Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1/2)
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Mathematik

\(\begingroup\) Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5(\zeta)$, wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. \( 3.A_7 = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+4 \zeta & 3+3\zeta & 3 \zeta\\ 3 \zeta & 4+3\zeta & 3+4\zeta\\ \zeta & 1+\zeta & 1+\zeta \end{pmatrix} \right\rangle \) Bei dieser Gruppe der Ordnung 7560, die auf den ersten Blick völlig willkürlich aussieht, handelt es sich tatsächlich um eine spannende Ausnahmegruppe! Wir sehen hier die dreifache Überlagerung der alternierenden Gruppe $A_7$, welche um 1911 von Issai Schur entdeckt wurde (allerdings als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe über $\mathbb{C}$). Diese zweiteilige Artikelreihe wird sich mit der Frage beschäftigen, wie man systematisch auf obige Matrizen kommt. Wir werden von einer abstrakten Definition der Gruppe $3.A_7$ ausgehend zeigen, dass sie - sofern sie überhaupt existiert - zwangsläufig von diesen beiden Matrizen erzeugt werden muss. Insbesondere beweisen wir so ihre Existenz und Eindeutigkeit auf einen Schlag. In diesem ersten Teil werden wir zunächst alle Konjugationsklassen und einige Untergruppen der $3.A_7$ (einschließlich aller Sylowgruppen) identifizieren. Von den Charaktertafeln dieser Untergruppen ausgehend werden wir mit Hilfe der Induktionsformel die Charaktertafel der $3.A_7$ bestimmen. An dieser Stelle werden wir sehen, dass die Gruppe über Körpern der Charakteristik $0$ bestenfalls als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe realisiert werden kann. Im zweiten Teil werden wir die modulare Charaktertafel der $3.A_7$ in Charakteristik 5 und damit unter anderem den Brauer-Charakter einer irreduziblen Darstellung $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ bestimmen. Dieser Charakter wird uns dann letztendlich auf obige Matrizen führen.

Etwas Hintergrund

Wir beginnen mit dem zentralen Begriff dieses Artikels: Sei zunächst $G$ eine beliebige Gruppe. Unter einer Überlagerung von $G$ verstehen wir eine Gruppe $C$ sowie einen surjektiven Homomorphismus $\pi \colon C \twoheadrightarrow G$, sodass der Kern von $\pi$ sowohl im Zentrum als auch in der Kommutatorgruppe von $C$ enthalten ist (also $\mathrm{Ker}(\pi) \subseteq Z(C) \cap C'$ gilt). Ist $n = |\mathrm{Ker}(\pi)|$ endlich, so sprechen wir von einer n-fachen Überlagerung. Zunächst ein paar Beispiele:
  • Indem wir aus der Diedergruppe $D_4$ oder aus der Quaternionengruppe $Q_8$ das Zentrum herausteilen, erhalten wir zweifache Überlagerungen $D_4 \twoheadrightarrow C_2 \times C_2$, bzw. $Q_8 \twoheadrightarrow C_2 \times C_2$ der Kleinschen Vierergruppe.
  • Sei p eine Primzahl und sei $M_p \leq \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_p)$ die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. Es gilt $Z(M_p) = (M_p)' \cong C_p$ und $M_p/Z(M_p) \cong C_p \times C_p$. Wir erhalten also p-fache Überlagerungen $M_p \twoheadrightarrow C_p \times C_p.$
  • Sei $\mathbb{K}$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Dann ist der kanonische Homomorphismus $\mathrm{SL}(2,\mathbb{K}) \twoheadrightarrow \mathrm{PSL}(2,\mathbb{K})$ eine zweifache Überlagerung.
  • Für $n \geq 2$ ist die Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(n)$ eine zweifache Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$.
Die ursprüngliche Motivation für die Betrachtung von Überlagerungsgruppen kommt aus Schurs projektiver Darstellungstheorie: Jede projektive Darstellung $G \to \mathrm{PGL}(m,\mathbb{C})$ einer endlichen Gruppe $G$ lässt sich nämlich aus einer linearen Darstellung $C \to \mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$ einer geeigneten Überlagerungsgruppe $C$ von $G$ herstellen. Aber auch ohne diesen darstellungstheoretischen Hintergrund zu kennen, führen Überlagerungen zu einer spannenden eigenen Theorie. Zum Beispiel ist es überhaupt nicht offensichtlich, dass die Überlagerungen einer beliebigen endlichen Gruppe $G$ in ihrer Größe beschränkt sind. Schur führte damals eine nur von $G$ abhängende endliche abelsche Gruppe $M(G)$ ein, sodass sich der Kern jeder Überlagerung $C \twoheadrightarrow G$ als Untergruppe in $M(G)$ einbetten lässt. Insbesondere gilt für n-fache Überlagerungen von $G$ stets $n \leq |M(G)|$. Schur zeigte zudem, dass stets maximale Überlagerungen existieren, also n-fache Überlagerungen mit $n = |M(G)|$. Zum Beispiel gilt $M(C_2 \times C_2) \cong C_2$. Also sind $D_4$ und $Q_8$ jeweils maximale Überlagerungsgruppen der Kleinschen Vierergruppe. Die Gruppe $M(G)$ ist heute als der Schur-Multiplikator von $G$ bekannt. In seinem 1911 erschienenen Paper bestimmte Schur die Multiplikatoren und maximale Überlagerungen sämtlicher alternierender (und symmetrischer) Gruppen. Diese lassen sich bis auf wenige Ausnahmen ganz einheitlich beschreiben: Für $n \leq 3$ gilt etwa $M(A_n) = 1$. Diese kleinen alternierenden Gruppen sind also bereits selbst ihre maximalen Überlagerungsgruppen. Für $n \geq 4$ besitzt die $A_n$ jeweils eine eindeutige zweifache Überlagerung mit dem Namen $2.A_n$. Diese lässt sich auf verschiedene Weisen konstruieren - zum Beispiel durch die kanonische Einbettung $A_n \hookrightarrow \mathrm{SO}(n-1)$ in die spezielle orthogonale Gruppe und anschließendem Rückzug in die Spin-Gruppe. In fast allen Fällen erhalten wir so bereits eine maximale Überlagerung der $A_n$: Für $n \geq 4$ gilt nämlich $M(A_n) \cong C_2$ - außer für $n = 6$ und $n = 7$. In diesen beiden Ausnahmefällen gibt es tatsächlich auch dreifache Überlagerungen, welche sich zusammen mit den zweifachen Überlagerungen zu sechsfachen Überlagerungen zusammensetzen lassen. Diese sind dann maximal, es gilt also $M(A_6) \cong M(A_7) \cong C_6$. Die Bestimmung der Multiplikatoren der $A_6$ und $A_7$ erfolgt in zwei Schritten: Die Ungleichungen $|M(A_i)| \leq 6$ sind relativ leicht zu zeigen: Man muss sich lediglich davon überzeugen, dass $A_6$ und $A_7$ keine p-fachen Überlagerungen für $p \in \{ 5,7 \}$ sowie keine $p^2$-fachen Überlagerungen für $p \in \{2,3\}$ besitzen. Jede dieser Aussagen lässt sich jeweils auf eine p-Sylowgruppe der $A_i$ zurückführen (siehe Lemma 2), wo sie ganz elementar nachgeprüft werden kann. Deutlich interessanter ist hingegen der Beweis von $|M(A_i)| \geq 6$. Dafür muss man letztendlich die dreifache Überlagerung $3.A_7 \twoheadrightarrow A_7$ finden (die Überlagerungsgruppe $3.A_6$ ergibt sich dann automatisch - siehe Korollar 1). Genau darum soll es in diesen Artikeln gehen.

