bei einer Reise zum Andromeda-Nebel. Es ist ja nicht so, dass diese Reibung nur das Raumschiff bremst (ein auf diese Weise mit der Hintergrundstrahlung wechselwirkendes Proton verliert 20% seiner Energie), es setzt ihm ja auch substanziell zu. Interessant wäre jetzt die Größenordnung des dadurch verursachten Materialverschleiß'.\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: So. 20. März 2016 19:58:16
\(\begingroup\)Wie isn das wenn ich die Beschleunigung ausm Inertialsystem Erde betrachte. Gilt dann auch: \ d(p/c)=d(\gamma m \beta) = -dm ??\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Mo. 21. März 2016 01:19:17
\(\begingroup\) \ Seh ich das richtig, dass die Lösung aus dem letzten Abschnitt mit der Abschätzung der Treibstoffmenge nichts mehr mit der aus Abschnitt 2 zu tun hat? Die kovariante BWGL lautet: diff(\gamma m \beta, \tau) = K mit der Bewegung in irgendeine der Koordinatenachsen. Im momentanen Ruhsystem lautet die Gleichung diff(\gamma m \beta, \tau) = m diff(\beta,\tau) = -diff(m,\tau) := mg Transformiert ins Erdfeste Bezugssystem müsste das diff(\gamma m \beta, \tau) = \gamma mg bzw. diff(\gamma m \beta, t) = mg lauten. Und damit (diff(\beta,t))*\gamma*(1+\beta^2*\gamma^2) = g/c*(1+\beta) wobei \gamma diff(m,t) durch die Bedingung im Ruhsystem ersetzt wurde. Die Lösung dieser Gleichung: exp(\alpha)/4+1/3-exp(-\alpha)/2-exp(-3\alpha)/12=gt/c sieht ein bisschen anders aus. (\beta=tanh(\alpha)) \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Mo. 21. März 2016 08:42:00
\(\begingroup\)hallo digerdiga, im abschnitt "Raumschiff mit konstanter Beschleunigung" habe ich in der tat rein kinematisch, also insbesondere auch ohne masse gerechnet (was auch nicht erforderlich ist). es reicht dafür zu wissen, dass das raumschiff im momentanen ruhsystem konstant beschleunigt. wie diese beschleunigung zustande kommt, ist noch uninteressant. das wird dann wie du richtig sagst, im abschnitt "Energie und Masse/Nutzlast-Verhältnis" behandelt. dennoch haben beide abschnitte natürlich etwas miteinander zu tun. nun zu deiner rechnung, mit der ich nicht einverstanden bin, aber gut, gehen wir sie der reihe nach durch. wie genau kommt bei dir in diff(\gamma m \beta, \tau) = m\.diff(\beta,\tau) = -diff(m,\tau) := mg das zweite gleichheitszeichen zustande? wie motivierst du das dritte (hier hätte ich schon bedenken aus dimensionsgründen)? wenn tatsächlich alle diese gleichheiten gelten, ist insbesondere diff(\gamma m \beta, \tau):= mg doch bereits in der nächsten zeile schreibst du diff(\gamma m \beta, \tau) =\gamma mg warum? dann machst du einen riesensprung von diff(\gamma m \beta, t) = mg (was im übrigen nach dem bisherigen bedeutet, dass für dich $t=\tau$ ist) zu (diff(\beta,t))*\gamma*(1+\beta^2*\gamma^2) = g/c*(1+\beta) könntest du hier etwas expliziter werden? die integration habe ich nun schon gar nicht mehr nachvollzogen. ich glaube, dein fehler liegt in den wechseln der koordinatensysteme. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Mo. 21. März 2016 13:29:16
