Überlegungen zur Vereinfachung der Konstruktion des regulären 17-Ecks
Das Wappen der durch Gemeindefusion im Jahr 2011 entstandenen Gemeinde "Glarus Süd" zeigt eine siebzehnstrahlige gelbe Sonne auf blauem Grund:
Das ist unter den Wappensymbolen eine absolute Rarität. In der Heraldik kommen zum Beispiel Sonnen mit 8, 12, 16 oder 32 Strahlen vor. Sie haben den (wenigstens für frühere Wappendesigner wichtigen) Vorteil, dass man die entsprechenden regelmäßigen Vielecke mit den klassischen Methoden der Geometrie, also mittels Zirkel und Lineal, exakt konstruieren kann. Eine Ausnahme ist da etwa die 28-strahlige Sonne im Wappen von Wiesbaden-Sonnenberg. Das reguläre 28-Eck ist nicht ZL-konstruierbar, weil dies schon für das reguläre Siebeneck nicht der Fall ist.
Für die meisten Laien ziemlich unbegreiflich ist deshalb, dass die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks trotzdem möglich sein soll.
Für den vorliegenden Artikel habe ich, ausgehend von den früher bekannten, recht komplizierten und unübersichtlichen Konstruktionen, eine wesentlich einfachere und kurze Darstellung entwickelt.
Bei einer der größten Gemeindefusionen der vergangenen Jahre in der Schweiz vereinigten sich im Jahr 2011 frühere 17 Gemeinden des Kantons Glarus zur (damals) flächengrößten Gemeinde der Schweiz: Glarus Süd. Dieser Rekord wurde allerdings kurze Zeit später durch eine andere Gemeindefusion im Unterengadin (Kanton Graubünden) schon wieder (ganz knapp) übertroffen.
Für die neu durch die Fusion entstandene Gemeinde suchte man ein neues Wappen. Zu diesem Zweck wurde ein Wettbewerb ausgeschrieben, aus welchem dann ein Entwurf als Sieger hervorging, in welchem eine siebzehnstrahlige Sonne auf blauem Grund erscheint:
Symbolisch steht also jeder einzelne "Strahl" für eine der Teilgemeinden, die nun vereinigt sind zur Großgemeinde "Glarus Süd" . Diese Gemeindebezeichnung weckt ja auch schon fast mediterrane Gefühle, die bestimmt durch die leuchtende Sonne im Wappen tatkräftig unterstützt werden sollen ...
Als Mathematiker, der aus einer der 17 nun vereinigten Gemeinden stammt, fand ich diese Wahl nach einigem Überlegen sehr interessant, wusste ich doch, dass das regelmäßige Siebzehneck tatsächlich mittels Zirkel und Lineal exakt konstruierbar ist, was manche, denen man dies sagt, zunächst kaum glauben mögen. Dass man ein regelmäßiges 16-Eck leicht konstruieren kann, sieht jeder ein. Wer aus der Schule die Konstruktionen für regelmäßige Drei- und Fünfecke kennt, kann auch, nach einigem Überlegen, verstehen, dass das reguläre 15-Eck ebenfalls konstruierbar sein müsste - aber dann ein 17-Eck ??
Geniestreich eines 19-Jährigen am Ende des 18. Jahrhunderts
Einer der sehr großen Mathematiker des 18./19. Jahrhunderts, Carl Friedrich Gauß, entdeckte schon als 19-Jähriger, dass es möglich sein muss, eine exakte Konstruktion für dieses regelmäßige Vieleck durchzuführen. Auf diese Erkenntnis kam er nicht auf rein geometrischem Weg, sondern in erster Linie durch tiefgründige algebraische Überlegungen auch mittels komplexer Zahlen. Darauf soll hier nicht weiter eingegangen werden, obwohl dies ebenfalls ein sehr interessantes Thema wäre.
Soweit mir bekannt ist, kennen wir keinen eigentlichen Konstruktionsentwurf für das reguläre 17-Eck, der auf Gauß selber zurückginge. Ausgehend von der Formel, die er herleitete:
eine Konstruktion herzuleiten, die nicht fürchterlich kompliziert würde, ist nämlich eine sehr schwierige Aufgabe. Ja, Sie lesen richtig: Manchmal ist es tatsächlich sehr schwierig, die Dinge so einfach darzustellen, wie sie es im Kern sind !
Erste publizierte Konstruktionsvorschriften gehen (laut Wikipedia) auf die Jahre um 1820 zurück. Gauß hatte die Konstruierbarkeit an sich schon über 20 Jahre vorher bewiesen. In späteren Jahrzehnten wurden diese frühen Konstruktionen durch weitere Mathematiker weiter bearbeitet und teilweise vereinfacht.