Sylowgruppen und ihre Normalisatoren

Ab hier werden wir die Existenz einer dreifachen Überlagerung der $A_7$ annehmen, die wir im Folgenden mit $C$ bezeichnen. Sei $\pi \colon C \twoheadrightarrow A_7$ ein zugehöriger surjektiver Homomorphismus mit $\mathrm{Ker}(\pi) \subseteq Z(C) \cap C'$. Unser mittelfristiges Ziel ist, die Charaktertafel von $C$ zu bestimmen. Dafür benötigen wir zunächst Kenntnis über möglichst viele möglichst große Untergruppen von $C$. In diesem Abschnitt werden wir ihre Sylowgruppen sowie deren Normalisatoren identifizieren. Zunächst bestimmen wir das Zentrum der Gruppe. Nach Definition haben wir $\mathrm{Ker}(\pi) \subseteq Z(C)$. Da wir den Quotienten $Z(C) / \mathrm{Ker}(\pi)$ als Untergruppe von $Z(C/\mathrm{Ker}(\pi)) = Z(A_7) = 1$ auffassen können, folgt $Z(C) = \mathrm{Ker}(\pi)$. Wir werden das Zentrum (und damit auch den Kern von $\pi$) im Folgenden mit $Z = Z(C) = \mathrm{Ker}(\pi)$ bezeichnen. Den Elementen von $Z$ werden wir später feste Bezeichnungen zuweisen, sobald wir eine 3-Sylowgruppe bestimmt haben. Als nächstes halten wir die Ordnung von $C$ fest. Es gilt offenbar $|C| = 3 \cdot |A_7| = 7560 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$. Wir haben also vier Sylowgruppen zu bestimmen. Drei von diesen sind mit folgendem Standardargument aus der Sylowtheorie sehr einfach zu bekommen: Lemma 1 Sei $f \colon G \twoheadrightarrow H$ ein surjektiver Homomorphismus und sei $P \leq G$ eine Sylowgruppe. Dann ist $f(P)$ eine Sylowgruppe von $H$ und es gilt $f(N_G(P)) = N_H(f(P))$. Jede Sylowgruppe von $H$ lässt sich als das Bild einer Sylowgruppe von $G$ darstellen. Wir wenden Lemma 1 auf die Sylowgruppen von $C$ für die Primzahlen 2,5 und 7 an. Eine 2-Sylowgruppe von $A_7$ ist isomorph zur Diedergruppe $D_4$ und wird zum Beispiel von den Permutationen $(14)(2536)$ und $(26)(35)$ erzeugt. Nach dem Lemma existiert eine 2-Sylowgruppe $P_2 \leq C$, sodass $\pi(P_2)$ die eben erwähnte Sylowgruppe ist. Da $P_2$ aus Ordnungsgründen keine Elemente von $Z$ enthält, ist $P_2 \to \pi(P_2)$ ein Isomorphismus. Daher ist auch $P_2$ eine Diedergruppe der Ordnung 8. Sie wird von zwei Elementen $r,s \in P_2$ erzeugt, sodass $\pi(r) = (14)(2536)$ und $\pi(s) = (26)(35)$ gilt. Insbesondere hat $r$ die Ordnung 4, $s$ hat die Ordnung 2 und es gilt $r^s = s^{-1} r s = r^{-1}$. Da die 2-Sylowgruppen der $A_7$ ihre eigenen Normalisatoren sind und das Zentrum $Z$ offensichtlich jede Untergruppe von $C$ normalisiert, folgt aus dem Lemma $N_C(P_2) = Z P_2 \cong C_3 \times D_4$. Der Normalisator hat also Ordnung 24 und Index 315 in $G$. Eine 5-Sylowgruppe der $A_7$ ist zyklisch der Ordnung 5 und wird zum Beispiel von der Permutation $(25637)$ erzeugt. Nach dem vorherigen Argument gibt es also eine zyklische 5-Sylowgruppe $P_5 = \langle q \rangle \leq C$, sodass $\pi(q) = (25637)$ gilt. Wie man leicht überprüft, gilt $\pi(q^r) = \pi(q^2)$. Da $q^r$ ein Element der Ordnung 5 ist, und da in der Nebenklasse $q^2 Z$ nur ein Element der Ordnung 5 liegt, folgt notwendigerweise $q^r = q^2$. Mit Lemma 1 erhalten wir $N_C(P_5) = Z \cdot \langle r,q \rangle \cong C_3 \times (C_4 \ltimes C_5)$. Der Normalisator hat also Ordnung 60 und Index 126 in $C$. Eine 7-Sylowgruppe der $A_7$ ist zyklisch der Ordnung 7 und wird zum Beispiel von der Permutation $(1243657)$ erzeugt. Wie zuvor gibt es also eine zyklische 7-Sylowgruppe $P_7 = \langle w \rangle \leq C$, sodass $\pi(w) = (1243657)$ gilt. Wir wählen nun beliebige Elemente $x,y \in C$, sodass $\pi(x) = (123)$ und $\pi(y) = (456)$ gilt. Es gilt $\pi(w^{xy}) = \pi(w^2)$ und wie zuvor schlussfolgern wir daraus $w^{xy} = w^2$. Mit Lemma 1 folgt $N_C(P_7) = Z \cdot \langle xy, w \rangle$. Den Isomorphietyp und die Ordnung von $N_C(P_7)$ können wir bestimmen, sobald wir die Ordnung des Elements $xy$ kennen. Es bleibt schließlich noch eine 3-Sylowgruppe von $C$ zu bestimmen, was sich als etwas schwieriger gestaltet, da sich $\pi$ in diesem Fall nicht zu einem Isomorphismus einschränkt. Wir werden hierfür zwei allgemeine Eigenschaften von Überlagerungsgruppen verwenden, die auch noch weitere nützliche Konsequenzen mit sich bringen. Lemma 2 Sei $f \colon G \twoheadrightarrow H$ eine Überlagerung endlicher Gruppen, $U \leq G$ eine Untergruppe und $E \subseteq G$ eine Teilmenge.
  • (a) Ist $f(E)$ ein Erzeugendensystem von $H$, so ist $E$ ein Erzeugendensystem von $G$.
  • (b) Gilt $\mathrm{ggT}(|U|,|G:U|) = 1$, so ist auch $f_{|U} \colon U \twoheadrightarrow f(U)$ eine Überlagerung.
