Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Grundsätzliches

Es gibt einige allgemeine Gründe, triviale Fälle nicht auszuschließen, sofern die Definitionen nichts Gegenteiliges bedingen, die Pietro Majer bei MO/45951 genannt hat:

Man weiß manchmal nicht, ob ein Objekt trivial ist

Manchmal arbeitet man mit mathematischen Objekten, von denen a priori gar nicht klar ist, ob sie trivial sind oder nicht. Das passiert insbesondere dann, wenn man zwar mit nicht-trivialen Objekten gestartet ist, dann aber eine nicht-triviale Operation mit ihnen ausführt. Zum Beispiel kann der Durchschnitt von zwei nicht-leeren Untergraphen eines Graphen durchaus leer sein (ohne dass wir es, etwa bei einer ganz allgemeinen Betrachtung, wissen können). Die Faser eines Elementes unter einer Abbildung könnte leer sein (wieder ohne dass wir es direkt wissen können). Das Tensorprodukt von zwei nicht-trivialen abelschen Gruppen kann auch durchaus trivial sein. Es wäre müßig, diese Operationen auf solche Fälle einzuschränken, bei denen das Ergebnis nicht-trivial ist. Es ist viel bequemer, diese Operationen durchführen zu können, ohne sich ständig Gedanken darüber machen zu müssen, ob die Resultate trivial sind oder nicht. Dies gilt vor allem dann, wenn es sich lediglich um Zwischenschritte einer längeren Untersuchung handelt. Dasselbe gilt dann auch für die Formulierung von mathematischen Sätzen. Hier ist am elegantesten, so wenig Fallunterscheidungen wie möglich zu haben. Man kann diese Sachverhalte auch im Rahmen der Kategorientheorie ausdrücken: wenn man ein initiales (oder finales) Objekt in einer Kategorie hat, ist es keine gute Idee, es aus der Kategorie zu entfernen, weil dadurch auch andere Kolimites (oder Limites) nicht mehr existieren müssen.

Triviale Objekte sind Bausteine von sehr interessanten Objekten

Am einfachsten sieht man dieses Prinzip wohl bei den natürlichen Zahlen. Wir starten mit der natürlichen Zahl $0$ (mehr dazu weiter unten) und benutzen die Nachfolgerfunktion $S(x) := x+1$, um schrittweise die anderen natürlichen Zahlen $1,2,3,\dotsc$ zu bilden. Selbst wenn wir uns nicht so sehr für die $0$ als solche interessieren, ist sie dennoch der Grundbaustein für alle natürlichen Zahlen. Wenn man schon etwas in die Kategorientheorie eingestiegen ist, wird man außerdem bemerkt haben, dass initiale Objekte in vielen Kategorien nicht besonders interessant sind und oftmals eher trivial sind (etwa die triviale Gruppe in der Kategorie der Gruppen). Allerdings sind initiale Objekte in geeigneten Hilfskategorien tatsächlich alles mögliche, was sich durch eine universelle Eigenschaft kennzeichnen lässt (Tensorprodukte, Quotientenräume, adjungierte Funktoren, freie Gruppen, uvm.). Zum Beispiel ist die freie Gruppe $F(S)$ auf einer Menge $S$ ein initiales Objekt in der Kategorie der Paare $(G,\alpha)$ bestehend aus einer Gruppe $G$ und einer Abbildung $\alpha : S \to |G|$.

Triviale Objekte als Induktionsanfang

Dieser Punkt ist eng mit dem vorigen verwandt. Wenn man eine vollständige Induktion durchführt, hat man es oftmals beim Induktionsanfang mit einem relativ trivialen Objekt zu tun, sodass der Beweis einfach ausfällt. Wenn man etwa zeigen möchte, dass jeder endlich-erzeugte Vektorraum eine Basis hat, kann man eine Induktion nach der Anzahl $n$ der Erzeuger durchführen und tatsächlich den Induktionsanfang mit $n=0$, also dem trivialen Vektorraum starten. Ein Beispiel aus der Algebra: dass jede Gruppe der Ordnung $p^n q$ mit Primzahlen $p,q$ auflösbar ist, kann man induktiv zeigen, und der Induktionsanfang ist tatsächlich $n=0$. Ein Beispiel aus der Topologie: Wenn man die Homologie der $n$-Sphäre $S^n = \{x \in \IR^{n+1} : |x|=1\}$ berechnen möchte, kann man für den Induktionsschritt allgemeine Rechenregeln für die Homologie einer Einhängung verwenden und im Induktionsbeginn die triviale $0$-Sphäre $S^0 = \{\pm 1\}$ betrachten, was dann relativ einfach funktioniert. Wenn man den Induktionsanfang bei $n=1$ startet und die interessantere Kreislinie $S^1 \subseteq \IR^2$ betrachtet, hat man tatsächlich mehr Arbeit.

Arithmetik

Die Null ist eine natürliche Zahl

Die Null hat eine ziemlich lange Geschichte in der Mathematik. Es hat Jahrhunderte gedauert, bis die Null überhaupt als eine echte Zahl angesehen worden ist. Aber heutzutage ist schon längst etabliert, dass $0$ nicht nur eine Zahl, sondern eine natürliche Zahl ist, und entsprechend $\IN = \{0,1,2,\dotsc\}.$ Diese Notation ist in der DIN-Norm 5473 festgelegt. Das ist die etablierte Definition von $\IN$. Genauer gesagt ist $\IN$ als die kleinste induktive Menge definiert. Es gibt leider einige Mathematiker*innen und Autor*innen, die das anders handhaben. Für sie ist dann $0 \notin \IN$ und $\IN = \{1,2,3,\dotsc\}$. Das wird meistens als eine Frage der Konvention angesehen. Aber ich würde hier ein stärkeres Urteil fällen: Wer sich der Norm widersetzt und ein etabliertes mathematisches Symbol anders als der Rest der mathematischen Community definiert, erschwert die Kommunikation auf unnötige Weise. So müssen bis heute Autor*innen zu Beginn ihrer Veröffentlichungen erst einmal erklären, was mit $\IN$ (bzw. $\IN_0$, $\IN^+$ usw.) gemeint ist, was ziemlich umständlich ist. Es wäre so viel einfacher, wenn wir die Bedeutung von $\IN$ – eben wie bei allen mathematischen Konstanten – ein und für alle mal fixieren. Beziehungsweise, das wurde ja bereits gemacht, nur einige Mathematiker*innen halten sich nicht daran. In diesem Sinne ist die Aussage $0 \notin \IN$ keine Meinungsfrage, sondern schlicht und ergreifend falsch. Vielleicht wird die Kritik etwas deutlicher, wenn wir uns vorstellen, dass einige Mathematiker*innen der Meinung sind, $\pi := \sqrt{42}$ als eine für ihre Arbeit praktische Definition anzusehen. Das ist keine Frage der Konvention, sondern absolut unangebracht, weil es mit der üblichen Definition von $\pi$ kollidiert und daher zu Verwirrungen führt. Darüberhinaus gibt es auch einige mathematische Gründe, warum die $0$ zu $\IN$ gehören sollte, auf die ich jetzt eingehen möchte. Ein wesentlicher Grund dafür, $0$ als natürliche Zahl anzusehen, ist dass es bequem ist, ein neutrales Element für die Addition $+$ zu haben, also dass $(\IN,+,0)$ ein Monoid ist. Tatsächlich ist $(\IN,+,0,*,1)$ ein Halbring, vielleicht das grundlegendste Beispiel aller algebraischen Strukturen, mit dem wir jeden Tag zu tun haben. Warum sollten wir aus dieser Struktur das neutrale Element der Addition entfernen? Beziehungsweise, warum sollten wir überhaupt irgendein Element hier entfernen? Das ist nicht nur unpraktisch, sondern würde auch immer mindestens ein Axiom dieser algebraischen Struktur kaputt machen. Diejenigen, die der falschen Aussage $0 \notin \IN$ folgen, schreiben meistens $\IN_0 = \{0,1,2,\dotsc\}$. Diese Notation bringt zum Ausdruck, dass ihr $\IN$ das fundamentalere Objekt ist, weil ja $\IN_0$ davon abgeleitet wird. Das ist paradox. Offensichtlich ist ihr $\IN_0$ das fundamentalere Objekt. Zwar gibt es einige Bereiche der Mathematik, insbesondere die Zahlentheorie, in denen $\IN^+ = \{1,2,3,\dotsc\}$ bzw. genauer gesagt das multiplikative Monoid $(\IN^+,*,1)$ eine wichtigere Rolle als $\IN$ spielen kann; zum Beispiel besitzt die $0$ keine Primfaktorzerlegung. Aber das scheint innerhalb der gesamten Mathematik eher die Ausnahme zu sein. Meistens ist $\IN$ wichtiger. Daher ist es besser, in den Ausnahmefällen eben $\IN^+$ zu schreiben und nicht die Bedeutung von $\IN$ zu überschreiben. Außerdem, und das werden wir auch im Verlauf des Artikels noch sehen, funktionieren viele Konstruktionen für natürliche Zahlen insbesondere für die $0$, Induktionsanfänge können meistens bei $0$ starten, und in verschiedenen Definitionen, die von natürlichen Zahlen abhängen, ist es praktisch, die $0$ zu erlauben. Hier immer erst bei $1$ zu starten würde eine unnötige Verkomplizierung darstellen.

