 \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}
\newcommand{\IW}{\mathbb{M}}
\newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}}
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Frage: " Warum muss ich noch beweisen, dass eine Aussage A(n) für alle n gilt, wenn ich durch probieren mich schon überzeugt habe, dass die Aussage für alle n bis 1.000.000 gilt? Es kann doch nur so weiter gehen." Antwort: Leider nein. Ohne Beweis ist nichts sicher. Frage: Was gilt denn als Beweis? Antwort: Kommt darauf an, wen Du fragst.
Ganz allgemein ausgedrückt, verstehen Juristen unter Beweis den Nachweis für eine Behauptung. Die Beweisführung soll dem Gericht die Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer Tatsachenbehauptung verschaffen.
Mag sein, dass Juristen aufgrund einer überwältigenden Anzahl von Indizien ein Urteil fällen. Die Indizien für die Aussage A(n) mögen A(1) bis A(1.000.000) sein, aber mathematische Aussagen müssen vor einem Gericht aus Mathematikern bestehen.
Mathematiker akzeptieren keine Indizienbeweise - nicht aus Gemeinheit, sondern aus Erfahrung. Zur positiven Bestätigung einer Behauptung muss die Aussage allgemein - das ist: für alle möglichen Fälle - nachgewiesen werden bzw. sein. Mein letzter Satz ist auch eine Aussage, und diese Aussage, die ich als Vorsichtslemma bezeichne, kann man mit einem einzigen Beispiel beweisen! \light\darkblue\big(Vorsichtslemma:)__ \normal Es existiert eine Aussage über n, die für alle n <= 1.000.000 wahr ist, aber im Allgemeinen nicht gilt. Der Beweis des Vorsichtslemmas
Definition: Eine positive ganze Zahl heißt 'von geradem Typ', wenn ihre Primfaktorzerlegung eine gerade Anzahl von Primzahlen enthält.
Sonst heißt sie 'von ugeradem Typ'. Beispiel: 4 = 2² ist von geradem Typ. 18 = 2*3² ist von ungeradem Typ.
Der 'Typ' bestimmt sich also aus der Summe der Primzahlexponenten in der Primfaktorzerlegung.
Weil 1 das Produkt von 0 Primzahlen ist, ist die 1 somit von geradem Typ. Mit E(n) werde die Anzahl der positiven ganzen Zahlen von geradem Typ bezeichnet, die kleiner oder gleich n sind. Mit O(n) werde die Anzahl der positiven ganzen Zahlen von ungeradem Typ bezeichnet, die kleiner oder gleich n sind. Was kann man über die relative Größe von E(n) und O(n) sagen?
Ist E(n) größer als O(n)? \stress\Vielleicht ist O(n) <=E(n) für alle n>=2? Beispiele: Es ist E(2) = 1 = O(2), denn die 2 ist selbst von ungeradem Typ und die einzige kleiner Zahl (die 1) ist von geradem Typ. Weiter ist E(3) = 1 <= O(3) = 2 Stellen wir eine Tabelle auf: | n | Primfaktorzerlegung | Typ | E(n) | O(n) |
|---|
| 1 | - | gerade | - | - | | 2 | 2 | ungerade | 1 | 1 | | 3 | 3 | ungerade | 1 | 2 | | 4 | 2² | gerade | 2 | 2 | | 5 | 5 | ungerade | 2 | 3 | | 6 | 2*3 | gerade | 3 | 3 | | 7 | 7 | ungerade | 3 | 4 | | 8 | 2³ | ungerade | 3 | 5 | | 9 | 3² | gerade | 4 | 5 | | 10 | 2*5 | gerade | 5 | 5 | | 11 | 11 | ungerade | 5 | 6 | | 12 | 2²*3 | ungerade | 5 | 7 |
Es sieht so aus, dass O(n) "früher" wächst als E(n). Dazu tragen die Primzahlen bei, die immer vor größeren Zahlen stehen, die diese Primzahl als Faktor enthalten.
Das berechtigt zu der \darkblue\stress\Vermutung, dass allgemein O(n) >= E(n) gilt Diese Behauptung ist unter dem Titel "Polyas Vermutung" bekannt. Sie stammt aus dem Jahre 1919. Nachdem man nachgerechnet hatte, dass sie für n <=1.000.000 gilt, waren viele überzeugt, dass Polyas Vermutung wahr wäre.
Aber eine Überzeugung ist kein Beweis - und tatsächlich hat sich die Vermutung als falsch herausgestellt. 1962 wurde ein Gegenbeispiel gefunden (Lehman):
Für n = 906.180.359 ist zum ersten* Mal O(n) = E(n) - 1. Wer Lust hat, kann es nachrechnen. Dazu braucht man einen Computer und ein Faktorisierungprogramm. Soweit das Große Gegenbeispiel als Beweis des Vorsichtslemmas. Methodische Anmerkung: Selbstverständlich sollen Studenten auch Vermutungen äußern. Sie mögen diese für sich selbst durch einige Beispielen bestätigen oder widerlegen. Aber noch so viele positive Einzelfälle (heute, mit Computern, sind Millionen kein Problem) bedeuten einen Beweis. Die Aussage ist dann immer noch unsicher. 
Quelle für das Gegenbeispiel: Math Fun Facts. Ins Deutsche übertragen von Matroid. *) Siehe Kommentar vom 11. November 2010
\(\endgroup\)
| 
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