\showonBeweis: (a) Angenommen $E$ wäre kein Erzeugendensystem von $G$. Dann gibt es eine maximale Untergruppe $M \leq G$ mit $E \subseteq M$. Da $f(E)$ ein Erzeugendensystem von $H$ ist, folgt $M \cdot \mathrm{Ker}(f) = G$ und damit insbesondere $M \cdot (Z(G) \cap G') = G$. Dann ist $M$ ein Normalteiler von $G$ und $G/M$ muss wegen der Maximalität von $M$ zyklisch sein. Daraus folgt aber $G' \subseteq M$ und damit der Widerspruch $M = G$. (b) Es genügt offenbar zu zeigen, dass $Z(G) \cap G' \cap U \subseteq U'$ gilt. Dafür verwenden wir den Verlagerungshomomorphismus, der dankenswerterweise bereits von Gockel in einem früheren Artikel vorgestellt wurde. Genauer gesagt betrachten wir die Verlagerung $V \colon G \to U/U'$. Sei $g \in Z(G) \cap G' \cap U$ ein beliebiges Element. Aus $g \in Z(G)$ folgt $V(g) = g^{|G:U|} U'$ und aus $g \in G'$ folgt $V(g) = U'$. Also haben wir $g^{|G:U|} \in U'$. Weil nun aber $g$ auch ein Element von $U$ ist, und weil $|G:U|$ teilerfremd zu $|U|$ ist, folgt schließlich $g \in U'$, was zu zeigen war. \showoff Wir werden nun eine 3-Sylowgruppe von $C$ identifizieren. Wir betrachten die Gruppe $P_3 = Z \cdot \langle x,y \rangle$, wobei $x,y \in C$ die zuvor beliebig gewählten Elemente mit $\pi(x) = (123)$ und $\pi(y) = (456)$ seien. Da die Einschränkung von $\pi$ auf $P_3$ offenbar einen Kern der Ordnung 3 und ein Bild der Ordnung 9 besitzt, muss es sich bei $P_3$ um eine Gruppe der Ordnung 27, also um eine Sylowgruppe, handeln. Nach Lemma 2 ist $P_3 \to \pi(P_3)$ eine Überlagerung und daher wird $P_3$ bereits von $x$ und $y$ erzeugt. Die Kommutatorgruppe $P_3'$ wird als Normalteiler von $P_3$ von dem Kommutator $\zeta = [y,x] = y^{-1}x^{-1}yx$ erzeugt und muss den Kern von $\pi_{|P_3}$ - also $Z$ - enthalten. Da $P_3/Z$ abelsch ist, folgt also $P_3' = Z = \langle \zeta \rangle$. Bevor wir die Ordnungen von $x$ und $y$ - und damit die vollständige Verknüpfungstabelle von $P_3$ - bestimmen, betrachten wir den Normalisator der Sylowgruppe. Um den Normalisator von $\pi(P_3) = \langle \pi(x), \pi(y) \rangle = \langle (123), (456) \rangle$ zu erhalten, müssen wir noch die Permutation $(14)(2536) = \pi(r)$ hinzunehmen. Es gilt $\pi(x^r) = \pi(y)$ sowie $\pi(y^r) = \pi(x^2)$ und damit $x^r \in yZ \subseteq P_3$ sowie $y^r \in x^2 Z \subseteq P_3$. Also liegt $r$ im Normalisator von $P_3$ und mit Lemma 1 erhalten wir dann sogar die Gleichheit $N_C(P_3) = \langle r \rangle \cdot P_3 \cong C_4 \ltimes P_3$. Wir sehen also schon einmal, dass $N_C(P_3)$ eine Untergruppe der Ordnung 108 mit Index 70 in $C$ ist. Wie eben gezeigt, gilt $x^r \in yZ$ und daher $x^{r^2} \in y^r Z = x^2 Z$. Indem wir gegebenenfalls $x$ durch ein anderes Element aus $xZ$ ersetzen, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $x^{r^2} = x^2$ gilt (der Kommutator $\zeta$ ändert sich dabei nicht). Genauso können wir $y$ gegebenenfalls durch ein anderes Element aus $yZ$ ersetzen, um $x^r = y$ zu erreichen. Dann haben wir also $y^r = x^{r^2} = x^2$. Indem wir die Gleichung $x^{r^2} = x^2$ nochmal mit $r^2$ konjugieren, erhalten wir $x = x^{r^4} = (x^{r^2})^2 = x^4$. Wir erkennen also, dass $x$ und $y$ (als zu $x$ konjugiertes Element) beide Ordnung 3 haben. Mit dieser Erkenntnis haben wir $P_3$ (und damit auch $N_C(P_3)$) vollständig identifiziert: Die Elemente von $P_3$ sind jeweils von der Form $\zeta^i x^j y^k$ mit $i,j,k \in \{0,1,2\}$ und die Multiplikation in $P_3$ ist eindeutig durch die Rechenvorschriften $x^3 = y^3 = \zeta^3 = 1$, $yx = \zeta xy$ zusammen mit $\zeta \in Z(P_3)$ beschrieben (übrigens ist $P_3$ isomorph zur oben betrachteten Matrixgruppe $M_3$). Zusammen mit den Gleichungen $r^4 = 1$, $x^r = y$ und $y^r = x^2$ ist dann auch die Multiplikation in $N_C(P_3)$ vollständig beschrieben. Es lässt sich nun leicht nachprüfen, dass tatsächlich alle nicht-trivialen Elemente von $P_3$ - insbesondere $xy$ - die Ordnung 3 besitzen. Damit können wir nun auch nachträglich feststellen, dass $N_C(P_7) \cong C_3 \times (C_3 \ltimes C_7)$ eine Untergruppe der Ordnung 63 mit Index 120 in $C$ ist. Wir beenden den Abschnitt mit einer unmittelbaren Folgerung aus Lemma 2, welche unter anderem erklärt, warum wir nur nach einer dreifachen Überlagerung der $A_7$, nicht aber nach einer entsprechenden Überlagerung der $A_6$ suchen. Korollar 1 Die Gruppe $C$ wird von den beiden Elementen $r$ und $w$ erzeugt. Sei $H \leq C$ die von $s$ und $q$ erzeugte Untergruppe. Dann schränkt sich $\pi$ zu einer dreifachen Überlagerung $H \twoheadrightarrow A_6$ ein. \showon Beweis: Da die $A_7$ von $\pi(r)$ und $\pi(w)$ erzeugt wird, folgt $C = \langle r,w \rangle$ unmittelbar aus Lemma 2. Um die zweite Behauptung zu beweisen, betrachten wir die Untergruppe $U = \pi^{-1}(A_6)$ von $C$. Es gilt $|C:U| = |A_7:A_6| = 7$ und daher ist $\mathrm{ggT}(|U|, |C:U|) = 1$. Nach Lemma 2 schränkt sich $\pi$ zu einer Überlagerung $U \to A_6$ ein, welche natürlich immer noch den gleichen Kern der Ordnung 3 besitzt. Da die $A_6$ von $\pi(s)$ und $\pi(q)$ erzeugt wird, folgt $U = \langle s,q \rangle = H$ nach nochmaliger Anwendung von Lemma 2. \showoff

Konjugationsklassen

Als nächstes werden wir die Konjugationsklassen von $C$ bestimmen, welche eine notwendige Zutat für die Charaktertafel bilden. In unserer Situation wird folgendes Lemma (dessen Beweis eine leichte Übungsaufgabe ist) die meiste Arbeit erledigen. Lemma 3 Sei $f \colon G \twoheadrightarrow H$ ein surjektiver Homomorphismus von Gruppen und sei $K \subseteq G$ eine Konjugationsklasse. Dann ist auch $f(K) \subseteq H$ eine Konjugationsklasse, und jede Konjugationsklasse von $H$ lässt sich so darstellen. Außerdem ist für jedes $g \in Z(G)$ auch $g \cdot K$ eine Konjugationsklasse. Beginnen wir mit der Konjugationsklasse $K_4$ von $r$ (der Index steht im Folgenden immer für die Ordnungen der enthaltenen Elemente). Da $K_4$ aus Elementen der Ordnung 4 und $\zeta K_4$ hingegen aus Elementen der Ordnung 12 besteht, handelt es sich bei $K_4, \zeta K_4, \zeta^2 K_4$ um drei verschiedene Konjugationsklassen von $C$. Die