Mathematik: Über die elementaren Wachstumsmodelle
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

1. Einleitung

Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet. Die Beschäftigung mit Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen stellt einen der am häufigsten gewählten Anwendungsbereiche der Analysis für Prüfungsaufgaben im Rahmen deutscher Abiturprüfungen dar. Bei der Bearbeitung von Aufgaben zu diesem Thema haben wir es in erster Linie mit zwei Problemen zu tun. Zum einen fällt das Erkennen der Art des Wachstums- bzw. des Zerfallsprozesses aus der Beschreibung eines Vorgangs heraus oftmals schwer, zum anderen ist auch der Zusammenhang zwischen Wachstumsvorgang und der entsprechenden Funktionsgleichung weit weniger ersichtlich als beispielsweise bei der Anwendung der Parabelgleichung für den schiefen Wurf oder der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion zur Beschreibung harmonischer Schwingungsvorgänge. Dies gilt insbesondere für das beschränkte und in noch stärkerem Maße für das logistische Wachstum. Um hier Abhilfe zu schaffen, rückt ein Instrument der Analysis in den Blickpunkt, welches im Rahmen der Schulmathematik erfahrungsgemäß viel zu kurz kommt: die Differentialgleichung. In diesem Artikel sollen vier elementare Wachstumsmodelle vorgestellt werden:
  • Lineares Wachstum
  • Exponentielles Wachstum
  • Beschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum


Mit Hilfe der diesen Modellen zu Grunde liegenden Differentialgleichungen soll gezeigt werden, dass es sich eigentlich um zwei unterschiedliche Prinzipien handelt, nach denen Wachstumsvorgänge ablaufen, nämlich um die Prinzipien "linear" bzw. "exponentiell". Durch die Tatsache, dass Wachstumsvorgängen in der Realität oftmals auf natürliche Art und Weise Grenzen gesetzt sind, gibt es zu jedem der beiden Prinzipien "zusätzlich" ein Modell, welches diese Begrenzung mit berücksichtigt. Hieraus resultieren die vier oben aufgeführten Wachstumsmodelle, wie sie in der Schulmathematik benannt und behandelt werden. Es werden gewisse Kenntnisse über lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung vorausgesetzt, insbesondere deren Lösung durch Trennung der Variablen (oft auch als Separationsverfahren bezeichnet). Allen, denen dieses Thema noch nicht vertraut ist, sei der erste Abschnitt des Artikels Differentialgleichungen von pendragon302 empfohlen. Die zum Verständnis der hier vorgestellten Gedanken notwendigen Verfahrensweisen sind dort erläutert. Für Probleme beim Verständnis der auftretenden Integrale verweise ich auf den Artikel Wie finde ich eine Stammfunktion? von FlorianM.

