Galois-Verbindungen

Ein Zusammenhang zwischen Bildmenge und Urbildmenge

Es sei $f : X \to Y$ eine Abbildung. Diese induziert nun bekanntlich zwei Abbildungen zwischen den Potenzmengen: $f_* : P(X) \to P(Y),~ A \mapsto f_*(A) := \{f(a) : a \in A\}$ (Bildmenge) $f^* : P(Y) \to P(X),~ B \mapsto f^*(B) := \{a \in X : f(a) \in B\}$ (Urbildmenge) Wir schreiben hier $ f_*(A)$ anstelle von wie üblich $f(A)$, um die Notation von $f(\dotsc)$ nicht zu überladen, und wir schreiben hier $f^*(B)$ anstelle von wie üblich $f^{-1}(B)$, um die Notation von $f^{-1}$, was die inverse Abbildung von $f$ ist (die hier gar nicht existieren muss), nicht zu überladen. Diese Notationsüberladungen sorgen ohnehin für Missverständnisse, vor allem im Anfang des Mathematik-Studiums. Beide Abbildungen sind monoton wachsend in dem Sinne, dass $A \subseteq A' \implies f_*(A) \subseteq f_*(A')$ für alle $A,A' \in P(X)$ gilt, und dass $B \subseteq B' \implies f^*(B) \subseteq f^*(B')$ für alle $B,B' \in P(Y)$ gilt. Es gilt außerdem der folgende Zusammenhang für alle $A \in P(X)$ und $B \in P(Y)$: $f_*(A) \subseteq B \iff A \subseteq f^*(B)$ Denn $f_*(A) \subseteq B$ bedeutet gerade, dass $f(a) \in B$ für alle $ a \in A$ gilt, und $f(a) \in B$ bedeutet gerade $a \in f^*(B)$. Diesen Zusammenhang zwischen $f_*$ und $f^*$ werden wir im nächsten Abschnitt allgemein untersuchen und eine Galois-Verbindung nennen. Aus der Theorie werden sich dann sofort einige allgemeine Eigenschaften von $f_*$ und $f^*$ ableiten lassen. Wir bemerken an dieser Stelle schon einmal (ohne Beweis), dass sich formal ergibt, dass $f_*$ mit beliebigen Vereinigungen und dass $f^*$ mit beliebigen Durchschnitten vertauscht (was sich natürlich auch per Hand nachrechnen lässt): $f_*(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} f_*(A_i)$ $f^*(\bigcap_{i \in I} B_i) = \bigcap_{i \in I} f^*(B_i)$ Für die leere Indexmenge erhalten wir insbesondere $f_*(\emptyset)=\emptyset$ und $f^*(Y)=X$. Beachte, dass $f_*$ hingegen nicht mit beliebigen Durchschnitten vertauschen muss (das ist nur für bijektive $f$ der Fall). Außerdem ergeben sich formal die beiden Inklusionen (1) $f_*(f^*(B)) \subseteq B$ für alle $B \in P(Y)$ (2) $A \subseteq f^*(f_*(A))$ für alle $A \in P(X)$ Hier stellt sich direkt die Frage, wann hier immer Gleichheit gilt. Man kann sich leicht überlegen, dass Gleichheit in (1) genau dann gilt (also $f_*(f^*(B)) = B$ für alle $B \in P(Y)$), wenn $f$ surjektiv ist, und dass Gleichheit in (2) genau dann gilt, wenn $f$ injektiv ist. Das ist unser Ausgangspunkt dafür, später noch weitere Charakterisierungen für die Injektivität und Surjektivität von $f : X \to Y$ zu finden.

Ein dritter Operator

Neben $f_*$ und $f^*$ gibt es nun aber noch einen dritten Operator zwischen den Potenzmengen, der weniger bekannt ist und kaum benutzt wird. Die Notation ist nicht offiziell anerkannt. $f_{?} : P(X) \to P(Y),~ A \mapsto f_{?}(A) := \{y \in Y : f^*(\{y\}) \subseteq A\} = \{y \in Y : \forall x \in X ~(f(x)=y \implies x \in A)\}.$ Es gilt dann der folgende Zusammenhang für alle $B \in P(Y)$ und $A \in P(X)$: $f^*(B) \subseteq A \iff B \subseteq f_{?}(A)$ Das ist also ein weiteres Beispiel für eine Galois-Verbindung. Daraus ergibt sich wieder formal, dass $f^*$ mit beliebigen Vereinigungen und dass $f_{?}$ mit beliebigen Durchschnitten vertauscht (was sich natürlich auch per Hand nachrechnen lässt). $f^*(\bigcup_{i \in I} B_i) = \bigcup_{i \in I} f^*(B_i)$ $f_{?}(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} f_{?}(A_i)$ Für die leere Indexmenge folgt insbesondere $f^*(\emptyset)=\emptyset$ und $f_{?}(X)=Y$. Außerdem erhalten wir (1') $f^*(f_{?}(A)) \subseteq A$ (2') $B \subseteq f_{?}(f^*(B))$ Weitere Galois-Verbindungen (in denen die genannten Operatoren vorkommen) kann es hier nicht geben, einerseits weil $f_*$ nicht mit beliebigen Durchschnitten vertauscht, andererseits weil $f_{?}$ nicht mit beliebigen Vereinigungen vertauscht. Man kann übrigens $f_{?}$ auch so ausdrücken (wenn man das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten voraussetzt): $f_{?}(A) = Y \setminus f_*(X \setminus A).$ Das erklärt vielleicht, warum $f_{?}$ so selten benutzt wird: dieser Operator lässt sich direkt auf $f_*$ zurückführen. Und tatsächlich lässt sich die zweite Galois-Verbindung so auch auf die erste zurückführen, wenn wir verwenden, dass $f^*$ mit Komplementen vertauscht: $f^*(B) \subseteq A \iff X \setminus A \subseteq X \setminus f^*(B) = f^*(Y \setminus B) \iff f_*(X \setminus A) \subseteq Y \setminus B \iff B \subseteq Y \setminus f_*(X \setminus A).$ Mittels Komplementbildung lässt sich aus $f^*$ kein anderer Operator konstruieren, weil $f^*$ sowieso mit Komplementen vertauscht, und aus $f_{?}$ erhalten wir wieder nur $f_*$ zurück.