Einschränkung von $\pi$ auf $K_4$ ist offenbar injektiv, also werden diese drei Klassen von $\pi$ jeweils bijektiv auf die Konjugationsklasse der 4-2-Zykel von $A_7$ geschickt. Alle drei Klassen haben somit jeweils 630 Elemente. Ähnlich ist es bei der Konjugationsklasse $K_2$ von $r^2$. Mit der gleichen Argumentation sehen wir, dass $K_2, \zeta K_2, \zeta^2 K_2$ drei verschiedene Klassen sind, welche von $\pi$ jeweils bijektiv auf die Konjugationsklasse der 2-2-Zykel geschickt werden. Jede dieser Klassen hat also die Mächtigkeit 105. Wir könnten an dieser Stelle noch zeigen, dass auch $s$ und $sr$ in $K_2$ enthalten sind, aber das wird sich am Ende von selbst ergeben. Sei $K_5$ die Konjugationsklasse von $q$, dann sind auch $K_5, \zeta K_5, \zeta^2 K_5$ drei verschiedene Klassen, welche jeweils bijektiv auf die Klasse der 5-Zykel geschickt werden. Sie haben also alle die Mächtigkeit 504. Bei den 7-Zykeln ist es im Grunde genauso, nur müssen wir hierbei aufpassen, dass es in der $A_7$ zwei Konjugationsklassen von 7-Zykeln gibt. Wir bezeichnen mit $K_{7,1}$ die Konjugationsklasse von $w$ und mit $K_{7,2}$ die Klasse von $w^{-1}$. Dann sind $K_{7,1}, \zeta K_{7,1}, \zeta^2 K_{7,1}, K_{7,2}, \zeta K_{7,2}, \zeta^2 K_{7,2}$ sechs verschiedene Konjugationsklassen, welche auf die Klasse von $(1243657)$, bzw. von $(1756342)$ geschickt werden. Sie alle haben je 360 Elemente. Kommen wir nun zu den spannenderen Klassen. Sei $K_{3,1}$ die gemeinsame Konjugationsklasse von $x$ und $y = x^r$. Weil $y$ und $\zeta y = y^x$ konjugiert sind, folgt $\zeta K_{3,1} = K_{3,1}$. Wir haben hier also nur eine Klasse, welche durch $\pi$ drei zu eins auf die Klasse der 3-Zykel abgebildet wird. Da es in der $A_7$ insgesamt 70 Zykel der Länge drei gibt, folgt $|K_{3,1}| = 210$. Analog verhält es sich mit der Klasse $K_{3,2}$ von $xy$. Wegen $(xy)^x = \zeta xy$ gilt $\zeta K_{3,2} = K_{3,2}$, und diese Klasse wird von $\pi$ drei zu eins auf die Klasse der 3-3-Zykel abgebildet. Da es 280 solcher 3-3-Zykel gibt, folgt $|K_{3,2}| = 840$. Wir haben bisher noch keine Elemente von $C$ betrachtet, welche von $\pi$ auf 2-2-3-Zykel abgebildet werden. Um dies nun nachzuholen, betrachten wir ein neues Element $z \in C$ mit $\pi(z) = (147)$. Da $z$ in einer 3-Sylowgruppe enthalten ist, welche wir im letzten Abschnitt (bis auf Konjugation eindeutig) bestimmt haben, wissen wir bereits, dass $z$ die Ordnung drei haben muss. Weil $\pi(z)$ mit $\pi(s)$ kommutiert, gilt $s^z \in sZ$, und da es in $sZ$ nur ein Element der Ordnung zwei gibt, gilt tatsächlich $s^z = s$. Auf der anderen Seite haben wir $\pi(z^r) = \pi(z^2)$ und daher $z^r \in z^2 Z$. Indem wir $z$ gegebenenfalls durch ein anderes Element aus $zZ$ ersetzen, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $z^r = z^2$ gilt. Insbesondere sehen wir, dass die im letzten Abschnitt betrachtete 2-Sylowgruppe im Normalisator von $\langle z \rangle$ enthalten ist. Wir haben damit eine neue Untergruppe $U = Z \cdot P_2 \cdot \langle z \rangle \cong C_3 \times (D_4 \ltimes C_3)$ gefunden, die wir später noch brauchen werden. Sie hat offenbar Ordnung 72 und Index 105 in $C$. Sei nun $K_{12}$ die Konjugationsklasse des Elements $l = r^2z$ der Ordnung 12. Anhand der Gleichung $l^r = r^2z^2 = l^{-1}$ erkennen wir, dass $K_{12}$ unter Inversenbildung abgeschlossen ist. Eine solche Klasse wird auch reell genannt (weil sämtliche Charaktere einer Gruppe auf reellen Konjugationsklassen nur reelle Werte annehmen). Wir zeigen nun, dass $\zeta K_{12} \neq K_{12}$ gilt. Angenommen $l$ wäre zu $\zeta l$ konjugiert, etwa $l^t = \zeta l$. Dann liegt $\pi(t)$ im Zentralisator von $\pi(l) = (147)(23)(56)$, welcher durch die zyklische Gruppe $\langle (147)(23)(56) \rangle$ gegeben ist. Also haben wir $t \in Z \cdot \langle l \rangle$, was offenbar der Annahme $l^t = \zeta l$ widerspricht. Folglich sind $K_{12}, \zeta K_{12}, \zeta^2 K_{12}$ tatsächlich drei verschiedene Konjugationsklassen und jede von ihnen wird von $\pi$ bijektiv auf die Klasse der 2-2-3-Zykel geschickt. Damit haben sie jeweils 210 Elemente. Außerdem gilt offenbar $(\zeta K_{12})^{-1} = \zeta^{-1} K_{12}^{-1} = \zeta^2 K_{12}$. Die Klassen $\zeta K_{12}$ und $\zeta^2 K_{12}$ sind also beide nicht reell. Wir betrachten schließlich noch das Element $sz$, welches von $\pi$ ebenfalls auf einen 2-2-3-Zykel geschickt wird, nämlich auf $\pi(sz) = (147)(26)(35)$. Um herauszufinden in welcher Konjugationsklasse $sz$ liegt, wählen wir ein Hilfselement $t \in C$ mit $\pi(t) = (356)$. Es gilt offenbar $\pi(s^t) = \pi(r^2)$ und aus Ordnungsgründen schlussfolgern wir $s^t = r^2$. Da $z$ und $t$ von $\pi$ auf disjunkte 3-Zykel abgebildet werden, liegt der Kommutator $[z,t]$ im Zentrum von $C$. Wegen $(sz)^t = r^2 z^t = [z,t] \cdot (r^2 z)$ müssen wir also nur noch diesen Kommutator bestimmen. Dafür betrachten wir ein weiteres Hilfselement $g \in C$ mit $\pi(g) = (145)(276)$. Es gilt $t^g \in xZ$ und $z^g \in yZ$. Daraus schlussfolgern wir \[ [z,t] = [z,t]^g = [z^g, t^g] = [y,x] = \zeta. \] Es gilt also $(sz)^t = \zeta r^2 z$ und damit $sz \in \zeta K_{12}$ sowie $sz^2 = (sz)^{-1} \in \zeta^2 K_{12}$. Dass wir an dieser Stelle alle Konjugationsklassen von $C$ gefunden haben, können wir leicht nachprüfen. Die Summe \[ |Z| + \sum_{i=0}^2 \Big( |\zeta^i K_4| + |\zeta^i K_2| + |\zeta^i K_5| + |\zeta^i K_{7,1}| + |\zeta^i K_{7,2}| + |\zeta^i K_{12}| \Big) + |K_{3,1}| + |K_{3,2}| = 3 + 3 \cdot (630 + 105 + 504 + 360 + 360 + 210) + 210 + 840 = 7560 = |C| \] zeigt, dass wir keine Klasse vergessen haben. Insbesondere sehen wir, dass $K_4, K_2, K_5$ die einzigen Klassen von $C$ mit Elementen der entsprechenden Ordnungen $4,2,5$ sind. Damit folgt zum Beispiel automatisch die bereits erwähnte Behauptung $s, sr \in K_2$. Insbesondere sind die Klassen $K_4, K_2, K_5$ alle reell. Da $\zeta K_4$ und $\zeta^2 K_4$ offenbar beide nicht reell sind, erkennen wir $K_{12}$ als die einzige reelle Konjugationsklasse von $C$, welche aus Elementen der Ordnung 12 besteht. Die Klassen $K_{3,1}$ und $K_{3,2}$ sind ebenfalls reell.