2. Über Differentialgleichungen

Unter einer Differentialgleichung (in mathematischen Texten oft als DGL abgekürzt) verstehen wir eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion zusammen mit einer oder mehrerer ihrer Ableitungen vorkommt. Als Funktionsvariable verwenden wir bei solchen Gleichungen aus Gründen der Lesbarkeit an Stelle von f(x) gern die Variable y. So ist z.B. die folgende Gleichung eine Differentialgleichung mit einer zunächst unbekannten Funktion y=f(x): \[x\cdot y'-2\cdot y=0\] Wie man durch Einsetzen leicht feststellen kann, wird die Gleichung durch alle Funktionen (für a≠0: Parabeln) der Form \[y=a\cdot x^2\quad;\quad x\in\IR,\ a\in\IR\] erfüllt. Damit gilt obige Gleichung als Lösung der vorgestellten Differentialgleichung. Generell geht es bei der Lösung von Differentialgleichungen darum, sämtliche Funktionen zu bestimmen, welche die Gleichung erfüllen. Ähnlich wie bei den algebraischen Gleichungen gibt es Differentialgleichungen unterschiedlicher Ordnung. Während bei einer algebraischen Gleichung die Ordnung nach der höchsten Potenz, in der die Variable vorkommt, benannt wird, geschieht dies bei Differentialgleichungen nach der höchsten vorkommenden Ableitung. Bei den beiden nächsten Beispielen handelt es sich um Differentialgleichungen zweiter bzw. vierter Ordnung (Die vierte Ableitung einer Funktion f und alle weiteren schreibt man bekanntlich nicht mehr mit Strichen sondern mit römischen Zahlen in Klammern): \[\begin{align} y''+\omega\cdot y&=0\\ \notag\\ E\cdot I\cdot y^{(IV)}-q&=0 \end{align} \] Gleichung (1) beschreibt harmonische Schwingungen, wobei die Funktion y die Amplitude der Schwingung darstellt. Gleichung (2) ist die Differentialgleichung der sog. Biegetheorie 1. Ordnung aus der Technischen Mechanik. Sie beschreibt für einen waagerecht liegenden Balken den Zusammenhang zwischen der senkrechten Belastung q (in diesem Fall als konstante Streckenlast angenommen) und der durch diese Belastung verursachten Durchbiegung des Balkens. Die Funktion y beschreibt als Kurve dabei den gebogenen Balken, E und I sind physikalische Konstanten, welche die Materialfestigkeit bzw. den Balkenquerschnitt beschreiben. Gleichung (2) müssen wir an dieser Stelle nicht näher erläutern, sie vermittelt uns aber einen ersten Eindruck der Fähigkeiten von Differentialgleichungen: Offensichtlich wird in (2) ein Zusammenhang zwischen zwei Größen hergestellt, von denen eine (die Durchbiegung y) die Auswirkung der anderen (der Streckenlast q) ist. Andersherum betrachtet: die Streckenlast q ist die Ursache der Biegung y. Nun ist es ein Grundprinzip in der angewandten Analysis, dass fast immer, wenn eine Größe mit Hilfe einer Ableitung berechnet wird, nach der Ursache einer anderen Größe, welche durch die entsprechende Grundfunktion gegeben ist, gesucht wird. Wir besitzen daher mit der Differentialgleichung ein mächtiges Werkzeug, um Zusammenhänge zwischen einer Größe und ihren verursachenden Größen mathematisch zu beschreiben, da wir einen solchen Zusammenhang unmittelbar in eine Gleichung mit einer Funktion und ihren Ableitungen abbilden können. Wir können somit für viele funktionale Zusammenhänge in den Anwendungen das zugrunde liegende Prinzip direkt in eine Gleichung übersetzen. Wenn wir uns mit Wachstumsfunktionen beschäftigen, kennen wir oft den Zusammenhang zwischen der momentanen Änderungsrate eines Bestandes und dem Bestand selbst, da die einzelnen Wachstumsmodelle genau über diesen Zusammenhang definiert sind. Die momentane Änderungsrate ist dabei nichts anderes als die direkte Ursache des momentanen Bestands. Bekanntlich beschreibt die erste Ableitung einer Funktion stets deren momentane Änderungsrate. Daher können wir alle in diesem Rahmen besprochenen Wachstumsfunktionen durch Differentialgleichungen 1. Ordnung beschreiben. Zum Verständnis der folgenden Ausführungen sei daher nochmals auf den in der Einleitung verlinkten Artikel über Differentialgleichungen hingewiesen.

3. Wachstums- und Zerfallsvorgänge

Unter den Begriffen Wachstum und Zerfall versteht man in der angewandten Mathematik solche funktionalen Zusammenhänge, bei denen die abhängige Größe (z.B. f(x)) mit Ansteigen der unabhängigen Größe (z.B. x) wächst bzw. abnimmt (zerfällt) und die Bezeichnungen Wachstum bzw. Zerfall im Zusammenhang mit der Anwendung sinnvoll sind. Oft, aber nicht immer, ist die unabhängige Größe hierbei die Zeit t. Beispiele hierfür wären:
  • Die Entwicklung eines fest angelegten Kapitals bei festem Zinssatz
  • Die noch vorhandene Menge einer radioaktiven Substanz nach einer Zeit t
  • Die Temperatur einer Flüssigkeit, welche auf eine konstante Umgebungstemperatur abgekühlt wird
  • Die Zunahme der Population einer Fischart in einem Teich
Es gibt allerdings auch Vorgänge in den Anwendungen, welche unter dem Begriff Wachstum geführt werden, aber nicht von der Zeit abhängig sind:
  • Die Produktionskosten eines Artikels bezogen auf die Stückzahl.
  • Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über NN.
  • Der Gewinn einer Firma an einem Artikel in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl, wenn die Produktionskosten bei Erhöhung der Stückzahl überproportional wachsen (z.B. durch Lohnzuschläge oder erhöhte Wartungskosten von Produktionsanlagen).
Es ist offensichtlich, dass die in den beiden vorigen Aufzählungen erwähnten Wachstums- bzw. Zerfallsvorgänge nach ganz unterschiedlichen Prinzipien ablaufen. In der Praxis werden diese Prinzipien (gerade im letzten Beispiel) oft derart kompliziert sein, dass man sich mit einfacheren Modellvorstellungen behelfen muss. Die Anwendung einer bestimmten Wachstumsgleichung auf einen realen Prozess hat somit in der Regel Modellcharakter; dementsprechend wird das Formulieren solcher Wachstumsgesetze in der angewandten Mathematik Modellieren genannt. Die Mathematik bietet zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen (neben anderen) die vier in der Einleitung angeführten elementaren Modelle an.