Potenzen mit Null

Sei $x \in \IR$ und $n \in \IN$. Eine mögliche rekursive Definition von $x^n$ lautet $x^{n+1} := x^n \cdot x$ mit dem Rekursionsanfang $x^0 := 1.$ Daraus ergibt sich dann $x^1 = x$, $x^2 = x \cdot x$, usw. Man kann leicht die Rechenregel $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$ zeigen. Dasselbe funktioniert auch für $x \in \IC$ bzw. noch allgemeiner für Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids (eine Rechenstruktur, in der man multiplizieren kann). Gerade in dieser Allgemeinheit wird klar, dass eine Fallunterscheidung, ob $x \neq 0$ oder $x = 0$, weder nötig noch sinnvoll ist. Es gilt also insbesondere $0^0 = 1$ gemäß der allgemeinen Definition $x^0 := 1$. Es handelt sich hierbei um keine separate Konvention, sondern um eine Folgerung aus der Definition. Ähnlich wie bei der Feststellung $0 \in \IN$ von oben gibt es dennoch einige Leute, die das anders handhaben oder gar $0^0$ undefiniert lassen. Wir sehen gleich, warum das falsch ist. Die allgemeine Festlegung $x^0 = 1$ ist sehr praktisch. Schauen wir uns zum Beispiel den binomischen Lehrsatz $\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$ an. Der erste Summand ist hier $x^0 y^{n-0} = y^n$, der letzte Summand $x^n y^{n-n} = x^n$, und so sollte es sein. Wenn man der Meinung ist, $0^0$ undefiniert zu lassen oder durch $0$ zu definieren, würde der binomische Lehrsatz nur noch eingeschränkt stimmen oder unnötig verkompliziert durch $\displaystyle (x+y)^n = x^n + y^n + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$ ausgedrückt werden müssen. Ähnliches gilt für die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion $\displaystyle \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},$ die mit $1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ beginnt, egal was $x$ ist und damit insbesondere für $x = 0$. Wenn wir $0^0$ undefiniert lassen würden oder durch $0$ definieren, müssten wir umständlich $\displaystyle \exp(x)= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ schreiben, damit $\exp(0)=1$ weiterhin stimmt. Man sollte also $0^0$ nicht als irgendeinen ganz besonders kritischen Fall ansehen, sondern als einen ganz natürlichen Spezialfall des Ausdrucks $x^0$. Nun gibt es ein vermeintliches Argument aus der Analysis, $0^0$ als $0$ zu definieren: Es gilt $0^y = 0$ für $y \neq 0$, und es wäre schön, wenn die Funktion $y \mapsto 0^y$ stetig ist. Aber das würde zum einen die genannten Identitäten kaputtmachen und zum anderen legt ein anderes Argument aus der Analysis wiederum nahe, $0^0$ als $1$ zu definieren: es gilt ja bereits $x^0 = 1$ für alle $x \neq 0$. Diese Argumentation ist also nicht konsistent. Deswegen sollten wir uns hier nicht in die Irre leiten lassen. Zumal diese Argumente sich auch nicht auf (multiplikative) Monoide verallgemeinern lassen. Wir schließen hier mit einem kombinatorischen Argument für $x^0=1$ ab, wenn zumindest $x \in \IN$. Für zwei natürliche Zahlen $x,y \in \IN$ (allgemeiner für zwei Kardinalzahlen) lässt sich nämlich $x^y$ als die Anzahl der Elemente der Menge der Abbildungen $[y] \to [x]$ definieren, wobei $[y]$ eine Menge mit $y$ Elementen sei. Für $y=0$ ist $[y]$ also die leere Menge. Die leere Menge lässt nun in jede andere Menge genau eine Abbildung zu (siehe Abschnitt 'Mengenlehre und Logik'), sodass aus der Definition $x^0 = 1$ folgt. Das gilt insbesondere für $x=0$. Die Gleichung $0^0 = 1$ drückt also aus, dass es genau eine Abbildung $\emptyset \to \emptyset$ gibt.

Leere Produkte und Summen

Ganz ähnlich ergibt die Definition des leeren Produktes $\displaystyle\prod_{i \in \emptyset} x_i := 1$ als Rekursionsanfang für die rekursive Definition des Produktes $\prod_{i \in I} x_i$ (für endliche Mengen $I$) Sinn. Es ist auch die einzige Wahl, damit die Identität $\displaystyle\prod_{i \in I} x_i \cdot \prod_{i \in J} x_i = \prod_{i \in I \sqcup J} x_i$ allgemein besteht. Im Falle von natürlichen Zahlen (oder allgemeiner Kardinalzahlen) können wir auch die Definition über die Kardinalität des kartesischen Produktes nehmen. Aus der Definition des leeren Produktes ergibt sich zum Beispiel, dass die Zahl $1$ eine Primfaktorzerlegung hat, nämlich die leere ohne einen Primfaktor. Man erhält außerdem auch $\displaystyle 0! = \prod_{i \in \emptyset} i = 1$ als Folgerung aus der allgemeinen Definition $\displaystyle n! := \prod_{i \in \{1,\dotsc,n\}} i.$ Eine andere Erklärung für $0! = 1$ ist, dass die symmetrische Gruppe auf $\emptyset$ die triviale Gruppe ist und allgemein die symmetrische Gruppe auf $[n]$ genau $n!$ Elemente hat (was sogar als strukturelle Definition von $n!$ dienen könnte). Ganz ähnlich ist die leere Summe per Definition $\displaystyle\sum_{i \in \emptyset} x_i := 0.$

Größte gemeinsame Teiler

Für $x \in \IZ$ gilt $\mathrm{ggT}(x,0)=x.$ Das ergibt sich direkt aus der Definition des größten gemeinsamen Teilers und liegt im Prinzip daran, dass jede ganze Zahl die $0$ teilt. Man das sieht das auch schön anhand der idealtheoretischen Charakterisierung des ggT, denn $x\IZ + 0\IZ = x\IZ$.

Mengenlehre und Logik

Abbildungen auf der leeren Menge

Die leere Menge $\emptyset$ ist selbstverständlich eine Menge. Man kann von Glück sprechen, dass (im Gegensatz zur natürlichen Zahl $0$) die wenigsten Mathematiker*innen sie nicht als Menge ansehen. Sie hat $0$ Elemente. Allgemeiner ist die Kardinalität einer endlichen Menge eine natürliche Zahl. Die leere Menge hat die Eigenschaft, dass es für jede Menge $X$ genau eine Abbildung $\emptyset \to X$ gibt (nämlich jene, deren Graph $\emptyset$ ist). Diese Eigenschaft folgt aus der Definition einer Abbildung, auch wenn Wikipedia hier fälschlicherweise schreibt, dass es eine Konvention ist. Die Eigenschaft ist außerdem nicht nur irgendeine obskure Feststellung, sondern eine sehr wichtige Eigenschaft, die in der mathematischen Praxis benötigt wird und außerdem $\emptyset$ als initiales Objekt der Kategorie der Mengen kennzeichnet. Man könnte also im Rahmen der Kategorientheorie argumentieren, dass gerade diese Eigenschaft die leere Menge definiert. Ein konkretes Beispiel aus der mathematischen Praxis ist die "Verklebung" bzw. die fallweise Definition von Abbildungen zwischen Mengen (analog für stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen): Sei $X = U \cup V$ eine Vereinigung von zwei Teilmengen. Sind $f : U \to T$, $g : V \to T$ zwei Abbildungen mit $f|_{U \cap V} = g|_{U \cap V},$ $(\star)$ die also auf dem Durchschnitt übereinstimmen, so gibt es offenbar genau eine Abbildung $h : X \to T$ mit $h|_U = f$ und $h|_V = g$. Was sagt uns das für den Spezialfall $U \cap V = \emptyset$? Nun, weil es genau eine Abbildung $\emptyset \to T $ gibt, ist die Bedingung $(\star)$ hier automatisch erfüllt. Wir können also die Abbildungen $f : U \to T$, $g : V \to T$ in jedem Fall auf $X = U \cup V$ fortsetzen. Ein gänzlich andere Situation stellen die Abbildungen in die leere Menge dar: Es gibt eine Abbildung $X \to \emptyset$ genau dann, wenn $X=\emptyset$, und in diesem Fall gibt es auch nur eine Abbildung.