Näheres kann man da nachlesen: de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck
Konzentration auf das Wesentliche
Als ich mir nun die Konstruktionszeichnungen und -beschreibungen bei Wikipedia genau anschaute, wurde mir klar, dass man diese deutlich vereinfachen könnte, wenn man sich sowohl in der Konstruktion als auch in der Beschreibung auf das Notwendige beschränken würde. Wenn man insbesondere nicht immer komplette Kreise, sondern nur die für die Fortsetzung der Konstruktion notwendigen Kreisbögen darstellt, wird die Zeichnung wesentlich übersichtlicher. Auch die Konstruktionsbeschreibung kann man - ohne Verlust der Exaktheit - recht kurz fassen und dabei zusätzlich durch geschickte Wahl der Bezeichnungen den Konstruktionsweg in seinen einzelnen Schritten verdeutlichen. In der Konstruktion habe ich auf die Darstellung der eigentlichen Zielfigur (Siebzehneck) verzichtet. Sobald zwei (im Prinzip beliebige) Eckpunkte auf dem Umkreis lokalisiert sind (hier = O und ), kann das Vieleck durch wiederholtes Abtragen der entsprechenden Sehnenlänge rings um den Kreis herum leicht vervollständigt werden.
Für diejenigen, die sich mit der Konstruktion eingehender beschäftigen möchten, könnte ich folgende Übungen vorschlagen:
1.) Konstruktion durchführen
Jedem, der noch mit Zirkel und Lineal umzugehen weiß, würde ich empfehlen, die Konstruktion tatsächlich durchzuführen und damit zuerst einmal praktisch zu testen, ob es wirklich "passt". Natürlich würde sich auch etwa Geogebra für die Nachkonstruktion eignen.
2.) Verifikation (numerisch)
Genauer als durch zeichnerische Konstruktion kann man die Konstruktion durch Nachrechnen prüfen: man stellt die fortlaufend im Konstruktionsgang auftretenden wesentlichen Streckenlängen mittels Ausdrücken dar, die sich aus ganzen Zahlen und der durch geschachtelte Bruch- und Wurzelterme aufbauen.
Sinnvollerweise geht man dabei z.B. von einem Umkreisradius r = 4 aus. Die einzelnen Schritte dabei sind eigentlich recht elementar (Pythagoras, Teilverhältnisse etwa bei Winkelhalbierenden) - die Schwierigkeit besteht in der Akkumulation der Bruch- und Wurzelterme. Man wird deshalb bald einmal gerne zum Rechner greifen und wenigstens noch numerisch nachprüfen, wie exakt man für bzw. für den Punkt D die richtigen Koordinaten findet, welche man auch auf anderem Weg trigonometrisch darstellen kann, nämlich ausgehend davon, dass sein sollte, falls die Konstruktion korrekt ist.
3.) Nochmals vereinfacht: Näherungskonstruktion
Wenn man die Konstruktion praktisch durchführt, stellt man fest (falls man nicht ein sehr großes Blatt nimmt), dass die Punkte T und D anscheinend "praktisch identisch" sind. In der Tat sind sie dies aber doch nicht. Trotzdem können wir uns überlegen, wie genau die folgende weiter vereinfachte Konstruktion noch wäre:
In der oben dargestellten Konstruktion verzichten wir einfach auf die Ausführung der Punkte (5.), (8.) und (9.) bzw. auf das Einzeichnen der Winkelhalbierenden AW sowie der beiden Hilfsbögen b und c . Anstatt von D aus ziehen wir die Strecke d dann ersatzweise vom Punkt T aus.
Eine Aufgabe könnte also etwa darin bestehen, den Abstand zwischen den Punkten T und D zu berechnen. Man kann dann auch noch berechnen, welche relative Winkelabweichung beim Zentriwinkel entsteht, welcher exakt betragen sollte, wenn man die Konstruktion wie beschrieben abkürzt.
4.) Verifikation (exakt)
Wer sich mit obigen Vorschlägen für eine (nur) zeichnerische oder numerische Prüfung nicht begnügen kann, sieht sich natürlich vor der schwierigeren Aufgabe, sich mit den komplizierten Bruch- und Wurzeltermen herumzuschlagen, mit denen seinerzeit auch der junge Gauß umgehen musste. Auch für diese Aufgabe stehen uns heute allerdings geeignete Hilfsmittel zur Verfügung, etwa in der Form eines CAS wie in Mathematica.
\(\begingroup\)Hi Yakob,
ein schönes Thema für einen Artikel mit einem guten Aufhänger (Wappen). Auch ist dein Artikel gut strukturiert und lesbar. Meine Kritik ist, dass mir der Wikipedia-Artikel einfach mehr bringt, sowohl zum mathematischen Hintergrund als auch zur Konstruktion. Deine "Konzentration auf das Wesentliche" empfinde ich eher als schwieriger verständlich und nachvollziehbar. Dies soll den guten Gesamteindruck deines Artikels aber nicht schmälern, macht er doch einfach Lust auf mehr. 😄
Gruß, Slash\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Slash,
erstmal danke für Deine Einschätzung !