Definition von Galois-Verbindungen

Es gibt zwei Definitionen von Galois-Verbindungen, die zueinander äquivalent sind. Weil keine davon zu bevorzugen ist, beweisen wir lieber erst einmal die Äquivalenz dieser Bedingungen. Lemma 1. Seien $P,Q$ zwei partielle Ordnungen. Seien $f : P \to Q$ und $g :Q \to P$ zwei monoton wachsende Abbildungen. Dann sind äquivalent: (1) Für alle $p \in P$ und $q \in Q$ gilt $f(p) \leq q \iff p \leq g(q)$. (2) Für alle $p \in P$ gilt $p \leq g(f(p))$, und für alle $q \in Q$ gilt $f(g(q)) \leq q$. Ist außerdem (1) oder (2) erfüllt, so folgt (3) Es gelten die Gleichungen $f \circ g \circ f = f$ und $g \circ f \circ g = g$. Beweis. (1) $\implies$ (2): Sei $p \in P$. Aus $f(p) \leq f(p)$ und (1) folgt $p \leq g(f(p))$. Sei nun $q \in Q$. Aus $g(q) \leq g(q)$ und (1) folgt $f(g(q)) \leq q$. (2) $\implies$ (1): Aus $f(p) \leq q$ durch durch Anwenden von $g$, dass $g(f(p)) \leq g(q)$. Wegen (2) gilt aber $p \leq g(f(p))$ und daher $p \leq g(q)$. Die Umkehrung lässt sich analog beweisen. (2) $\implies$ (3): Setzen wir $q = f(p)$ in $f(g(q)) \leq q$ ein, folgt $f(g(f(p))) \leq f(p)$. Andererseits folgt aus $p \leq g(f(p))$ durch Anwenden von $f$ auch $f(p) \leq f(g(f(p))$. Zusammen folgt daher $f(g(f(p))) = f(p)$. Dies zeigt $f \circ g \circ f = f$. Analog ergibt sich $g \circ f \circ g = g$. $\checkmark$ Definition. Ist eine dieser Bedingungen (1), (2) in Lemma 1 erfüllt, nennen wir $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Nach dem Lemma gilt dann also auch (3). Beispiel. Wir haben in der Einführung gesehen, dass jede Abbildung $f : X \to Y$ zwei Galois-Verbindungen zwischen den Potenzmengen (die via Inklusion partiell geordnet sind) induziert, nämlich $(f_*,f^*) : P(X) \to P(Y)$ und $(f^*,f_?) : P(Y) \to P(X)$. Viele Beispiele für Galois-Verbindungen treten in einer etwas anderen Form auf: Dazu verwenden wir die duale bzw. entgegengesetzte partielle Ordnung $P^{\mathrm{op}} = (X,\geq)$ einer partiellen Ordnung $P = (X,\leq)$, wobei also die Grundmenge erhalten bleibt und nur die Ordnung umgedreht wird: $a \geq a' :\!\iff a' \leq a$. Was wir oben definiert haben, nennt man dann eine monotone Galois-Verbindung, während eine Galois-Verbindung $(f,g) : P \to Q^{\mathrm{op}}$ als eine antitone Galois-Verbindung bezeichnet wird. Hier sind also $f : P \to Q$ und $g : Q \to P$ tatsächlich monoton fallend, und die Bedingungen in Lemma 1 lauten (1') Für alle $p \in P$ und $q \in Q$ gilt $q \leq f(p) \iff p \leq g(q)$. (2') Für alle $p \in P$ gilt $p \leq g(f(p))$, und für alle $q \in Q$ gilt $q \leq f(g(q))$. Wie wir aber soeben erklärt haben, kann man sich die Unterteilung in zwei Typen von Galois-Verbindungen sparen (und das werden wir entsprechend tun), wenn man sich die Konstruktion der dualen partiellen Ordnung zunutze macht. Beispiel. Sei $V$ ein $\IR$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\langle -,- \rangle$ (zum Beispiel $V = \IR^n$ mit dem Standard-Skalarprodukt). Für einen Unterraum $U \subseteq V$ sei $U^{\perp} = \{v \in V : \forall u \in U ~ (\langle u,v \rangle = 0) \}$ das orthogonale Komplement von $U$. Es gilt $U \subseteq W \implies W^{\perp} \subseteq U^{\perp}$ und $U \subseteq U^{\perp\perp}$. Wenn $\mathrm{Sub}(V)$ die partielle Ordnung der Unterräume von $V$ bezeichnet, haben wir folglich eine Galois-Verbindung $((-)^{\perp},(-)^{\perp}) : \mathrm{Sub}(V) \to \mathrm{Sub}(V)^{\mathrm{op}}$. Aus Lemma 1 folgt $U^{\perp} = U^{\perp\perp\perp}$. Es gibt tatsächlich unzählige Beispiele für Galois-Verbindungen, aber an dieser Stelle wollen wir uns nicht damit aufhalten.