Das leere Wort

Eine Folge $(a_1,\dotsc,a_n)$ der Länge $n \in \IN$ mit Elementen aus einer Menge $A$ kann man formal definieren als eine Abbildung $\{1,\dotsc,n\} \to A$. Für $n=0$ ergibt sich aus dem, was wir soeben gesehen haben, dass es genau eine Folge der Länge $n$ gibt. Man kann sie auch mit $(~)$ notieren. Wenn $A$ als eine Menge von Buchstaben interpretiert wird, werden die Folgen auch als Wörter bezeichnet; in diesem Fall spricht man von dem leeren Wort (oder dem leeren String) und bezeichnet es mit $\varepsilon$. Dieses spielt durchaus eine wichtige Rolle in der Theorie der formalen Sprachen und entsprechend der Automatentheorie. Entsprechend gibt es in einem Graphen von einem Knoten $v$ genau einen Pfad der Länge $0$ von $v$ nach $v$, nämlich den leeren Pfad.

Leere Vereinigungen und Durchschnitte

Für eine Familie von Teilmengen $(A_i)_{i \in I}$ einer Menge $X$ ergibt sich für den Spezialfall $I=\emptyset$, dass $\bigcup_{i \in \emptyset} A_i = \emptyset, \quad \bigcap_{i \in \emptyset} A_i = X.$ Das kann man entweder direkt an den Definitionen ablesen oder auch aus unserem Beispiel für leere Summen bzw. Produkte ableiten (Abschnitt 'Arithmetik'), geeignet verallgemeinert auf kommutative Monoide und dann angewandt auf die Monoide $(P(X),\cup,\emptyset)$ und $(P(X),\cap,X)$. Dass für eine Abbildung $f : X \to Y$ für die Bildmenge die Regel $f_*(\emptyset)=\emptyset$ gilt, ist dann tatsächlich ein Spezialfall der allgemeineren Regel $f_*(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} f_*(A_i)$.

Komposition surjektiver Abbildungen

Wenn $f:X \to Y$, $g : Y \to Z$ zwei surjektive Abbildungen von Mengen sind, so ist auch $g \circ f : X \to Z$ surjektiv. Denn für jedes $z \in Z$ gibt es ein $y \in Y$ mit $g(y)=z$, und weiter gibt es dafür ein $x \in X$ mit $f(x)=y$, sodass also $z = (g \circ f)(x)$. In einigen Übungsblättern und Büchern findet man bei solchen Aufgaben die Annahme, dass $X,Y,Z$ nicht-leer sind. Die vermeintliche Lösung fängt dann so an: "Sei $z \in Z$. Dieses existiert, weil nach Annahme $Z$ nicht-leer ist." Das ist irreführend bzw. falsch. Hier werden die Quantoren $\forall$ und $\exists$ miteinander verwechselt. Die Aussage gilt für beliebige Mengen.

Injektive und surjektive Abbildungen

Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist genau dann surjektiv, wenn $f$ rechtsinvertierbar ist, also eine Abbildung $g : Y \to X$ existiert mit $f \circ g = \mathrm{id}_Y$. Bei der Charakterisierung von injektiven Abbildungen muss man einen Fall gesondert behandeln: Zwar ist jede linksinvertierbare Abbildung auch injektiv, aber die eindeutige Abbildung $\emptyset \to X$ ist injektiv, wenngleich sie nur für $X=\emptyset$ linksinvertierbar ist (nur dann gibt es überhaupt eine Abbildung $X \to \emptyset$). Wenn allerdings $f : X \to Y$ injektiv und $X$ nicht-leer ist, dann ist $f$ linksinvertierbar. Dieser Sonderfall fällt weg, wenn man mit punktierten Mengen arbeitet.

Konstante Abbildungen

Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt konstant, wenn es ein $y \in Y$ gibt mit $f(x)=y$ für alle $x \in X$. Äquivalent dazu: $f$ faktorisiert über $\{\star\}$. Beachte, dass die eindeutige Abbildung $\emptyset \to \emptyset$ damit nicht konstant ist. Das wäre allerdings so bei einer anderen, häufig anzutreffenden Definition: $f$ ist "konstant", wenn $f(x)=f(x')$ für alle $x,x' \in X$ gilt. Die erste Definition verhält sich aber insgesamt besser und ist daher zu bevorzugen.

Leeres Supremum

Ist $P$ eine partiell geordnete Menge, so ist das Supremum der leeren Teilmenge $\emptyset \subseteq P$ per Definition die kleinste obere Schranke von $\emptyset$. Aber weil jedes Element von $P$ eine obere Schranke von $\emptyset$ ist (es gibt nichts zu prüfen), ist $\sup(\emptyset)$ einfach das kleinste Element von $P$ (sofern es existiert). Für das in der Analysis wichtige Beispiel $P = [-\infty,+\infty]$ erhält man insbesondere $\sup(\emptyset)=-\infty$ und analog $\inf(\emptyset)=+\infty.$ Für $P=[0,\infty]$ ist hingegen $\sup(\emptyset)=0$.

Starke Induktion

Eine Version des Induktionsprinzips besagt: Sei $P$ eine Eigenschaft natürlicher Zahlen (oder sogar von Ordinalzahlen), sodass für alle $n$ gilt: $(\forall m < n.\, P(m)) \implies P(n).$ Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. Denn die Menge der $n$ mit $\neg P(n)$ hat nach Annahme kein minimales Element, muss also leer sein. Warum gibt es nun aber keinen Induktionsanfang hier? Tatsächlich gibt es einen: Denn $\forall m < 0. \,P(m)$ gilt trivialerweise, sodass nach Annahme $P(0)$ gilt.

Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn besagt, dass jede partiell geordnete Menge $P$, in der jede Kette eine obere Schranke hat, ein maximales Element hat. Obwohl dies an vielen Stellen gemacht wird, ist es nicht notwendig, $P \neq \emptyset$ zu verlangen. Ja, tatsächlich ist $P \neq \emptyset$ eine Folge der Annahme, dass die leere Kette $\emptyset$ (die immer existiert) eine obere Schranke hat. Andererseits funktioniert in einigen Anwendungen des Lemmas von Zorn die spezifische Konstruktion der oberen Schranken nur bei nicht-leeren Ketten. Dann sollte man das Lemma von Zorn wie folgt formulieren: In einer nicht-leeren partiell geordneten Menge, in der jede nicht-leere Kette eine obere Schranke hat, gibt es ein maximales Element. Eine typische Anwendung ist, dass jeder Ring (Ringe haben hier immer eine Eins) $R \neq 0$ ein maximales Ideal hat: Die Menge der echten Ideale von $R$, die partiell über $\subseteq$ geordnet ist, ist nicht-leer (sie enthält das Nullideal), und wenn $\mathcal{L}$ eine Kette von echten Idealen ist, dann ist $\bigcup \mathcal{L}$ ein echtes Ideal. Für $0 \in \bigcup \mathcal{L}$ brauchen wir tatsächlich $\mathcal{L} \neq \emptyset$ (und für die Echtheit brauchen wir, dass $R$ eine Eins hat).

Potenzen von Ordinalzahlen

Für Potenzen von Ordinalzahlen findet man meistens die Definition $\alpha^0=1$, $\alpha^{\beta+1}=\alpha^{\beta} \cdot \alpha$, und im Limesfall $\alpha^{\beta} = \sup_{\gamma < \beta} \alpha^{\gamma}.$ Aber das würde $0^{\omega} = 1$ implizieren, was absurd ist. Die richtige Definition im Limesfall ist $\alpha^{\beta} = \lim_{\gamma<\beta} \alpha^{\gamma},$ denn dann folgt $0^{\beta}=0$ für $\beta>0$ und $0^0=1$.