3.1 Die vier elementaren Wachstumsmodelle

Bei der folgenden Betrachtung soll der Einfachheit halber davon ausgegangen werden, dass alle geschilderten Vorgänge in Abhängigkeit von der Zeit ablaufen. Weiter sei nochmals darauf hingewiesen, dass es sich bei den hier erläuterten Sachverhalten und Aussagen um mathematische Modellvorstellungen handelt. Grundsätzlich können wir bei Größen, die wachsen bzw. sich vermehren, zweierlei Prinzipien, dieses Wachstum angehend, unterscheiden. Manche Größen wachsen ihrer Natur nach linear. Dies bedeutet, dass ihre Größe, im Folgenden auch Bestand genannt, in gleichen Zeitschritten um die gleiche Menge additiv zunimmt. Ein Beispiel wäre das Befüllen eines Tanks mit einer Flüssigkeit bei konstanter Füllgeschwindigkeit. Die bereits abgefüllte Menge wächst dann in Relation zur Zeit proportional. Würde man diesen Vorgang in einem zweiachsigen kartesischen Koordinatensystem darstellen, so wäre der Graph eine Gerade. Andere Größen wachsen ihrer Natur nach exponentiell. Bei solchen Größen geschieht die Zunahme so, dass sich der Bestand in gleichen Zeitschritten um den gleichen Faktor vermehrt, d.h. die Zunahme geschieht multiplikativ. Ein Beispiel hierfür wäre ein festverzinslich angelegtes Kapital. Auf der anderen Seite sind vielen Wachstumsvorgängen natürliche Grenzen gesetzt. Der Begriff „natürlich“ soll hier im Gegensatz zu „willkürlich“ gebraucht werden; eine willkürliche Grenze eines Wachstumsprozesses wäre beispielsweise, wenn man oben erwähntes Kapital von der Bank abheben oder im ersten Beispiel die Flüssigkeitszufuhr unterbrechen würde. Ein Vorgang, welcher seiner Natur nach eigentlich linear verlaufen würde, ist die Auflösung von Salz in Wasser. Durch die Tatsache, dass in einer bestimmten Menge Wasser nur eine begrenzte Menge Salz gelöst werden kann, wird sich der Prozess der Auflösung, nachdem er zu Anfang annähernd linear begonnen hat, verlangsamen und schließlich zum Stillstand kommen. Solche Wachstumsvorgänge bezeichnen wir als beschränktes Wachstum. Wächst eine Größe ihrer Natur nach exponentiell, jedoch gegen eine natürliche Grenze, so sprechen wir von logistischem Wachstum[1]. Das Höhenwachstum von Bäumen kann in hinreichender Genauigkeit durch logistische Wachstumsmodelle beschrieben werden. Eine Erklärung hierfür beruht auf der Tatsache, dass am Anfang, beim kleinen Setzling, das Wachstum im Wesentlichen auf Zellteilung beruht. Diese verläuft exponentiell. Je größer der Baum wird, desto mehr Nährstoffe benötigt er. Da er diese nur begrenzt aufnehmen kann, kommt das Wachstum allmählich zum Stillstand. In der folgenden Tabelle sollen die vier Modelle graphisch dargestellt und voneinander abgegrenzt werden. Wichtig ist zunächst einmal, den Zusammenhang zwischen den einzelnen Wachstumsprinzipien und der Gestalt der Funktionsgraphen zu verstehen. Wie man die Gleichungen der einzelnen Funktionen erhält, ist Teil der folgenden Abschnitte. Nicht dargestellt in der Tabelle sind Zerfallsvorgänge. Diese erhält man durch eine sinnvolle Spiegelung der Funktionsgraphen. Für die Darstellung von linearem und exponentiellem Zerfall wird der Funktionsgraph an der y-Achse gespiegelt, beim beschränkten Zerfall an der die Sättigungsgrenze S repräsentierenden waagerechten Geraden. Für logistischen Zerfall sind keinerlei Anwendungsbeispiele bekannt, so dass dieser Fall nicht behandelt werden muss.
Wachstumsprinzip linear Wachstumsprinzip exponentiell