Eigenschaften von Galois-Verbindungen

Lemma 2. Ist $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung, so ist auch $(g,f) : Q^{\mathrm{op}} \to P^{\mathrm{op}}$ eine Galois-Verbindung. Der Beweis ist trivial. Mit diesem Lemma werden sich viele allgemeine Aussagen über das $f$ in einer Galois-Verbindung $(f,g)$ auch auf das $g$ übertragen, nur dass wir die Umkehrung der Ordnung respektieren müssen. Wir sehen gleich ein Beispiel dafür. Lemma 3. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Dann gilt: (1) $f$ erhält Suprema. (2) $g$ erhält Infima. Beweis. (1) Sei $(a_i)_{i \in I}$ eine Familie von Elementen in $P$, deren Supremum $s \in P$ existiert. Es gilt für alle $q \in Q$: $f(s) \leq q \iff s \leq g(q) \iff \forall i \in I ~ (a_i \leq g(q)) \iff \forall i \in I ~ (f(a_i) \leq q).$ Das zeigt, dass $f(s)$ ein Supremum der Familie $(f(a_i))_{i \in I}$ ist. (2) Weil $(g,f) : Q^{\mathrm{op}} \to P^{\mathrm{op}}$ eine Galois-Verbindung ist, ergibt sich aus (1), dass $g : Q^{\mathrm{op}} \to P^{\mathrm{op}}$ Suprema erhält. Das bedeutet gerade, dass $g : Q \to P$ Infima erhält. $\checkmark$ Beispiel. Wie bereits in der Einführung erwähnt, ergibt sich daraus für unsere Beispiele $(f_*,f^*) : P(X) \to P(Y)$ und $(f^*,f_?) : P(Y) \to P(X)$ von Galois-Verbindungen, dass $f_*$ beliebige Vereinigungen, $f_?$ beliebige Durchschnitte, und dass $f^*$ beliebige Vereinigungen und Durchschnitte erhält. Weil $f_*$ nicht beliebige Durchschnitte erhält, und $f_{?}$ nicht beliebige Vereinigungen erhält, gibt es keine weiteren Galois-Verbindungen mit diesen Operatoren. Beispiel. Ist $V$ ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so gilt für das orthogonale Komplement von Unterräumen die Rechenregel $(\sum_{i \in I} U_i)^{\perp} = \bigcap_{i \in I} U_i^{\perp}$, das folgt direkt aus Lemma 3. Beispiel. Ist $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung und besitzt $P$ ein kleinstes Element $0$ (das ist ein Supremum mit leerer Indexmenge), so ist nach dem Lemma $f(0)$ ein kleinstes Element von $Q$. Wir können also $f(0)=0$ schreiben. Wenn $Q$ ein größtes Element $1$ besitzt, dann ist $g(1)$ ein größtes Element von $P$, und wir können $g(1)=1$ schreiben. Es ist bemerkenswert, dass in einer Galois-Verbindung die eine monotone Abbildung jeweils bereits durch die andere festgelegt ist: Lemma 4. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. (1) Es ist $g$ eindeutig durch $f$ bestimmt. Genauer gesagt gilt für alle $q \in Q$ die Relation $g(q) = \max\{p \in P : f(p) \leq q\}$. (2) Es ist $f$ eindeutig durch $g$ bestimmt. Genauer gesagt gilt für alle $p \in P$ die Relation $f(p) = \min \{q \in Q : p \leq g(q)\}$. Beweis. (1) Für $q \in Q$ gilt $\{p \in P : f(p) \leq q \} = \{p \in P : p \leq g(q)\}$. Das Maximum davon ist trivialerweise $g(q)$. (2) folgt analog bzw. durch Betrachtung von $(g,f) : Q^{\mathrm{op}} \to P^{\mathrm{op}}$ aus (1). $\checkmark$ Bemerkung. Daraus motiviert sich die Frage, wie man die monoton wachsenden Abbildungen $f : P \to Q$ charakterisieren kann, die Teil einer (dann eindeutigen) Galois-Verbindung $(f,g) : P \to Q$ sind. Wir wissen bereits, dass $f$ Suprema erhalten muss. Das ist, sofern $P$ vollständig ist (also alle Suprema besitzt), auch hinreichend. Man kann (bzw. muss, wegen Lemma 4) dann nämlich $g : Q \to P$ definieren durch $g(q) = \sup \{p \in P : f(p) \leq q\}$ und kann sich leicht $f(p) \leq q \iff p \leq g(q)$ klarmachen. Umgekehrt: Wenn $g : Q \to P$ gegeben ist, Infima erhält und $Q$ vollständig ist, so kann man $f : P \to Q$ definieren durch $f(p) = \inf \{q \in Q : p \leq g(q)\}$, und $(f,g)$ ist eine Galois-Verbindung. Eine allgemeingültige