Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Released by matroid on Sa. 12. August 2017 14:41:09 [Statistics]
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Mathematik

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Regelmäßiges 9 - Eck :

Näherungskonstruktion

Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht http://matheplanet.com/default3.html?article=1798 Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie 2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right) usw.

Auch dies erwies sich als recht leicht. Zur Konstruktion wählte ich dann zwei mögliche Approximationen aus, nämlich: 1.) sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ \frac{20}{3}\, - \, 2\,\sqrt{10} 2.) tan\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ 2.6\, - \, \sqrt{5} Die Konstruktion nach der zweiten Formel gefiel mir besser, weil sie genauer ist und insbesondere auch, weil ich sie fast analog zu meiner vorherigen Näherungskonstruktion für das Siebeneck anordnen konnte. Wieder wählte ich den Umkreisradius r = 5 , um ohne Brüche als Ausgangswerte auszukommen. Die Konstruktion:
Man beginnt mit dem Umkreis mit dem Radius r = 5 und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O. Der obere Schnittpunkt des Umkreises mit der vertikalen Achse sei der Eckpunkt A des zu konstruierenden Neunecks. Man markiert die Punkte P(10|0) und Q(-3|0) auf der x-Achse. Man kann diese Punkte natürlich auch nach allen Regeln der Kunst konstruieren. Nun zeichnet man den Strahl PA sowie einen Kreisbogen um den Punkt P, der durch Q geht und diesen Strahl im Punkt S schneidet. Man kann nun (zuerst einmal rechnerisch) verifizieren, dass die Länge m der Strecke \overline{AS} fast exakt dem 5-fachen Tangenswert des Winkels 20° = \pi /\, 9 entspricht. Die Konstruktion geht so weiter, dass man die Streckenlänge m von A aus auf der Tangente nach rechts bis zum Punkt T abträgt und dann den Kreis um T mit Radius m mit dem Umkreis schneidet. So kommt man zum Eckpunkt I des Neunecks. Anschließend kann man die Figur durch wiederholtes Abtragen der Seitenlänge |\overline{AI}| entlang des Umkreises und z.B. durch Nutzung der Symmetrie bezüglich der y-Achse ergänzen. Die Genauigkeit der Näherung übertrifft auch hier die übliche Zeichengenauigkeit für geometrische Konstruktionen. Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge beträgt für diese Konstruktion ziemlich genau 0.1 Promille.
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"Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion" | 6 Comments
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Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: Hans-Juergen am: Do. 24. August 2017 10:02:49
\(\begingroup\)Ein mit Zirkel und Lineal leicht zu konstruierendes, rechtwinkliges Dreieck mit den Längenmaßzahlen 21 und 25 der Katheten hat den Winkel arctan(21/25) = arctan0,84 ≈ 40,0303°, der sich vom 40°-Winkel für das exakte gleichseitige Neuneck um weniger als 1 Promille unterscheidet. Es ermöglicht eine viel einfachere Näherungskonstruktion als die oben beschriebene, die nicht auf einem Computer-Suchprogramm beruht und sich auch gut für den Schulunterricht eignet. \(\endgroup\)
 

Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: Yakob am: Do. 24. August 2017 16:32:28
\(\begingroup\)Hallo Hans-Juergen Danke für die Mitteilung. Diese recht gute Näherung hat auch irgendwann jemand gefunden - entweder per Zufall oder durch systematisches Probieren. Kennst du eine Quelle dazu ? Mit meinem Hinweis, dass ich eine Näherung mittels Computer gefunden habe, wollte ich auch nichts besonderes besagen. Die gefundene Näherung sprang aber einfach so als "Nebenprodukt" einer Suche heraus, bei der verschiedenste Eckenzahlen regelmäßiger Vielecke durchgegangen wurden. Übrigens habe ich gerade noch bemerkt, dass auch deine Näherung von meinem Programm gefunden wurde - nur wurde sie aussortiert, weil sie numerisch gesehen eben doch nicht zu den "allerbesten" Näherungen gehörte ...\(\endgroup\)
 

Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: Hans-Juergen am: Do. 24. August 2017 19:06:08
\(\begingroup\)Hallo Yakob, danke für Deine Rückmeldung. Dass jemand bereits den von mir angegebenen Näherungswert für tan40° benutzte, ist nicht auszuschließen; einen Hinweis darauf fand ich nicht, habe aber auch nicht lange danach gesucht. Hier wird im Abschnitt "Näherungskonstruktion" ein anderer, ungenauerer, genannt: tan40° ≈ 6/7. Selber bin ich so vorgegangen: es ist angenähert tan40° = 0,8390996 ≈ 0,8391 = 8391/10000. Um möglichst weit kürzen zu können, habe ich die 0,8391 leicht auf 0,840 = 84/100 = 21/25 erhöht. Mit freundlichem Gruß Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: haribo am: Mo. 09. Oktober 2017 11:02:35
\(\begingroup\)@jürgen, ziemlich nahe bei (21/25) gäbe es IMO noch die bessere näherung arctan(26/31) ≈ 39,9869°, abweichung von ≈0,3 Promille zu 40° etwas entfernt dann arctan(47/56) ≈ 40,0063°, abweichung von ≈0,15 Promille zu 40° bis hierhin also immer noch ungenauer als yakobs schöne konstruktion arctan(73/87) ≈ 39,9994°, abweichung von ≈0,016 Promille zu 40° und bei verwendung eines langen lineals (zollstock?) und zeichnen mit [mm] käme dann arctan(485/578) ≈ 40,000024°, abweichung von ≈0,0006 Promille zu 40° also ne genauigkeit von <1 promillion ! 1528/1821; 2013/2399; 54836/65351 sind noch etliches genauer wiso sind eigentlich nie beides primzahlen? haribo \(\endgroup\)
 

Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: ulimy am: Mo. 09. Oktober 2017 17:03:05
\(\begingroup\)Vielen Dank für die Näherung. Dank Computern ist das Finden von geometrischen Näherungskonstruktionen einfach geworden. Da ist z.B. der reference finder http://www.langorigami.com/article/referencefinder von Robert Lang für die Konstruktion von Origami. Oder meiner für LEGO Winkel http://www.brickshelf.com/cgi-bin/gallery.cgi?f=520339 Trotzdem steckt immer ein kluger Kopf dahinter, so wie man schon im Mittelalter wußte, wie man mit Kettenbrüchen Getriebe für astronomische Uhren konstruiert... es geht immer darum, effektiv gute Näherungen mit gegebenen Mitteln (z.B. rationalen Zahlen oder Nullstellen rationaler Polynome oder oder oder) zu finden. Ein weiteres Beispiel: Die continued-fraction-method war in den 70ern ein Ansatz durch geschickte "mittelalterliche" Näherung glatte Zahlen zur Faktorisierung großer Zahlen zu finden. Dem Zufall und dem Gesetz der großen Zahlen zu vertrauen ist ein brauchbares Prinzip. Er stabilisiert Algorithmen. Und ist die einzige Idee ein feeling für nichtdeterministische Algorithmen zu kriegen. Ich hoffe du hast ein Wunder entdeckt und erkennst das allgemeine Prinzip und bringst die Mathematik voran. Herzlich, Uli 😄 .\(\endgroup\)
 

Re: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
von: haribo am: So. 15. Oktober 2017 05:26:32
\(\begingroup\)@ulimy deine legowinkel sind sehr faszinierend, wie wäre deine anordnung die einen exakteren 40° winkel als arctan(73/87) ≈ 39,9994°, erzeugt also mit wie kleinen/kurzen legos kann man das erreichen? haribo\(\endgroup\)
 

 
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