Charaktere von Untergruppen

Wir haben genügend gruppentheoretische Informationen über $C$ gesammelt, um nun ihre Charaktertafel bestimmen zu können. Im ersten Schritt werden wir die Charaktertafeln (bzw. gewisse Ausschnitte von diesen) der Untergruppen $N_C(P_5)$, $N_C(P_7)$ und $U$ bestimmen. Dies wird kein Problem sein, da wir jene Gruppen vollständig identifiziert haben und sie alle relativ simpel aufgebaut sind (sie sind zum Beispiel alle auflösbar). Anschließend werden wir die so gefundenen Charaktere mit Hilfe der Induktionsformel zu Charakteren von $C$ hochziehen. Die irreduziblen Charaktere von $C$ (bzw. den interessanten Anteil von ihnen) werden wir schlussendlich als $\mathbb{Z}$-Linearkombinationen von den hochinduzierten Charakteren erhalten. Würde man blind an diese Aufgabe herangehen, würde man sicherlich die vollständigen Charaktertafeln aller bekannten Untergruppen bestimmen und sämtliche Charaktere hochinduzieren, um die Erfolgswahrscheinlichkeit zu maximieren. Da ich dies schon einmal gemacht habe und daher weiß, welche Untergruppen und welche Charaktere wir wirklich brauchen, werde ich nur die wesentlichen Daten präsentieren. Tatsächlich benötigen wir zum Beispiel keinen einzigen Charakter der Untergruppe $N_C(P_3)$! Im Hinblick auf den zweiten Teil dieser Artikelreihe werden wir im Folgenden möglichst allgemein bleiben, und über einem beliebigen Körper $\mathbb{K}$ der Charakteristik 0 arbeiten, der Einheitswurzeln $\zeta_3, \zeta_4, \zeta_5, \zeta_7$ der Ordnungen 3,4,5 und 7 enthält (für den Inhalt dieses ersten Teils kann man aber auch einfach $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ annehmen). Unter einem $\mathbb{K}$-Charakter (oder kurz Charakter) von $C$ verstehen wir den Charakter einer Darstellung $C \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$ für beliebiges $n$. Ein Charakter heißt irreduzibel, wenn die zugehörigen Darstellungen absolut irreduzibel sind. Eine $\mathbb{Z}$-Linearkombination von Charakteren nennen wir virtuellen Charakter. Auf dem Gitter der virtuellen Charaktere ist wie üblich ein Skalarprodukt \[ \langle \psi , \chi \rangle = \frac{1}{|C|} \sum_{g \in C} \psi(g) \chi(g^{-1}) \] definiert. Da die Werte von virtuellen Charakteren grundsätzlich in dem von den Einheitswurzeln erzeugtem Teilkörper von $\mathbb{K}$ liegen, auf welchem die komplexe Konjugation definiert ist, können wir auch $\chi(g^{-1}) = \overline{\chi(g)}$ schreiben. Ein virtueller Charakter $\chi$ von $C$ ist genau dann ein irreduzibler Charakter (und damit insbesondere der Charakter einer Darstellung!), wenn $\langle \chi, \chi \rangle = 1$ und $\chi(1) > 0$ gilt. Die irreduziblen Charaktere von $C$ sind grundsätzlich zueinander orthogonal und damit insbesondere linear unabhängig über $\mathbb{K}$. (Da $\mathbb{K}$ hinreichend viele Einheitswurzeln besitzt, bilden sie sogar eine Basis des Gitters aller virtuellen Charaktere. Das folgt einerseits aus einem allgemeinen Satz von Brauer, aber andererseits werden wir das sowieso im Laufe unserer Berechnungen sehen.) Sei nun $H \leq C$ eine beliebige Untergruppe und sei $\psi \colon H \to \mathbb{K}$ ein (virtueller) Charakter. Dann liefert die Induktionsformel einen (virtuellen) Charakter $\psi^C$ von $C$, der für alle $g \in C$ folgendermaßen definiert ist: \[ \psi^C(g) = \frac{|C:H|}{|g^C|} \sum_{h \in g^C \cap H} \psi(h). \] Dabei bezeichnet $g^C$ die Konjugationsklasse von $g$ in $C$. Für die Berechnung eines induzierten Charakters benötigen wir also lediglich den Index der Untergruppe $H$ in $C$, die Mächtigkeit der Konjugationsklassen von $C$, sowie Kenntnis über die Zugehörigkeit der Elemente von $H$ zu den Konjugationsklassen von $C$. Das erklärt unser bisheriges Vorgehen: Wir haben in den letzten beiden Abschnitten gerade genügend Informationen über die Gruppe $C$ gesammelt, um die Charaktere der Untergruppen $N_C(P_5)$, $N_C(P_7)$ und $U$ zu Charakteren von $C$ hochinduzieren zu können. Dies werden wir ab jetzt tun. Wir beginnen mit der Untergruppe $N_C(P_5) = \langle r, q, \zeta \rangle$, die wir der Kürze halber mit $H$ bezeichnen. Da wir bereits ihre vollständige Verknüpfungstabelle kennen, ist es kein Problem mehr, die Konjugationsklassen von $H$ zu bestimmen: Wir haben zum Beispiel drei Klassen $r^H = \{ r q^i \}$, $(r^2)^H = \{ r^2 q^i \}$, $(r^3)^H = \{ r^3 q^i \}$ mit je 5 Elementen. Eine weitere Klasse ist durch $q^H = \{ q^i : i \not \equiv 0 \mod 5 \}$ gegeben, welche 4 Elemente enthält. Außerdem erhalten wir aus jeder dieser vier Konjugationsklassen noch je zwei weitere Klassen durch Multiplikation mit $\zeta$ und $\zeta^2$. Zusammen mit dem Zentrum $Z(H) = \langle \zeta \rangle$ haben diese Klassen insgesamt $3 + 3 \cdot (5+5+5+4) = 60$ Elemente. Wir haben also keine Klasse vergessen. Für die Induktionsformel ist es außerdem wichtig zu erkennen, dass die Elemente $\zeta^i r$ und $\zeta^i r^3$, welche in $H$ zu verschiedenen Konjugationsklassen gehören, beide zu der Klasse $\zeta^i K_4$ von $C$ gehören, also in $C$ zueinander konjugiert sind. Alle anderen verschiedenen Klassen von $H$ gehören auch zu verschiedenen Klassen von $C$. Wir werden vier irreduzible Charaktere $\alpha_1, \dots, \alpha_4$ von $H$ benötigen. Die ersten drei Charaktere sind linear, also quasi Homomorphismen $H/H' \to \mathbb{K}^\times$. Wie man leicht sieht, ist die Kommutatorgruppe durch $H' = \langle q \rangle$ gegeben, und es gilt $H/H' = \langle \overline{\zeta}, \overline{r} \rangle \cong C_3 \times