Wachstum ist unbegrenzt

Wachstum ist durch eine natürliche Grenze beschränkt

Abbildung 1: die vier elementaren Wachstumsmodelle

3.2 Lineares Wachstum

Das lineare Wachstum bzw. die lineare Abnahme zeichnen sich dadurch aus, dass die Änderungsrate des Bestandes konstant ist. Gehen wir wieder von einer Funktion der Zeit aus, so nimmt der Bestand in gleichen Zeitschritten um den gleichen Betrag zu bzw. ab. Hieraus folgt die Differentialgleichung des linearen Wachstums: \[y'=k\] Die Lösung erfolgt unmittelbar durch Integration und ist nichts anderes als eine Geradengleichung. Die Integrationskonstante nennen wir a, sie stellt den Anfangswert dar. Das Vorzeichen der Wachstumskonstante k bestimmt, ob es sich um Wachstum oder Abnahme handelt. k ist natürlich nichts anderes als die Steigung der entsprechenden Geraden:
\[\int{y' dt}=\int{k\ dt}=k\cdot t+a\]

- Zusammenfassung lineares Wachstum:

Lineares Wachstum
Differentialgleichung: \(y'=k\)
Funktionsgleichung: \(y=k\cdot t+a\)

3.3 Exponentielles Wachstum

Das Grundprinzip des exponentiellen Wachstums bzw. des exponentiellen Zerfalls besteht, wie weiter oben bereits angesprochen, in der Tatsache, dass sich ein Bestand in gleichen Zeitschritten um den gleichen Faktor vermehrt bzw. vermindert. Die momentane Änderungsrate ist daher proportional zum momentanen Bestand, was zu folgender Differentialgleichung führt: \[y'=k\cdot y\] Die Variable y steht hierbei für die zunächst unbekannte Wachstumsfunktion, k ist der Proportionalitätsfaktor zwischen Änderungsrate und Bestand und beschreibt somit insbesondere, ob ein Wachstums- oder ein Zerfallsprozess vorliegt. Positive k führen hierbei zu Zunahme, also Wachstum, negative Werte zu Abnahme bzw. zu Zerfall. Die Lösung der Differentialgleichung geschieht mittels Trennung der Variablen: \[\ba \frac{dy}{dt}&=k\cdot y\\ \\ \frac{dy}{y}&=k\cdot dt\\ \\ \int{\frac{dy}{y}}&=\int{k\ dt}\\ \\ ln|y|&=k\cdot t+C\\ \\ y&=\pm e^{k\cdot t+C}=\pm e^C \cdot e^{k\cdot t} \ea \] Mit a=eC folgt die Gleichung des exponentiellen Wachstums. Wegen e0=1 steht die Zahl a dabei für den Anfangswert des Bestandes zum Zeitpunkt t=0 (daher machen negative Werte für a keinen Sinn): \[y=f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}\quad;\quad a>0\] Oftmals kennen wir bei exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsprozessen bereits den Anfangswert und den Faktor, um welchen die Wachstumsgröße pro Zeiteinheit zu- oder abnimmt. Wegen der Verwendung der e-Funktion dürfen wir diesen Faktor jedoch nicht mit der Wachstumskonstanten k gleichsetzen. Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen dem Wachstumsfaktor q und der Wachstumskonstante k eines durch eine e-Funktion beschriebenen Wachstums-/Zerfallsprozesses untersucht werden. Wächst ein gegebener Bestand a pro Zeiteinheit um p%, so können wir dies rechnerisch nachvollziehen indem wir für jeden Zeitschritt den momentanen Bestand mit dem Wachstumsfaktor q mit q=1+p/100 multiplizieren. Dies führt uns auf die aus der Sekundarstufe I bekannte Form der exponentiellen Wachstumsfunktion: \[f(t)=a\cdot q^t\] Dabei liegt für q > 1 Wachstum, für q = 1 eine Stagnation und für 0 < q < 1 Zerfall vor. Den Zusammenhang zwischen q und k erhalten wir, indem wir obigen Funktionsterm in eine e-Funktion umwandeln: \[q=e^{ln(q)}\ \Rightarrow\ f(t)=a\cdot\left(e^{ln(q)}\right)^t=a\cdot e^{ln(q)\cdot t}\ \Rightarrow\ k=ln(q)\] Da ein exponentieller Wachstums bzw. Zerfallsprozess in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor zu- bzw. abnimmt, folgt im Umkehrschluss, dass sich solche Vorgänge auch durch einen Zeitraum beschreiben lassen, in welchem die Wachstumsgröße um einen definierten Faktor zu- bzw. abnimmt. Man verwendet hierzu diejenige Zeit, in der sich eine solche Größe verdoppelt bzw. halbiert, und nennt sie dementsprechend Verdoppelungs- bzw. Halbwertszeit, je nachdem, ob Wachstum oder Zerfall vorliegt. Eine Formel zur Bestimmung der Verdoppelungszeit bzw. der Halbwertszeit gewinnen wir durch Einsetzen des doppelten bzw. des halben Anfangswerts in die Wachstumsgleichung:
  • Verdoppelungszeit TV: \[ \ba 2\cdot a&=a\cdot e^{k\cdot T_V}\\ \\ e^{k\cdot T_V}&=2\\ \\ k\cdot T_V&=ln(2)\\ \\ T_V&=\frac{ln(2)}{k} \ea \]
  • Halbwertszeit TH: \[ \ba \frac{a}{2}&=a\cdot e^{k\cdot T_H}\\ \\ e^{k\cdot T_H}&=\frac{1}{2}\\ \\ k\cdot T_H&=ln\left(\frac{1}{2}\right)=-ln(2)\\ \\ T_H&=-\frac{ln(2)}{k} \ea \]