Die $0$ als Limeszahl

Darüber, ob $0$ eine Limesordinalzahl ist oder nicht, gibt es keinen Konsens in der Mengenlehre. Hier möchte ich mich einmal ausnahmsweise auch nicht auf eine Variante festlegen. Wenn man eine Limeszahl definiert als eine Ordinalzahl $\alpha$ mit $\alpha = \sup_{\beta<\alpha} \beta$, dann ist $0$ eine Limeszahl. Einige Sätze und Konstruktionen (aber eben nicht alle), die für Limeszahlen $>0$ gelten und dieser Definition folgen, gelten auch für $0$. In seinem Buch Set theory sagt Thomas Jech explizit, dass $0$ eine Limeszahl ist. Wenn man eine Limeszahl als einen Häufungspunkt in der partiellen Ordnung der Ordinalzahlen definiert (sprich, es gibt eine Folge $(\beta_n)$ mit $\beta_n<\alpha$ und $\lim_{n \to \infty} \beta_n = \alpha$), dann ist $0$ keine Limeszahl. Und tatsächlich funktionieren einige Sätze und Konstruktionen über Limeszahlen $>0$ nicht für die $0$, und die meisten transfiniten Rekursionen sind auch am besten durch die Dreiteilung der Ordinalzahlen in $0$, Nachfolgerzahlen, Limeszahlen zu führen. In seinem Buch Set Theory. An introduction to independence proofs schließt Kenneth Kunen $0$ als Limeszahl aus. Diese Konvention scheint auch weiter verbreitet zu sein.

Gerichtete partielle Ordnungen

Oftmals findet man als Definition einer (nach oben) gerichteten partiellen Ordnung, dass sie nicht-leer ist und je zwei Elemente eine obere Schranke haben. Bei dieser Definition fällt die Annahme, nicht-leer zu sein, etwas aus dem Himmel. Etwas klarer wird sie mit der folgenden äquivalenten Definition, die auch in der Praxis nützlich ist: jede endliche Teilmenge soll eine obere Schranke besitzen. Für die leere Teilmenge ergibt sich damit nämlich insbesondere, dass die Ordnung nicht-leer ist. Übrigens sind tatsächlich einige Sätze über gerichtete partielle Ordnungen nicht für die leere Ordnung gültig. Zum Beispiel erhält der Vergissfunktor $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ gerichtete Kolimites, aber nicht leere Kolimites, weil das initiale Objekt nicht erhalten bleibt. Einfacher ausgedrückt: die gerichtete Vereinigung des leeren "gerichteten" Systems von Gruppen ist leer und trägt daher keine Gruppenstruktur.

Filter

Ein Filter auf einer partiellen Ordnung $P$ (oftmals die partielle Ordnung $P(S)$ der Teilmengen einer Menge $S$) ist eine nach unten gerichtete Teilmenge $F \subseteq P$ (sprich, je endlich viele Elemente von $F$ haben eine untere Schranke in $F$, sodass insbesondere $F$ nicht-leer ist, siehe voriges Beispiel), die nach oben abgeschlossen ist (sprich, aus $x \leq y$ und $x \in F$ folgt $y \in F$). Anschaulich gesprochen besteht $F$ aus "großen Elementen" von $P$. In manchen Quellen findet man als zusätzliche Bedingung $F \neq P$ (oder äquivalent, $0 \notin F$, falls $0$ ein kleinstes Element von $P$ ist), wofür es aber keinen guten Grund gibt. Ultrafilter hingegen sind echt per Definition.

Die leere Struktur

Eine Struktur im Sinne der mathematischen Logik ist eine Menge zusammen mit einer gewissen Ansammlung von Verknüpfungen und Relationen auf dieser Menge, deren Stelligkeiten durch eine gewisse Signatur vorab fixiert werden. Ein Modell ist eine Struktur, die eine vorgegebene Menge von Sätzen erfüllt. Wie diese beiden Begriffe bereits andeuten, soll es sich um sehr allgemeine Begriffe handeln, die viele konkrete Typen von Strukturen einschließen. In den meisten, vor allem älteren Quellen findet man nun aber die Annahme, dass die Menge, die einer Struktur zu Grunde liegt, nicht-leer sein soll. Das schließt dann also leere Graphen, leere Ordnungen, leere Magmen usw. aus, was wie bereits erläutert Nachteile mit sich bringen würde. Begründet wird dies im verlinkten Wikipedia-Artikel einerseits damit, dass es analog dazu sei, dass $1$ keine Primzahl ist (was ich für unsinnig halte, weil hier nicht nur "Primstrukturen" definiert werden, sondern der allgemeine Begriff der Struktur) und andererseits damit, einige gängige Schlussregeln in der mathematischen Logik für die leere Struktur falsch wären. Als Beispiel wird hierbei die Schlussregel $\forall x. A(x) \implies A(a/x)$ genannt, die tatsächlich für $A=\bot$ (Falsum) falsch wird. Andererseits kann man sie einfach umformulieren zu $(\forall x. A(x)) \wedge (\exists x) \implies A(a/x)$ In gängigen Kalkülen ist außerdem $\forall x. A(x) \implies \exists x. A(x)$ ableitbar, was für die leere Struktur nicht stimmt. In der freien Logik (früher auch inklusive Logik genannt) hingegen kann man auch mit leeren Strukturen arbeiten. Auch der Vollständigkeitssatz bleibt davon unberührt. Es ist also definitiv möglich, die leere Struktur zuzulassen. In dem Buch First Order Categorical Logic von Makkai-Reyes wird dies auch explizit gemacht. Bei der Definition des Ultraproduktes muss dann allerdings aufpassen, siehe MO/55989. Mike Shulman argumentiert auf MO/15812 dafür, warum die übliche Anforderung, dass Strukturen nicht-leer sein müssen, unsinnig ist: 1) In der konstruktiven Mathematik kann manchmal nicht entschieden werden, ob eine Menge leer oder nicht-leer ist, 2) in der Mathematik hat es sich allgemein als besser erwiesen, die leere Menge nicht auszuschließen, 3) man muss die Logik etwas anpassen, damit man mit der leeren Struktur ebenfalls arbeiten kann, aber es zahlt sich am Ende aus, 4) Es gibt nun einmal Beispiele, wo leere Strukturen vorkommen (leere Magmen zum Beispiel).

Algebra

Die triviale Gruppe

Wahrscheinlich interessiert sich niemand für die triviale Gruppe, aber wir lassen sie natürlich trotzdem als Gruppe zu. Dies ist praktisch für natürliche Aussagen wie "Die Schnittmenge zweier Untergruppen ist eine Untergruppe", "Ein Homomorphismus von Gruppen ist dann und nur dann injektiv, wenn sein Kern die triviale Untergruppe ist" und "Die Isometrien eines metrischen Raumes bilden eine Gruppe". Beispiele für triviale Gruppen sind die freie Gruppe auf $\emptyset$, die symmetrische Gruppe auf $\emptyset$ und die Isometriegruppe von $\emptyset$. Aus irgendeinem Grund definieren einige Autor*innen die freie Gruppe (und andere freie algebraische Strukturen) nur auf nicht-leeren Mengen, was den falschen Eindruck erweckt, dass die Konstruktion ansonsten nicht funktioniert. Die Konstruktion funktioniert für beliebige Mengen.

Der triviale Vektorraum

Der triviale Vektorraum $\{0\}$ hat $\emptyset$ als Basis (da leere Summen Null sind, siehe Abschnitt 'Arithmetik'). Er hat einen eindeutigen Endomorphismus (der die Nullabbildung und zugleich die Identität ist). Dessen Determinante ist $1$, da er die Identität ist. Dementsprechend gibt es eine eindeutige $0 \times 0$-Matrix, welche zugleich die Nullmatrix und die Identitätsmatrix ist und als Determinante $1$ hat. Wenn $X$ eine beliebige Menge und $K$ ein Körper ist, dann trägt die Menge der Abbildungen $X \to K$ die Struktur eines Vektorraumes über $K$. Auf einigen Übungsblättern findet man die Annahme $X \neq \emptyset$, was nicht notwendig ist. Tatsächlich könnte es irreführend sein, weil es suggeriert, dass die Nullabbildung $X \to K$ nur dann wohldefiniert ist, wenn $X \neq \emptyset$ angenommen wird, was nicht stimmt. Wenn $X = \emptyset$, erhalten wir einfach den trivialen Vektorraum. Insbesondere können wir für zwei beliebige natürliche Zahlen $n,m$ den Vektorraum der $n \times m$-Matrizen $M_{n \times m}(K)$ über den Spezialfall $X=\{1,\dotsc,n\} \times \{1,\dotsc,m\}$ definieren. Für $n=0$ (oder analog $m=0$) ist $X=\emptyset$. Es gibt also genau eine $0 \times m$-Matrix. Noch einmal in aller Deutlichkeit: Das ist keine spezielle Konvention, sondern ergibt sich aus der allgemeinen Definition einer Matrix. Auch die Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen $M_{n \times m}(K) \cong \mathrm{Hom}(K^m,K^n)$ gilt für beliebige natürliche Zahlen $n,m$.