Ursprünglich habe ich diese "vereinfachte Konstruktion" im Herbst 2015 (ohne die Sache mit dem Wappen) bei Wikipedia eingereicht, eben als zeitgemäße Ergänzung zu den komplizierten Konstruktionen, welche man dort findet. Geplant war also nur eine sinnvolle Ergänzung zum Material, das man in dem besagten Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck ohnehin schon findet.
Mein Beitrag wurde dann jedoch aus mir nicht wirklich verständlichen Gründen ("mangelnde Bequellung", "mangelnde Eigenleistung") wieder rausgeworfen. Man findet ihn aber immer noch unter
https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Siebzehneck&diff=147339341&oldid=147338267/Vereinfachte%20Darstellung
und die zugehörige Diskussion unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Siebzehneck/Archiv
Mir ging es aber in erster Linie darum, eine möglichst kompakte und leicht verständliche Anleitung für all jene zu geben, die selber eine solche Konstruktion durchführen wollen. Wer dann tiefer suchen und herausfinden möchte, warum das wirklich funktioniert, ist natürlich gut beraten, sich dann anderen (und möglicherweise erheblich schwieriger entzifferbaren) Quellen zuzuwenden.
LG , Yakob\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Yakob,
wäre es nicht sinnvoll, du führst die numerische Verifikation laut Punkt 2.) übersichtlich aus? War das evtl. der fehlende Beleg in Wikipedia? Du schreibst: "Die einzelnen Schritte dabei sind eigentlich recht elementar (Pythagoras, Teilverhältnisse etwa bei Winkelhalbierenden) - die Schwierigkeit besteht in der Akkumulation der Bruch- und Wurzelterme." Was meinst du mit der schwierigen Akkumulation?
Gruß, Gerhardus\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei Wikipedia werden die mathematischen Einträge meist von Mathematikern, oft sogar Professoren, kontrolliert und verwaltet. Sie entscheiden, was an neuen Informationen hinzukommen darf. Dafür ist in der Regel eine Veröffentlichung in einem Fachmagazin nötig. Es gibt da ein genau geregeltes Quellenverzeichnis. Das ist natürlich eine gute Regelung und hält die Artikel auf hohem Niveau ohne sie dabei großartig aufzublähen und unübersichtlich zu machen. Es ist aber auch eine ärgerliche Schranke für Amateure, die eine sinnvolle Ergänzung gefunden haben. Was in Yakobs Falls jetzt genau zutrifft, muss erörtert werden. Es gibt einige "Orte" im Netz, die auch Artikel von Amateuren annehmen und die bei Wikipedia als "ordentltiche Quelle" anerkannt und zugelassen sind. Aber selbst dann gibt es noch kein automatisches OK von den Wiki-Moderatoren für Ergänzungen.
Ich könnte mir aber vorstellen, dass wenn Yakob seinen Artikel entsprechend aufbereitet und in einer für Wikipedia legitimen Quelle veröffentlicht, dann wenigstens ein Link auf seinen Artikel auf der Wikiseite nichts im Wege stünde.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gerhardus,
dass meine Konstruktion im Ergebnis exakt der uralten Konstruktion von Erchinger entspricht, kann man geometrisch sehr leicht einsehen, wenn man die Konstruktionen vergleicht. Meine eigene Leistung besteht in der etwas anders angeordneten Zeichnung und insbesondere in der knappen und durch geschickt gewählte Bezeichnungen (etwa der Punkte und Bögen A,a,B,b,C,c,D) und durch Farbverwendung intuitive Darstellung. Doch hauptsächlich wird durch die Reduktion auf das Notwendige die Konstruktion erheblich übersichtlicher.
Das Thema wegen der angeblich fehlenden "Belege" (damit wäre z.B. eine Publikation in einer anerkannten wissenschaftlichen Zeitschrift gemeint) kann jeder, der daran Interesse hat, im Wikipedia-Archiv nachlesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Siebzehneck/Archiv#Vereinfachte_Darstellung
Die Schwierigkeit mit der "Akkumulation von Bruch- und Wurzeltermen" ergibt sich eigentlich erst, wenn man eine exakte Verifikation (also meine Aufgabe (4.)) anstrebt, um etwa zu zeigen, dass man aus der Konstruktion heraus den exakten Wert für $cos(\frac{2 \pi}{17})$ wie nach der Gaußschen Formel erhält. Rein "numerische" Nachprüfung (mit einer winzigen Fehlertoleranz) ist mit jedem Taschenrechner möglich.