    - Zusammenfassung exponentielles Wachstum

    Exponentielles Wachstum
    Differentialgleichung: \[y'=k\cdot y\]
    Funktionsgleichung: \[\ba y&=f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}\\k&:\text{Wachtumskonstante}\\k&>0\ \Rightarrow\ \text{Wachstum}\\k&<0\ \Rightarrow\ \text{Zerfall}\\a&:\text{Anfangswert}\ea\]
    Verdoppelungszeit:
    exponentielles Wachstum
    \[T_V=\frac{ln(2)}{k}\]
    Halbwertszeit:
    exponentieller Zerfall
    \[T_H=-\frac{ln(2)}{k}\]

    3.4 Beschränktes Wachstum

    Beim beschränkten Wachstum gehen wir von einer Wachstumsgröße aus, die ihrer Natur nach die Tendenz hat, linear zu wachsen. Da diesem linearen Wachstum eine natürliche Grenze gesetzt ist (die wir in diesem und im nächsten Abschnitt Sättigungsgrenze nennen wollen und mit S bezeichnen), muss das Wachstum umso stärker abgebremst werden, je mehr sich die Wachstumsgröße der Sättigungsgrenze nähert. Dies können wir mit einer Funktion erreichen, bei welcher die momentane Änderungsrate proportional zur Differenz zwischen Sättigungsgrenze S und Wachstumsgröße y ist. Diese Differenz S - y bezeichnen wir als Sättigungsmanko. Eine solche Funktion muss folgende Differentialgleichung haben: \[y'=k\cdot(S-y)\] Wieder lösen wir die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: \[\ba \frac{dy}{dt}&=k\cdot(S-y)\\ \\ \frac{dy}{S-y}&=k\cdot dt\\ \\ -ln|S-y|&=k\cdot t+C\ \Leftrightarrow\\ \\ ln|S-y|&=-k\cdot t+C \ea \] Hier könnte man einen Vorzeichenfehler bemerken. Es handelt sich aber bei C um die Integrationskonstante, also um eine beliebeige reelle Zahl, daher kann man das Vorzeichen belassen, wie es ist. Weiter geht es: \[ \ba S-y&=\pm e^{-k\cdot t+C}\\ \\ y&=S\pm e^{-k\cdot t+C} \ea \] Wir setzen c=eC. c ist dann zunächst größer Null anzunehmen[2]. Es folgt: \[y=f(t)=S\pm c\cdot e^{-k\cdot t}\] Wählen wir in der so erhaltenen Wachstumsgleichung das negative Vorzeichen, so wird die Wachstumsgröße immer kleiner als S bleiben. Dann liegt beschränktes Wachstum vor. Wählen wir jedoch das positive Vorzeichen, so ist die Wachstumsgröße stets größer als S. Dann muss beschränkter Zerfall (oft auch beschränkte oder begrenzte Abnahme genannt) vorliegen. Nachfolgende Abbildung soll diesen Sachverhalt verdeutlichen:
    Bild
    Abbildung 2: Beschränktes Wachstum und beschränkter Zerfall
    Wir können deshalb die Wachstumsfunktion noch vereinfachen, indem wir schreiben: \[f(t)=S-c\cdot e^{-k\cdot t}\quad;\quad\begin{cases}c>0\ \Rightarrow&\text{beschraenktes Wachstum}\\c<0\ \Rightarrow&\text{beschraenkter Zerfall}\end{cases}\]