\(\begingroup\) \ Hallo Trunx, Kann sein, dass ich irgendwo einen Denkfehler habe, aber meine Ausführungen sind mmn bisher nur notationsschwach. Ich dachte aber das wäre klar gewesen. Ich fang nochmal von vorne an und erläutere was ich damit meinte. Die allgemeine Gleichung diff(\gamma m \beta, \tau) = K = \gamma *F (hier nur für die relevante Komponente) kann in unterschiedlichen Bezugssystemen geschrieben werden. Im erdfesten KOS \Sigma lautet sie \gamma diff(\gamma m \beta, t) = K = \gamma*F wobei \gamma die Relativgeschwindigkeit zur Rakete als Geschwindigkeitskomponente beinhaltet (\beta) Man kann sie auch in dem Intertialsystem tangential (zu einem beliebigen Augenblick) zum beschleunigten Bezugssystem hinschreiben (\Sigma)' (\gamma)' diff((\gamma)' m (\beta)', t') = K' In diesem gilt aber d\tau=dt' , deshalb hatte ich die Bezeichung \tau in der Gleichung (von oben) diff(\gamma m \beta, \tau) = m\.diff(\beta,\tau) = -diff(m,\tau) := mg einfach beibehalten. Bezieht sich aber auf das mitbewegte System. Auch ist die Bezeichnung \gamma nicht mit der weiter unten zu verwechseln. (gleiches \gamma aber hier ist das \gamma in (\Sigma)' gemeint welches 1 ist) Das erste Gleichheitszeichen müsste klar sein (setze nach dem ableiten \gamma=1 und \beta=0) Die 2. Glh. ist doch die Impultserhaltung in dem Bezugssystem!? (Vllt fehlt ein c, aber das wird schließlich auch mal gerne 1 gesetzt. Ich habs einfach vergessen.) Die dritte Gleichheit ist die Forderung der konstanten Beschleunigung in diesem Bezugssystem. Also in (\Sigma)' gilt diff((\gamma)' m (\beta)', t') = m\.diff((\beta)',t') = -diff(m,t') := mg/c = K' Die transformation der relevanten Komponente in \Sigma lautet dann \gamma diff(\gamma m \beta, t) = K = \gamma*mg/c korrekt? Die Gleichung: (diff(\beta,t))*\gamma*(1+\beta^2*\gamma^2) = g/c*(1+\beta) ergibt sich einfach, wenn ich \gamma diff(\gamma m \beta, t) = K = \gamma*mg/c ausschreibe und -diff(m,t') = - \gamma diff(m,t)= mg/c setze. \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Mo. 21. März 2016 16:45:07
\(\begingroup\)ehrlich gesagt, ergibt das, was du schreibst, wenig sinn und das nicht nur wegen einer notationsschwäche. bei dir steht nach wie vor einerseits diff(\gamma m \beta, \tau) = mg/c (wobei ich das c jetzt mitgeschrieben habe, ok?) und andererseits \gamma\. diff(\gamma m \beta, t) =\gamma \.mg/c normalerweise würde ich jetzt durch $\gamma$ dividieren und hätte dann diff(\gamma m \beta, t) = mg/c was zusammen mit der ersten gleichung $t=\tau$ ergibt. und das ist einfach falsch. nun sagst du $\gamma$ ist nicht gleich $\gamma$, ist das der grund für den fehler? dann verwende halt die abkürzung $\gamma$ nicht, sondern schreibe jedesmal konkret aus, wofür das eine und wofür das andere steht. ich verstehe auch eigentlich nicht, warum du die kraft mit ins boot holst, es reicht zunächst eine einfache kinematische rechnung (bei mir rel. geschwindigkeitsaddition).\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Mo. 21. März 2016 21:24:34
\(\begingroup\) \ Jetzt bin ich 3 mal angefangen und fand jedes mal nicht die richtigen Worte. Die erste Gleichung diff(\gamma m \beta, \tau) = mg/c lautet korrekt diff(\gamma_(u') m \beta_(u'), \t') = mg/c und gilt nur im momentanen Ruhsystem und dient dazu die Kraft F' zu bestimmen die ja in diesem System gleich mg sein soll. Dort gilt nach dem Ableiten u'=0 (für ein infinitesimales Zeitintervall) Über: K=\gamma_u (K'+\beta_u K^0') erhält man dann die Kraft im erdfesten Bezugssystem. K'=\gamma_(u') F' sowie