Charakterisierung für $f$ lautet: Für alle $q \in Q$ muss die Menge $\{p \in P : f(p) \leq q\}$ ein Maximum besitzen. Für $g$ lautet sie: Für alle $p \in P$ muss die Menge $\{q \in Q : p \leq g(q)\}$ ein Minimum besitzen. Beispiel. Sei $X$ eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Verteilungsfunktion $F_X : [-\infty,\infty] \to [0,1]$, $F_X(t) := \mathbb{P}(X \leq t)$ erhält Infima. Definieren wir also $Q_X : [0,1] \to [-\infty,\infty]$ durch $Q_X(p) := \inf \{t \in [-\infty,\infty] : p \leq F_X(t)\}$, so ist $(Q_X,F_X)$ eine Galois-Verbindung. Man nennt $Q_X$ auch die Quantilfunktion von $X$. Lemma 4 impliziert, dass die Quantilfunktion umgekehrt auch die Verteilungsfunktion festlegt, was in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein nützlicher Fakt ist. Bemerkung. Man kann Galois-Verbindungen hintereinander ausführen: Sind $(f,g) : P \to Q$ und $(u,v) : Q \to R$ zwei Galois-Verbindungen, so ist auch $(u \circ f , g \circ v) : P \to R$ eine Galois-Verbindung. Außerdem ist für jede partielle Ordnung $P$ natürlich $(\mathrm{id}_P,\mathrm{id}_P) : P \to P$ eine Galois-Verbindung. Allgemeiner ist für jeden Isomorphismus $f : P \to Q$ partieller Ordnungen $(f,f^{-1}) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung; solche werden Galois-Korrespondenzen genannt. Dazu später mehr.

Charakterisierungen der Injektivität und Surjektivität

Lemma 5. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Dann sind äquivalent: (1) $f$ ist injektiv. (2) $f$ reflektiert die Ordnung (also $f(p) \leq f(p') \implies p \leq p'$). (3) $g$ ist surjektiv. (4) $g \circ f = \mathrm{id}_P$. Beweis. Wenn $f$ injektiv ist, so folgt aus $f \circ g \circ f = f = f \circ \mathrm{id}_P$ (siehe Lemma 1) sofort $g \circ f = \mathrm{id}_P$. Wenn $g$ surjektiv ist, so folgt aus $g \circ f \circ g = g = \mathrm{id}_Q \circ g$ (siehe Lemma 1) sofort $g \circ f = \mathrm{id}_Q$. Ist umgekehrt $g \circ f = \mathrm{id}_P$, so ist natürlich $f$ injektiv und $g$ surjektiv. Damit sind (1),(3),(4) zueinander äquivalent. Zum Beweis von (4) $\implies$ (2): Aus $f(p) \leq f(p')$ folgt (weil $g$ monoton wachsend ist) $p = g(f(p)) \leq g(f(p')) = p'$. Zum Beweis von (2) $\implies$ (1): Es ist $f(p) = f(p')$ äquivalent mit $f(p) \leq f(p') \wedge f(p') \leq f(p)$, also mit $p \leq p' \wedge p' \leq p$ wegen (2), was $p = p'$ bedeutet. $\checkmark$ Wenden wir Lemma 5 auf die Galois-Verbindung $(g,f) : Q^{\mathrm{op}} \to P^{\mathrm{op}}$ an, so ergibt sich: Lemma 5'. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Dann sind äquivalent: (1) $g$ ist injektiv. (2) $g$ reflektiert die Ordnung. (3) $f$ ist surjektiv. (4) $f \circ g = \mathrm{id}_Q$. Wir wissen bereits, dass für eine Galois-Verbindung $(f,g) : P \to Q$ die Abbildung $f$ alle Suprema erhält (und $g$ alle Infima) erhält. Die folgenden Resultate gehen der Frage nach, wann $f$ auch gewisse Infima (bzw. $g$ gewisse Suprema) erhält. Wir erinnern, dass ein Anfangsabschnitt einer partiellen Ordnung $P$ eine Teilmenge $T$ mit der Eigenschaft $\forall x,y \in P ~ (x \leq y \wedge y \in T \implies x \in T)$ ist. Satz 6. Es sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Es sei $\mathrm{im}(f) \subseteq Q$ ein Anfangsabschnitt. Wenn $f$ injektiv ist, dann erhält $f$ beliebige Infima mit nicht-leeren Indexmengen. Beweis. Sei $(p_i)_{i \in I}$ eine Familie von Elementen in $P$ mit $I \neq \emptyset$, und es möge $p = \inf_{i \in I} p_i$ existieren. Wir zeigen, dass $f(p)$ ein Infimum der $f(p_i)$ ist. Natürlich ist es eine untere Schranke. Nun sei $q \in Q$ eine untere Schranke, also es gilt $q \leq f(p_i)$ für alle $i \in I$. Wegen $I \neq \emptyset$ und unserer Annahme, dass $\mathrm{im}(f)$ ein Anfangsabschnitt ist, gibt es ein $a \in P$ mit $q = f(a)$. Aus $f(a) \leq f(p_i)$, der Injektivität von $f$ und Lemma 5 folgt $a \leq p_i$ für alle $i \in I$. Die Definition von $p$ impliziert weiter $a \leq p$ und damit $q \leq f(p)$, was zu zeigen war. $\checkmark$ Kümmern wir uns nun um das leere Infimum, also das größte Element: Lemma 7. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Es habe $Q$ ein größtes Element $1$, sodass also $g(1) = 1$ ein größtes Element von $P$ ist. Es sind äquivalent: (1) $f(1)=1$. (2) Für $b \in Q$ gilt $g(b) = 1 \implies b=1$. Beweis. Es gilt $f(1)=1$ genau dann, wenn $f(1) \leq b \implies b=1$ für alle $b \in Q$ gilt. Aber $f(1) \leq b$ ist zu $1 \leq g(b)$, also $1=g(b)$ äquivalent. $\checkmark$ Wie üblich lässt sich Lemma 7 auch dualisieren: Lemma 7'. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Es habe $P$ ein kleinstes Element $0$, sodass also $f(0) = 0$ ein kleinstes Element von $Q$ ist. Es sind äquivalent: (1) $g(0) = 0$. (2) Für $a \in P$ gilt $f(a) = 0 \implies a=0$. Wir wenden diese Ergebnisse nun auf die Galois-Verbindungen $(f_*,f^*) : P(X) \to P(Y)$ und $(f^*,f_?) : P(Y) \to P(X)$ einer Abbildung $f : X \to Y$ an, um eine lange Liste von Charakterisierungen der Injektivität bzw. Surjektivität von $f$ zu erhalten. Wir vervollständigen sie außerdem noch um einige andere Eigenschaften, deren Beweise wir nur skizzieren. Alle diese Äquivalenzen lassen sich auch ohne die Theorie der Galois-Verbindungen per Hand prüfen. Allerdings erklärt die Theorie recht gut, wo diese Äquivalenzen "herkommen". Zudem müssen wir kaum noch mit Elementen rechnen. Satz 8. Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung. Dann sind äquivalent: (1) $f : X \to Y$ ist injektiv. (2) $f_* : P(X) \to P(Y)$ ist injektiv. (3) $f_? : P(X) \to P(Y)$ ist injektiv. (4) $f^* : P(Y) \to P(X)$ ist surjektiv. (5) Für $A,A' \subseteq X$ gilt $f_*(A) \subseteq f_*(A') \implies A \subseteq A'$. (6) Für $A,A' \subseteq X$ gilt $f_?(A) \subseteq f_?(A') \implies A \subseteq A'$. (7) $f^*(f_*(A)) = A$ für alle $A \subseteq X$. (8) $f^*(f_?(A)) = A$ für alle $A \subseteq X$. (9) Für alle nicht-leeren Indexmengen $I$ und alle Familien $(A_i)_{i \in I}$ von Teilmengen $A_i \subseteq X$ gilt $f_*(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} f_*(A_i)$. (10) Für alle $A,A' \subseteq X$ gilt $f_*(A \cap A') = f_*(A) \cap f_*(A')$. (11) Für alle disjunkten Teilmengen $A,A' \subseteq X$ sind auch $f_*(A),f_*(A') \subseteq Y$ disjunkt. (12) Für alle $A,A' \subseteq X$ gilt $f_*(A \setminus A') = f_*(A) \setminus f_*(A')$. (13) Für alle $A \subseteq X$ gilt $|f_*(A)| = |A|$. (14) Für alle $B \subseteq Y$ gilt $|f^*(B)| \leq |B|$. (15) Für alle $y \in Y$ ist $|f^*(\{y\})| \leq 1$. (16) Für alle Mengen $T$ und alle Abbildungen $g,h :T \to X$ gilt: $f \circ g = f \circ h \implies g=h$. (17) Es ist $X = \emptyset$ oder es gibt eine Abbildung $s : Y \to X$ mit $s \circ f = \mathrm{id}_X$. (18) Es ist $X=\emptyset$ oder es gibt eine Menge $T$ und eine Abbildung $s : Y \to T$, sodass $s \circ f$ bijektiv ist. Beweis. Die Implikation (1) $\implies$ (2) ist leicht, und die Umkehrung (2) $\implies$ (1) folgt einfach so: $f(x)=f(x') \implies f_*(\{x\})=f_*(\{x'\}) \implies \{x\}=\{x'\} \implies x=x'$. Lemma 5 besagt für die Galois-Verbindung $(f_*,f^*) : P(X) \to P(Y)$, dass (2),(4),(5),(7) zueinander äquivalent sind. Lemma 5' wiederum sagt für die Galois-Verbindung $(f^*,f_?) : P(Y) \to P(X)$, dass (3),(4),(6),(8) zueinander äquivalent sind. Also sind (1)-(8) zueinander äquivalent. Das Bild von $f_* : P(X) \to P(Y)$ ist immer ein Anfangsabschnitt (*), denn für $B \subseteq f_*(X)$ ist offenbar $B = f_*(f^*(B))$. Satz 6 liefert daher (2) $\implies$ (9). Die Implikationen (9) $\implies$ (10) $\implies$ (11) sind trivial. Wendet man (11) auf Mengen der Form $A=\{x\}$, $A'=\{x'\}$ an, sieht man leicht (11) $\implies$ (1). Zum Beweis von (7) $\implies$ (12): Weil $f_*(A) \setminus f_*(A') \subseteq f_*(X)$ wegen (*) im Bild von $f_*$ liegt und $f^*$ immer mit Komplementen vertauscht, folgt unter Verwendung von (7): $f_*(A) \setminus f_*(A') = f_*(f^*(f_*(A) \setminus f_*(A'))) = f_*(f^*(f_*(A)) \setminus f^*(f_*(A'))) = f_*(A \setminus A').$ Zur Implikation (12) $\implies$ (5): Aus $f_*(A) \subseteq f_*(A')$ folgt $f_*(A) \setminus f_*(A')=\emptyset$, also $f_*(A \setminus A')=\emptyset$. Weil stets $f^*(\emptyset)=\emptyset$ gilt, können wir Lemma 7' anwenden und erhalten $A \setminus A'=\emptyset$, also $A \subseteq A'$. Kurzer Zwischenstand: (1)-(12) sind äquivalent. Es gilt (1) $\implies$ (13), weil sich eine Injektion $f : X \to Y$ für jede Teilmenge $A \subseteq X$ zu einer Bijektion $A \to f_*(A)$ einschränken lässt, also $|A| = |f_*(A)|$ gilt. Die Umkehrung folgt, indem man Mengen der Form $A=\{x,x'\}$ wählt. Es gilt (1) $\implies$ (14), weil sich eine Injektion $f$ jeweils zu einer Injektion $f^*(B) \to B$ einschränken lässt, also $|f^*(B)| \leq |B|$ gilt. Die Implikationen (14) $\implies$ (15) $\implies$ (1) sind klar. Die Implikation (1) $\implies$ (16) ist sehr einfach, und die Umkehrung folgt ebenso einfach, indem man den Spezialfall $T=\{0\}$ wählt. Zu (1) $\implies$ (17): Wenn $X=\emptyset$, sind wir fertig. Ansonsten wähle ein $x_0 \in X$. Definiere $s : Y \to X$ durch $s(y)=x$ falls $y=f(x)$ im Bild von $f$ liegt (das $x$ ist dann eindeutig wegen der Injektivität) und $s(y)=x_0$ sonst. Dann gilt also nach Konstruktion $s \circ f = \mathrm{id}_X$. Die Implikation (17) $\implies$ (18) ist trivial, und (18) $\implies$ (1) folgt daraus, dass mit $s \circ f$ offenbar auch $f$ injektiv ist. $\checkmark$ Satz 9. Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung. Dann sind äquivalent: (1) $f : X \to Y$ ist surjektiv. (2) $f_* : P(X) \to P(Y)$ ist surjektiv. (3) $f_? : P(X) \to P(Y)$ ist surjektiv. (4) $f^* : P(Y) \to P(X)$ ist injektiv. (5) Für $B,B' \subseteq Y$ gilt $f^*(B) \subseteq f^*(B') \implies B \subseteq B'$. (6) $f_*(f^*(B)) = B$ für alle $B \subseteq Y$. (7) $f_?(f^*(B)) = B$ für alle $B \subseteq Y$. (8) Für alle $B \subseteq Y$ gilt: $f^*(B)=\emptyset \implies B=\emptyset$. (9) Für alle $B \subseteq Y$ gilt: $f^*(B)=X \implies B=Y$. (10) Für alle Mengen $T$ und alle Abbildungen $g,h : Y \to T$ gilt: $g \circ f = h \circ f \implies g=h$. (11) Für alle $B \subseteq Y$ gilt $|f^*(B)| \geq |B|$. (12) Für alle $y \in Y$ ist $|f^*(\{y\})| \geq 1$. (13) Es gibt eine Abbildung $s : Y \to X$ mit $f \circ s = \mathrm{id}_Y$. (14) Es gibt eine Menge $T$ und eine Abbildung $s : T \to X$, sodass $f \circ s$ bijektiv ist. Beweis. (1) $\implies$ (6) ist einfach zu sehen, und die Umkehrung folgt, indem man $B=Y$ nimmt. Lemma 5' besagt für die Galois-Verbindung $(f_*,f^*)$, dass (2),(4),(5),(6) zueinander äquivalent sind. Und Lemma 5 besagt für die Galois-Verbindung $(f^*,f_?)$ impliziert, dass (3),(4),(5),(7) zueinander äquivalent sind. Es sind also (1)-(7) zueinander äquivalent. Lemma 7 besagt für die Galois-Verbindung $(f_*,f^*)$, dass $f_*(X)=Y$ mit (9) äquivalent ist, aber $f_*(X)=Y$ ist gerade (1). Und Lemma 7' besagt für die Galois-Verbindung $(f^*,f_?)$, dass $f_?(\emptyset)=\emptyset$ mit (8) äquivalent ist, aber $f_?