    - Zusammenfassung beschränktes Wachstum:

    Beschränktes Wachstum
    Differentialgleichung: \[y'=k\cdot(S-y)\]
    Funktionsgleichung: \[\ba y&=f(t)=S-c\cdot e^{-k\cdot t}\\s&:\text{ Saettigungsgrenze}\\c&>0\ \Rightarrow\ \text{Wachstum}\\c&<0\ \Rightarrow\ \text{Zerfall}\ea\]

    3.5 Logistisches Wachstum

    Das logistische Wachstum verläuft seiner Natur nach zunächst exponentiell. Dem Vorgang ist jedoch ebenfalls auf natürliche Art und Weise eine Grenze gesetzt. Bei dem Versuch, dies in Form einer Differentialgleichung zu modellieren, stoßen wir auf die Schwierigkeit, dass ein solches Wachstum keinen konstanten Wachstumsfaktor mehr haben kann. Wenn wir uns an den in Abbildung 1 aufgeführten Funktionsgraphen erinnern, so wird die Notwendigkeit für eine Differentialgleichung plausibel, welche sich zu Beginn des Prozesses verhält wie diejenige des exponentiellen Wachstums, gegen Ende jedoch eher wie diejenige des beschränkten Wachstums. Zur Verdeutlichung der Problematik seien die beiden erwähnten Differentialgleichungen hier nochmals im Zusammenhang aufgeführt: \[\ba\text{Exponentielles Wachstum}&:\ y'=k\cdot y\\ \text{Beschraenktes Wachstum}&:\ y'=k\cdot(S-y)\ea\] Im Fall des exponentiellen Wachstums ist die momentane Änderungsrate proportional zum Bestand. Dieser ist zu Beginn eines logistischen Wachstumsprozesses eher klein und gegen Ende eher groß anzunehmen. Im Falle des beschränkten Wachstums ist die momentane Änderungsrate proportional zum sog. Sättigungsmanko. Dieses ist genau umgekehrt bei einem logistischen Wachstumsvorgang zunächst als groß, gegen Ende als klein anzunehmen. Die beiden Größen Bestand und Sättigungsmanko werden sich also im Verlaufe eines logistischen Wachstumsprozesses gegensätzlich verhalten. Aus der Sekundarstufe 1 kennen wir die Aufgabenstellung, zwei Zahlen a und b, deren Summe als fest angenommen wird, so zu bestimmen, dass ihr Produkt maximal wird. Ihre Lösung besteht bekanntlich aus demjenigen Zahlenpaar, bei dem beide Zahlen gleich groß sind. Wir können uns diese Aufgabe als eine Art Wachstumsprozess vorstellen: Fangen wir in Gedanken mit kleinem a an, so wird b groß sein gegenüber a. Wenn wir nun a langsam größer werden lassen, wird zum einen b kleiner werden. Das Produkt a*b allerdings wird solange größer werden, bis a=b gilt, danach wird es wieder kleiner werden. Ähnlich wird sich das Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko eines logistischen Wachstumsprozesses verhalten, da mit Ansteigen des Bestands das Sättigungsmanko kleiner wird. Dieses Verhalten entspricht aber genau demjenigen, welches wir für die momentane Änderungsrate benötigen. Auch sie muss bei einer wie in Abbildung 1 dargestellt aussehenden Kurve zunächst ansteigen und später wieder abfallen. Daher setzt man in der Differentialgleichung des logistischen Wachstums die momentane Änderungsrate proportional zum Produkt aus momentanem Bestand und Sättigungsmanko: \[y'=k\cdot y\cdot(S-y)\] Die Lösung dieser Differentialgleichung geschieht ebenfalls durch Trennung der Variablen. Das nachfolgende Integral ist allerdings in diesem Falle wesentlich schwieriger zu bestimmen als die vorherigen: \[\ba \frac{dy}{dt}&=k\cdot y\cdot(S-y)\quad\Leftrightarrow\\ \frac{dy}{y\cdot(S-y)}&=k\cdot dt \ea \] Das nun auftretende Integral auf der linken Seite lässt sich mit Partialbruchzerlegung lösen. Wer dies nachvollziehen möchte, sei an den oben zitierten Artikel Wie finde ich eine Stammfunktion? verwiesen. Die Lösung lautet zunächst: \[y=f(t)=\frac{S}{1+e^{-S\cdot C}\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}\] wobei C die aus der Lösung der Differentialgleichung stammende Integrationskonstante ist. Aus Gründen der besseren Handhabung substituieren wir erneut mit dem Ziel, den Anfangswert in den Funktionsterm zu bekommen: \[f(0)=\frac{S}{1+e^{-S\cdot C}}=a\quad\Rightarrow\quad e^{-S\cdot C}=\frac{S}{a}-1=\frac{S-a}{a}\] Wir ersetzen e-S·C und erweitern noch mit a. Nun haben wir die aus dem Schulbuch bekannte Funktionsgleichung erhalten: \[f(t)=\frac{S}{1+\frac{S-a}{a}\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}=\frac{a\cdot S}{a+(S-a)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}\] Die einzelnen Konstanten bedeuten:
    • a: Anfangswert f(0) mit a<S[3]
    • S: Sättigungsgrenze
    • k: Wachtumskonstante, es gilt k>0
    Über die Konstante k wird ähnlich wie beim exponentiellen Wachstum die Wachstumsgeschwindigkeit gesteuert. Je größer k, desto schneller nähert sich f(t) der Sättigungsgrenze. In der folgenden Abbildung soll dies illustriert werden:
    Bild
    Abbildung 3: logistische Wachstumsprozesse
    In Abbildung 3 wurde die logistische Wachstumsfunktion f(t) mit \[f(t)=\frac{0.6}{0.2+2.8\cdot e^{-3\cdot k\cdot t}}\] für die Werte k=0,3 (blau), k=0,6 (grün) und k=0,9 (rot) dargestellt.