Der triviale Ring

Der triviale Ring $\{0\}$ (oft einfach mit $0$ bezeichnet) hat eine Eins, nämlich $1=0$. Genauer gesagt ist ein Ring (wie gesagt, Ringe haben hier immer eine Eins) genau dann trivial, wenn $1=0$. Manche Autor*innen fordern $1 \neq 0$ bei einem Ring (und noch viel häufiger wird dies bei Operatoralgebren gefordert). Dann müssten wir allerdings bei vielen Konstruktionen mit Ringen Fallunterscheidungen treffen: Quotientenringe könnten etwa nur mit echten Idealen gebildet werden, das Tensorprodukt zweier Ringe würde nur unter einer komplizierten Bedingung zu einem Ring werden, und die Lokalisierung eines Ringes an einer zentralen multiplikativen Teilmenge würde nur dann zu einem Ring werden, wenn die Teilmenge keine nilpotenten Elemente enthält. Diese und weitere Beispiele zeigen, dass es viel bequemer ist, $1=0$ zuzulassen. Die Einbeziehung des trivialen Ringes bzw. Nullringes macht die Ringtheorie einfacher. Zudem verhält sich die Kategorie der Ringe dann viel besser (sie hat ein finales Objekt, ja sogar alle Limites). Das Spektrum des trivialen Ringes ist der leere Raum bzw. das leere Schema. Diese lassen wir selbstverständlich ebenfalls zu.

Algebren

Sei $k$ ein Körper. Man findet manchmal die Definition, dass eine $k$-Algebra ein Ring $A$ mit $k \subseteq Z(A)$ ist (wobei $Z(A)$ das Zentrum von $A$ ist). Das schließt allerdings die triviale $k$-Algebra aus und ist insofern nicht ganz richtig. Die richtige Definition ist, dass eine $k$-Algebra ein Ring $A$ zusammen mit einem Homomorphismus von Ringen $k \to Z(A)$ ist. Dieser ist zwar injektiv falls $A \neq 0$, aber nicht immer. Selbst bei einem injektiven Homomorphismus muss man nicht zwangsläufig sich auf mengentheoretische Inklusionen beschränken, weil dies in der Praxis auch nicht immer der Fall ist. Zum Beispiel möchten wir sicherlich $\IC := \IR[x]/\langle x^2+1 \rangle$ als $\IR$-Algebra ansehen. Wenn außerdem $k$ kein Körper, sondern lediglich ein kommutativer Ring ist, so folgt die Injektivität von $k \to Z(A)$ erst recht nicht. Entsprechend sollte eine Ringerweiterung nicht als eine Inklusion von Ringen, sondern als ein Homomorphismus von Ringen definiert werden. Dasselbe gilt auch für Körpererweiterungen.

Konstanten

In der Algebra sind $0$-stellige Verknüpfungen einfach Konstanten. Dass eine Unterstruktur einer algebraischen Struktur per Definition unter allen $n$-stelligen Verknüpfungen abgeschlossen ist, bedeutet für den Spezialfall $n=0$, dass sie alle Konstanten der Struktur enthält. Folglich enthält zum Beispiel ein Unterring eines Ringes die Eins des Ringes.

Nullteiler

Ein Element $a$ eines Ringes $R$ wird links regulär genannt, wenn die Abbildung $R \to R,~ x \mapsto ax$ injektiv ist. Andernfalls (also wenn es ein $x \in R \setminus \{0\}$ gibt mit $ax=0$) wird $a$ als linker Nullteiler bezeichnet. Obwohl in einigen Büchern der Fall $a=0$ explizit eingeschlossen oder ausgeschlossen wird, besteht, wie auch im verlinkten Wikipedia-Artikel erklärt, keine Notwendigkeit für eine separate Konvention bezüglich des Falles $a = 0$: Aus der Definition folgt, dass $0$ genau dann ein linker Nullteiler ist, wenn $R \neq 0$. Wenn man $0$ künstlich als Nullteiler ausschließt, dann stimmen einige allgemein nützlichen Aussagen nicht mehr, z.B. dass die Menge der regulären Elemente multiplikativ ist, oder dass die Menge der Nullteiler in einem kommutativen Ring die Vereinigung aller assoziierten Primideale ist.

Körper

Nach all diesen Beispielen, bei denen triviale Beispiele einbezogen werden sollten, hier ein gängiges Beispiel für einen Ausschluss: Ein Körper ist ein kommutativer Ring, in dem jedes Element $\neq 0$ invertierbar ist und außerdem $1 \neq 0$ gilt. Mit anderen Worten, der triviale Ring darf kein Körper sein. Jedes Lehrbuch der linearen Algebra zeigt, warum diese Konvention praktisch ist. Andernfalls wäre selbst die Dimension eines Vektorraumes nicht wohldefiniert, da der triviale Ring $0$ nämlich $0^n \cong 0^m$ für alle $n,m \in \IN$ erfüllt. Alternativ lässt sich ein Körper als ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen definieren. Der triviale Ring hat genau ein Ideal, ist demnach also kein Körper. Allgemeiner nennen wir einen $R$-Modul einfach, wenn genau zwei $R$-Untermoduln besitzt; der triviale $R$-Modul ist demnach nicht einfach.

Integritätsringe

In ähnlicher Weise sind Integritätsringe nicht-triviale kommutative Ringe ohne nicht-triviale Nullteiler, Primideale von kommutativen Ringen sind echte Ideale $\mathfrak{p}$ mit $xy \in \mathfrak{p} \implies x \in \mathfrak{p} \vee y \in \mathfrak{p}$ (d.h. der Quotientenring ist ein Integritätsring), und Primelemente sind keine Einheiten. Tatsächlich haben diese Begriffe eine alternative Definition, bei der wir den trivialen Fall nicht per Konvention ausschließen müssen: Nennen wir $R$ einen Integritätsring, wenn wir für jede endliche Folge von Elementen $x_1,\dotsc,x_n$ (wobei $n \geq 0$) gilt: $x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n = 0 \implies \exists i \in \{1,\dotsc,n\} (x_i=0).$ Wendet man dies auf $n=0$ an, so ergibt sich $1=0 \implies \exists i \in \emptyset (x_i=0)$ und somit $1 \neq 0$. In ähnlicher Weise definieren wir ein Element $p \neq 0$ eines Integritätsbereiches als ein Primelement, wenn $p \mid x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n \implies \exists i \in \{1,\dotsc,n\} (p \mid x_i).$ Für $n=0$ zeigt dies, dass Einheiten nicht prim sind. Insbesondere ist $1$ demnach keine Primzahl. Das ist zum Beispiel für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung praktisch. Das allgemeine Prinzip der vorigen Beispiele lautet: Triviale Objekte sind zu einfach, um einfach zu sein.