(\emptyset)=\emptyset$ ist äquivalent zu $f_*(X)=Y$, also zu (1). Zur Implikation (9) $\implies$ (10): Sei $g \circ f = h \circ f$. Setze $B = \{y \in Y : g(y)=h(y)\}$. Dann gilt nach Konstruktion $f^*(B)=X$, also $B=Y$ und damit $g=h$. Zur Implikation (10) $\implies$ (4): Seien $B,B' \subseteq Y$ mit $f^*(B)=f^*(B')$. Für die charakteristischen Funktionen $\chi_B,\chi_{B'} : Y \to \{0,1\}$, die durch $\chi_B^*(\{1\})=B$ definiert sind, gilt dann $\chi_B \circ f = \chi_{B'} \circ f$. Es folgt $\chi_B = \chi_{B'}$ und damit $B=B'$. Zur Implikation (1) $\implies$ (11): Jede Surjektion $f : X \to Y$ schränkt sich zu einer Surjektion $f^*(B) \to B$ ein, sodass $|f^*(B)| \geq |B|$ folgt. Die Implikationen (11) $\implies$ (12) $\implies$ (1) sind klar. Die Implikation (1) $\implies$ (13) (die streng genommen zum Auswahlaxiom äquivalent ist) folgt, indem wir für jedes $y \in Y$ irgendein Urbild $s(y) \in X$ unter $f$ auswählen, sodass also $f(s(y))=y$ gilt. Die Implikation (13) $\implies$ (14) ist trivial, und (14) $\implies$ (1) folgt daraus, dass mit $f \circ s$ offenbar auch $f$ surjektiv ist. $\checkmark$

Galois-Korrespondenzen

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie eine Galois-Verbindung zu einer Galois-Korrespondenz eingeschränkt werden kann und dies anhand von einigen Beispielen illustrieren. In einem Beispiel wird dann auch deutlich warum eigentlich Évariste Galois, der Begründer der Galoistheorie, namensgebend für das Konzept einer Galois-Verbindung ist. Definition. Eine Galois-Korrespondenz $(f,g) : P \to Q$ ist eine Galois-Verbindung, für die $f : P \to Q$ und $g : Q \to P$ zueinander invers sind. Wir erhalten also einen Isomorphismus von partiellen Ordnungen $P \cong Q$. Gemäß Lemmata 5 und 5' reicht es zu fordern, dass $f$ oder $g$ bijektiv ist. Definition. Sei $(f,g) : P \to Q$ eine Galois-Verbindung. Die Elemente $p \in P$ mit $p = g(f(p))$ nennen wir abgeschlossen, die Elemente $q \in Q$ mit $f(g(q)) = q$ nennen wir offen. Es ist $p \in P$ genau dann abgeschlossen, wenn $p \in \mathrm{im}(g)$ (wegen $g \circ f \circ g = g$), und es ist $q \in Q$ genau dann offen, wenn $q \in \mathrm{im}(f)$ (wegen $f \circ g \circ f = f$). Für abgeschlossene $p \in P$ ist also $f(p) \in Q$ offen und erfüllt $p = g(f(p))$, und für offene $q \in Q$ ist $g(q) \in P$ abgeschlossen mit $q = f(g(q))$. Daher gilt: Satz 10. Sei $(f,g) : P \to Q$ ein Galois-Verbindung. Die Einschränkungen von $f$ bzw. $g$ induzieren eine Galois-Korrespondenz zwischen den abgeschlossenen bzw. offenen Elementen: $\mathrm{im}(g) \cong \mathrm{im}(f)$. Beispiel. Für die Galois-Verbindung $(f_*,f^*) : P(X) \to P(Y)$ einer Abbildung $f : X \to Y$ sind die abgeschlossenen Teilmengen $A \subseteq X$ jene, für die $\forall a \in A \forall x \in X ~ (f(a)=f(x) \implies x \in A)$ gilt. Und die offenen Teilmengen $B \subseteq Y$ sind genau solche mit $B \subseteq \mathrm{im}(f)$. Die abgeschlossenen Teilmengen von $X$ entsprechen 1:1 den offenen Teilmengen von $Y$ via $f_*$ bzw. $f^*$. Beispiel. Sei $V$ ein ein $\IR$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt, der zudem vollständig ist (also ein Hilbertraum). Für die bereits erwähnte Galois-Verbindung $((-)^{\perp},(-)^{\perp}) : \mathrm{Sub}(V) \to \mathrm{Sub}(V)^{\mathrm{op}}$ gilt stets $U^{\perp\perp} = \overline{U}$. Die bezüglich der Galois-Verbindung abgeschlossenen Unterräume von $V$ sind also genau die bezüglich der Topologie abgeschlossenen Unterräume. Beispiel. Ist $R \to R'$ ein Ringhomomorphismus (hier ohne Namen), so gibt es eine Galois-Verbindung zwischen den Idealen von $R$ und den Idealen von $R'$: Für ein Ideal $I \subseteq R$ sei $I \cdot R'$ das vom Bild von $I$ in $R'$ erzeugte Ideal, und für ein Ideal $J \subseteq R'$ sei $J \cap R$ das Urbild von $J$ unter $R \to