K^0'=\gamma_(u') F'*\beta_(u') So wird es ja auch gemacht, wenn m=const. ist. diff(\gamma_u m \beta_u,t)=mg/c wird zu diff(\gamma_u \beta_u,t)=g/c dessen Lösung gerade \beta=\alpha_t/sqrt(1+\alpha_t^2) liefert. Im Unterschied dazu soll jetzt m aber nicht mehr constant sein. Und dabei komm ich auf die obige Lösung. D.h. für diff(\gamma_u m \beta_u,t)=mg/c als Funktion von t. Alternativ kann man die erdfeste Geschwindigkeit u als Funktion der Eigenzeit ausdrücken. diff(\gamma_u m \beta_u,\tau)=\gamma_u mg/c \beta^2*\gamma_u^3*m*diff(\beta,\tau) + \gamma_u m diff(\beta,\tau) + \gamma_u \beta diff(m,\tau) = \gamma_u mg/c Hier kann man ausnutzen dass die Änderung der Ruhemasse mit der Eigenzeit aufgrund der Impulserhaltung mit der Kraft mg in Beziehung steht: -diff(m,\tau)*c=mg Einsetzen und Sortieren und \beta=tanh(\alpha) substituieren liefert: d\alpha/(1+tanh(\alpha)) = g/c d\tau Was nicht die übliche Abhängigkeit \beta=tanh(\alpha_\tau) einer im Ruhsystem konstant beschleunigten konstanten Masse zeigen würde. PS: Warum sollte diff(\gamma_(u') m \beta_(u'), t') = mg/c diff(\gamma_(u) m \beta_(u), t) = mg/c t=t' implizieren? \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Mo. 21. März 2016 23:35:00
\(\begingroup\)Kann es eventuell sein, dass m bei der Bewegungsgleichung grundsätzlich vor der Ableitung steht? Obwohl die Impulsformulierung m immer in die Ableitung hinein zieht, wird dabei grundsätzlich von konstantem m ausgegangen? Das würde meinen Denkfehler erklären. Gilt also grundsätzlich \ m diff(u,\tau) = K auch für sich änderndes m ?!\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Di. 22. März 2016 12:30:02
\(\begingroup\)hallo digerdiga, jetzt glaube ich zu verstehen, worauf du hinaus willst: für m=const. erhältst du wie ich $\gamma^2 d\beta=d\alpha_{\tau}$, für sich änderndes m aber $\gamma^2 d\beta=(1+\beta)d\alpha_{\tau}$, wobei das zusätzliche $\beta$ von dm stammt, was dann natürlich nicht $\beta=\tanh{\alpha_{\tau}}$ liefern würde. richtig? bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Di. 22. März 2016 13:13:13
\(\begingroup\)Hey Trunx, Genau das dm stammt aus dem Term der aus meinem darauffolgenden Post zufolge eventuell gar nicht auftritt, weil das m grundsätzlich vor der Ableitung steht. Vllt eine triviale Frage, aber auf Grund der üblichen Formulierung \ F=p^* und normalerweise m=const stellte sich die Frage nie. \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: trunx am: Mi. 23. März 2016 09:01:45
\(\begingroup\)nein, das m steht allgemein nicht vor der ableitung, es ist, wie du sagst F=p^*\(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Mi. 23. März 2016 14:20:38
\(\begingroup\)Das macht es um so komischer ☹️ \(\endgroup\)
 

Re: Addicted To The Stars
von: digerdiga am: Fr. 25. März 2016 03:03:58
\(\begingroup\) \ So, sorry wegen der Konfusion... Der Fehler lag einfach in der Transformation. Üblicherweise ist die Leistung ja zu K^0 = \gamma 1/c * F^>*v^> gesetzt (Ich hatte wieder nur den konstante Masse Fall im Kopf). Im Ruhsystem \Sigma ' scheint sie daher zu verschwinden. Betrachtet man stattdessen K^0' = 1/c * diff(E',t') = 1/c * diff(\gamma ' mc^2,\tau) = m^* c , wegen \gamma '=1 so erhält man den fehlenden Term. \(\endgroup\)
 

 
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