C_4$. Daher genügt es zur Definition von $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, dem Element $\zeta$ eine dritte Einhheitswurzel und dem Element $r$ eine vierte Einheitswurzel von $\mathbb{K}$ zuzuweisen. Wir wählen $\alpha_1(\zeta) = \alpha_2(\zeta) = \alpha_3(\zeta) = \zeta_3$, $\alpha_1(r) = 1$, $\alpha_2(r) = -1$ sowie $\alpha_3(r) = \zeta_4$. Den vierten Charakter $\alpha_4$ konstruieren wir mit Hilfe der Induktionsformel. Wir betrachten die abelsche Untergruppe $\langle \zeta, q \rangle \cong C_3 \times C_5$ von $H$, welcher wir durch $\zeta \mapsto \zeta_3$ und $q \mapsto \zeta_5$ einen linearen Charakter $\mu$ zuweisen können. Wir definieren dann $\alpha_4 = \mu^H$. Nach einem Satz aus der Clifford-Theorie ist $\alpha_4$ automatisch irreduzibel. (Wenn man diesen Satz nicht kennt, kann man natürlich aber auch einfach überprüfen, dass $\langle \alpha_4, \alpha_4 \rangle = 1$ gilt.) Die Ergebnisse der vorherigen Betrachtungen sind in folgender (unvollständiger) Charaktertafel zusammengefasst. Bei der Berechnung der Charakterwerte ist lediglich zu beachten, dass $\zeta_5 + \zeta_5^2 + \zeta_5^3 + \zeta_5^4 = -1$ gilt. \[ \begin{array}{r||c||c||cc||c} N_C(P_5) & \zeta^i & \zeta^i r^2 & \zeta^i r & \zeta^i r^3 & \zeta^i q\\ \# & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 4 \\ \hline \alpha_1 & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i \\ \alpha_2 & \zeta_3^i & \zeta_3^i & -\zeta_3^i & -\zeta_3^i & \zeta_3^i \\ \alpha_3 & \zeta_3^i & -\zeta_3^i & \zeta_3^i \zeta_4 & -\zeta_3^i \zeta_4 & \zeta_3^i \\ \alpha_4 & 4 \zeta_3^i & 0 & 0 & 0 & - \zeta_3^i \\ \end{array} \] Die Untergruppe $N_C(P_7) = \langle xy, w, \zeta \rangle$ ist sehr ähnlich aufgebaut wie die vorherige. Wir werden sie wieder der Kürze halber mit $H$ bezeichnen. Es gibt zwei Konjugationsklassen $(xy)^H = \{ xy w^i \}$ und $((xy)^2)^H = \{ (xy)^2 w^i \}$ mit je 7 Elementen sowie zwei Konjugationsklassen $w^H = \{ w,w^2,w^4 \}$ und $(w^3)^H = \{ w^3, w^5, w^6 \}$ mit je 3 Elementen. Wie zuvor erhalten wir aus jeder dieser Klassen noch je zwei weitere der selben Mächtigkeit, indem wir mit $\zeta$ bzw. mit $\zeta^2$ multiplizieren. Zusammen mit dem Zentrum $Z(H) = \langle \zeta \rangle$ zählen wir $3 + 3(7+7+3+3) = 63 = |H|$ Elemente. Wir haben also alle Konjugationsklassen gefunden. Um später die Induktionsformel anwenden zu können, halten wir außerdem fest, dass die Elemente $\zeta^i (xy)^j$, welche für verschiedene Paare $(i,j) \in \{ 0,1,2 \} \times \{ 1,2 \}$ nicht in $H$ konjugiert sind, alle zu der Klasse $K_{3,2}$ gehören, also allesamt in $C$ konjugiert sind. Abgesehen davon gehören wieder verschiedene Klassen von $H$ zu verschiedenen Klassen von $C$. Wir werden drei Charaktere $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ von $H$ benötigen, wobei $\beta_1$ ein linearer Charakter ist. Wir berechnen wie zuvor $H' = \langle w \rangle$ sowie $H/H' = \langle \overline{xy}, \overline{\zeta} \rangle \cong C_3 \times C_3$ und erkennen, dass lineare Charaktere von $H$ durch die Zuweisung von dritten Einheitswurzel zu $xy$ und $\zeta$ definiert sind. Wir definieren $\beta_1$ durch $\beta_1(\zeta) = \zeta_3$ und $\beta_1(xy) = 1$. Der Charaktere $\beta_2$ und $\beta_3$ werden wieder durch Induktion definiert: Wir betrachten die abelsche Untergruppe $\langle \zeta, w \rangle \cong C_3 \times C_7$ und definieren linearene Charaktere $\tau,\mu$ durch $\tau(\zeta) = \mu(\zeta) = \zeta_3$, $\tau(w) = \zeta_7$ sowie $\mu(w) = \zeta_7^3$. Wir erhalten so die irreduziblen Charaktere $\beta_2 = \tau^H$ und $\beta_3 = \mu^H$. Die Ergebnisse der vorherigen Betrachtungen werden wieder in einer Charaktertafel zusammengefasst. Im Folgenden treten die Werte $\lambda_1 = \zeta_7 + \zeta_7^2 + \zeta_7^4$ sowie $\lambda_2 = \zeta_7^3 + \zeta_7^5 + \zeta_7^6$ auf. Man überprüft leicht, dass $\lambda_1 + \lambda_2 = -1$ sowie $\lambda_1 \lambda_2 = 2$ gilt. Bei $\lambda_1, \lambda_2$ handelt es sich also um die beiden Nullstellen des Polynoms $X^2+X+2 \in \mathbb{K}[X]$. \[ \begin{array}{r||c||cc||c||c} N_C(P_7) & \zeta^i & \zeta^i xy & \zeta^i (xy)^2 & \zeta^i w & \zeta^i w^3 \\ \# & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 7 & 3 \cdot 7 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 3 \\ \hline \beta_1 & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i & \zeta_3^i\\ \beta_2 & 3 \zeta_3^i & 0 & 0 & \zeta_3^i \lambda_1 & \zeta_3^i \lambda_2 \\ \beta_3 & 3 \zeta_3^i & 0 & 0 & \zeta_3^i \lambda_2 & \zeta_3^i \lambda_1 \\ \end{array} \] Schließlich betrachten wir noch die Untergruppe $U = \langle r,s,z,\zeta \rangle$, welche wir im letzten Abschnitt identifiziert hatten. Man bestimmt leicht die Konjugationsklassen $1^U = \{ 1 \}$, $r^U = \{ r^{\pm 1} z^j : j \in \{0,1,2\} \}$, $(r^2)^U = \{ r^2 \}$, $s^U = \{ s, sr^2 \}$, $(sr)^U = \{ sr^{\pm 1}z^j : j \in \{0,1,2\} \}$, $z^U = \{ z,z^2 \}$, $(r^2z)^U = \{ r^2z, r^2z^2 \}$, $(sz)^U = \{ sz, sr^2z^2 \}$ sowie $(sz^2)^U = \{ sz^2, sr^2z \}$. Außerdem erhalten wir durch Multiplikation mit $\zeta$ und $\zeta^2$ für jede dieser Konjugationsklassen noch je zwei weitere Klassen. Die Gleichung \[ 3 \cdot (1+6+1+2+6+2+2+2+2) = 72 = |U| \] zeigt, dass dies alle Konjugationsklassen von $U$ sind. Zur späteren Anwendung der Induktionsformel halten wir an dieser Stelle wieder fest, dass die Elemente $\zeta^j r^2$, $\zeta^j s$ und $\zeta^j rs$, welche in $U$ nicht konjugiert sind, zu $\zeta^j K_2$ gehören und somit in $G$ konjugiert