Ordnung und Charakteristik

Definieren wir den Exponenten einer abelschen Gruppe $A$ als die diejenige natürliche Zahl $n \in \IN$ mit $n\IZ = \{m \in \IZ : mA=0\}.$ Die Existenz folgt daraus, dass die rechte Seite ein Ideal von $\IZ$ ist. Die Ordnung eines Elements $g$ einer (möglicherweise nicht-abelschen) Gruppe sei der Exponent der zyklischen Gruppe $\langle g \rangle$. Insbesondere ist der Exponent von $\IZ$ gleich $0$, und daher ist die Ordnung von $1 \in \IZ$ gleich $0$. Die meisten Autor*innen sagen in diesem Fall jedoch, dass der Exponent bzw. die Ordnung $\infty$ sei. Der einzige Grund dafür ist, dass dann die Ordnung von $g$ mit der Ordnung (also hier: Kardinalität) der Gruppe $\langle g \rangle$ übereinstimmt. Viel nützlicher ist es aber, Aussagen wie $\exp(A \times B) = \mathrm{lcm}(\exp(A),\exp(B))\\ \mathrm{ord}(g^k)=\mathrm{ord}(g)/\mathrm{gcd}(\mathrm{ord}(g),k)\\ \mathrm{ord}(f(g)) \mid \mathrm{ord}(g)$ für Homomorphismen $f$ ohne Ausnahmen zu haben. Hier müsste man künstliche Fallunterscheidungen einführen, wenn man $\infty$ als Ordnung zulässt. Ein ähnliches Konzept ist die Charakteristik eines Ringes: sie ist definitionsgemäß der Exponent der zu Grunde liegenden additiven Gruppe, was zugleich die Ordnung der Eins in der additiven Gruppe ist. Insbesondere können Ringe die Charakteristik $0$ (und nicht $\infty$) haben, was in diesem Fall auch Konsens ist. Die beiden Begriffe sind nur dann miteinander kompatibel, wenn man wie oben beschrieben $\infty$ nicht als Elementordnung zulässt. Übrigens ist die Charakteristik des trivialen Ringes gemäß der Definition gleich $1$.

Grad

Für den Grad des Nullpolynoms gilt $\deg(0)=-\infty.$ Hier ist der Grund dafür: $\deg(f)$ ist definiert als das Supremum aller $n \in \IN$, so dass $x^n$ in $f$ erscheint. Da im Nullpolynom kein Monom erscheint, haben wir $\deg(0)=\sup(\emptyset)=-\infty$ (siehe Abschnitt 'Mengenlehre und Logik' für das leere Supremum). Beachte auch, dass $\deg(0)=-\infty$ der einzige Wert ist, der mit den bekannten Formeln $\deg(f+g)\leq\min(\deg(f),\deg(g)) \\ \deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)$ für alle Polynome $f,g \in K[x]$ über einem Körper $K$ kompatibel ist. Er passt auch gut zum Satz zur Polynomdivision: Für $f,g \in K[x]$ mit $ g \neq 0$ gibt es (eindeutige) $q,r$ mit $f = qg + r$ und $\deg(r) < \deg(g)$. Für $\deg(g)=0$ ist sicherlich $f$ durch $g$ teilbar und damit $r=0$, sodass die Gradbedingung $\deg(0)<0$ lautet. (Öfters findet man die umständlichere Formulierung $r=0$ oder $\deg(r)<\deg(g)$.) Man könnte hier einwenden, dass man das Supremum auch innerhalb der Menge $\IN$ bilden könnte, wodurch dann $\sup(\emptyset)=0$ wäre. Das würde einerseits die Formeln kaputtmachen und andererseits wäre es inkompatibel mit dem Grad von Laurentpolynomen (bei denen also auch $x^n$ für $n \in \IZ$ vorkommen dürfen). Man möchte sicherlich, dass die Inklusion $K[x] \hookrightarrow K[x,x^{-1}]$ den Grad erhält, also ein Homomorphismus graduierter $K$-Algebren ist.

Krulldimension

Die Krulldimension $\dim(R)$ eines kommutativen Ringes $R$ ist das Supremum der Längen $n$ der echt aufsteigenden Ketten von Primidealen $\mathfrak{p}_0 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n$ in $R$. Da der Nullring kein Primideal hat, erhalten wir $\dim(0)=-\infty,$ ähnlich wie beim Grad des Nullpolynoms. (Für $R \neq 0$ gilt hingegen $\dim(R) \geq 0$.) Dies ist auch der einzige Wert, der mit den grundlegenden Formeln $\dim(R \times S)=\max(\dim(R),\dim(S))\\ \dim(R[T]) \geq \dim(R)+1$ übereinstimmt (die sich ohne Fallunterscheidung beweisen lassen). Mit $\dim(0)=0$ wäre die letzte Gleichung falsch. Man kann die Krulldimension auch ohne Primideale charakterisieren: Wenn $R$ ein kommutativer Ring und $n \geq 0$ ist, dann ist $\dim(R) \leq n$ genau dann, wenn für alle $ x \in R$ die Ungleichung $\dim(R_{\{x\}}) \leq n-1$ besteht, wobei $R_{\{x\}}$ die Lokalisierung von $R$ an der multiplikativen Teilmenge $x^{\IN}(1+xR)$ sei (Satz 1 in T. Coquand, H. Lombardi, A Short Proof for the Krull Dimension of a Polynomial Ring, Link). Beachte, dass dies auch für $n=0$ gilt (der Beweis funktioniert wirklich für allgemeine $n \in \IN$) und besagt, dass $\dim(R) \leq 0$ (d.h. jedes Primideal von $R$ ist maximal) genau dann gilt, wenn $R_{\{x\}}=0$ für alle $x \in R$ gilt, was wiederum bedeutet, dass es für alle $x \in R$ ein $k \geq 0$ gibt mit $x^{k+1} \mid x^k$. Relativ häufig wird $\dim(R)=0$ als Synonym für "jedes Primideal von $R$ ist maximal" verwendet, was allerdings für den Nullring nicht stimmt.

Polynomringe

Für jede Menge $I$ und jeden Ring $R$ kann man den Polynomring $R[\{X_i\}_{i \in I}]$ definieren. Für $I=\emptyset$ ergibt sich aus dessen Definition $R[\{X_i\}_{i \in \emptyset}] \cong R.$ Ein Polynom ohne Unbestimmte ist also ein einfacher Skalar. Wenn $R$ kommutativ ist, ergibt sich für den $0$-dimensionalen affinen Raum über $R$ insbesondere $\mathbb{A}^0_R \cong \mathrm{Spec}(R).$

Mengen als algebraische Strukturen

Nicht nur Gruppen, Ringe, Verbände usw. sind algebraische Strukturen, sondern auch Mengen sind algebraische Strukturen. Es ist nur so, dass auf ihnen eine leere Menge von Operationen festgelegt ist. Die Kategorie der Mengen $\mathsf{Set}$ ist daher ein perfektes Beispiel für eine algebraische Kategorie. Die freie Menge auf einer Menge $S$ ist einfach $S$ selbst. Jede Teilmenge einer Menge $S$ ist bereits unter den (nicht vorhandenen) Operationen abgeschlossen und damit eine Unterstruktur. Es ist auch in Ordnung, über Isomorphismen zwischen Mengen zu sprechen, denn es besteht keine Notwendigkeit, allgemeine Begriffe für einige Kategorien zu reservieren.

Leere kategorielle Produkte

Das im Abschnitt 'Arithmetik' erwähnte leere Produkt lässt sich kategorifizieren: Das leere Produkt in einer Kategorie ist ein finales Objekt (nicht per Konvention; dies folgt aus der Definition). Insbesondere ist das kartesische Produkt einer leeren Mengenfamilie immer eine Einpunktmenge. Analog sind leere Koprodukte initiale Objekte. Insbesondere ist die disjunkte Vereinigung einer leeren Mengenfamilie leer.

Leere Tensorprodukte

Wenn $(M_i)_{i \in I}$ eine Familie von $R$-Modulen mit zu Grunde liegenden Mengen $|M_i|$ ist, dann klassifiziert das Tensorprodukt $\bigotimes_{i \in I} M_i$ multilineare Abbildungen auf $\prod_{i \in I} |M_i|$. Dieses Produkt hat genau ein Element, wenn $I$ leer ist, und in diesem Fall ist die Multilinearitätsbedingung leer. Daraus erhalten wir $\displaystyle\bigotimes_{i \in \emptyset} M_i = R.$ Insbesondere ergibt sich daraus für die nullte Tensorpotenz $T^0(M)=R$, was in vielen Büchern eine Konvention genannt wird. Dass man in dem Fall bei Beweisen und Rechnungen ständig Fallunterscheidungen machen müsste, wird allerdings konsequent verschwiegen. Entsprechend gilt für die nullte äußere Potenz $\Lambda^0(M)=R$. Allgemeiner gesagt ist das leere Tensorprodukt in einer monoidalen Kategorie das Einsobjekt. Es kann auch nicht anders sein, wenn das Assoziativgesetz (bis auf Isomorphie) allgemein gelten soll.