Da meine Konstruktion geometrisch äquivalent zu einer Konstruktion ist, die eigentlich vor 200 Jahren schon entwickelt wurde (und Ausgangspunkt für andere Variationen war), habe ich in meinem vorliegenden Artikel das Thema der Verifikation in den Übungsteil verlegt. Mit meinen Übungsvorschlägen möchte ich interessierte Leser zu eigener Beschäftigung motivieren. Für mich selber habe ich diese Übungen natürlich längst durchgeführt.
Für Diskussionen dazu ist hier natürlich Platz.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Slash,
du hast geschrieben: "Es ist aber auch eine ärgerliche Schranke für Amateure, die eine sinnvolle Ergänzung gefunden haben. Was in Yakobs Falls jetzt genau zutrifft, ....."
Dem möchte ich nur zufügen, dass ich nicht "irgendein Amateur" bin, sondern ebenfalls ein professioneller Mathematiker (MSc ETH) - und zwar sogar einer, der sich auch schon immer als "Amateur" der Geometrie verstanden hat in dem Sinne, dass ich die Geometrie schon seit Kindestagen liebe ... Letzteres können sogar viele Professoren der Mathematik nicht unbedingt von sich behaupten. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)@ Yokob: Dann dürfte (wenigstens) einem Link ja wirklich nichts im Wege stehen. Also dran bleiben! 😄
Ist natürlich deine Sache, aber "Mathematiker (MSc ETH)" würde ich ruhig in deinem Profil mit angeben. Ich finde das als Info immer ganz hilfreich.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Irgendjemand, Name entfallen, hat sich tatsächlich zum Lebenswerk gemacht, das 257-Eck, also das nächste in 2^(2^n)-1 mit n = 3 zu konstruieren dh. zu zeichnen!
Tscha
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Tscha,
ich habe nachgeschaut:
"Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmals im Jahre 1822 von Magnus Georg Paucker [1] präsentiert und nochmals 1832 durch Friedrich Julius Richelot [2]. Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen[3], 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift." (Wikipedia)
Und nebenbei: Es ist 257 = 2^(2^3)+1 (Plus- statt Minuszeichen !).
Übrigens ist das regelmäßige 255-Eck auch ZL-konstruierbar wegen 255 = 3*5*17 !
LG , Yakob
PS: Der mit dem "Lebenswerk" befasste sich sogar mit dem 65537-Eck:
https://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Gustav_Hermes\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mal eine allgemeine Frage. Im Wiki-Artikel steht: "Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen."
Ist hier die Information "das konvex ist" nicht überflüssig? Gibt es überhaupt ein regelmäßiges Polygon mit einer primen Eckenzahl, das konkav ist?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Diese Beschreibung ist etwas ungewöhnlich. Wenn man jedoch nur "Ecken auf einem Umkreis und gleich lange Seiten" verlangen würde, kämen z.B. auch "Sternpolygone" in Frage, deren Seiten sich gegenseitig überkreuzen können. Beispiel ("Pentagramm"):
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Pentagram.svg/220px-Pentagram.svg.png\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Slash
Mit „regelmäßiges 17-Eck“ ist doch eh schon alles gesagt. Die restlichen Angaben sind nur noch eine Aufzählung von ableitbaren Eigenschaften eben dieses 17-Ecks, keine Forderungen. Das ergibt sich aus dem Satzbau in dem Artikel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)BTW: Geht auch mit TikZ, der Polygonstern:
$
\begin{tikzpicture}
\node[draw, fill=yellow!98!red, star,star points=17, minimum size=2cm,star point ratio=1.8] {17};
\end{tikzpicture}
$\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@viertel:
Aus Wikipedia ("Regelmäßiges Polygon") :
Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet.
LG , Yakob\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Servus Yakob,
heute bin ich zufällig auf deinen Artikel gestoßen. Du wirst mich noch kennen, auch ich fand schon damals deine Konstruktion als eine gelungene Vereinfachung. Sie bezieht sich zwar nicht auf eine Konstruktion von Johannes Erchinger (1825), sondern auf eine von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.
Wikipedia ist eine Enzyklopädie und deshalb wurden auch meine Variationen dieser Konstruktion, m. E. zu Recht (ohne wissenschaftlichen Nachweis), aus dem Artikel genommen.
Meine Vereinfachung der Konstruktion von H. W. Richmond Siebzehneck-Variation vereinfacht wurde wie du weißt aufwendiger als deine, um den entscheidenden Punkt "J" deutlich unterscheidbar zu machen; anders als der Punkt "N" in Richmonds Konstruktion.
Eine andere Konstruktion die wesentlich umfangreicher ist, verwendet die Gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke Siebzehneck-Formel Gauss. Sie zeigt, dass eine Konstruktion - ohne zusätzliches Hintergrundwissen bzw. Beweise - ebenfalls mit einfachen algebraischen Operationen möglich ist.
Mit Gruß Petrus3743
\(\endgroup\)
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