    - Zusammenfassung logistisches Wachstum:

    Logistisches Wachstum
    Differentialgleichung: \[y'=k\cdot y\cdot(S-y)\]
    Funktionsgleichung: \[\ba y&=f(t)=\frac{a\cdot S}{a+(S-a)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}\\S&:\text{ Saettigungsgrenze}\\a&:\text{ Anfangswert}\\k&:\text{ Wachstumskonstante mit k>0}\ea\]

    4. Abschluss

    Zwei Dinge sind dem Autor wichtig und sollten für eine Abiturprüfung verstanden und präsent sein. Zum einen die Entstehung der vier Wachstumsmodelle aus der Überlagerung der zwei Wachstumsprinzipien und der Frage, ob ein Wachstumsvorgang eine natürliche Grenze aufweist oder nicht. Zum anderen die Bedeutung von Differential- und Funktionsgleichung. Während letztere ausschließlich dazu dient, einen Wachstumsvorgang zu quantifizieren, spiegelt die zugehörige Differentialgleichung das Prinzip des zu Grunde liegenden Wachstumsmodells wieder und ist somit insbesondere für die Entscheidung, welche Art von Wachstum bei einem gegebenen Problem vorliegt, viel aussagekräftiger als die Funktionsgleichung, da sie die Qualität des betreffenden Vorgangs abbildet. Die angegebenen Lösungswege der Differentialgleichungen sind interessant, um nachvollziehen zu können, wie Differential- und Funktionsgleichung zusammenhängen. In Abiturprüfungen wird dies allerdings nicht verlangt werden. Für Schülerinnen und Schüler, die ein naturwissenschaftliches Studium anstreben, lohnt es sich jedoch in jedem Fall, sich schon während der Schulzeit mit dem Thema der Differentialgleichungen auseinanderzusetzen. Das Thema Wachstum ist dazu im Rahmen der Schulmathematik besonders geeignet. Wenn dieser Artikel einen Anstoß zu einer solchen Beschäftigung geben konnte, so hat er sein Ziel erreicht. Ich hoffe, dass er gefallen oder im Idealfall sogar geholfen hat. Es grüßt euch Diophant

    Kurzes Nachwort:

    Wie bei jedem Artikel hier auf dem Matheplanet kann man eine druckerfreundliche Version aufrufen. Für etwaige Tippfehler übernehme ich keine Verantwortung sondern reiche diese weiter an Lucky, unsere Katze. Sie hat dankenswerterweise gefühlte 90% der Tipparbeit hier übernommen und ich werde natürlich jeden Hinweis auf einen Tippfehler an sie weiterreichen!
    [1] Die genaue Herkunft und Bedeutung der Bezeichnung Logistisches Wachstum ist unklar. Sie geht zurück auf den belgischen Mathematiker Pierre-François Verhulst [1804-1849]. Einerseits gibt es die These, dass die Namensgebung direkt aus dem (Alt-)Griechischen stammt. Diese These stützt sich auf die Tatsache, dass im antiken Griechenland die Tätigkeit des Rechnens zusammen mit der Algebra als ein eigenständiges Gebiet neben der Mathematik gesehen und etwas abschätzig als Logistik bezeichnet wurde. Man könnte danach die Namensgebung einfach im Sinne von rechnerisches beschriebenes Wachstum verstehen.
    Auf der anderen Seite gibt es im Französischen das Wort logis welches man auch mit Lebensraum übersetzen kann. Da das logistische Wachstum sehr wichtig ist zur Beschreibung von Wachstumsprozessen in der Natur, könnte die Bedeutung auch so verstanden werden, dass ein Wachstumsprozess gemeint ist, welcher von den äußeren Bedingungen, also vom Lebensraum abhängt. Der Autor nimmt eher letzteres an. [2] Die Variablenwahl \[c,\ e^C\ \text{mit}\ c=e^C\] finde ich selbst nicht gut. Ich habe sie dennoch gewählt aus folgenden Gründen:
    • C ist eine übliche Bezeichnung von Integrationskonstanten.
    • c wird üblicherweise in Schulbüchern als Faktor vor der e-Funktion beim exponentiellen sowie beim beschränkten Wachstum verwendet.
    [3] Logistisch ablaufende Zerfalls- bzw. Abnahmeprozesse sind mir nicht bekannt. Ich habe den Fall a>S daher nicht behandelt.

    Hinweise zu Literatur:

    Der Artikel ist vor Jahren im Rahmen meiner Tätigkeit als Nachhilfelehrer ohne Rückgriff auf Literatur entstanden. Ein für Schüler geeignetes Lehrbuch, um sich in die Grundlagen des Themas der Differentialgleichungen einzuarbeiten, ist der zweite Band des allseits bekannten Werks: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Vieweg, Wiesbaden Das sollte in jeder einigermaßen gut sortierten Stadt- oder Hochschulbibliothek zu finden sein.
    \(\endgroup\)
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    : Mathematik :: Schulmathematik :: Wachstum :: Lineares Wachstum :: Exponentielles Wachstum :: Beschränktes Wachstum :: Logistisches Wachstum :
    Über die elementaren Wachstumsmodelle [von Diophant]  
    Wachstumsmodelle und zugehörige Differentialgleichungen auf Schulmathematikniveau erklärt
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
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    "Mathematik: Über die elementaren Wachstumsmodelle" | 5 Comments
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    Re: Über die elementaren Wachstumsmodelle
    von: Slash am: Di. 19. Februar 2019 00:32:32
    \(\begingroup\)Hi Diophant, nur ein kurzes persönliches Statement zur Optik des Artikels. Ich würde die Paragraphenzeichen vor den Kapitelnummern weglassen. Das sieht so nach Gesetzbuch aus. Ansonsten finde ich die Optik sehr ansprechend. Gruß, Slash\(\endgroup\)
     

    Re: Über die elementaren Wachstumsmodelle
    von: Diophant am: Di. 19. Februar 2019 08:52:31
    \(\begingroup\)Hallo Slash, danke für die Anregung. Ich weiß ehrlich gesagt selbst nicht mehr genau, warum und wann die dazugekommen sind (in der Urfassung von 2005 finden sie sich nicht). Jedenfalls habe ich deinen Vorschlag jetzt aufgegriffen und habe es geändert. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
     

    Re: Über die elementaren Wachstumsmodelle
    von: Caban am: Di. 19. Februar 2019 23:24:09
    \(\begingroup\)Hallo Diophant schön, dass du nach langer Zeit wieder da bist. Gruß Caban\(\endgroup\)
     

    Re: Über die elementaren Wachstumsmodelle
    von: Gerhardus am: Fr. 22. Februar 2019 15:49:07
    \(\begingroup\)Hallo Diophant, du betonst die Abhängigkeit des Wachstums von x bzw. der Zeit. Aber abgesehen vom konstanten linearen Wachstum zeigen deine Differenzialgleichungen, dass die Größe des Wachstums primär von y abhängt, und dieses Wachstum bestimmt die Funktion f. Anders die Parabel, deren Wachstum nicht von y abhängt, sondern nur von x.\(\endgroup\)
     

    Re: Über die elementaren Wachstumsmodelle
    von: Diophant am: Fr. 22. Februar 2019 16:00:31
    \(\begingroup\)Hallo Gerhardus, ich verstehe um ehrlich zu sein nicht, was du meinst. Im Artikel sind alle Wachstumsfunktionen vom Typ y=f(t), also von der Zeit t abhängig. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
     

     
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