Kategorien in kleinen Dimensionen

Den Begriff der Kategorie verallgemeinert man im Rahmen der höheren Kategorientheorie auf $n$-Kategorien für beliebige $n \geq 1$, wobei Kategorien dasselbe wie $1$-Kategorien sind. Der strikte Fall ist relativ einfach zu verstehen: Eine strikte $(n+1)$-Kategorie ist eine Kategorie, die in strikten $n$-Kategorien angereichert ist. Schaut man sich das nun für $n=0$ an, sieht man, was der richtige Begriff einer strikten $0$-Kategorie ist: es handelt sich einfach um eine Menge. (Eine schwache $0$-Kategorie ist hingegen ein Setoid; gibt es eine deutsche Übersetzung dafür?) Auch die Aussage, dass die Gesamtheit der strikten $n$-Kategorien eine strikte $(n+1)$-Kategorie ist, bleibt damit für $n=0$ richtig. Tatsächlich kann man (mit Einschränkungen) noch weitergehen, um eine Lücke im sogenannten Periodensystem von $n$-Kategorien zu schließen, siehe hier: Es gibt genau zwei $(-1)$-Kategorien, "wahr" und "falsch", und für $n \geq 2$ gibt es genau eine $(-n)$-Kategorie ("wahr").

Topologie und Geometrie

Offene Mengen

Wegen unserer Bemerkung über leere Vereinigungen und Durchschnitte in dem Abschnitt über Mengenlehre lässt sich eine Topologie auf einer Menge $X$ als eine Menge von Teilmengen von $X$ definieren (die offene Mengen genannt werden), die unter beliebigen Vereinigungen und endlichen Durchschnitten stabil sind. Daraus folgt, dass $\emptyset$ und $X$ offene Mengen sind (man muss das nicht extra fordern), und mit dieser kompakten Definition kann man trotzdem arbeiten.

Der leere Raum

Natürlich ist der leere Raum ein topologischer Raum. Es gibt auch einen leeren metrischen Raum. Zwar definieren einige Quellen metrische Räume als nicht-leer, aber dafür gibt es keinen sinnvollen Grund. Wie schon mehrmals erwähnt, würden wir uns damit nur zusätzliche Fallunterscheidungen bei Operationen mit metrischen Räumen einhandeln. Der Durchmesser des leeren metrischen Raumes ist übrigens $0$ (wegen $\sup(\emptyset)=0$ bezogen auf $\emptyset \subseteq [0,\infty]$).

Zusammenhang

Unter Mathematiker*innen scheint es keinen Konsens darüber zu geben, ob der leere Raum zusammenhängend ist oder nicht. Tatsächlich ist es bei vielen Aussagen bequemer, wenn $\emptyset$ nicht zusammenhängend ist. Wir haben zum Beispiel $H_0(X,\IZ) \cong \IZ,$ wenn $X$ ein zusammenhängender Raum ist (nicht aber für $X = \emptyset$), und allgemeiner $H_0(X,\IZ) \cong \mathbb{Z}^n,$ wenn $X$ genau $n$ Komponenten hat ($n \in \IN$). Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten soll außerdem additiv auf Koprodukten von Räumen sein. Die Zerlegung in Zusammenhangskomponenten soll eindeutig sein (was sie nicht wäre, wenn wir $\emptyset$ zuließen). Unsere Definition von Primelementen (aus dem Abschnitt 'Algebra') motiviert die folgende Definition: Ein Raum $X$ ist zusammenhängend, wenn für jede Partition $\displaystyle X = \coprod_{i \in I} X_i$ (dieses Koprodukt findet in der Kategorie der topologischen Räume statt; somit werden die $X_i$ zu offen-abgeschlossenen Teilmengen von $X$) ein $i \in I$ existiert mit $X = X_i.$ Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass der leere Raum nicht zusammenhängend ist (man betrachte $I=\emptyset$). Erst recht ist der leere Raum nicht wegzusammenhängend. Wir könnten auch $X$ zusammenhängend nennen, wenn $X$ genau zwei offen-abgeschlossene Teilmengen besitzt. Wir haben es wieder mit dem Prinzip too simple to be simple zu tun.

Irreduzibilität

In ähnlicher Weise sollten irreduzible Räume als nicht-leere Räume definiert werden, in denen sich jeweils zwei nicht-leere offene Teilmengen schneiden, oder entsprechend: für alle endlichen Folgen von nicht-leeren Teilmengen $U_1,\dotsc,U_n$ ist $U_1 \cap \cdots \cap U_n$ ebenfalls nicht-leer (was für $n=0$ zeigt, dass der Raum nicht-leer ist). In der algebraischen Geometrie benötigt und verwendet man, dass irreduzible abgeschlossene Teilmengen eines Schemas einen generischen Punkt haben. Leider gibt es auch hier keinen Konsens und einige Lehrbücher lassen den leeren irreduziblen Raum zu, was eher unvorteilhaft ist.

Der leere Graph

Der leere Graph $K_0$ hat keinen Knoten und keine Kante. Die Bezeichnung $K_n$ passt zur allgemeinen Definition eines vollständigen Graphen mit $n$ Knoten. In dem kurzen Paper Is the null-graph a pointless concept? von Harary und Read werden einige Pro- und Kontra-Argumente aufgelistet, $K_0$ als Graphen anzusehen: So verhalten sich, wie eingangs erwähnt, Operationen mit Graphen viel besser. Zum Beispiel ist der Durchschnitt von zwei Untergraphen auf jeden Fall wieder ein Untergraph. Weil jeder Wald eine disjunkte Vereinigung von Bäumen ist, ist die erzeugende Funktion für die beschrifteten Wälder gleich $\exp(T(x))$, wenn $T(x)$ die erzeugende Funktion für die beschrifteten Bäume ist. Der konstante Term dieser erzeugenden Funktion ist $1$, was natürlich den leeren Graphen als Wald mit $0$ Elementen aufzählt. Das einzige Kontra-Argument in dem genannten Paper (und übrigens auch im verlinkten Wikipedia-Artikel) ist ironischerweise falsch. Es wird nämlich behauptet, dass der leere Graph zusammenhängend ist. Aber genau wie der leere topologische Raum usw. ist der leere Graph nicht zusammenhängend, weil er nicht genau eine Zusammenhangskomponente besitzt (sondern $0$ Stück). Die in dem Paper genannten "Paradoxien" lösen sich damit auf. Übrigens ist der leere Graph auch das initiale Objekt in der Kategorie der Graphen, und es ist immer nett, ein initiales Objekt zu haben (oder anders formuliert: es ergibt relativ selten Sinn, ein initiales Objekt aus einer gutartigen Kategorie zu entfernen). Es gibt keinen sinnvollen Grund, den leeren Graphen auszuschließen, auch wenn dies einige Bücher bei der Definition eines Graphen tun.

Überdeckungen

Definieren wir eine offene Überdeckung eines Raumes als eine Menge offener Teilmengen, deren Vereinigung der gegebene Raum ist. Dann sind $\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ die offenen Überdeckungen des leeren Raumes $\emptyset$. Wenn insbesondere $F$ eine Garbe auf einem Raum ist, dann besagt die Garbenbedingung für die offene Teilmenge $\emptyset$ und ihrer Überdeckung $\emptyset$, dass $\displaystyle F(\emptyset) \to \prod_{U \in \emptyset} F(U) \rightrightarrows \prod_{U,V \in \emptyset} F(U \cap V)$ exakt ist, d.h. dass $F(\emptyset)$ das leere Produkt ist, also das finale Objekt (d.h. die Einpunktmenge bei mengenwertigen Prägarben und die triviale Gruppe bei gruppenwertigen Prägarben). Die erste Garbenbedingung (Separierbarkeit) besagt lediglich, dass $F(\emptyset) \to \prod_{U \in \emptyset} F(U)$ ein Monomorphismus ist, d.h. für mengen- oder gruppenwertige Prägarben hat $F(\emptyset)$ höchstens ein Element. Dies wird in der Konstruktion assoziierter Garben veranschaulicht. Es gibt übrigens ein Lehrbuch über fortgeschrittene algebraische Geometrie mit sehr guten Rezensionen (dessen Titel ich nicht nennen möchte), das Prägarben nur auf nicht-leeren Teilmengen definiert und die Garbenbedingung entsprechend nur für Überdeckungen fordert, deren offene Mengen sich schneiden. Dies macht es unmöglich, die fundamentale Eigenschaft $F(U \cup V)=F(U) \times F(V)$ für disjunkte offene Teilmengen $U,V$ abzuleiten. Es ist also falsch, die leere Menge auszulassen, selbst wenn man sich nicht für sie interessiert.