sind. Analog gehören die Elemente $\zeta^j z$ alle zu $K_3$ und sind somit in $G$ konjugiert. Schließlich bemerken wir, dass die Elemente $\zeta^j r^2 z$, $\zeta^{j+1} sz$ und $\zeta^{j+2}sz^2$ zu $\zeta^j K_{12}$ gehören und somit ebenfalls in $G$ konjugiert sind. Wir benötigen zwei lineare Charaktere $\gamma_1, \gamma_2$ von $U$, für deren Definition wir wie zuvor den Quotienten $U/U'$ bestimmen. Es ist leicht zu zeigen, dass $U' = \langle r^2, z \rangle$ und somit $U/U' = \langle \overline{r}, \overline{s}, \overline{\zeta} \rangle \cong C_2 \times C_2 \times C_3$ gilt. Einen linearen Charakter von $U$ können wir also dadurch definieren, indem wir $r$ und $s$ jeweils einen Wert aus $\{ \pm 1 \}$ und $\zeta$ eine dritte Einheitswurzel zuordnen. Wir wählen $\gamma_1(r) = \gamma_1(s) = 1$, $\gamma_2(r) = \gamma_2(s) = -1$ sowie $\gamma_1(\zeta) = \gamma_2(\zeta) = \zeta_3$. Die Ergebnisse fassen wir in folgender Charaktertafel zusammen. \[ \begin{array}{r|c|c|ccc|c|ccc} U & \zeta^j & \zeta^j r & \zeta^j r^2 & \zeta^j s & \zeta^j sr & \zeta^j x & \zeta^j r^2 x & \zeta^{j+1} sx & \zeta^{j+2} sx^2 \\ \# & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 6 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 6 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 \\ \hline \gamma_1 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^{j+1} & \zeta_3^{j+2}\\ \gamma_2 & \zeta_3^j & -\zeta_3^j & \zeta_3^j & - \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & \zeta_3^j & -\zeta_3^{j+1} & -\zeta_3^{j+2}\\ \end{array} \]

Die Charaktertafel von 3.A7

Wir nähern uns dem vorläufigen Finale! Bevor wir gleich die irreduziblen Charaktere von $C$ bestimmen, wollen wir sie zunächst ganz grob kategorisieren. Aus der Darstellungstheorie ist bekannt, dass absolut irreduzible Darstellungen die Zentrumselemente einer Gruppe auf Skalarmatrizen schicken. Daraus ergibt sich leicht, dass $\chi(\zeta)/\chi(1)$ für jeden irreduziblen Charakter $\chi$ von $C$ stets eine dritte Einheitswurzel ist. Wir unterscheiden daher drei Typen von irreduziblen Charakteren: jene mit $\chi(\zeta) = \chi(1)$, jene mit $\chi(\zeta) = \zeta_3 \chi(1)$ und jene mit $\chi(\zeta) = \zeta_3^2 \chi(1)$. Die Charaktere ersten Typs sind genau jene, die $Z$ im Kern enthalten, also exakt die irreduziblen Charaktere von $A_7$. Diese Charaktere sind für die eingangs gestellten Fragen (nämlich ob die Gruppe $C$ existiert und wie wir sie als Matrixgruppe möglichst kleiner Dimension darstellen können) grundsätzlich uninteressant, und daher werden wir sie an dieser Stelle ignorieren. Trotzdem benötigen wir ihre Anzahl: Es gibt genauso viele irreduzible Typ-1-Charaktere wie Konjugationsklassen in der $A_7$ - nämlich 9. Die irreduziblen Charaktere von Typ 2 und Typ 3 stehen offenbar in Bijektion zueinander: Aus jedem Typ-2-Charakter erhalten wir durch komplexe Konjugation einen Typ-3-Charakter und umgekehrt. Also brauchen wir uns nur die Charaktere vom Typ 2 anzuschauen. Wie wir bereits gesehen haben, hat die Gruppe $C$ gerade 23 Konjugationsklassen und damit 23 irreduzible Charaktere. Daher gilt es also $\frac{1}{2}(23-9) = 7$ verschiedene irreduzible Typ-2-Charaktere von $C$ zu bestimmen. Wir wenden nun die Induktionsformel auf jeden der neun Charaktere an, die im letzten Abschnitt definiert wurden. Wie zuvor bezeichnen $\lambda_1, \lambda_2$ die beiden Nullstellen von $X^2+X+2 \in \mathbb{K}[X]$. Die hochinduzierten Charaktere halten wir in folgender Tabelle fest: \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} C & \zeta^j & \zeta^j K_2 & \zeta^j K_4 & K_{3,1} & K_{3,2} & \zeta^j K_5 & \zeta^j K_{7,1} & \zeta^j K_{7,2} & \zeta^j K_{12} \\ \# & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 105 & 3 \cdot 630 & 210 & 840 & 3 \cdot 504 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 210 \\ \hline (\alpha_1)^C & 126 \zeta_3^j & 6 \zeta_3^j & 2 \zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ (\alpha_2)^C & 126 \zeta_3^j & 6 \zeta_3^j & -2 \zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ (\alpha_3)^C & 126 \zeta_3^j & -6 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ (\alpha_4)^C & 504 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ (\beta_1)^C & 120 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 \\ (\beta_2)^C & 360 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_1 \zeta_3^j & \lambda_2 \zeta_3^j & 0 \\ (\beta_3)^C & 360 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 \zeta_3^j & \lambda_1 \zeta_3^j & 0 \\ (\gamma_1)^C & 105 \zeta_3^j & 9 \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ (\gamma_2)^C & 105 \zeta_3^j & 5 \zeta_3^j & -\zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \zeta_3^j \\ \end{array} \] Bei Betrachtung des Normquadrats $\langle \chi, \chi \rangle$ erkennen wir, dass keiner dieser Charaktere $\chi$ irreduzibel ist. Wir bilden deshalb ganzzahlige Linearkombinationen dieser Charaktere mit dem Ziel, die Normquadrate zu minimieren (Erinnerung: ein virtueller Charakter $\chi$ ist genau dann irreduzibel, wenn $\chi(1) > 0$ und $\langle \chi, \chi \rangle = 1$ gilt). Ein wenig Probieren führt uns zu folgenden Linearkombinationen: $\chi_1 = (\alpha_1)^C + (\gamma_2)^C - (\gamma_1)^C - (\beta_1)^C$ $\chi_2 = (\alpha_1)^C + (\beta_1)^C - (\alpha_3)^C - (\gamma_1)^C$ $\chi_3 = (\alpha_1)^C + (\beta_1)^C + (\gamma_2)^C - (\alpha_3)^C - 2(\gamma_1)^C$ $\chi_4 = (\alpha_2)^C - (\gamma_2)^C$ $\chi_5 = (\alpha_1)^C - (\gamma_1)^C$ $\chi_6 = (\alpha_4)^C - (\beta_2)^C - (\beta_1)^C$ $\chi_7 = (\alpha_4)^C - (\beta_3)^C - (\beta_1)^C$ Bei der Berechnung ist lediglich wieder zu beachten, dass $\lambda_1 + \lambda_2 = -1$ gilt. Die Ergebnisse halten wir in folgender Tabelle fest: \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} C & \zeta^j & \zeta^j K_2 & \zeta^j K_4 & K_{3,1} & K_{3,2} & \zeta^j K_5 & \zeta^j K_{7,1} & \zeta^j K_{7,2} & \zeta^j K_{12} \\ \# & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 105 & 3 \cdot 630 & 210 & 840 & 3 \cdot 504 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 210 \\ \hline \chi_1 & 6 \zeta_3^j & 2 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & -\zeta_3^j & -\zeta_3^j & 2 \zeta_3^j \\ \chi_2 & 15 \zeta_3^j & 3 \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 \\ \chi_3 & 15 \zeta_3^j & -\zeta_3^j & -\zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & 2 \zeta_3^j \\ \chi_4 & 21 \zeta_3^j & \zeta_3^j & -\zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & -2\zeta_3^j \\ \chi_5 & 21 \zeta_3^j & -3 \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ \chi_6 & 24 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^j & \lambda_2 \zeta_3^j & \lambda_1 \zeta_3^j & 0\\ \chi_7 & 24 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^j & \lambda_1 \zeta_3^j & \lambda_2 \zeta_3^j & 0\\ \end{array} \] Anhand der Normquadrate erkennen wir, dass die virtuellen Charaktere $\chi_1, \dots, \chi_7$ tatsächlich irreduzibel (und somit überhaupt Charaktere von Darstellungen) sind. Wir haben also alle sieben Typ-2-Charaktere von $C$ gefunden. Insbesondere erkennen wir, dass die kleinsten treuen Charaktere von $C$ die Charaktere $\chi_1$ und $\overline{\chi_1}$ vom Grad 6 sind. Somit ist die Gruppe $C$ über dem Körper $\mathbb{K}$ bestenfalls als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe realisierbar! Um die Existenz und Eindeutigkeit von $C$ zu beweisen, könnte man an dieser Stelle direkt nach einer Darstellung $C \to \mathrm{GL}(6,\mathbb{K})$ mit dem Charakter $\chi_1$ suchen. Man würde feststellen, dass es bis auf Konjugation nur genau eine Möglichkeit gibt und würde zu dem gleichen Ergebnis kommen wie Schur in seinem Paper von 1911. Wir wollen allerdings einen anderen Weg gehen und mit Hilfe modularer Darstellungstheorie (welche zu Schurs Zeiten noch nicht bekannt war) nach noch kleineren Darstellungen über Körpern positiver Charakteristik suchen. Dies wird Gegenstand des zweiten Artikels sein. Zum Schluss sei der Vollständigkeit halber hier noch die ganze Charaktertafel von $C$ genannt: \showon \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \zeta^j & \zeta^j K_2 & \zeta^j K_4 & K_{3,1} & K_{3,2} & \zeta^j K_5 & \zeta^j K_{7,1} & \zeta^j K_{7,2} & \zeta^j K_{12} \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot 105 & 3 \cdot 630 & 210 & 840 & 3 \cdot 504 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 360 & 3 \cdot 210 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 10 & -2 & 0 & 1 & 1 & 0 & \lambda_1 & \lambda_2 & 1\\ 10 & -2 & 0 & 1 & 1 & 0 & \lambda_2 & \lambda_1 & 1\\ 14 & 2 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2\\ 14 & 2 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 15 & -1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\ 21 & 1 & -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 35 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ \hline 6 \zeta_3^j & 2 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & -\zeta_3^j & -\zeta_3^j & 2 \zeta_3^j \\ 15 \zeta_3^j & 3 \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 \\ 15 \zeta_3^j & -\zeta_3^j & -\zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^j & \zeta_3^j & 2 \zeta_3^j \\ 21 \zeta_3^j & \zeta_3^j & -\zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & -2\zeta_3^j \\ 21 \zeta_3^j & -3 \zeta_3^j & \zeta_3^j & 0 & 0 & \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 \\ 24 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^j & \lambda_2 \zeta_3^j & \lambda_1 \zeta_3^j & 0\\ 24 \zeta_3^j & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^j & \lambda_1 \zeta_3^j & \lambda_2 \zeta_3^j & 0\\ \hline 6 \zeta_3^{-j} & 2 \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^{-j} & -\zeta_3^{-j} & -\zeta_3^{-j} & 2 \zeta_3^{-j} \\ 15 \zeta_3^{-j} & 3 \zeta_3^{-j} & \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^{-j} & \zeta_3^{-j} & 0 \\ 15 \zeta_3^{-j} & -\zeta_3^{-j} & -\zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 & \zeta_3^{-j} & \zeta_3^{-j} & 2 \zeta_3^{-j} \\ 21 \zeta_3^{-j} & \zeta_3^{-j} & -\zeta_3^{-j} & 0 & 0 & \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & -2\zeta_3^{-j} \\ 21 \zeta_3^{-j} & -3 \zeta_3^{-j} & \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 \\ 24 \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^{-j} & \lambda_1 \zeta_3^{-j} & \lambda_2 \zeta_3^{-j} & 0\\ 24 \zeta_3^{-j} & 0 & 0 & 0 & 0 & -\zeta_3^{-j} & \lambda_2 \zeta_3^{-j} & \lambda_1 \zeta_3^{-j} & 0\\ \end{array} \] \showoff Hier geht's weiter zu Teil zwei.
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Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1) [von Dune]  
Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $mathbb{F}_{25} = mathbb{F}_5(zeta)$, wobei $zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. ( 3.A_7 = leftlangle begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{pmatrix}, begin{pmatrix} 4 zeta+1 & 3zeta+3 & 3
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