Stern Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
Released by matroid on Do. 17. September 2020 19:18:39 [Statistics]
Written by Triceratops - 878 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
MathematikThis is the outline view of the article [Show content view]

 

 

Section Kopf
Title Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
Created 2020-09-17 19:18:39 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 597 Bytes


Section 0
Title Determinanten
Created 2020-09-02 20:10:42 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 4630 Bytes

5227 charactes in tolal


Section 3
Title Perfekte Paarung
Created 2020-09-02 21:57:31 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 3251 Bytes

8478 charactes in tolal


Section 4
Title Adjunkte
Created 2020-09-03 00:06:33 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 6226 Bytes

14704 charactes in tolal


Section 5
Title Entwicklungssatz
Created 2020-09-02 22:25:16 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 2380 Bytes

17084 charactes in tolal


Section 6
Title Invertierbar
Created 2020-09-08 08:04:48 by Triceratops [Änderungshistorie]
contains 4935 Bytes

22019 charactes in tolal

Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist nicht im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 878
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 33 externe Seitenaufrufe zwischen 2021.01 und 2022.06 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://yandex.ru26.1%6.1 %
https://google.com721.2%21.2 %
https://matheplanet.com13%3 %
https://google.de1545.5%45.5 %
https://www.bing.com412.1%12.1 %
https://www.ecosia.org26.1%6.1 %
https://google.pl13%3 %
https://www.startpage.com13%3 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 2 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2022.06.27-2022.06.28 (2x)https://yandex.ru/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 19 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021-2022 (13x)https://google.de/
2021-2022 (6x)https://google.com/

[Top of page]

"Stern Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace" | 6 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
von: Kezer am: Sa. 19. September 2020 12:57:22
\(\begingroup\)Ein schöner Artikel, der zeigt, wie "Linear Algebra Done Right" aussieht (und jedoch nicht im Buch "Linear Algebra Done Right" von Axler behandelt wird). Die Punkte (3), (4) erinnern an eine funktorielle Eigenschaft. Kann man es noch weiter verallgemeinern, dass es ein Funktor, z.B. $\mathbf{Vect}_{k}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Vect}_k$, wird? (Punkte (3), (4) sagen ja zumindest aus, dass $\operatorname{adj}$ ein kontravarianter Funktor ist, wenn man in $\mathbf{Vect}_k$ die Morphismen auf Endomorphismen einschränkt.) Edit: Wie mir Triceratops mitgeteilt hat, ist es eine nette Übung zu zeigen, dass ein solcher Funktor nicht existiert. Da es tatsächlich ein schnelles Argument ist, möchte ich es den weiteren Lesern auch als Übungsaufgabe hinterlassen. :-p Übung [nach Triceratops]. Zeige, dass es keinen Funktor $\mathbf{Vect}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Vect}$ gibt, der auf Objekten die Identität ist und Endomorphismen $f:V→V$ auf $\operatorname{adj}(f):V→V$ abbildet.\(\endgroup\)
 

Was sagt Theorem 2.7 im Artikel von Conrad aus
von: helmetzer am: Mi. 23. September 2020 03:18:03
\(\begingroup\)Ich beziehe mich auf den zitierten Artikel von Conrad. Was sagt also Theorem 2.7 aus, das über die Definition 2.1 hinausgeht? 2.1: Symmetrisch heißt: die Funktion ändert sich nicht, wenn ich die Argumente beliebig vertausche. 2.7: ich kann die Argumente beliebig vertauschen (egal, wie ich sie vorher nummeriert habe) und die Funktion ändert sich nicht.\(\endgroup\)
 

Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
von: Dune am: Do. 24. September 2020 12:47:47
\(\begingroup\)Sehr spannender Artikel! Mich würde jetzt vor allem interessieren, wie gut sich die Theorie von charakteristischen Polynomen koordinatenfrei formulieren lässt und wie ein koordinatenfreier Beweis von Cayley-Hamilton aussehen würde... Wie wäre es mit einer Fortsetzung...? 😄\(\endgroup\)
 

Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
von: Triceratops am: Do. 24. September 2020 21:58:30
\(\begingroup\)@helmetzer: Die Frage betrifft zwar nicht meinen Artikel und wäre daher im Forum besser aufgehoben, aber ich beantworte sie einmal trotzdem. Theorem 2.7 (was eher ein Lemma ist) besagt, dass ich die Symmetrie/Antisymmetrie/Alterniertheit einer Abbildung auch erkennen kann, indem ich sie umparametrisiere. Also eine Abbildung $f : M^k \to N$ ist genau dann symmetrisch/antisymmetrisch/alternierend, wenn $f \circ M^{\tau} : M^k \to N$ es ist, wobei $\tau \in S_k$ beliebig und ich mit $M^{\tau}$ die induzierte Bijektion $M^k \to M^k$ bezeichne. Zwar ist das ziemlich einfach zu beweisen, aber die Aussage geht definitiv über die Definition hinaus, wenn $\tau \neq \mathrm{id}$. Und im antisymmetrischen Fall braucht man auch die Rechenregel $\mathrm{sgn}(\sigma \tau) = \mathrm{sgn}(\sigma) \mathrm{sgn}(\tau)$, wie der Beweis zeigt. (Genauer gesagt bräuchte man das nicht einmal, wenn man die Charakterisierung über Vertauschungen von zwei Einträgen verwendet.)\(\endgroup\)
 

Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
von: Triceratops am: Do. 24. September 2020 22:10:14
\(\begingroup\)@Dune: Sei $V$ ein endlich-erzeugter freier $R$-Modul. Sei $f : V \to V$ ein Endomorphismus. Wir machen eine Skalarerweiterung $f[T] : V[T] \to V[T]$ bezüglich $R \hookrightarrow R[T]$. Das charakteristische Polynom von $f : V \to V$ ist $\chi(f) := \det(T \cdot \mathrm{id} - f[T]) \in R[T]$. Offenbar gilt $\chi(f \oplus g)=\chi(f) \cdot \chi(g)$ für $f : V \to V$, $g : W \to W$, und für die Multiplikation $\lambda : V \to V$ mit einem Skalar $\lambda \in R$ gilt $\chi(f)=(T-\lambda)^{\dim(V)}$. Daher kennt man $\chi(f)$ für diagonaliserbare $f$. Für $\phi : R \to S$ gilt offenbar $\chi(S \otimes_R f) = \phi(\chi(f))$. Der Satz von Cayley-Hamilton besagt $\chi(f)(f)=0$. Wenn $f$ diagonalisierbar ist, sieht man das nun direkt. Der allgemeine Fall lässt sich darauf zurückführen, wie im Artikel über die Ausdehnung von algebraischen Gleichungen erklärt. Man kann sich nämlich erst wieder auf den Fall beschränken, dass $R$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, und dann zeigen, dass die diagonalisierbaren Endomorphismen Zariski-dicht in $\mathrm{End}(V)$ liegen. Es gibt aber auch einen sehr schönen Beweis, der mit dem Entwicklungssatz von Laplace arbeitet, siehe Wikipedia.\(\endgroup\)
 

Re: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
von: Dune am: Fr. 25. September 2020 16:39:51
\(\begingroup\)@"Es gibt aber auch einen sehr schönen Beweis, der mit dem Entwicklungssatz von Laplace arbeitet": Genau darum habe ich die Frage unter diesem Artikel gestellt. 😉 Das Dichtheitsargument, das du vorher skizziert hast, ist natürlich super elegant. Aber am Ende steckt da doch mehr hinter, als man auf den ersten Blick vermutet - gerade beim Nachweis der Dichtheit der diagonalisierbaren Endomorphismen. Da ist mir das Laplace-Argument lieber.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]