Quotienten

Wenn $A$ ein Unterraum eines Raumes $X$ ist, den wir auf einen Punkt kollabieren möchten, können wir den Quotientenraum $X/A$ konstruieren. Er sollte eine stetige Abbildung $X \to X/A$ haben, die $A$ auf eine Einpunktmenge abbildet, und die Beschränkung auf $X \setminus A$ sollte injektiv sein. Um $X/A$ zu konstruieren, wäre es eine Idee, es als $X/{\sim}$ zu definieren, wobei $\sim$ die kleinste Äquivalenzrelation mit $a \sim a'$ für alle $a,a' \in A$ ist. In dem Sonderfall $X=A=\emptyset$ hat $X/A$ dann aber keinen Sinn. Um dies zu lösen, fügen wir einen neuen Punkt zu $X$ hinzu, d.h. betrachten $X \sqcup \{*\}$, und betrachten die kleinste Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X \sqcup \{*\}$, so dass $a \sim *$ für alle $a \in A$. Dann ist $X/A := (X \sqcup \{*\})/{\sim}$ der richtige Quotientenraum. Er kann auch als das Pushout (Kofaserprodukt) der beiden Abbildungen $A \hookrightarrow X$ und $A \twoheadrightarrow \{*\}$ gesehen werden. Insbesondere ist $X/\emptyset=X \sqcup \{\star\},$ insbesondere $\emptyset/\emptyset=\{\star\}$. Dies mag seltsam erscheinen, da in diesem Fall $X \to X/A$ nicht surjektiv ist, was man von Quotienten erwartet. Allerdings sollten diese Quotientenkonstruktionen wirklich in der Kategorie der punktierten topologischen Räume gesehen werden. Wenn wir dann einen topologischen Raum $X$ durch einen Unterraum teilen, nehmen wir eigentlich einen Quotienten des freien punktierten Raumes auf $X$.

Dimension

Die leere Mannigfaltigkeit hat jede Dimension $n \in \mathbb{N}$ (da trivialerweise jeder Punkt eine offene Umgebung hat, die isomorph zu $\IR^n$ ist). Oder positiver formuliert: für jedes $n \in \IN$ hat die Kategorie der $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ein initiales Objekt.

Überlagerungen

Wenn $X$ ein topologischer Raum ist, dann ist die eindeutige Abbildung $\emptyset \to X$ eine Überlagerung, da die Definition trivialerweise erfüllt ist. Insbesondere müssen Überlagerungen nicht surjektiv sein (auch wenn dies in einigen Lehrbüchern angenommen oder zur Definition ergänzt wird). Allgemeiner ausgedrückt: Wenn $U \subseteq X$ eine offen-abgeschlossene Teilmenge ist, dann ist $U \hookrightarrow X$ eine Überlagerung. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Überlagerung ein offen-abgeschlossenes Bild hat und weiter die Komposition einer surjektiven Überlagerung und einer Überlagerung der Form $U \hookrightarrow X$ für eine offen-abgeschlossene Teilmenge $U \subseteq X$ ist. Die entsprechende algebraische Aussage ist, dass für jeden kommutativen Ring $k$ die triviale $k$-Algebra étale ist. Sie ist das leere direkte Produkt von Kopien von $k$. Die (volle) Kategorie der Überlagerungen verhält sich besser als die Kategorie der surjektiven Überlagerungen. In ähnlicher Weise verhält sich die Kategorie der étalen $k$-Algebren besser als die Kategorie der (an jedem Punkt von $\mathrm{Spec}(k)$) nicht-trivialen étalen $k$-Algebren.

Transitive Wirkungen

Sei $G$ eine Gruppe. Eine $G$-Menge $X$ wird transitiv genannt, wenn $X$ nicht-leer ist und es für alle $x,y \in X$ ein $g \in G$ gibt mit $y = gx$. Hier fällt die Annahme, nicht-leer zu sein, etwas aus dem Himmel. Etwas klarer wird die Definition mit der äquivalenten Formulierung, dass es genau eine Bahn geben soll (die leere Menge hat keine Bahn). (Nicht zu verwechseln ist dieser Begriff mit der transitiven Menge aus der Mengenlehre, hier ist die leere Menge durchaus transitiv.) Es gibt hier eine Ähnlichkeit zur Definition eines zusammenhängenden Raumes. Tatsächlich ist das mehr als nur eine Ähnlichkeit: Im Hauptsatz der Überlagerungstheorie, der Kategorienäquivalenz zwischen $\pi_1(X)$-Mengen und Überlagerungen eines gutartigen punktierten Raumes $X$, entsprechen die transitiven $\pi_1(X)$-Mengen gerade den zusammenhängenden Überlagerungen von $X$. Allgemeiner nennen wir ein Objekt $X$ einer Kategorie mit Koprodukten zusammenhängend, wenn es für jeden Isomorphismus $\coprod_{i \in I} X_i \to X$ ein $i \in I$ gibt, sodass der induzierte Morphismus $X_i \to X$ ein Isomorphismus ist. Es folgt insbesondere, dass initiale Objekte nicht zusammenhängend sind (man nehme $I=\emptyset$). Gemäß dieser Definition sind die zusammenhängenden Objekte von $\mathsf{Top}$ die zusammenhängenden Räume, und die zusammenhängende Objekte von $G\mathsf{-Set}$ sind die transitiven $G$-Mengen.

Normen

Seien $(V,|~|)$ und $(W,|~|)$ normierte Vektorräume über $\IR$ oder $\IC$. Die Norm einer linearen Abbildung $f : V \to W$ wird oft als $\displaystyle |f| := \sup_{0 \neq x \in V} |f(x)| / |x|$ oder $\displaystyle |f| := \sup_{x \in V,\, |x|=1} |f(x)|$ definiert. Für $V=0$ ergibt dies das Supremum der leeren Menge, gesehen als Teilmenge von $[0,\infty]$, also $0$. Mit der Definition $\displaystyle |f| := \sup_{x \in V,\, |x| \leq 1} |f(x)|$ ist $|0|=0$ einfacher zu sehen.

Orientierungen

Zwei geordnete Basen $B,B'$ eines endlich-dimensionalen $\IR$-Vektorraumes $V$ haben per Definition dieselbe Orientierung, wenn die zugehörige Basiswechselmatrix positive Determinante hat. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geordneten Basen von $V$. Eine Orientierung von $V$ wird manchmal als eine Äquivalenzklasse diesbezüglich definiert. Das würde bedeuten, dass der triviale Vektorraum genau eine Orientierung hat, alle anderen Vektorräume aber zwei. Es geht aber auch anders: Wenn $\dim(V)=1$, definieren wir eine Orientierung von $V$ wie oben, also als eine Äquivalenzklasse von Erzeugern $v \in V$, wobei $v,v'$ äquivalent sind, wenn $v = \lambda v'$ für ein $\lambda > 0$. Es hat demnach $V$ genau zwei Orientierungen. Im allgemeinen Fall $\dim(V)=n$ definieren wir dann eine Orientierung von $V$ als eine Orientierung der "höchsten" äußeren Potenz $\Lambda^n(V)$, deren Dimension $\binom{n}{n} = 1$ ist. Folglich hat auch allgemein $V$ genau zwei Orientierungen. Der Spezialfall $V=0$ bzw. $n=0$ ist hierbei keine Ausnahme. Der Zusammenhang zur vorigen Definition ist: Jede Basis $(v_1,\dotsc,v_n)$ von $V$ liefert einen Erzeuger $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ von $\Lambda^n(V)$, und äquivalente Basen liefern äquivalente Erzeuger der äußeren Potenz, weil für $f \in \mathrm{GL}(V)$ nämlich $ f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) = \det(f) \cdot v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ gilt. Dass der triviale Vektorraum genau zwei Orientierungen hat, und daher auch eine $0$-dimensionale Mannigfaltigkeit an jedem Punkt genau zwei Orientierungen hat, mag zwar etwas seltsam erscheinen, ist aber tatsächlich praktisch: Um zum Beispiel den Hauptsatz der Integralrechnung aus dem Satz von Stokes abzuleiten, fassen wir das Intervall $[a,b]$ als eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit dem $0$-dimensionalen Rand $\{a,b\}$ auf; hierbei müssen wir $b$ positiv und $a$ negativ orientieren, damit sich dann $F(b)-F(a)$ für die Stammfunktion $F$ ergibt. Danke an tactac fürs Korrekturlesen.