R'$. Es gilt tatsächlich $I \cdot R' \subseteq J \iff I \subseteq J \cap R$. Aus dem Satz ergibt sich daher ein Ordnungsisomorphismus zwischen den Idealen $I \subseteq R$ mit $I = (I \cdot R') \cap R$ ($I$ ist abgeschlossen) und den Idealen $J \subseteq R'$ mit $J = (J \cap R) \cdot R'$ ($J$ ist offen). Hiervon gibt es zwei interessante Spezialfälle: Wenn $R \to R'$ surjektiv mit Kern $K$ ist, ist jedes Ideal $J \subseteq R'$ offen, aber wegen $(I \cdot R') \cap R = I + K$ ist ein Ideal $I \subseteq R$ genau dann abgeschlossen, wenn $K \subseteq I$ gilt. Es ergibt sich also der übliche Satz zur Idealkorrespondenz in Quotientenringen. Wenn andererseits $R$ kommutativ und $R' = R[S^{-1}]$ die Lokalisierung nach einer multiplikativen Teilmenge $S \subseteq R$ ist, so ist wieder jedes Ideal von $R'$ offen, aber die abgeschlossenen Ideale von $R$ sind jene, die zu $S$ disjunkt sind. Man erhält also den üblichen Satz zur Idealkorrespondenz in Lokalisierungen. Wenn $R \to R'$ wieder beliebig ist, so liefert Lemma 3 ohne weitere Rechnung die Gleichungen $(\sum_{s \in S} I_s) \cdot R' = \sum_{s \in S} (I_s \cdot R')$ und $(\bigcap_{s \in S} J_s) \cap R = \bigcap_{s \in S} (J_s \cap R)$. Beispiel. Sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $G := \mathrm{Aut}(L/K)$ ihre Automorphismengruppe. Es sei $\mathrm{Sub}(L/K)$ die partielle Ordnung der Zwischenkörper von $L/K$ und $\mathrm{Sub}(G)$ die partielle Ordnung der Untergruppen von $G$. Wir haben dann zwei monoton wachsende Abbildungen $f : \mathrm{Sub}(L/K) \to \mathrm{Sub}(G)^{\mathrm{op}},~ f(E) := \mathrm{Aut}(L/E) := \{\alpha \in G : \forall e \in E ~ (\alpha(e) = e)\}$ $g : \mathrm{Sub}(G)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Sub}(L/K), ~ g(H) := L^H := \{x \in L : \forall \alpha \in H ~ (\alpha(x) = x)\}$ Es gilt nun offensichtlich $f(E) \supseteq H \iff E \subseteq g(H)$. Es ist also $(f,g)$ eine Galois-Verbindung. Ein Zwischenkörper $E \subseteq L$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $E = E^{\mathrm{Aut}(L/E)}$ gilt (wobei $\subseteq$ sowieso gilt), und eine Untergruppe $H \subseteq G$ ist genau dann abgeschlossen (weil wir es mit einer antitonen Galois-Verbindung zu tun haben, sagen wir "abgeschlossen" statt "offen"), wenn $H = \mathrm{Aut}(L/L^H)$ gilt (wobei $\subseteq$ sowieso gilt). Der Satz zeigt also, dass es einen Ordnungsisomorphismus zwischen abgeschlossenen Zwischenkörpern und den abgeschlossenen Untergruppen gibt (wobei man bei den Untergruppen die Inklusion umdreht). Das ist soweit eine reine Formalität. Nun sagt aber gerade der Hauptsatz der Galoistheorie: Wenn $L/K$ eine endliche Galois-Erweiterung ist (also endlich, normal und separabel), dann ist jeder Zwischenkörper und jede Untergruppe abgeschlossen. Man hat also einen Ordnungsisomorphismus $\mathrm{Sub}(L/K) \cong \mathrm{Sub}(G)^{\mathrm{op}}.$ Galois-Verbindungen liefern also einen Rahmen dafür, ja sogar dann, wenn $L/K$ eine beliebige Körpererweiterung ist: In diesem Fall kann man zeigen: Die abgeschlossenen Zwischenkörper $E$ sind jene, für die $L/E$ Galois'sch ist, und die abgeschlossenen Untergruppen von $G$ sind jene, die bezüglich der sogenannten Krulltopologie kompakt sind. Im allgemeinen Fall liefert Lemma 3 ohne weitere Rechnung, dass immer $L^{\langle H,H' \rangle} = L^H \cap L^{H'}$ und $\mathrm{Aut}(L/E\cdot E') = \mathrm{Aut}(L/E) \cap \mathrm{Aut}(L/E')$ gilt. Wenn man die Körpererweiterung $K \subseteq L$ durch irgendeine Inklusion von algebraischen Strukturen desselben Typs ersetzt, erhält man immer noch eine Galois-Verbindung. Die Bestimmung der abgeschlossenen Elemente ist dann in jedem Beispiel ein interessantes Unterfangen.